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4 抛体运动的规律
第2课时 平抛运动的两个重要推论 一般的抛体运动
学习任务一 平抛运动的两个重要推论
学习任务二 一般的抛体运动
随堂巩固
练习册
◆
备用习题
学习任务一 平抛运动的两个重要推论
［科学推理］
(1) 如图所示，设质点做平抛运动的速度方向与水平方向的夹角(速度偏向角)为 ，位移方向与水平方向的夹角(位移偏向角)为 ，试证明 .
证明： 将质点平抛运动的位移沿水平方向和竖直方向分解，设时间为时，对应的水平位移和竖直位移分别为和，水平分运动是匀速直线运动，有，竖直分运动是自由落体运动，有，由图可知，联立解得.将时刻的速度沿水平方向和竖直方向分解为和.由图可知.故 ，得证.
(2) 如上图所示，试证明平抛运动的速度反向延长线过水平位移的中点，即.
证明：由图可知，， ，联立解得.
例1 如图所示，一物体自倾角为 的固定斜面顶端沿水平方向抛出后落在斜面上.物体与斜面接触时速度与水平方向的夹角 满足( )
D
A. B.
C. D.
[解析] 由题意可知，物体与斜面接触时速度与水平方向的夹角(即速度偏向角)为 ，位移方向与水平方向的夹角(即位移偏向角)为 .将物体与斜面接触时的速度沿水平和竖直方向分解，竖直分速度与水平分速度之比为，将位移沿水平和竖直方向分解，
竖直分位移与水平分位移之比为，故 ，故D正确.
例2 (多选)如图所示，蜘蛛在地面与竖直墙壁间结网，蛛丝与水平地面之间的夹角为 ，到地面的距离为，已知重力加速度取，空气阻力不计，若蜘蛛从竖直墙上距地面的点以水平速度跳出，要到达蛛丝，水平速度可以为( )
BC
A. B. C. D.
[解析] 设蜘蛛跳出水平初速度时，蜘蛛平抛轨迹正好与蛛丝相切，切点为，如图所示.过C点作水平线，与的交点即过点速度反向延长线与水平位移的交点，则由几何关系，可知,即有，,联立解得,当蜘蛛跳出水平初速度时，蜘蛛都能到达蛛丝，故B、C正确.
【要点总结】
1.平抛运动在任意时刻瞬时速度方向与水平方向夹角 的正切值，是位移方向与水平方向夹角 正切值的2倍，即 .
2.平抛运动在任意时刻的瞬时速度反向延长线过水平位移的中点.
学习任务二 一般的抛体运动
［模型建构］
(1)斜抛运动：以一定的初速度将物体沿与水平方向成一定角度的方向抛出,物体仅在重力作用下所做的曲线运动.
(2)斜抛运动的性质：斜抛运动是加速度恒为重力加速度的匀变速曲线运动,轨迹是抛物线.
(3)斜抛运动的基本规律(以斜向上抛为例说明,如图所示)
①水平方向： ,.
②竖直方向： ,.
(4)斜抛运动可以看作是水平方向的匀速直线运动和竖直方向的竖直上抛(或下抛)运动的合运动.
例3 [2023·浙江温州中学月考] 如图甲所示，喷出的水做斜抛运动，图乙为斜抛水柱的轨迹(不计空气阻力).对于轨迹上的两点、，下列说法正确的是( )
B
甲
乙
A.点的速度方向沿切线向上，合力方向沿切线向下
B.点的速度方向沿切线向上，合力方向竖直向下
C.点的速度方向沿切线向下，合力方向沿切线向下
D.点的速度方向沿切线向下，合力方向竖直向上
[解析] 抛体运动是曲线运动，曲线运动的速度方向沿着曲线的切线方向，水只受重力，故合力方向竖直向下，故A、C、D错误，B正确.
