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专题课：水平面内的圆周运动问题
学习任务一 水平转台模型
学习任务二 圆锥筒模型与圆锥摆模型
随堂巩固
练习册
◆
备用习题
学习任务一 水平转台模型
［科学思维］ 物体做圆周运动时,若物体的线速度大小、角速度发生变化,会引起某些力(如拉力、支持力、摩擦力)发生变化.进而出现某些物理量或运动状态的突变,即出现临界状态.
水平面内的圆周运动常见的临界问题:
(1)物体恰好(没有)发生相对滑动，静摩擦力达到最大值.
(2)物体恰好要离开接触面，物体与接触面之间的弹力为0.
(3)绳子恰好断裂，绳子的张力达到最大承受值.
(4)物体所受支持力为0或绳子刚好伸直,绳子的张力恰好为0.
［模型探究］
1.特点：向心加速度沿______方向，重力不能提供向心力.
水平
2.动力学分析：静摩擦力沿______方向，提供向心力，根据牛顿第二定律得静，当
静______时，得，可见物体是否相对转台滑动，与质量无关.
半径
3.运动状态分析：在水平面上做圆周运动的物体，当角速度 变化时，物体有______或______圆心运动的(半径有变化)趋势.若角速度突然变大，物体做圆周运动所需要的向心力也会变大，物体就会有______趋势；若角速度突然变小，物体则会有______趋势.
远离
靠近
离心
近心
例1 (多选)[2024·四川内江六中月考] 如图所示，用同样材料做成的、、三个物体放在匀速转动的水平转台上随转台一起绕竖直轴转动.已知三物体质量间的关系是，转动半径之间的关系是，那么以下说法中正确的是( )
BC
A.物体受到的摩擦力最大
B.物体受到的摩擦力最小
C.物体受到的摩擦力最大
D.转台转速加快时，物体最先开始滑动
[解析] A、B、C三物体绕同一中心轴转动，角速度相等，静摩擦力充当向心力，设，，由向心力公式可知，，，故物体A受到的摩擦力最大，物体B受到的摩擦力最小，故A错误，B、C正确；转台转速加快时，恰好发生相对滑动时有
，解得，故A、C同时滑动，B最后滑动，D错误.
变式1 [2024·福建厦门一中月考] 如图所示，水平转盘上放有质量为的物块，物块到转轴的距离为，物块和转轴用细绳相连，物块和转盘间的动摩擦因数为 ，设物块受到的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，已知重力加速度为.
(1) 当转盘的角速度时，求细绳的拉力的大小；
[答案] 0
[解析] 由题意可知，当物块刚好只有摩擦力提供向心力时，有,，
当角速度 时，静摩擦力提供向心力，细绳对物块的拉力为0，即；
(2) 当转盘的角速度时，求细绳的拉力的大小.
[答案]
[解析] 由题意可知， ，拉力和静摩擦力一起提供向心力，根据牛顿第二定律得，得.
学习任务二 圆锥筒模型与圆锥摆模型
［模型建构］
圆锥筒模型 圆锥摆模型
模型图 ______________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________________
运动特点 物体做匀速圆周运动，且圆周运动的轨迹在水平面内
圆锥筒模型 圆锥摆模型
受力特点 重力、支持力的合力提供向心力(水平) 重力、拉力的合力提供向心力(水平)
列式 竖直方向： 水平方向： 几何关系： 竖直方向：
水平方向：
几何关系：
续表
圆锥筒模型 圆锥摆模型
结果 ,， ，
，
结论 对于一个特定的圆锥筒，角度 是固定的，物体所在平面越高， 越小，越大 对于同一个圆锥摆，、的值不变，旋转轨迹圆平面越高， 越大，越大， 和也越大
续表
例2 如图所示，一个内壁光滑的圆锥筒的轴线垂直于水平面，圆锥筒固定不动，两个小球和紧贴着内壁分别在图中所示的水平面内做匀速圆周运动，
则( )
A
A.球的线速度大于球的线速度 B.球的角速度大于球的角速度
C.球运动的周期等于球运动的周期 D.球的向心加速度大于球的向心加速度
[解析] 对小球受力分析，小球受到重力和支持力，它们的合力提供向心力，设支持力与竖直方向的夹角为 ，如图，依题意，根据牛顿第二定律有，解得，由于A球的转动半径较大，A球的线速度较大，A正确；根据牛顿第二定律有
，解得，可知A球角速度小，B错误；根据牛顿第二定律有，解得，可知A球周期大，C错误；根据牛顿第二定律有，解得 ，可知球A的向心加速度大小等于球B的向心加速度，D错误.
