第二十一章 一元二次方程 练习（含解析） 2025-2026学年人教版九年级数学上册

第二十一章 一元二次方程 练习
一、单选题
1．下列方程中，有两个相等实数根的是（ ）
A． B． C． D．
2．某商品连续两次涨价，由每件100元涨为每件144元，平均每次上涨的百分比为（ ）
A． B． C． D．
3．已知是一元二次方程的两个实数根，则（ ）
A．3 B． C． D．2
4．关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是（ ）
A． B．
C．且 D．且
5．方程经过配方法化为的形式，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．已知，是关于的一元二次方程的两个实数解，若，则的值为（ ）
A． B．7 C．或7 D．或7
7．小多和小晓一起解方程组（a、b为常数），小多看错了上面一个方程，得到方程组的解，小晓看错了下面一个方程，得到方程组的解，则一元二次方程的解是（ ）
A． B． C． D．
8．对于实数a，b定义运算“”为，例如，则关于x的方程的根的情况，下列说法正确的是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．无法确定
9．如图是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为40米，宽为19米，停车场内车道的宽度都相等．停车位的占地面积为352平方米．设停车场内车道的宽度为x米，根据题意，下列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．关于x的一元二次方程的两个根为，，且．下列说法正确的是（ ）
；；；关于x的一元二次方程的两个根为，．
A． B． C． D．
二、填空题
11．方程的解为 ．
12．关于的方程的解是（为常数，），则方程的解是 ．
13．“杂交水稻之父”袁隆平和他的团队探索培育的“海水稻”在某试验田的产量逐年增加，年平均亩产量约公斤，年平均亩产量约公斤，则平均亩产量的年平均增长率为 ，则可列方程为 ．
14．已知方程可以配方成的形式，那么可以配方成 ．
15．若数使关于的不等式组有且只有四个整数解，且使关于的一元二次方程有实数根，则符合条件的所有整数的和为 ．
三、解答题
16．解关于x的方程：
(1)；
(2)．
17．2024年第33届夏季奥运会在法国巴黎举行，中国运动健儿们取得了40金27银24铜的好成绩，向全世界展现了中国拼搏向上的民族精神．除此之外还值得我们骄傲的是“中国制造”在巴黎奥运会大放异彩，其中的奥运相关设备、器材、纪念品、吉祥物都是由中国企业生产，并授权奥运会的吉祥物“弗里热”从6月份开始在中国销售．某商店以每个35元的价格购进一款“弗里热”钥匙扣，以每个58元的价格出售．经统计：6月份的销售量为256个，8月份的销售量为400个．
(1)求该款钥匙扣从6月份到8月份销售量的月平均增长率；
(2)从9月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，试销了一段时间后，发现该款吉祥物的月销售量（个）与每个钥匙扣降价（元）之间满足一次函数关系，且部分数据如表所示．
/元 3 6
/个 460 520
若商店希望每月销售这款钥匙扣所获得的利润是8400元．则每个钥匙扣应降价多少元？
18．已知：关于的方程．
(1)若方程总有两个实数根，求的取值范围；
(2)若该方程的一个根为3，求的值及该方程的另一根．
19．某公司展销如图所示的长方形工艺品，该工艺品长，宽，中间镶有宽度相同的三条丝绸花边．
(1)若除丝绸花边外白色部分的面积为，求丝绸花边的宽度；
(2)已知该工艺品的成本是40元/件，如果以单价100元/件销售，那么每天可售出200件，另外每天除工艺品的成本外还需支付各种费用2000元．根据销售经验，如果将销售单价降低1元，每天可多售出20件，请问该公司把单价降低多少元时，当日所获利润为10000元．
20．如图①，直角三角形较长的直角边长为，较短的直角边长为，斜边长为，利用图①可以拼出图②和图③．
(1)“赵爽弦图”巧妙的利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图②所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形．根据图形，我们可以得到等式：___________，___________，___________．
(2)如图③，将八个全等的直角三角形紧密地拼接，记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为，已知，
①求出的值；
②求证：关于的方程必有两个不相等的实根；
