(共48张PPT)
专题课：竖直平面内的圆周运动问题
学习任务一 “绳—球”模型问题分析
学习任务二 “杆—球”模型问题分析
随堂巩固
练习册
◆
备用习题
学习任务一 “绳—球”模型问题分析
［模型建构］ 对“绳—球”模型问题的分析，应注意动力学分析和临界状态分析,相关结论如下表所示：
“绳—球”模型 _________________________________________________________________________________________
过最高点的临界条件 由得
讨论分析 (1)能过最高点时,,,绳、轨道对球的弹力;
(2)不能过最高点时,,在到达最高点前小球已经脱离了圆轨道
在最高点的图线 ________________________________________________________________
取竖直向下为正方向
续表
例1 如图所示，质量为的小球用长为的轻绳拴着在竖直平面内做圆周运动.取
(1) 小球要做完整的圆周运动，在最高点的速度至少为多大？
[答案]
[解析] 在最高点，对小球受力分析如图甲所示，由牛顿第二定律得
由于轻绳对小球只能提供指向圆心的拉力，即不可能取负值，故有
联立解得
所以，小球要做完整的圆周运动，在最高点的速度至少为.
(2) 当小球在最高点的速度为时，轻绳拉力为多大？
[答案]
[解析] 当时，.
(3) 若轻绳能承受的最大张力为，则小球在最低点的速度不能超过多少？
[答案]
[解析] 由分析可知，小球在最低点时轻绳张力最大，对小球受力分析如图乙所示，由牛顿第二定律得
因，解得
即小球在最低点的速度不能超过.
变式1 (多选)[2024·辽宁大连二十四中月考] 如图所示,质量为的小球在竖直平面内固定的光滑圆轨道上做圆周运动,圆轨道的半径为,重力加速度为.若小球经过圆轨道最高点时刚好不脱离圆轨道,则此时( )
BCD
A.小球对圆轨道的压力等于 B.小球受到的向心力等于
C.小球的线速度等于 D.小球的向心加速度等于
[解析] 小球经过圆轨道最高点时刚好不脱离圆轨道,则小球与圆轨道间无弹力，重力刚好提供向心力,即,所以,.
【要点总结】
“绳—球”模型中圆周运动的分析方法
(1)明确运动的模型，即轻绳或光滑轨道对小球提供的弹力始终指向圆心.
(2)明确物体的临界状态，即在最高点时物体具有最小速度时的受力特点.
(3)分析物体在最高点及最低点的受力情况，根据牛顿第二定律列式求解.
学习任务二 “杆—球”模型问题分析
［模型建构］ 对“杆—球”模型问题的分析，应注意动力学分析和临界状态分析,相关结论如下表所示：
“杆—球”模型 _______________________________________________________________________________________________________
过最高点的临界条件
讨论分析 (1)当时,,为支持力,沿半径背离圆心;
(2)当时,,背离圆心,随的增大而减小;
(3)当时,;
讨论分析 (4)当时,,指向圆心,随的增大而增大
在最高点的图线 _________________________________________________________________________
取竖直向下为正方向
续表
例2 长为的轻杆的端有一质量为的小球,以点为圆心,在竖直平面内做圆周运动,如图所示,小球通过最高点时的速度为,取
,则此时小球将( )
D
A.受到的拉力 B.受到的支持力 C.受到的拉力 D.受到的支持力
[解析] 以竖直向下为正方向，设此时轻杆对小球的弹力为,根据牛顿第二定律得,解得,负号表示弹力方向竖直向上，即受到的支持力,选项D正确.
变式2 (多选)[2024·山东济南一中期中] 如图所示，小球可以在竖直放置的光滑圆形管道(圆形管道内径略大于小球直径)内做圆周运动，下列说法正确的是 ( )
AC
A.小球通过最高点的速度只要大于零即可完成圆周运动
B.小球通过管道最高点时对管道一定有压力
C.小球通过管道最低点时对管道的压力一定大于自身重力
D.小球在水平线以上管道中运动时处于超重状态
[解析] 小球在最高点时，外壁和内壁都可以对小球产生弹力作用，当小球的速度等于0时，小球处于受力平衡状态，此时内壁对小球产生竖直向上的弹力，大小为，故最小速度为0，所以小球通过最高点的速度只要大于零就可以完成圆周运动，故A正确；当小球通过管道最高点时，
如果完全由重力提供向心力，则管道对小球没有弹力，此时，解得，即当小球到达最高点时的速度大小为时，小球对管道无压力，故B错误；当小球到达管道最低点时，对小球受力分析可知，小球受到管道竖直向上的弹力和竖直向下的重力，由牛顿第二定律得，解得，根据牛顿第三定律可知，小球对管道的压力一定大于自身重力，故C正确；小球在水平线以上管道中运动时，加速度在竖直方向的分量向下，所以小球处于失重状态，故D错误.