变式2 如图所示，内壁光滑的半球形容器固定放置，其圆形顶面水平.两个完全相同的小球、分别沿容器内壁，在不同的水平面内做匀速圆周运动.下列判断正确的是( )
C
A.对内壁的压力小于对内壁的压力 B.的角速度小于的角速度
C.的周期小于的周期 D.的向心加速度小于的向心加速度
[解析] 以任意一球为研究对象，受力情况如图，由图得到内壁对小球的支持力，对于两球，所以，A错误；小球受重力和内壁的支持力，由两力合力提供向心力，根据牛顿第二定律得，解得，设半球形容器的半径为，根据几何
关系可知，运动半径 ，则，对于两球，所以，周期，所以，B错误，C正确；由牛顿第二定律得，解得 ，对于两球，则向心加速度，D错误.
例3 [2024·河北唐山一中月考] 如图甲所示为某次训练中男运动员以自己为轴拉着女运动员做圆周运动的情形，若女运动员的质量，伸直的手臂与竖直方向的夹角 ，转动过程中女运动员的重心做匀速圆周运动的半径，如图乙所示.忽略女运动员受到的摩擦力，重力加速度取，，.求：
(1) 当女运动员的角速度为时，女运动员对冰面压力的大小；
[答案]
[解析] 对女运动员受力分析可知,水平方向有
竖直方向有
联立解得
根据牛顿第三定律可得，女运动员对冰面压力的大小为.
(2) 当女运动员刚要离开冰面时，女运动员的角速度的大小.
[答案]
[解析] 女运动员刚要离开地面时，受重力和男运动员对女运动员的拉力，，，解得.
备 用 习 题
1. (多选)如图,矩形金属框MNQP竖直放置,其中MN、PQ足够长,且PQ杆光滑,一根轻弹簧一端固定在M点,另一端连接一个质量为m的小球,小球穿过PQ杆,金属框绕MN轴分别以角速度ω和ω'匀速转动时,小球均相对PQ杆静止,若ω'>ω,则与以ω匀速转动时相比,以ω'匀速转动时 ( )
A.弹簧弹力变大
B.弹簧弹力的大小一定不变
C.小球对杆压力的大小一定变大
D.小球所受合外力的大小一定变大
BD
备 用 习 题
[解析]对小球受力分析,设弹簧弹力为F,弹簧与水平方向的夹角为θ,则对小球竖直方向有Fsin θ=mg,而F=k,可知θ为定值,F不变,则当转速增大后,小球的高度不变,弹簧的弹力不变,则A错误,B正确;水平方向当转速较小时,杆对小球的弹力FN背离转轴,则Fcos θ-FN=mω2r,即FN=Fcos θ-mω2r,当转速较大时,若FN指向转轴,则有Fcos θ+F'N=mω'2r,即F'N=mω'2r-Fcos θ,则因ω'>ω ,根据牛顿第三定律可知,小球对杆的压力不一定变大,则C错误;根据
F合=mω2r可知,因角速度变大,则小球受合外力变大,则D正确.
备 用 习 题
2. 如图所示,一根细线下端拴一个金属小球Q,细线穿过小孔(小孔光滑)另一端连接在金属块P上,P始终静止在水平桌面上,若不计空气阻力,小球在某一水平面内做匀速圆周运动(圆锥摆).实际上,小球在运动过程中不可避免地受到空气阻力作用.因阻力作用,小球Q的运动轨道发生缓慢的变化(可视为一系列半径不同的圆周运动).下列判断正确的是 ( )
A.小球Q的位置越来越高
B.细线的拉力变小
C.小球Q运动的角速度变大
D.P受到桌面的静摩擦力变大
B
备 用 习 题
[解析] 由于小球受到空气阻力作用,线速度减小,则所需要的向心力减小,小球做近心运动,小球的位置越来越低,故A错误;设细线与竖直方向的夹角为θ,细线的拉力大小为FT,细线的长度为L,当小球做匀速圆周运动时,由重力和细线的拉力的合力提供向心力,如图所示,则有FT=,mgtan θ=m=mω2Lsin θ,解得ω=,由于小球受到空气阻力作用,线速度减小,θ减小,cos θ增大,因此,细线的拉力FT减小,角速度ω减小,故B正确,C错误;对金属块P,
由平衡条件知,P受到桌面的静摩擦力大小等于细线的拉力大
小,则静摩擦力变小,故D错误.