变式 [2023·天津一中月考] 如图所示，小球从点斜向上抛出，恰好垂直撞到竖直墙壁上的点，已知小球在点速度大小为，与水平方向成 夹角.不计空气阻力，重力加速度取，下列说法正确的是( )
C
A.小球上升的最大高度为 B.小球在最高点的速度大小为
C.小球从运动到的时间为 D.、间的水平距离为
[解析] 小球做斜抛运动，在水平方向上做匀速直线运动，在竖直方向上做竖直上抛运动，竖直方向上的初速度为，小球上升的最大高度为，所以A错误；小球在最高点时，竖直方向速度为0，只有水平方向速度，则小球在最高点的速度大小为，所以B错误；小球从A运动到B的时间为，所以C正确；A、B间的水平距离为，所以D错误.
备 用 习 题
1. 如图所示,将篮球从同一位置斜向上抛出,其中有两次篮球垂直撞在竖直墙上,不计空气阻力,则下列说法中正确的是 ( )
A.从抛出到撞墙,第二次球在空中运动的时间较短
B.篮球两次撞墙的速度可能相等
C.篮球两次抛出时速度的竖直分量可能相等
D.两次抛出时的速度与水平方向的夹角相同
A
备 用 习 题
[解析]将篮球的运动反向处理,即为平抛运动,第二次下落的高度较小,所以运动时间较短,故A正确.水平射程相等,由x=v0t可知,第二次抛出时水平分速度较大,即篮球第二次撞墙的速度较大,故B错误.由vy=gt可知,第二次抛出时速度的竖直分量较小,故C错误.由图可知,第二次抛出时的速度与水平方向的夹角较小,选项D错误.
1.(平抛运动二级结论的应用)[2023·福建厦门一中期末] 如图所示，圆弧形凹槽固定在水平地面上，其中是以为圆心的一段圆弧，位于竖直平面内.现有一小球从水平桌面的边缘点向右水平飞出，小球恰好能从点沿
A
A. B. C. D.
[解析] 设小球在A点时速度方向与水平方向夹角为 ，位移方向与水平方向夹角为 ，根据平抛运动的推论得 ，根据题意得 ，，解得，故选A.
圆弧的切线方向进入轨道，与竖直方向的夹角为，与竖直方向的夹角为，已知，下列说法正确的是( )
2.(一般的抛体运动)(多选)如图所示，一名运动员参加跳远比赛，腾空过程中离地面的最大高度为，成绩为.运动员落入沙坑瞬
BC
A. B. C. D.
[解析] 从最高点到落入沙坑，运动员做平抛运动，设在最高点时的速度为，落入沙坑时竖直速度为,则，，，故，，选项B、C正确.
间速度为，方向与水平面的夹角为 .运动员可视为质点，不计空气阻力，重力加速度为，则( )
知识点一 平抛运动的两个重要二级结论
1.[2024·辽宁大连二十四中月考] 如图所示，将一小球从坐标原点沿着水平轴以的速度抛出，经过一段时间到达点，为点在轴上的投影，作小球轨迹在点的切线并反向延长，与轴相交于点，已知，则小球运动的时间为( )
D
A. B. C. D.
[解析] 根据平抛运动推论可得，小球在点速度的反向延长线过其这段时间水平位移的中点，则有，解得小球运动的时间为，所以D项正确，A、B、C项错误.
2.如图所示，从某高度水平抛出一小球，经过时间到达一竖直墙面时，速度与竖直方向的夹角为 ，不计空气阻力，重力加速度为.下列说法正确的是( )
D
A.小球水平抛出时的初速度大小为
B.小球在时间内的位移方向与水平方向的夹角为
C.若小球初速度增大，则平抛运动的时间变长
D.若小球初速度增大，则 增大
[解析] 小球到达竖直墙面时在竖直方向和水平方向上的分速度大小分别为，，所以小球水平抛出时的初速度大小为 ，故A错误；设小球在时间内的位移方向与水平方向的夹角为 ，则 ，故B错误；由于小球初始位置与墙面的水平距离一定，初速度越大，则运动的时间越短，故C错误；若小球初速度增大，小球到达墙面的时间变短，由，可知 增大，故D正确.