【要点总结】
“杆—球”模型中圆周运动的分析方法
(1)明确运动模型，即轻杆或光滑管道对小球可以提供支持力或拉力(压力).
(2)明确物体的临界状态，即在最高点时物体具有的最小速度为0.
(3)分析物体在最高点及最低点的受力情况，根据牛顿第二定律列式求解.
备 用 习 题
1.长均为L的两根轻绳一端共同系住质量为m的小球,另一端分别固定在等高的A、B两点,A、B两点间的距离也为L,重力加速度大小为g.今使小球在竖直平面内以A、B连线为轴做圆周运动,若小球在最高点速率为v时,两根绳的拉力恰好均为零,则小球在最高点速率为2v时,每根绳的拉力大小为 ( )
A.mg B.2mg C.3mg D.
A
[解析]小球在最高点速率为v时,两根绳的拉力恰好均为零,有mg=m,当小球在最高点的速率为2v时,根据牛顿第二定律得mg+2FTcos 30°=m,解得FT=mg,故A正确.
备 用 习 题
2. (多选)如图所示,质量为M的物体内有光滑圆形轨道,现有一质量为m的小滑块沿该圆形轨道在竖直面内做圆周运动.A、C点为圆周的最高点和最低点,B、D点是与圆心O在同一水平线上的点,重力加速度为g.小滑块运动时,物体在地面上静止不动,则关于物体对地面的压力FN和地面对物体的摩擦力,下列说法正确的是 ( )
A.小滑块在A点时,FN>Mg,摩擦力方向向左
B.小滑块在B点时,FN=Mg,摩擦力方向向右
C.小滑块在C点时,FN>(M+m)g,物体与地面无摩擦
D.小滑块在D点时,FN=(M+m)g,摩擦力方向向左
BC
备 用 习 题
[解析]小滑块在A点时,滑块对物体的作用力在竖直方向上,物体在水平方向上不受力,所以地面对物体没有摩擦力,故A错误.小滑块在B点时,需要的向心力向右,所以物体对滑块有向右的支持力,对物体受力分析,可知地面对物体有向右的摩擦力,在竖直方向上,由于没有加速度,物体受力平衡,所以物体对地面的压力FN=Mg,故B正确.小滑块在C点时,滑块所受的合外力向上,所以滑块对物体的压力要大于滑块的重力,故物体受到滑块的压力大于mg,那么物体对地面的压力就要大于(M+m)g,故C正确.小滑块在D点和B点的受力类似,故D错误.
备 用 习 题
3. 如图所示是马戏团中上演的飞车节目.在竖直平面内有半径为R的圆轨道,表演者骑着摩托车在圆轨道内做圆周运动.已知人和摩托车的总质量为m,重力加速度为g,人以v1=的速度通过轨道最高点B,并以v2=v1的速度通过最低点A,则在A、B两点时轨道对摩托车的压力大小相差 ( )
A.3mg B.4mg C.5mg D.6mg
D
[解析] 由题意可知,在B点时,有FB+mg=m,解得FB=mg,在A点时,有FA-mg=m,解得FA=7mg,所以A、B两点轨道对车的压力大小相差6mg,故选项D正确.
备 用 习 题
4. 游乐园的小型“摩天轮”上对称站着质量均为m的8位同学,如图所示,“摩天轮”在竖直平面内逆时针匀速转动,若某时刻转到顶点a上的甲同学让一小重物做自由落体运动,并立即通知下面的同学接住,结果重物掉落时正处在c处(如图所示)的乙同学恰好在第一次到达最低点b处时接到.已知“摩天轮”半径为R,重力加速度为g,不计人和吊篮的大小及小重物的质量.求:
(1)接住前小重物下落的时间t;
[答案] 2
[解析]由2R=gt2，解得t=2.
备 用 习 题
[答案] π
[解析]由圆周运动的规律知v=由几何关系得s=
联立解得v=π.
4. 游乐园的小型“摩天轮”上对称站着质量均为m的8位同学,如图所示,“摩天轮”在竖直平面内逆时针匀速转动,若某时刻转到顶点a上的甲同学让一小重物做自由落体运动,并立即通知下面的同学接住,结果重物掉落时正处在c处(如图所示)的乙同学恰好在第一次到达最低点b处时接到.已知“摩天轮”半径为R,重力加速度为g,不计人和吊篮的大小及小重物的质量.求:
(2)人和吊篮随“摩天轮”运动的线速度大小v;
备 用 习 题
[答案] mg,方向竖直向下
[解析] 由牛顿第二定律得F'-mg=m解得F'=mg
由牛顿第三定律可知,乙同学在最低点处对吊篮的压力F=mg,方向竖直向下.
4. 游乐园的小型“摩天轮”上对称站着质量均为m的8位同学,如图所示,“摩天轮”在竖直平面内逆时针匀速转动,若某时刻转到顶点a上的甲同学让一小重物做自由落体运动,并立即通知下面的同学接住,结果重物掉落时正处在c处(如图所示)的乙同学恰好在第一次到达最低点b处时接到.已知“摩天轮”半径为R,重力加速度为g,不计人和吊篮的大小及小重物的质量.求:
(3)乙同学在最低点处对吊篮的压力F.