1.(水平转台模型)[2024·重庆育才中学月考] 一圆盘可绕竖直轴在水平面内运动，、两物体(可看作质点)质量分别为和，两物体的最大静摩擦力均为正压力的倍，两
D
A. B. C. D.
物体用一根长为的轻绳相连，轻绳的拉力足够大，放在圆盘中心轴处，轻绳刚好被拉直，重力加速度为,现让圆盘缓慢转动，要使两物体与圆盘均不发生相对滑动，则圆盘转动的角速度不能超过( )
[解析] 当绳子的拉力等于A的最大静摩擦力时，角速度达到最大且不发生相对滑动，有，，得，故选D.
2.(圆锥摆模型)(多选)如图所示，两根长度相同的细线分别系有两个完全相同的小球，细线的上端都系于点．设法让两个小球均在水平面上做匀速圆周运动.已知跟竖直方向的夹角为 ，跟竖直方向的夹角为 ，下列说法正确的是( )
BD
A.小球1和2的线速度大小之比为
B.小球1和2的角速度大小之比为
C.小球1和2的向心力大小之比为
D.细线和细线所受的拉力大小之比为
[解析] 由题意可知两小球做圆周运动的半径分别为，，两小球做圆周运动的向心力分别由各自细线的拉力与其自身的重力的合力提供，由此可知两小球做圆周运动的向心力分别为，
，细线和细线所受的拉力大小分别为，，由向心力公式可得，，解得，故A错误；由以上分析可知，小球1和2的角速度大小之比为，故B正确；由以上分析可知，小球1和2的向心力大小之比为，故C错误；由以上分析可得，细线和细线所受的拉力大小之比为，故D正确.
3.(圆锥筒模型)(多选)[2024·河南郑州一中月考] 如图所示，杂技表演“飞车走壁”的演员骑着摩托车飞驶在光滑的圆锥形筒壁上，筒的轴线垂直于水平面，圆锥筒固定不动，演员和摩托车的总质量为，先后在、两处紧贴着内壁分别在图中虚线所示的水平面内做匀速圆周运动，则下列说法正确的是( )
AB
A.处的线速度大于处的线速度 B.处的角速度小于处的角速度
C.处对筒的压力大于处对筒的压力 D.处的向心力大于处的向心力
[解析] 对演员和摩托车整体受力分析可知，演员和摩擦车整体的重力不变，支持力方向相同，根据力的合成，知在A、B两处所受支持力大小、合力大小相等，向心力大小相等，根据
，得,，知半径越大，线速度越大，角速度越小，所以A处的线速度大于B处的线速度，A处的角速度小于B处的角速度，故A、B项正确.
知识点一 水平转台模型
1.[2024·河北石家庄二中月考] 如图所示，一茶杯(视为质点)放在水平餐桌的转盘上，茶杯到转轴的距离为，转盘以周期匀速转动时，茶杯与转盘保持相对静止.茶杯与转盘间的动摩擦因数为 ，假设最大
C
A. 的最小值为
B.若减少茶杯中的水量，则茶杯与转盘可能发生相对滑动
C.若减小转盘的转动周期，则茶杯与转盘可能发生相对滑动
D.若转盘减速转动，则茶杯受到的摩擦力方向始终指向转轴
静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为，下列说法正确的是( )
[解析] 根据牛顿第二定律得，解得 ，动摩擦因数 的最小值为，故A错误；若减少茶杯中的水量，以相同的周期匀速转动转盘，上述等式仍然成立，茶杯不能发生
相对滑动，故B错误；根据，若减小转盘的转动周期，茶杯所受的静摩擦力增大，当达到最大静摩擦力时，茶杯与转盘发生相对滑动，故C正确；若转盘减速转动，茶杯与转盘仍保持相对静止，茶杯受到的摩擦力的方向不指向转轴，摩擦力沿着半径方向的分力改变线速度的方向，摩擦力沿着切线方向的分力改变线速度的大小，故D错误.