知识点二 一般的抛体运动
3.(多选)[2023·天津一中月考] 关于抛体运动，下列说法正确的是( )
ABD
A.抛体运动可能是曲线运动，也可能是直线运动
B.任何抛体运动都可以看成是两个分运动的合运动
C.斜抛或平抛运动是非匀变速曲线运动
D.竖直方向上的抛体运动都可以看成初速度不为零的匀变速直线运动
[解析] 抛体运动可能是曲线运动，如平抛运动，也可能是直线运动，如竖直上抛运动，故A正确；根据运动的合成可知任何抛体运动都可以看成是两个分运动的合运动，故B正确；平抛或斜抛运动的加速度恒定不变，且初速度与加速度方向不共线，故平抛或斜抛是匀变速曲线运动，故C错误；竖直方向上的抛体运动的加速度都恒为重力加速度，且速度与加速度共线，都可以看成初速度不为零的匀变速直线运动，故D正确.
4.[2023·四川芦山中学月考] 做斜上抛运动的物体，不计空气阻力，到达最高点时( )
D
A.速度和加速度均为零 B.速度为零，加速度竖直向下
C.速度和加速度均沿水平方向 D.速度沿水平方向，加速度竖直向下
[解析] 做斜上抛运动的物体在竖直方向做竖直上抛运动，在水平方向做匀速直线运动，到达最高点时，竖直分速度为零，速度沿水平方向，加速度为重力加速度，方向竖直
向下.
5.[2023·黑龙江大庆一中月考] 如图所示，一名同学在练习立定跳远，他在空中上升的最大高度为，跳远成绩为，若将该同学看成质点，且不考虑空气阻力，则他在落地瞬间速度方向与水平面的夹角 等于( )
B
A. B. C. D.
[解析] 同学从最高点开始的运动是平抛运动，根据平抛运动的推论，末速度与水平方向的夹角 的正切值是位移与水平方向的夹角 正切值的两倍，如图所示，，得 ，故B正确.
6.有、两小球，的质量为的两倍.现将它们以相同速率沿同一方向抛出，不计空气阻力.图中①为的运动轨迹，则的运动轨迹是( )
A
A.① B.② C.③ D.④
[解析] 由题意知A、B两球抛出的初速度相同，不计空气
阻力，虽然质量不同，但根据牛顿第二定律可知，两球运动的加速度相同，二者运动的轨迹相同，选项A正确.
7.[2024·陕西安康月考] 2023年7月2日，中国女篮73比71战胜日本女篮，时隔12年再度夺得女篮亚洲杯冠军！在比赛中，运动员将篮球从位置1斜向上抛出，轨迹如图所示.若篮球在运动过程中所受空气阻力大小与其速率成正比，重力加速度为，则该篮球从抛出到运动至最高点的过程中( )
B
A.运动轨迹为抛物线 B.加速度大小一定变小
C.速率先变小后变大 D.在最高点处加速度大小为
[解析] 如图所示，篮球在上升至最高点的过程中，受到重力和空气阻力，合力方向与速度方向的夹角大于 ，故篮球的速率变小，空气阻力也逐渐减小，合力是变力，所以篮球的运动不是匀变速曲线运动，轨迹不是抛物线，故A、C错误；由于空气阻力与重力方向间的夹角逐渐变大，且空气阻力变小，重力不变，根据平行四
边形定则可知合力变小，由牛顿第二定律可知加速度变小，故B正确；篮球在最高点处时，速度沿水平方向，仍受空气阻力作用，合力大于重力，所以加速度大于重力加速度，故D错误.
8.[2023·清华附中月考] 在某次投篮表演中，运动员在空中一个漂亮的投篮，篮球以与水平面成 的倾角落入篮筐.这次运动员起跳投篮时，投球点和篮筐正好在同一水平面上，已知投球点到篮筐距离为，重力加速度取，不考虑空气阻力，则( )
C
A.篮球投出后的最高点与篮筐的竖直距离为
B.篮球刚离手时，篮球的速度为
C.篮球进入篮筐时的速度为
D.篮球运动到最高点时，其速度为零
[解析] 因篮球以与水平面成 的倾角落入篮筐，可知落入篮筐时的水平速度和竖直速度大小相等，均设为，则水平方向有，竖直方向有，选项A错误；由，解得，则，则篮球刚离手时，篮球的速度为，则篮球进入篮筐时的速度也为，选项B错误，C正确；篮球运动到最高点时有水平速度，故速度不为零，选项D错误.