1.(“绳—球”模型问题)如图所示，长为的轻绳一端系一质量为的小球，另一端固定于点，当绳竖直时小球静止.现给小球一水平初速度，使小球在竖直平面内做圆周运动，且刚好能过最高点，重力加速度为，则( )
D
A.小球过最高点时，速度可能为零 B.小球过最高点时，绳的拉力为
C.开始运动时，绳的拉力为 D.小球过最高点时，速度大小为
[解析] 小球刚好越过最高点，可知，根据牛顿第二定律得，解得，故A、B错误，D正确.开始运动时，根据牛顿第二定律得，解得，故C错误.
2.(“杆—球”模型问题)[2024·湖南浏阳一中月考] 如图所示，一个内壁光滑的弯管处于竖直平面内，其中管道半径为(重力加速度为).现有一个半径
D
A.若，则小球对管内壁无压力
B.若，则小球对管内上壁有压力
C.若，则小球对管内下壁有压力
D.不论为多大，小球对管内下壁都有压力
略小于弯管横截面半径的光滑小球在弯管里运动，当小球通过最高点时速率为，下列说法中错误的是( )
[解析] 小球到达管道的最高点时,假设小球恰好与管壁无作用力，则小球仅受重力,由重力提供向心力,有，解得，选项A正确.若,则小球到达最高点时有离心的趋势，与管内上壁接触,从而受到管内上壁向下的压力，所以小球对管内上壁有压力，选项B正确.若,则小球到达最高点时有向心的趋势，与管内下壁接触,从而对管内下壁有压力，选项C正确，D错误.
3.(“绳—球”模型问题)如图所示，质量为的小桶里盛有的水，用绳子系住小桶在竖直平面内做“水流星”表演，为使小桶经过最高点时水不流出，在最高点时最小速度是，取.若小桶经过最高点时的速度为，求：
(1) 在最高点时，绳的拉力大小；
[答案]
[解析] 在最高点时，对整体受力分析可知，当速度最小时，有,解得,当速度为时，有,解得
(2) 在最高点时水对小桶底的压力大小.
[答案]
[解析] 对水在最高点受力分析，可得,解得,由牛顿第三定律可知，在最高点时水对小桶底的压力大小为.
知识点一 “绳—球”模型问题
1.不可伸长的轻绳一端系有一小球，另一端固定在光滑的转轴上，现给球一初速度，使球和轻绳一起绕轴在竖直面内转动，不计空气阻力.关于球过最高点时轻绳对球的作用力，下列说法正确的是( )
D
A.可能是拉力，也可能是推力 B.一定是拉力
C.一定等于0 D.可能是拉力，也可能等于0
[解析] 球过最高点时轻绳对小球的作用力可能是拉力，不可能是推力，当满足，即时，轻绳的拉力为零，当时，轻绳的拉力不为零，故D正确.
2.[2024·浙江绍兴一中月考] 如图所示为飞车节目，在竖直平面内有半径为的圆轨道，表演者骑摩托车在圆轨道内做圆周运动.已知人和摩托车的总质量为，以为重力加速度)的速度通过轨道最高点，则此时轨道对车的作用力为( )
A
A.、方向竖直向下 B.、方向竖直向上
C.、方向竖直向下 D.、方向竖直向上
[解析] 人和摩托车通过最高点时，对整体受力分析，重力和轨道对整体支持力合力提供向心力，根据牛顿第二定律有，解得，方向竖直向下.故选A.
知识点二 “杆—球”模型问题
3.如图所示，轻杆一端固定在水平转轴上，另一端固定一个小球，轻杆随转轴在竖直平面内做圆周运动，当小球运动至最高点时，轻杆对小球的作用力( )
C
A.方向一定竖直向上 B.方向一定竖直向下 C.大小可能为0 D.大小不可能为0
[解析] 设杆长为，当重力刚好提供小球做圆周运动所需的向心力时，杆对小球无作用力，此时有，解得，当时，杆对小球提供拉力，当时，杆对小球提供支持力，故C正确，A、B、D错误.
4.[2024·山西大同一中月考] 如图所示，半径为、内径很小的光滑半圆管竖直放置.两个质量均为的小球、以不同的速度进入管内，重力加速度为，通过最高点时，对管壁上部的压力为，通过最高点
B
A. B. C. D.
时，对管壁下部的压力为，则、两小球通过点的速度大小之比为( )
[解析] 由题意可知，球通过最高点A时受到竖直向下的重力和上管壁施加的竖直向下的弹力，，由圆周运动向心力公式可得，解得，球经过最高点A时，受到竖直向
下的重力和下管壁施加的竖直向上的支持力，，由圆周运动向心力公式可得，解得，所以、两小球通过A点的速度大小之比为，故B正确.