2.如图所示，水平圆盘上放置一物体，用一轻质弹簧将该物体和圆盘中心固连，此时弹簧处于拉伸状态，圆盘能绕通过其中心的竖直轴自由转动.现让圆盘从静止开始缓慢加速转动，直到与圆盘发生相对滑动，则在此过程中与圆盘间的摩擦力( )
B
A.先增大后减小 B.先减小后增大 C.一直增大 D.一直减小
[解析] 由合力提供向心力得，由于弹力不变，角速度增大，则摩擦力先减小直到为0，之后角速度继续增大，则摩擦力反向增大，故B正确.
3.(多选)[2024·江苏连云港期中] 如图所示，叠放在水平转台上的物体、、能随转台一起以角速度 匀速转动，、、的质量分别为、、，与、和与转台间的动摩擦因数均为， 、和与转台中心的距离分别为、，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为.以下说法正确的是( )
BC
A.对的摩擦力大小一定为 B.对的摩擦力大小一定为
C.转台的角速度一定满足 D.转台角速度一定满足
[解析] A受重力、支持力和静摩擦力，B对A的静摩擦力提供向心力，，刚要与B发生相对滑动时A受的静摩擦力最大，为，选项A错误，B正确；对A，有，可解出
，对A、B整体有，可解出，对C有(1.，解得，选项C正确，D错误.
知识点二 圆锥筒模型与圆锥摆模型
4.[2024·浙江余姚中学月考] 甲图是洗衣机脱水桶甩干衣服的情境，乙图是两个圆锥摆，两球在同一水平面上,丙图是完全相同的两个小球在内壁光滑的倒圆锥筒内做匀速圆周运动.关于这三种圆周运动，下列说法正确的是( )
A.甲图中衣服随脱水桶一起匀速转动的过程中，
桶对衣服的摩擦力提供向心力
B.乙图中两小球的线速度大小相等
C.乙图中两小球具有相同的运动周期
D.丙图中球的角速度大于球的角速度
C
[解析] 甲图中衣服随脱水桶一起匀速转动的过程中，桶对衣
服的支持力提供向心力，故A错误；设做圆锥摆运动的小球
质量为，摆绳与竖直方向的夹角为 ，摆球与悬点的高度
差为，线速度大小为，周期为，根据牛顿第二定律有
，解得，
，由上述两式可知乙图中两小球的线速度大小不等，周期相等，故B错误，C正确；由题意知丙图中、两球的向心力大小相等，则向心加速度大小相等，即，因为，所以，故D错误.
5.如图所示，位于竖直面内的光滑金属细圆环半径为，质量分别为和的两带孔小球穿于环上.当圆环最终以角速度 绕竖直直径匀速转动时，发现两小球均离开了原位置，它们和圆心的连线与竖直方向的夹角分别记为和，重力加速度为，下列说法正确的是( )
C
A.若，则
B.若，则
C.和总是相等，与和的大小无关
D.以上说法均错误
[解析] 小球所受重力和环的支持力的合力提供向心力，根据牛顿第二定律可得 ，解得，说明小球和圆心的连线与竖直方向的夹角 与小球的质量无关，故A、B、D错误，C正确.
6.(多选)[2024·广西南宁二中月考] 如图所示，有一可绕竖直中心轴转动的足够大的水平圆盘，上面水平放置劲度系数为的弹簧，弹簧的一端固定于轴上，另一端连接质量为的小物块(可视为质点)，物块与圆盘间的动摩擦因数为 ，开始时弹簧未发生形变，长度为，若最大静摩擦力与滑动摩擦力大
BCD
A.当圆盘角速度缓慢地增加时，物块受到的摩擦力有可能背离圆心
B.当圆盘角速度增加到足够大时，弹簧将伸长
C.当圆盘角速度为时，物块开始滑动
D.当圆盘角速度缓慢地增加，弹簧的伸长量为时，圆盘的角速度为
小相等，重力加速度为，物块始终与圆盘一起转动.则( )
[解析] 开始时静摩擦力提供向心力，圆盘角速度缓慢地增加，静摩擦力逐渐增大，当角速度增加到一定值时，静摩擦力达到最大静摩擦力，若圆盘的角速度继续增大，则小物块相对圆盘滑动，此时由弹簧弹力与最大静摩擦力的合力来提供向心力，所以物块受到摩擦力总是指向圆心，A错误，B正确；物块开
始滑动时，有，解得，C正确；当圆盘角速度缓慢地增加，弹簧的伸长量为时，有，解得，D正确.