③若第②问中的方程有一根是4，求出方程的另一个根．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C D D C A A A A A B
1．C
【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．分别计算四个方程的根的判别式，然后根据判别式的意义判断根的情况．
【详解】解：A、∵，∴方程有两个不相等的实数根，不合题意；
B、∵，∴方程有两个不相等的实数根，不合题意；
C、∵，∴方程有两个相等的实数根，符合题意；
D、∵，∴方程有两个不相等的实数根，不合题意．
故选：C．
2．D
【分析】本题主要考查一元二次方程的实际运用，掌握直接开方法解一元二次方程，增长率的计算方法是解题的关键．设平均每次上涨的百分比为x，根据增长率的计算方法列方程即可求解．
【详解】解：设平均每次上涨的百分比为x，
依题意得，，
解得（负值已舍去），
即平均每次上涨的百分比为，
故选：D．
3．D
【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键；根据一元二次方程根与系数的关系“”进行求解即可．
【详解】解：∵是一元二次方程的两个实数根，
∴；
故选D．
4．C
【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式．一元二次方程根的判别式．一元二次方程有两个不相等的实数根，；一元二次方程有两个相等的实数根，；一元二次方程没有实数根，．熟练掌握是解决问题的关键．
根据方程有两个实数根，求解，且即可得到答案．
【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个实数根，
∴，
∴，
又．
∴，且．
故选：C．
5．A
【分析】本题考查了利用配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法是解题关键．先将方程变形为，再两边同时加上1，利用完全平方公式进行配方即可得．
【详解】解：，
，
，
，
故选：A．
6．A
【分析】本题主要考查根与系数的关系及根的判别式，掌握两根之和、两根之积与方程系数的关系是解题的关键．
由根与系数的关系可用表示出两根之和与两根之积，代入已知条件可得到关于的方程，即可求得的值．由方程根的情况，根据判别式可求得符合要求的；
【详解】解：∵方程的两个实数根分别为和，
，
，
，
或，
∵关于的一元二次方程有两个实数根，
，
当时，，不符合要求，
，
故选：A．
7．A
【分析】本题考查了二元一次方程组的错解问题、解一元二次方程，熟练掌握方程组和方程的解法是解题关键．先根据题意可得是方程的解，是方程的解，代入可得一个关于的方程组，解方程组可得的值，再代入一元二次方程，利用直接开平方法解方程即可得．
【详解】解：由题意得：是方程的解，是方程的解，
∴，
解得，
∴一元二次方程可化为，
解得，
故选：A．
8．A
【分析】本题考查了定义新运算，一元二次方程根的判别式，先根据新定义把方程化为一元二次方程，再根据根的判别式的值得到，进而得到，然后根据根的判别式的意义进行判断即可．
【详解】解：关于x的方程化为：，
整理得，
∵
，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：A．
9．A
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，由题意可得停车位可合成长为米，宽为米的长方形，即可列出关于的一元二次方程，理解题意是解此题的关键．
【详解】解：∵停车场的长为40米，宽为19米，且停车场内车道的宽度为x米，
∴停车位可合成长为米，宽为米的长方形，
∴由题意可得：，
故选：A．
10．B
【分析】此题考查了根与系数的关系与根的判别式；根据根与系数的关系得，利用消去得到，从而即可对①进行判断；由于，，利用有理数的性质可对②进行判断；根据根的判别式的意义得到，即，则可对③进行判断；利用把方程化为，由于方程可变形为，所以或，于是可对④进行判断．
【详解】解：根据根与系数的关系得，
∵，
∴，
∴，所以①正确；
∵，，
∴，，所以②正确；
∵，
∴，
即，
∴，所以③错误；
∵，
∴方程化为，
即，
∵方程可变形为，
∴或，
解得，，所以④正确．
综上所述，正确的有①②④
故选：B．
11．，
【分析】本题考查解一元二次方程，将方程转化为或，即可求解．
【详解】解：，
∴或，
解得，．
故答案为：，．
12．
【分析】本题考查了利用换元法解一元二次方程，熟练掌握换元法是解题关键．令，则方程可转化为，则可得关于的方程的解是，由此即可得．
【详解】解：令，则方程可转化为，
∵关于的方程的解是（为常数，），
∴关于的方程的解是，
∴或，
∴或，
∴方程的解是，