5.[2024·北京四中月考] “单臂大回环”是一种高难度体操动作，如图甲所示，运动员用一只手抓住单杠，伸展身体，以单杠为轴在竖直平面内做圆周运动.当运动员以不同的速度通过最高点时，手受到单杠的拉力也不同，其图像如图乙所示.重力加速度取.则( )
C
A.运动员的重心到单杠的距离为1.2m B.运动员的重心到单杠的距离为
C.运动员的质量为 D.运动员的质量为
[解析] 根据图乙可知，当时，，重力提供向心力，设运动员的重心到单杠的距离为，根据牛顿第二定律得，代入数据解得，A、B均错误；根据图乙可知，当时，，则，解得，D错误，C正确.
6.[2024·广东珠海期中] 如图所示，一长的轻杆一端固定在水平转轴上，另一端固定一质量的小球.轻杆随转轴在竖直平面内做顺时针的匀速圆周运动，角速度，重力加速度取.则：
(1) 小球运动到最高点时，求小球加速度的大小；
[答案]
[解析] 依题意，可得最高点时，小球加速度的大小为
(2) 小球运动到水平位置时，求杆对球的作用力的大小；
[答案]
[解析] 在水平位置时，小球重力及杆对小球的作用力的合力提供小球做匀速圆周运动的向心力，则可得
(3) 小球运动到最低点与最高点时，求杆对小球的作用力、的大小之差.
[答案]
[解析] 最高点时，根据牛顿第二定律有
代入数据求得
最低点时，根据牛顿第二定律有
求得
故杆对小球的作用力、的大小之差为
7.[2024·广东广州一中期中] 如图所示，一同学表演荡秋千.已知秋千的两根绳长均为，该同学和秋千踏板的总质量约为.绳的质量忽略不计，当该同学荡到秋千支架的正下方时，速度大小为，此时两根绳子承受的拉力约为( )
D
A. B. C. D.
[解析] 由题意可知，该同学荡到秋千做的是圆周运动，运动到圆周的最低点时，该同学和秋千踏板看成整体，整体受重力和两根绳子的共同作用力，由牛顿第二定律可得，代入数据解得，由牛顿第三定律可知，此时两根绳子承受的拉力约为，故选D.
8.[2024·北大附中月考] 如图所示，在竖直平面内有一半径为的半圆形轨道，最高点为点.现让一小滑块(可视为质点)从水平地面上向半圆形轨道运动，重力加速度为,小滑块通过点时的速度为.下列关于小滑块运动情况的分析正确的是( )
D
A.若小滑块恰能通过点，则离开点后做自由落体运动
B.若，则小滑块能通过点，且离开点后做平抛运动
C.若，则小滑块恰能到达点，且离开点后做自由落体运动
D.若，则小滑块恰能到达点，且离开点后做平抛运动
[解析] 滑块恰好通过最高点时，由重力完全提供向心力，有，解得，所以滑块离开点后做平抛运动，故D正确，A、B、C错误.
9.如图甲所示，轻杆一端固定在点，另一端固定一个小球，让小球在竖直平面内做半径为的圆周运动.小球运动到最高点时，杆与小球间弹力大小为，小球在最高点的速度大小为，其图像如图乙所示.下列说法错误的是( )
B
A.小球的质量为
B.当地的重力加速度大小为
C.时，小球对杆的弹力方向向上
D.时，小球受到的弹力与重力大小相等
[解析] 由乙图知，当小球的速度为零时，小球受到的弹力为，则小球重力；当弹力为零时，小球的向心力完全由重力提供，对小球有，代入数据解得，故A项正确.小球重力，质量为
，所以当地重力加速度为，即B项错误.当时，重力不足以提供小球所需的向心力，杆需要对小球提供竖直向下的弹力，根据牛顿第三定律可知，小球对杆的弹力方向向上，即C项正确.时，对小球有,将，和代入方程可以解得，即D项正确.
10.[2024·东北育才中学月考] 如图所示，一内壁光滑、质量为、半径为的环形细圆管固定在一个质量为的长方体基座上.一质量为的小球(可看成质点)在管内做完整的圆
(1) 当小球以速率经过最低点时，地面对长方体的支持力为多大？
[答案]
周运动，长方体基座与地面不粘连，且始终相对地面静止.重力加速度取.