7.如图所示,转动轴垂直于光滑水平面,交点的上方高处点)固定细绳的一端,细绳的另一端拴接一质量为的小球,绳长,重力加速度为,转动轴带动小球在光滑水平面内做圆周运动.当转动的角速度 逐渐增大时,下列说法正确的是( )
C
A.小球始终受三个力的作用
B.细绳上的拉力始终保持不变
C.要使小球不离开水平面,角速度的最大值为
D.若小球离开了水平面,则角速度为
[解析] 当转动的角速度 逐渐增大时,小球可能只受重力和细绳的拉力,选项A错误;小球在水平面内做匀速圆周运动时,细绳的拉力在竖直方向的分力与水平面对小球的支持力的合力大小等于小球的重力,细绳的拉力在水平方向的分力提供小球运动的向心力,当转动的角速度 逐渐增大时,所需向心力逐渐增大,细绳的拉力逐渐增大,而当小球离开
水平面后,角速度增大时,绳子与竖直方向的夹角变大,拉力变大,选项B错误;要使小球刚好不离开水平面,则有,其中,,联立解得,选项C正确;若小球离开了水平面,则角速度大于
,选项D错误.
8.[2024·福建厦门一中月考] 如图甲所示，质量均为的物块、放在水平圆盘上，它们到转轴的距离分别为、，圆盘做匀速圆周运动.当转动的角速度为 时，其中一个物块刚好要滑动，不计圆盘和中心轴的质量，不计物块的大小，两物块与圆盘间的动摩擦因数相同，重力加速度为，最大静摩擦力等于滑动摩擦力.
(1) 物块与圆盘间的动摩擦因数为多少？
[答案]
[解析] 分析可知，物块离转轴的距离越大，越容易滑动，因此物块最先滑动.根据牛顿第二定律得，解得
(2) 图乙用细线将、两物块连接，细线刚好拉直，圆盘由静止开始逐渐增大转动的角速度，当两物块刚好要滑动时，、的线速度各为多少？
[答案]
[解析] 当两物块刚好要滑动时，设转动的角速度为.对物块有，对物块有，联立可得 ，因此物块的线速度大小为 ，物块的线速度大小为
9.(多选)[2023·北京八中月考] 如图所示，竖直杆在、两点通过光滑铰链连接两等长轻杆和，和与竖直方向的夹角均为 ，轻杆长均为，在处固定一质量为的小球，重力加速度为，在装置绕竖直杆转动的角速度 从0开始逐渐增大过程中，下列说法正确的是( )
CD
A.当时，杆和杆对球的作用力都表现为拉力
B.杆对球的作用力提供小球圆周运动的向心力
C.一定时间后，杆与杆上的力的大小之差恒定
D.某时刻杆对球的作用力可能为0
[解析] 当时，由于小球在水平方向受力平衡，因此杆对小球的作用力表现为拉力，杆对小球的作用力表现为支持力，且大小相等，选项A错误；当 逐渐增大时，杆对小球的拉力逐渐增大，杆对小球的支持力逐渐减小，当杆的作用力为0时，有 ,解得,当 继续增大
时，杆对小球的拉力继续增大，杆对小球的作用力变为拉力，且逐渐增大，选项B错误，D正确；一定时间后，杆和杆的作用力都变为拉力，拉力的竖直分力之差等于小球的重力，即,则,因此杆与杆上的力的大小之差恒定，选项C正确.
10.[2024·天津一中月考] 如图所示装置可绕竖直轴转动，可视为质点的小球与两细线连接后分别系于、两点，当细线沿水平方向绷直时，细线与竖直方向的夹角 .已知小球的质量，细线长，重力加速度取，.
(1) 若装置匀速转动时，细线刚好被拉直成水平状态，求此时的角速度；(结果可用根号表示)
[答案]
[解析] 当细线刚好被拉直时，细线的拉力为零，
细线的拉力和重力的合力提供向心力，
则有,
代入数据解得
(2) 若装置匀速转动的角速度，求细线和上的张力大小、.