9.“打水漂”是一种常见的娱乐活动，以一定的高度水平扔出的瓦片，会反复在水面上弹跳前进，假设瓦片和水面相撞后，在水平方向，速度没有损失，而在竖直方向，碰撞后并不能原速弹回，而是变小，以下四幅图有可能是瓦片轨迹的是( )
D
A.&1& B.&2&
C.&3& D.&4&
[解析] 瓦片和水面相撞后，在水平方向，速度没有损失，而在竖直方向，碰撞后并不能原速弹回，而是变小，可知瓦片竖直上升的最大高度逐渐减小，根据，可知瓦片在空中的时间逐渐减小，水平方向有，可知瓦片在空中通过的水平位移逐渐减小.故选D.
10.[2023·浙江义乌中学期中] 某生态公园的人造瀑布景观如图所示,水流从高处水平流出槽道,恰好落入步道边的水池中.现制作一个为实际尺寸的模型,模型中槽道里的水流速度应为实际的( )
C
A. B. C. D.
[解析] 由题意可知,水流出后做平抛运动的水平位移和竖直位移均变成实际的,竖直方向做自由落体运动,则有,解得,可知时间变为实际的,水平方向做匀速直线运动,则有,由于水平位移变为实际的,时间变为实际的,可知水流速度应为实际的,C正确,A、B、D错误.
11.[2024·吉林一中月考] 在篮球比赛中，篮球投出时角度太大或太小，都会影响投篮的命中率.在某次投篮时，篮球以与水平面成 的倾角准确落入篮筐，若投球点和篮筐正好在同一水平面上，投球点到篮筐距离为，不考虑空气阻力，重力加速度取
.求：
(1) 篮球运动至最高点时速度的大小；
[答案]
[解析] 根据题意可知落入篮筐时竖直方向速度大小
解得
设篮球从最高点至落入篮筐的时间为，有
又
联立解得
(2) 篮球在空中运动的时间；
[答案]
[解析] 竖直方向有
因此，篮球在空中运动总时间
(3) 篮球运动中的最高位置相对篮筐的高度.
[答案]
[解析] 竖直方向有
12.[2023·河南郑州一中月考] 从某高处以的初速度、与水平方向成 角斜向上抛出一石子，落地时石子的速度方向和水平方向的夹角为 ，忽略空气阻力，取，，结果均保留2位有效数字.求：
(1) 石子在空中运动的时间；
[答案]
[解析] 石子落地时的速度方向和水平方向的夹角为 ，则 ，而 ，得.取竖直向上为正方向，落地时竖直方向的速度向下，则，得.
(2) 石子的水平射程；
[答案]
[解析] 石子在水平方向上做匀速直线运动，
，.
(3) 石子抛出后，相对于抛出点能到达的最大高度；
[答案]
[解析] 当石子速度的竖直分量减为0时，到达最大高度处，
，由，.
(4) 抛出点离地面的高度.
[答案]
[解析] 抛出点离地面的高度，解得.第2课时 平抛运动的两个重要推论 一般的抛体运动
[科学推理] (1)证明: 将质点平抛运动的位移沿水平方向和竖直方向分解,设时间为t时,对应的水平位移和竖直位移分别为x和y,水平分运动是匀速直线运动,有x=v0t,竖直分运动是自由落体运动,有y=gt2, 由图可知tan θ=,联立解得tan θ=.将t时刻的速度沿水平方向和竖直方向分解为vx和vy.由图可知tan α==.故tan α=2tan θ,得证.
(2)证明:由图可知tan θ=,tan α=,tan α=2tan θ,联立解得x'=.
例1 D [解析] 由题意可知,物体与斜面接触时速度与水平方向的夹角(即速度偏向角)为φ,位移方向与水平方向的夹角(即位移偏向角)为θ.将物体与斜面接触时的速度沿水平和竖直方向分解,竖直分速度与水平分速度之比为tan φ=,将位移沿水平和竖直方向分解,竖直分位移与水平分位移之比为tan θ==,故tan φ=2tan θ,故D正确.