故答案为：．
13．
【分析】本题考查一元二次方程的实际应用．
根据增长率的实际意义，以年平均亩产量建立等量关系，列方程即可．
【详解】解：根据题意可得
故答案为：．
14．
【分析】此题考查了配方法的应用，利用配方法，首先移项，二次项系数化为1，再给等式两边同时加上一次项系数一半的平方，于是可将配方成，结合已知条件，求出p和q的值，进而即可求解．
【详解】解：，
，
，
∴，
∵方程可以配方成的形式，
∴，，
∴，
∴为，
∴，
配方，得，即，
故答案为： ．
15．0
【分析】本题考查了一元一次不等式组的整数解，一元二次方程的判别式．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．先求得不等式组的解集为；由不等式有且只有四个整数解，则，解得，那么可以为，，，，然后根据一元二次方程的判别式进行判断即可．
【详解】解：，
解①得，，
解②得，，
；
不等式组有且仅有四个整数解，
，
解得：；
关于的一元二次方程有实数根，
，，
，；
为整数，且，
可以是，，，
则符合条件的所有整数的和为；
故答案为：0．
16．(1)
(2)
【分析】本题主要考查了解一元二次方程，灵活运用公式法和因式分解法解一元二次方程是解题的关键．
（1）直接运用公式法解一元二次方程即可；
（2）先移项，然后再运用因式分解法求解即可．
【详解】（1）解：，
，
，
∴，
∴．
（2）解：，
，
，
∴或，
∴．
17．(1)该款钥匙扣从6月份到8月份销售量的月平均增长率为
(2)每个钥匙扣应降价8元
【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意；
（1）设该款钥匙扣从6月份到8月份销售量的月平均增长率为m，由题意易得，然后进行求解即可；
（2）由表格先得出月销售量（个）与每个钥匙扣降价（元）之间的函数关系式，然后再根据题意可得方程，进而求解即可．
【详解】（1）解：设该款钥匙扣从6月份到8月份销售量的月平均增长率为m，由题意得：
，
解得：（不符合题意，舍去），
答：该款钥匙扣从6月份到8月份销售量的月平均增长率为．
（2）解：设月销售量（个）与每个钥匙扣降价（元）之间的函数关系式为，由表格得：
，
解得：，
∴月销售量（个）与每个钥匙扣降价（元）之间的函数关系式为，
∴，
解得：（不符合题意，舍去）；
答：每个钥匙扣应降价8元．
18．(1)
(2)的值为1时，该方程的另一根为1，的值为5时，该方程的另一根为9
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根的定义及解法等知识．
（1）先计算出，根据题意得到，即可求出；
（2）设方程的一个根为3，求出，分和两种情况解出一元二次方程即可求解．
【详解】（1）解：，
∴，
∵方程总有两个实数根，
∴，
∴；
（2）解：∵ 方程的一个根为3，
∴，
解得，
当时，原方程化为，解得，
∴另一根为1；
当时，原方程化为，解得，
∴另一根为9；
∴的值为1时，该方程的另一根为1，的值为5时，该方程的另一根为9．
19．(1)丝绸条带的宽度为
(2)当单价降低元或50元时能达到利润10000元
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）根据该工艺品长，宽，除丝绸花边外白色部分的面积为，进行列式计算，即可作答．
（2）根据该工艺品的成本是40元/件，以单价100元/件销售，每天可售出200件，还需支付各种费用2000元．将销售单价降低1元，每天可多售出20件，进行列式计算，即可作答．
【详解】（1）解：设丝绸花边的宽度为，
根据题意，得．
整理，得，
解得，（舍去）．
答：丝绸花边的宽度为．
（2）解：设每件工艺品降价y元出售，
由题意得：．
解得：．
答：当单价降低元或50元时能达到利润10000元．
20．(1)，，
(2)①41；②见解析；③5
【分析】本题勾股定理和求正方形的面积，解一元二次方程，一元二次方程根的判别式等知识，解题的关键是：
（1）根据大正方形的面积=4个直角三角形的面积+小正方形的面积求解即可；
（2）①设直角三角形的长直角边为x，短直角边为y，则，，，根据完全平方公式并结合求解即可；②由①可求出，然后代入化简求出，有得出，即可得证；③把代入，结合，，可得出，化简得，解方程求出，，代入方程并解方程即可求解．
【详解】（1）解∶根据题意得：大正方形的面积为，小正方形的面积为，每一个三角形的面积为，
∴图2得到的等式为∶，即，
或，或，
故答案为∶ ，，；
（2）解∶①设直角三角形的长直角边为x，短直角边为y，
则，，，
∵，
∴，
∴；
②∵，，
∴，
∴
，
∵，
∴，
∴方程必有两个不相等的实根；
③把代入，
得，
又，，
∴，
化简得，
解得或（舍去），
∴，
∴原方程为，
解得，，
∴方程的另一根为5．