[答案] ;
[解析] 若装置匀速转动的角速度，则两细线均有张力，竖直方向上有
水平方向上有
代入数据解得,.专题课:水平面内的圆周运动问题
[模型探究]
1.水平 2.半径 μmg 3.远离 靠近 离心 近心
例1 BC [解析] A、B、C三物体绕同一中心轴转动,角速度相等,静摩擦力充当向心力,设mA=2mB=3mC=m,rC=rA=2rB=r,由向心力公式可知FA=mrω2,FB=,FC=,故物体A受到的摩擦力最大,物体B受到的摩擦力最小,故A错误,B、C正确;转台转速加快时,恰好发生相对滑动时有μmg=mrω2,解得ω=,故A、C同时滑动,B最后滑动,D错误.
变式1 (1)0 (2)μmg
[解析] (1)由题意可知,当物块刚好只有摩擦力提供向心力时,有μmg=mω2r,ω=,当角速度ω1<ω时,静摩擦力提供向心力,细绳对物块的拉力为0,即FT1=0;
(2)由题意可知,ω2>ω,拉力和静摩擦力一起提供向心力,根据牛顿第二定律得FT2+μmg=mr,得FT2=μmg.
例2 A [解析] 对小球受力分析,小球受到重力和支持力,它们的合力提供向心力,设支持力FN与竖直方向的夹角为θ,如图,依题意,根据牛顿第二定律有F=mgtan θ=m,解得v=,由于A球的转动半径较大,A球的线速度较大,A正确;根据牛顿第二定律有F=mgtan θ=mω2r,解得ω=,可知A球角速度小,B错误;根据牛顿第二定律有F=mgtan θ=mr,解得T=2π,可知A球周期大,C错误;根据牛顿第二定律有F=mgtan θ=ma,解得a=gtan θ,可知球A的向心加速度大小等于球B的向心加速度,D错误.
变式2 C [解析] 以任意一球为研究对象,受力情况如图,由图得到内壁对小球的支持力FN=,对于两球θa>θb,所以FNa>FNb,A错误;小球受重力mg和内壁的支持力FN,由两力合力提供向心力,根据牛顿第二定律得mgtan θ=mω2r,解得ω=,设半球形容器的半径为R,根据几何关系可知,运动半径r=Rsin θ,则ω=,对于两球θa>θb,所以ωa>ωb,周期T=,所以Taθb,则向心加速度aa>ab,D错误.
例3 (1)336 N (2) rad/s
[解析] (1)对女运动员受力分析可知,水平方向有Fsin θ=mr
竖直方向有Fcos θ+FN=mg
联立解得FN=336 N
根据牛顿第三定律可得,女运动员对冰面压力的大小为336 N.
(2)女运动员刚要离开地面时,受重力和男运动员对女运动员的拉力,Fcos θ=mg,Fsin θ=mr,解得ω2= rad/s.
随堂巩固
1.D [解析] 当绳子的拉力等于A的最大静摩擦力时,角速度达到最大且不发生相对滑动,有FT+kmg=mω2L,FT=kMg,得ω=,故选D.
2.BD [解析] 由题意可知两小球做圆周运动的半径分别为r1=L1sin 60°=L1,r2=L2sin 30°=L2,两小球做圆周运动的向心力分别由各自细线的拉力与其自身的重力的合力提供,由此可知两小球做圆周运动的向心力分别为F1=mgtan 60°=mg,F2=mgtan 30°=mg,细线L1和细线L2所受的拉力大小分别为FT1==2mg,FT2==,由向心力公式可得mg=m,mg=m,解得v1∶v2=∶1,故A错误;由以上分析可知,小球1和2的角速度大小之比为ω1∶ω2=∶=∶1,故B正确;由以上分析可知,小球1和2的向心力大小之比为F1∶F2=3∶1,故C错误;由以上分析可得,细线L1和细线L2所受的拉力大小之比为FT1∶FT2=∶1,故D正确.