例2 BC [解析] 设蜘蛛跳出水平初速度v0=v时,蜘蛛平抛轨迹正好与蛛丝AB相切,切点为G,如图所示.过C点作水平线CD,与AB的交点E即过G点速度反向延长线与水平位移的交点,则由几何关系,可知AC=CE=ED=FG=EF,即有x=2AC=0.4 m=vt,y=AC=0.2 m=gt2,联立解得v=2 m/s,当蜘蛛跳出水平初速度v0≥v时,蜘蛛都能到达蛛丝,故B、C正确.
例3 B [解析] 抛体运动是曲线运动,曲线运动的速度方向沿着曲线的切线方向,水只受重力,故合力方向竖直向下,故A、C、D错误,B正确.
变式 C [解析] 小球做斜抛运动,在水平方向上做匀速直线运动,在竖直方向上做竖直上抛运动,竖直方向上的初速度为vy0=vAsin 60°=2× m/s=3 m/s,小球上升的最大高度为Hm== m=0.45 m,所以A错误;小球在最高点时,竖直方向速度为0,只有水平方向速度,则小球在最高点的速度大小为vx0=vAcos 60°=2× m/s= m/s,所以B错误;小球从A运动到B的时间为t== s=0.3 s,所以C正确;A、B间的水平距离为xAB=vx0t=×0.3 m≈0.52 m,所以D错误.
随堂巩固
1.A [解析] 设小球在A点时速度方向与水平方向夹角为 α,位移方向与水平方向夹角为β,根据平抛运动的推论得tan α=2tan β,根据题意得α=θ1 ,β=90°-θ2,解得tan θ1tan θ2=2,故选A.
2.BC [解析] 从最高点到落入沙坑,运动员做平抛运动,设在最高点时的速度为v0,落入沙坑时竖直速度为vy,则vy=,t=,v0==,故tan α==1,v==2,选项B、C正确.第2课时 平抛运动的两个重要推论 一般的抛体运动
1.D [解析] 根据平抛运动推论可得,小球在P点速度的反向延长线过其这段时间水平位移的中点,则有x=2QM=v0t,解得小球运动的时间为t== s=3 s,所以D项正确,A、B、C项错误.
2.D [解析] 小球到达竖直墙面时在竖直方向和水平方向上的分速度大小分别为vy=gt,vx=vytan θ=gttan θ,所以小球水平抛出时的初速度大小为gttan θ,故A错误;设小球在t时间内的位移方向与水平方向的夹角为α,则tan α===== ,故B错误;由于小球初始位置与墙面的水平距离一定,初速度越大,则运动的时间越短,故C错误;若小球初速度增大,小球到达墙面的时间变短,由tan θ=,可知θ增大,故D正确.
3.ABD [解析] 抛体运动可能是曲线运动,如平抛运动,也可能是直线运动,如竖直上抛运动,故A正确;根据运动的合成可知任何抛体运动都可以看成是两个分运动的合运动,故B正确;平抛或斜抛运动的加速度恒定不变,且初速度与加速度方向不共线,故平抛或斜抛是匀变速曲线运动,故C错误;竖直方向上的抛体运动的加速度都恒为重力加速度,且速度与加速度共线,都可以看成初速度不为零的匀变速直线运动,故D正确.
4.D [解析] 做斜上抛运动的物体在竖直方向做竖直上抛运动,在水平方向做匀速直线运动,到达最高点时,竖直分速度为零,速度沿水平方向,加速度为重力加速度,方向竖直向下.
5.B [解析] 同学从最高点开始的运动是平抛运动,根据平抛运动的推论,末速度与水平方向的夹角θ的正切值是位移与水平方向的夹角α正切值的两倍,如图所示,tan θ=2tan α=1,得θ=45°,故B正确.
6.A [解析] 由题意知A、B两球抛出的初速度相同,不计空气阻力,虽然质量不同,但根据牛顿第二定律可知,两球运动的加速度相同,二者运动的轨迹相同,选项A正确.