[解析] 当小球经过最低点时，设小球受到圆管的支持力为，小球对圆管的压力为，地面对长方体的支持力大小为，小球的向心力为
由牛顿第三定律可知
地面对长方体的支持力大小
联立解得
(2) 当小球经过最高点时，若长方体对地面的压力恰好为零，则此时小球的速率为多大？
[答案]
[解析] 当小球经过最高点时，小球对圆管的压力为，圆管对小球的
弹力为，根据题意得
根据牛顿第三定律可知
要使长方体对地面的压力恰好为零，则
联立解得
11.如图所示，一倾斜的匀质圆盘绕垂直于盘面的固定对称轴以恒定角速度 转动，盘面与水平面的夹角为 ，盘面上离转轴距离为处有一质量的小物体，小物体与圆盘始终保持相对静止，且小物体在最低点时受到的摩擦力大小为.若重力加速度取，，则下列说法正确的是( )
B
A.小物体做匀速圆周运动线速度的大小为
B.小物体受到合力的大小始终为
C.小物体在最高点受到摩擦力大小为，方向沿盘面指向转轴
D.小物体在最高点受到摩擦力大小为，方向沿盘面背离转轴
[解析] 在最低点对小物体受力分析，有重力、支持力和摩擦力.将重力沿着盘面和垂直于盘面分解.由题意可知，小物体做匀速圆周运动，则小物体所受合力提供向心力，即，解得，所以A错误；由A选项分析可知，小物体所受合力
为，所以B正确；因为小物体做匀速圆周运动，所以小物体在圆轨道任意位置时，所受合力的大小都是相等的，即在最高点，小物体所受合力为，受力分析，可得重力沿盘面向下的分力为，由于，所以可知，此时小物体所受摩擦力方向沿盘面指向转轴，大小为，所以C、D错误.专题课:竖直平面内的圆周运动问题
例1 (1)2 m/s (2)15 N (3)4 m/s
[解析] (1)在最高点,对小球受力分析如图甲所示,由牛顿第二定律得mg+F1=m
由于轻绳对小球只能提供指向圆心的拉力,即F1不可能取负值,故有F1≥0
联立解得v1≥=2 m/s
所以,小球要做完整的圆周运动,在最高点的速度至少为2 m/s.
(2)当v2=4 m/s时,F2=m-mg=15 N.
(3)由分析可知,小球在最低点时轻绳张力最大,对小球受力分析如图乙所示,由牛顿第二定律得F3-mg=m
因F3≤45 N,解得v3≤4 m/s
即小球在最低点的速度不能超过4 m/s.
变式1 BCD [解析] 小球经过圆轨道最高点时刚好不脱离圆轨道,则小球与圆轨道间无弹力,重力刚好提供向心力,即Fn=mg=m=man,所以v=,an=g.
例2 D [解析] 以竖直向下为正方向,设此时轻杆对小球的弹力为F,根据牛顿第二定律得F+mg=m,解得F=-2 N,负号表示弹力方向竖直向上,即受到2 N的支持力,选项D正确.
变式2 AC [解析] 小球在最高点时,外壁和内壁都可以对小球产生弹力作用,当小球的速度等于0时,小球处于受力平衡状态,此时内壁对小球产生竖直向上的弹力,大小为mg,故最小速度为0,所以小球通过最高点的速度只要大于零就可以完成圆周运动,故A正确;当小球通过管道最高点时,如果完全由重力提供向心力,则管道对小球没有弹力,此时mg=m,解得v=,即当小球到达最高点时的速度大小为时,小球对管道无压力,故B错误;当小球到达管道最低点时,对小球受力分析可知,小球受到管道竖直向上的弹力FN和竖直向下的重力mg,由牛顿第二定律得FN-mg=m,解得FN=mg+m>mg,根据牛顿第三定律可知,小球对管道的压力一定大于自身重力,故C正确;小球在水平线ab以上管道中运动时,加速度在竖直方向的分量向下,所以小球处于失重状态,故D错误.
随堂巩固
1.D [解析] 小球刚好越过最高点,可知FT=0,根据牛顿第二定律得mg=m,解得v=,故A、B错误,D正确.开始运动时,根据牛顿第二定律得FT-mg=m,解得FT=mg+m,故C错误.
2.D [解析] 小球到达管道的最高点时,假设小球恰好与管壁无作用力,则小球仅受重力,由重力提供向心力,有mg=m,解得v0=,选项A正确.若v0>,则小球到达最高点时有离心的趋势,与管内上壁接触,从而受到管内上壁向下的压力,所以小球对管内上壁有压力,选项B正确.若03.(1)45 N (2)30 N
[解析] (1)在最高点时,对整体受力分析可知,当速度最小时,有M总g=M总,解得R=0.9 m,当速度为6 m/s时,有(M+m)g+F=(M+m),解得F=45 N
(2)对水在最高点受力分析,可得mg+FN=m,解得FN=30 N,由牛顿第三定律可知,在最高点时水对小桶底的压力大小为30 N.专题课:竖直平面内的圆周运动问题
1.D [解析] 球过最高点时轻绳对小球的作用力可能是拉力,不可能是推力,当满足mg=m,即v=时,轻绳的拉力为零,当v>时,轻绳的拉力不为零,故D正确.
2.A [解析] 人和摩托车通过最高点时,对整体受力分析,重力和轨道对整体支持力合力提供向心力,根据牛顿第二定律有F+mg=m,解得F =mg,方向竖直向下.故选A.