7.B [解析] 如图所示,篮球在上升至最高点的过程中,受到重力和空气阻力,合力方向与速度方向的夹角大于90°,故篮球的速率v变小,空气阻力F=kv也逐渐减小,合力是变力,所以篮球的运动不是匀变速曲线运动,轨迹不是抛物线,故A、C错误;由于空气阻力F与重力mg方向间的夹角逐渐变大,且空气阻力变小,重力不变,根据平行四边形定则可知合力变小,由牛顿第二定律可知加速度变小,故B正确;篮球在最高点处时,速度沿水平方向,仍受空气阻力作用,合力大于重力,所以加速度大于重力加速度,故D错误.
8.C [解析] 因篮球以与水平面成45°的倾角落入篮筐,可知落入篮筐时的水平速度和竖直速度大小相等,均设为v,则水平方向有L=vt,竖直方向有h=·==1.8 m,选项A错误;由h=g,解得t=1.2 s,则v=6 m/s,则篮球刚离手时,篮球的速度为v'=v=6 m/s,则篮球进入篮筐时的速度也为6 m/s,选项B错误,C正确;篮球运动到最高点时有水平速度,故速度不为零,选项D错误.
9.D [解析] 瓦片和水面相撞后,在水平方向,速度没有损失,而在竖直方向,碰撞后并不能原速弹回,而是变小,可知瓦片竖直上升的最大高度逐渐减小,根据t=2,可知瓦片在空中的时间逐渐减小,水平方向有x=vxt,可知瓦片在空中通过的水平位移逐渐减小.故选D.
10.C [解析] 由题意可知,水流出后做平抛运动的水平位移和竖直位移均变成实际的,竖直方向做自由落体运动,则有h=gt2,解得t=,可知时间变为实际的,水平方向做匀速直线运动,则有x=v0t,由于水平位移变为实际的,时间变为实际的,可知水流速度应为实际的,C正确,A、B、D错误.
11.(1)7 m/s (2)1.4 s (3)2.45 m
[解析] (1)根据题意可知落入篮筐时竖直方向速度大小vy=vtan 45°
解得vy=v
设篮球从最高点至落入篮筐的时间为t1,有
vy=gt1
又x=v×2t1
联立解得vy=v=7 m/s
(2)竖直方向有t1=
因此,篮球在空中运动总时间
t=2t1=2=1.4 s
(3)竖直方向有h=g=2.45 m
12.(1)1.2 s (2)6.2 m (3)0.45 m (4)3.6 m
[解析] (1)石子落地时的速度方向和水平方向的夹角为60°,则=tan 60°,而vx=v0cos 30°,得vy=9 m/s.取竖直向上为正方向,落地时竖直方向的速度向下,则-vy=v0sin 30°-gt,得t=1.2 s.
(2)石子在水平方向上做匀速直线运动,x=vxt=v0cos 30°t,x=≈6.2 m.
(3)当石子速度的竖直分量减为0时,到达最大高度处,v0y=v0sin 30°=3 m/s,由=2gHm,Hm=0.45 m.
(4)抛出点离地面的高度h=,解得h=3.6 m.第2课时 平抛运动的两个重要推论 一般的抛体运动
学习任务一 平抛运动的两个重要推论
[科学推理]
(1)如图所示,设质点做平抛运动的速度方向与水平方向的夹角(速度偏向角)为α,
位移方向与水平方向的夹角(位移偏向角)为θ,试证明tan α=2tan θ .
(2)如上图所示,试证明平抛运动的速度反向延长线过水平位移的中点,即x'=.
例1 如图所示,一物体自倾角为θ的固定斜面顶端沿水平方向抛出后落在斜面上.物体与斜面接触时速度与水平方向的夹角φ满足( )
A.tan φ=sin θ
B.tan φ=cos θ
C.tan φ=tan θ
D.tan φ=2tan θ
[反思感悟]
例2 (多选)如图所示,蜘蛛在地面与竖直墙壁间结网,蛛丝AB与水平地面之间的夹角为45°,A到地面的距离为1 m,已知重力加速度g取10 m/s2,空气阻力不计,若蜘蛛从竖直墙上距地面0.8 m的C点以水平速度v0跳出, 要到达蛛丝,水平速度v0可以为 ( )
A.1 m/s
B.2 m/s
C.3.5 m/s
D.1.5 m/s
【要点总结】
1.平抛运动在任意时刻瞬时速度方向与水平方向夹角α的正切值,是位移方向与水平方向夹角θ正切值的2倍,即tan α=2tan θ .
2.平抛运动在任意时刻的瞬时速度反向延长线过水平位移的中点.
学习任务二 一般的抛体运动
[模型建构]
(1)斜抛运动:以一定的初速度将物体沿与水平方向成一定角度的方向抛出,物体仅在重力作用下所做的曲线运动.
(2)斜抛运动的性质:斜抛运动是加速度恒为重力加速度g的匀变速曲线运动,轨迹是抛物线.
(3)斜抛运动的基本规律(以斜向上抛为例说明,如图所示)
①水平方向:v0x=v0cos θ,F合x=0.
②竖直方向:v0y=v0sin θ,F合y=mg.
(4)斜抛运动可以看作是水平方向的匀速直线运动和竖直方向的竖直上抛(或下抛)运动的合运动.
例3 [2023·浙江温州中学月考] 如图甲所示,喷出的水做斜抛运动,图乙为斜抛水柱的轨迹(不计空气阻力).对于轨迹上的两点A、B,下列说法正确的是( )
甲 乙
A.A点的速度方向沿切线向上,合力方向沿切线向下
B.A点的速度方向沿切线向上,合力方向竖直向下
C.B点的速度方向沿切线向下,合力方向沿切线向下
D.B点的速度方向沿切线向下,合力方向竖直向上
[反思感悟]
变式 [2023·天津一中月考] 如图所示,小球从A点斜向上抛出,恰好垂直撞到竖直墙壁上的B点,已知小球在A点速度大小为2 m/s,与水平方向成60°夹角.不计空气阻力,重力加速度g取10 m/s2,下列说法正确的是 ( )
A.小球上升的最大高度为0.6 m
B.小球在最高点的速度大小为3 m/s
C.小球从A运动到B的时间为0.3 s
D.A、B间的水平距离为1.6 m
[反思感悟]
1.(平抛运动二级结论的应用)[2023·福建厦门一中期末] 如图所示,圆弧形凹槽固定在水平地面上,其中ABC是以O为圆心的一段圆弧,位于竖直平面内.现有一小球从水平桌面的边缘P点向右水平飞出,小球恰好能从A点沿圆弧的切线方向进入轨道,OA与竖直方向的夹角为θ1,PA与竖直方向的夹角为θ2,已知cot θ=,下列说法正确的是( )
A.tan θ1tan θ2=2 B.cot θ1tan θ2=2
C.tan θ1cot θ2=2 D.cot θ1cot θ2=2
2.(一般的抛体运动)(多选)如图所示,一名运动员参加跳远比赛,腾空过程中离地面的最大高度为L,成绩为4L.运动员落入沙坑瞬间速度为v,方向与水平面的夹角为α.运动员可视为质点,不计空气阻力,重力加速度为g,则 ( )
A.tan α=
B.tan α=1
C.v=2
D.v=第2课时 平抛运动的两个重要推论 一般的抛体运动建议用时:40分钟
◆ 知识点一 平抛运动的两个重要二级结论
1.[2024·辽宁大连二十四中月考] 如图所示,将一小球从坐标原点沿着水平轴Ox以v0=2 m/s的速度抛出,经过一段时间到达P点,M为P点在Ox轴上的投影,作小球轨迹在P点的切线并反向延长,与Ox轴相交于Q点,已知QM=3 m, 则小球运动的时间为 ( )
A.1 s
B.1.5 s
C.2.5 s
D.3 s
2.如图所示,从某高度水平抛出一小球,经过时间t到达一竖直墙面时,速度与竖直方向的夹角为θ,不计空气阻力,重力加速度为g.下列说法正确的是( )
A.小球水平抛出时的初速度大小为gt
B.小球在t时间内的位移方向与水平方向的夹角为
C.若小球初速度增大,则平抛运动的时间变长
D.若小球初速度增大,则θ增大
◆ 知识点二 一般的抛体运动
3.(多选)[2023·天津一中月考] 关于抛体运动,下列说法正确的是 ( )