3.C [解析] 设杆长为R,当重力刚好提供小球做圆周运动所需的向心力时,杆对小球无作用力,此时有mg=m,解得v=,当v>时,杆对小球提供拉力,当v<时,杆对小球提供支持力,故C正确,A、B、D错误.
4.B [解析] 由题意可知,a球通过最高点A时受到竖直向下的重力mg和上管壁施加的竖直向下的弹力FNa,FNa=3mg,由圆周运动向心力公式可得mg+FNa=m,解得va=2,b球经过最高点A时,受到竖直向下的重力mg和下管壁施加的竖直向上的支持力FNb,FNb=0.75mg,由圆周运动向心力公式可得mg-FNb=m,解得vb=,所以a、b两小球通过A点的速度大小之比为va∶vb=4∶1,故B正确.
5.C [解析] 根据图乙可知,当v2=10 m2/s2时,F=0,重力提供向心力,设运动员的重心到单杠的距离为r,根据牛顿第二定律得mg=m,代入数据解得r=1.0 m,A、B均错误;根据图乙可知,当v2=20 m2/s2时,F=500 N,则F+mg=m,解得m=50 kg,D错误,C正确.
6.(1)25 m/s2 (2)5 N (3)20 N
[解析] (1)依题意,可得最高点A时,小球加速度a的大小为a=lω2=1×52 m/s2=25 m/s2
(2)在水平位置B时,小球重力及杆对小球的作用力的合力提供小球做匀速圆周运动的向心力,则可得
FB== N=5 N
(3)最高点A时,根据牛顿第二定律有
mg+FA=ma
代入数据求得FA=15 N
最低点C时,根据牛顿第二定律有FC-mg=ma
求得FC=35 N
故杆对小球的作用力FC、FA的大小之差为
ΔF=FC-FA=20 N
7.D [解析] 由题意可知,该同学荡到秋千做的是圆周运动,运动到圆周的最低点时,该同学和秋千踏板看成整体,整体受重力mg和两根绳子的共同作用力F,由牛顿第二定律可得F-mg=m,代入数据解得F=820 N,由牛顿第三定律可知,此时两根绳子承受的拉力约为800 N,故选D.
8.D [解析] 滑块恰好通过最高点P时,由重力完全提供向心力,有mg=m,解得vP=,所以滑块离开P点后做平抛运动,故D正确,A、B、C错误.
9.B [解析] 由乙图知,当小球的速度为零时,小球受到的弹力为F=a,则小球重力G=a;当弹力为零时,小球的向心力完全由重力提供,对小球有F向=G=,代入数据解得m=,故A项正确.小球重力G=a,质量为m=,所以当地重力加速度为g=,即B项错误.当v2=c>b时,重力不足以提供小球所需的向心力,杆需要对小球提供竖直向下的弹力,根据牛顿第三定律可知,小球对杆的弹力方向向上,即C项正确.v2=2b时,对小球有F向=G+F=,将G=a,m=和v2=2b代入方程可以解得F=G,即D项正确.
10.(1)18 N (2)2 m/s
[解析] (1)当小球经过最低点时,设小球受到圆管的支持力为FN1,小球对圆管的压力为FN1',地面对长方体的支持力大小为F支,小球的向心力为m2=FN1-m2g
由牛顿第三定律可知FN1'=FN1=m2+m2g
地面对长方体的支持力大小F支=FN1'+Mg+m1g
联立解得F支=18 N
(2) 当小球经过最高点时,小球对圆管的压力为FN2',圆管对小球的弹力为FN2,根据题意得m2=FN2+m2g
根据牛顿第三定律可知FN2'=FN2=m2-m2g
要使长方体对地面的压力恰好为零,则FN2'=Mg+m1g
联立解得v2=2 m/s
11.B [解析] 在最低点对小物体受力分析,有重力、支持力和摩擦力.将重力沿着盘面和垂直于盘面分解.由题意可知,小物体做匀速圆周运动,则小物体所受合力提供向心力,即Ff-mgsin 15°=m,解得v=2 m/s,所以A错误;由A选项分析可知,小物体所受合力为F合=Ff-mgsin 15°=4 N,所以B正确;因为小物体做匀速圆周运动,所以小物体在圆轨道任意位置时,所受合力的大小都是相等的,即在最高点,小物体所受合力为4 N,受力分析,可得重力沿盘面向下的分力为G1=mgsin 15°=2.6 N,由于G1学习任务一 “绳—球”模型问题分析
[模型建构] 对“绳—球”模型问题的分析,应注意动力学分析和临界状态分析,相关结论如下表所示:
“绳—球”模型
过最高点的临 界条件 由mg=m得v临=
讨论分析 (1)能过最高点时,v≥,FN+mg=m,绳、轨道对球的弹力FN≥0; (2)不能过最高点时,v<,在到达最高点前小球已经脱离了圆轨道
在最高点的 FN-v2图线 取竖直向下为正方向
例1 如图所示,质量为0.5 kg的小球用长为0.4 m的轻绳拴着在竖直平面内做圆周运动.(g取10 m/s2)
(1)小球要做完整的圆周运动,在最高点的速度至少为多大
(2)当小球在最高点的速度为4 m/s时,轻绳拉力为多大
(3)若轻绳能承受的最大张力为45 N,则小球在最低点的速度不能超过多少
变式1 (多选)[2024·辽宁大连二十四中月考] 如图所示,质量为m的小球在竖直平面内固定的光滑圆轨道上做圆周运动,圆轨道的半径为R,重力加速度为g.若小球经过圆轨道最高点时刚好不脱离圆轨道,则此时 ( )
A.小球对圆轨道的压力等于mg
B.小球受到的向心力等于mg
C.小球的线速度等于
D.小球的向心加速度等于g
【要点总结】
“绳—球”模型中圆周运动的分析方法
(1)明确运动的模型,即轻绳或光滑轨道对小球提供的弹力始终指向圆心.
(2)明确物体的临界状态,即在最高点时物体具有最小速度时的受力特点.
(3)分析物体在最高点及最低点的受力情况,根据牛顿第二定律列式求解.
学习任务二 “杆—球”模型问题分析
[模型建构] 对“杆—球”模型问题的分析,应注意动力学分析和临界状态分析,相关结论如下表所示:
“杆—球”模型
过最高点的临 界条件 v临=0
讨论分析 (1)当v=0时,FN=mg,FN为支持力,沿半径背离圆心; (2)当0讨论分析 (4)当v>时,mg+FN=m,FN指向圆心,随v的增大而增大
在最高点的 FN-v2图线 取竖直向下为正方向
例2 长为1 m的轻杆OA的A端有一质量为2 kg的小球,以O点为圆心,在竖直平面内做圆周运动,如图所示,小球通过最高点时的速度为3 m/s,g取10 m/s2,则此时小球将( )
A.受到18 N的拉力
B.受到38 N的支持力
C.受到2 N的拉力
D.受到2 N的支持力
[反思感悟]
变式2 (多选)[2024·山东济南一中期中] 如图所示,小球可以在竖直放置的光滑圆形管道(圆形管道内径略大于小球直径)内做圆周运动,下列说法正确的是 ( )
A.小球通过最高点的速度只要大于零即可完成圆周运动
B.小球通过管道最高点时对管道一定有压力
C.小球通过管道最低点时对管道的压力一定大于自身重力
D.小球在水平线ab以上管道中运动时处于超重状态
【要点总结】
“杆—球”模型中圆周运动的分析方法
(1)明确运动模型,即轻杆或光滑管道对小球可以提供支持力或拉力(压力).
(2)明确物体的临界状态,即在最高点时物体具有的最小速度为0.
(3)分析物体在最高点及最低点的受力情况,根据牛顿第二定律列式求解.
1.(“绳—球”模型问题)如图所示,长为L的轻绳一端系一质量为m的小球A,另一端固定于O点,当绳竖直时小球静止.现给小球一水平初速度v0,使小球在竖直平面内做圆周运动,且刚好能过最高点,重力加速度为g,则 ( )
A.小球过最高点时,速度可能为零
B.小球过最高点时,绳的拉力为mg
C.开始运动时,绳的拉力为m
D.小球过最高点时,速度大小为
2.(“杆—球”模型问题)[2024·湖南浏阳一中月考] 如图所示,一个内壁光滑的弯管处于竖直平面内,其中管道半径为R(重力加速度为g).现有一个半径略小于弯管横截面半径的光滑小球在弯管里运动,当小球通过最高点时速率为v0,下列说法中错误的是( )
A.若v0=,则小球对管内壁无压力
B.若v0>,则小球对管内上壁有压力
C.若0D.不论v0为多大,小球对管内下壁都有压力
3.(“绳—球”模型问题)如图所示,质量为M=0.5 kg的小桶里盛有m=1 kg的水,用绳子系住小桶在竖直平面内做“水流星”表演,为使小桶经过最高点时水不流出,在最高点时最小速度是3 m/s,g取10 m/s2.若小桶经过最高点时的速度为6 m/s,求:
(1)在最高点时,绳的拉力大小;
(2)在最高点时水对小桶底的压力大小.专题课:竖直平面内的圆周运动问题建议用时:40分钟
◆ 知识点一 “绳—球”模型问题
1.不可伸长的轻绳一端系有一小球,另一端固定在光滑的转轴O上,现给球一初速度,使球和轻绳一起绕轴在竖直面内转动,不计空气阻力.关于球过最高点时轻绳对球的作用力,下列说法正确的是 ( )
A.可能是拉力,也可能是推力
B.一定是拉力
C.一定等于0
D.可能是拉力,也可能等于0
2.[2024·浙江绍兴一中月考] 如图所示为飞车节目,在竖直平面内有半径为R的圆轨道,表演者骑摩托车在圆轨道内做圆周运动.已知人和摩托车的总质量为m,以v=(g为重力加速度)的速度通过轨道最高点,则此时轨道对车的作用力F为 ( )
A. mg、方向竖直向下
B.mg、方向竖直向上
C.3mg、方向竖直向下
D.3mg、方向竖直向上
◆ 知识点二 “杆—球”模型问题
3.如图所示,轻杆一端固定在水平转轴O上,另一端固定一个小球,轻杆随转轴在竖直平面内做圆周运动,当小球运动至最高点时,轻杆对小球的作用力( )
A.方向一定竖直向上
B.方向一定竖直向下