A.抛体运动可能是曲线运动,也可能是直线运动
B.任何抛体运动都可以看成是两个分运动的合运动
C.斜抛或平抛运动是非匀变速曲线运动
D.竖直方向上的抛体运动都可以看成初速度不为零的匀变速直线运动
4.[2023·四川芦山中学月考] 做斜上抛运动的物体,不计空气阻力,到达最高点时 ( )
A.速度和加速度均为零
B.速度为零,加速度竖直向下
C.速度和加速度均沿水平方向
D.速度沿水平方向,加速度竖直向下
5.[2023·黑龙江大庆一中月考] 如图所示,一名同学在练习立定跳远,他在空中上升的最大高度为L,跳远成绩为4L,若将该同学看成质点,且不考虑空气阻力,则他在落地瞬间速度方向与水平面的夹角θ等于( )
A.30° B.45°
C.60° D.75°
6.有A、B两小球,B的质量为A的两倍.现将它们以相同速率沿同一方向抛出,不计空气阻力.图中①为A的运动轨迹, 则B的运动轨迹是 ( )
A.①
B.②
C.③
D.④
7.[2024·陕西安康月考] 2023年7月2日,中国女篮73比71战胜日本女篮,时隔12年再度夺得女篮亚洲杯冠军!在比赛中,运动员将篮球从位置1斜向上抛出,轨迹如图所示.若篮球在运动过程中所受空气阻力大小与其速率成正比,重力加速度为g,则该篮球从抛出到运动至最高点的过程中( )
A.运动轨迹为抛物线
B.加速度大小一定变小
C.速率先变小后变大
D.在最高点处加速度大小为g
8.[2023·清华附中月考] 在某次投篮表演中,运动员在空中一个漂亮的投篮,篮球以与水平面成45°的倾角落入篮筐.这次运动员起跳投篮时,投球点和篮筐正好在同一水平面上,已知投球点到篮筐距离为7.2 m,重力加速度g取10 m/s2,不考虑空气阻力,则 ( )
A.篮球投出后的最高点与篮筐的竖直距离为3.6 m
B.篮球刚离手时,篮球的速度为6 m/s
C.篮球进入篮筐时的速度为6 m/s
D.篮球运动到最高点时,其速度为零
9.“打水漂”是一种常见的娱乐活动,以一定的高度水平扔出的瓦片,会反复在水面上弹跳前进,假设瓦片和水面相撞后,在水平方向,速度没有损失,而在竖直方向,碰撞后并不能原速弹回,而是变小,以下四幅图有可能是瓦片轨迹的是 ( )
10.[2023·浙江义乌中学期中] 某生态公园的人造瀑布景观如图所示,水流从高处水平流出槽道,恰好落入步道边的水池中.现制作一个为实际尺寸的模型,模型中槽道里的水流速度应为实际的 ( )
A.
B.
C.
D.
11.[2024·吉林一中月考] 在篮球比赛中,篮球投出时角度太大或太小,都会影响投篮的命中率.在某次投篮时,篮球以与水平面成45°的倾角准确落入篮筐,若投球点和篮筐正好在同一水平面上,投球点到篮筐距离为9.8 m,不考虑空气阻力,重力加速度g取10 m/s2.求:
(1)篮球运动至最高点时速度v的大小;
(2)篮球在空中运动的时间t;
(3)篮球运动中的最高位置相对篮筐的高度h.
12.[2023·河南郑州一中月考] 从某高处以v0=6 m/s的初速度、与水平方向成θ=30°角斜向上抛出一石子,落地时石子的速度方向和水平方向的夹角为α=60°,忽略空气阻力,g取10 m/s2,=1.73,结果均保留2位有效数字.求:
(1)石子在空中运动的时间t;
(2)石子的水平射程x;
(3)石子抛出后,相对于抛出点能到达的最大高度Hm;
(4)抛出点离地面的高度h.