C.大小可能为0
D.大小不可能为0
4.[2024·山西大同一中月考] 如图所示,半径为R、内径很小的光滑半圆管竖直放置.两个质量均为m的小球a、b以不同的速度进入管内,重力加速度为g,a通过最高点A时,对管壁上部的压力为3mg,b通过最高点A时,对管壁下部的压力为0.75mg,则a、b两小球通过A点的速度大小之比为 ( )
A. 1∶4 B. 4∶1
C. 1∶16 D. 16∶1
5.[2024·北京四中月考] “单臂大回环”是一种高难度体操动作,如图甲所示,运动员用一只手抓住单杠,伸展身体,以单杠为轴在竖直平面内做圆周运动.当运动员以不同的速度v通过最高点时,手受到单杠的拉力F也不同,其F-v2图像如图乙所示.重力加速度g取10 m/s2.则 ( )
A.运动员的重心到单杠的距离为1.2 m
B.运动员的重心到单杠的距离为1.8 m
C.运动员的质量为50 kg
D.运动员的质量为75 kg
6.[2024·广东珠海期中] 如图所示,一长l=1 m的轻杆一端固定在水平转轴上,另一端固定一质量m=1 kg的小球.轻杆随转轴O在竖直平面内做顺时针的匀速圆周运动,角速度ω=5 rad/s,重力加速度g取10 m/s2.则:
(1)小球运动到最高点A时,求小球加速度a的大小;
(2)小球运动到水平位置B时,求杆对球的作用力FB的大小;
(3)小球运动到最低点C与最高点A时,求杆对小球的作用力FC、FA的大小之差.
7.[2024·广东广州一中期中] 如图所示,一同学表演荡秋千.已知秋千的两根绳长均为10 m,该同学和秋千踏板的总质量约为50 kg.绳的质量忽略不计,当该同学荡到秋千支架的正下方时,速度大小为8 m/s,此时两根绳子承受的拉力约为( )
A.200 N
B.410 N
C.600 N
D.800 N
8.[2024·北大附中月考] 如图所示,在竖直平面内有一半径为R的半圆形轨道,最高点为P点.现让一小滑块(可视为质点)从水平地面上向半圆形轨道运动,重力加速度为g,小滑块通过P点时的速度为vP.下列关于小滑块运动情况的分析正确的是( )
A.若小滑块恰能通过P点,则离开P点后做自由落体运动
B.若vP>0,则小滑块能通过P点,且离开P点后做平抛运动
C.若vP=,则小滑块恰能到达P点,且离开P点后做自由落体运动
D.若vP=,则小滑块恰能到达P点,且离开P点后做平抛运动
9.如图甲所示,轻杆一端固定在O点,另一端固定一个小球,让小球在竖直平面内做半径为R的圆周运动.小球运动到最高点时,杆与小球间弹力大小为F,小球在最高点的速度大小为v,其F-v2图像如图乙所示.下列说法错误的是 ( )
A.小球的质量为
B.当地的重力加速度大小为
C.v2=c时,小球对杆的弹力方向向上
D.v2=2b时,小球受到的弹力与重力大小相等
10.[2024·东北育才中学月考] 如图所示,一内壁光滑、质量为m1=0.1 kg、半径为R=0.1 m的环形细圆管固定在一个质量为M=0.5 kg的长方体基座上.一质量为m2=0.2 kg的小球(可看成质点)在管内做完整的圆周运动,长方体基座与地面不粘连,且始终相对地面静止.重力加速度g取10 m/s2.
(1)当小球以速率v1= m/s经过最低点时,地面对长方体的支持力为多大
(2)当小球经过最高点时,若长方体对地面的压力恰好为零,则此时小球的速率v2为多大
11.如图所示,一倾斜的匀质圆盘绕垂直于盘面的固定对称轴以恒定角速度ω转动,盘面与水平面的夹角为15°,盘面上离转轴距离为r=1 m处有一质量m=1 kg的小物体,小物体与圆盘始终保持相对静止,且小物体在最低点时受到的摩擦力大小为6.6 N.若重力加速度g取10 m/s2,sin 15°=0.26,则下列说法正确的是 ( )
A.小物体做匀速圆周运动线速度的大小为 m/s
B.小物体受到合力的大小始终为4 N
C.小物体在最高点受到摩擦力大小为0.4 N,方向沿盘面指向转轴
D.小物体在最高点受到摩擦力大小为1.4 N,方向沿盘面背离转轴