3.AB [解析] 对演员和摩托车整体受力分析可知,演员和摩擦车整体的重力不变,支持力方向相同,根据力的合成,知在A、B两处所受支持力大小、合力大小相等,向心力大小相等,根据F合=m=mrω2,得v=,ω=,知半径越大,线速度越大,角速度越小,所以A处的线速度大于B处的线速度,A处的角速度小于B处的角速度,故A、B项正确.专题课:水平面内的圆周运动问题
1.C [解析] 根据牛顿第二定律得μmg=mr,解得μ= ,动摩擦因数μ的最小值为,故A错误;若减少茶杯中的水量,以相同的周期匀速转动转盘,上述等式仍然成立,茶杯不能发生相对滑动,故B错误;根据Ff=mr,若减小转盘的转动周期T,茶杯所受的静摩擦力增大,当达到最大静摩擦力时,茶杯与转盘发生相对滑动,故C正确;若转盘减速转动,茶杯与转盘仍保持相对静止,茶杯受到的摩擦力的方向不指向转轴,摩擦力沿着半径方向的分力改变线速度的方向,摩擦力沿着切线方向的分力改变线速度的大小,故D错误.
2.B [解析] 由合力提供向心力得F-Ff=mω2r,由于弹力F不变,角速度增大,则摩擦力先减小直到为0,之后角速度继续增大,则摩擦力反向增大,故B正确.
3.BC [解析] A受重力、支持力和静摩擦力,B对A的静摩擦力提供向心力,Ff=3mω2r≤3μmg,刚要与B发生相对滑动时A受的静摩擦力最大,为3μmg,选项A错误,B正确;对A,有3mω2r≤3μmg,可解出ω≤,对A、B整体有(3m+2m)ω2r≤μ(3m+2m)g,可解出ω≤,对C有mω2(1.5r)≤μmg,解得ω≤,选项C正确,D错误.
4.C [解析] 甲图中衣服随脱水桶一起匀速转动的过程中,桶对衣服的支持力提供向心力,故A错误;设做圆锥摆运动的小球质量为m,摆绳与竖直方向的夹角为θ,摆球与悬点的高度差为h,线速度大小为v,周期为T,根据牛顿第二定律有mgtan θ=m=mhtan θ,解得v=tan θ,T=2π,由上述两式可知乙图中两小球的线速度大小不等,周期相等,故B错误,C正确;由题意知丙图中a、b两球的向心力大小相等,则向心加速度大小相等,即ra=rb,因为ra>rb,所以ωa<ωb,故D错误.
5.C [解析] 小球所受重力和环的支持力的合力提供向心力,根据牛顿第二定律可得mgtan θ=mω2Rsin θ,解得cos θ=,说明小球和圆心的连线与竖直方向的夹角θ与小球的质量无关,故A、B、D错误,C正确.
6.BCD [解析] 开始时静摩擦力提供向心力,圆盘角速度缓慢地增加,静摩擦力逐渐增大,当角速度增加到一定值时,静摩擦力达到最大静摩擦力,若圆盘的角速度继续增大,则小物块相对圆盘滑动,此时由弹簧弹力与最大静摩擦力的合力来提供向心力,所以物块受到摩擦力总是指向圆心,A错误,B正确;物块开始滑动时,有μmg=mω2L,解得ω=,C正确;当圆盘角速度缓慢地增加,弹簧的伸长量为x时,有μmg+kx=mω2(L+x),解得ω=,D正确.
7.C [解析] 当转动的角速度ω逐渐增大时,小球可能只受重力和细绳的拉力,选项A错误;小球在水平面内做匀速圆周运动时,细绳的拉力在竖直方向的分力与水平面对小球的支持力的合力大小等于小球的重力,细绳的拉力在水平方向的分力提供小球运动的向心力,当转动的角速度ω逐渐增大时,所需向心力逐渐增大,细绳的拉力逐渐增大,而当小球离开水平面后,角速度增大时,绳子与竖直方向的夹角变大,拉力变大,选项B错误;要使小球刚好不离开水平面,则有mgtan θ=mω2r,其中tan θ=,r=,联立解得ω=,选项C正确;若小球离开了水平面,则角速度大于,选项D错误.
8.(1) (2)rω rω
[解析] (1)分析可知,物块离转轴的距离越大,越容易滑动,因此物块B最先滑动.根据牛顿第二定律得μmg=m·2rω2,解得μ=
(2)当两物块刚好要滑动时,设转动的角速度为ω1.对物块A有μmg-FT=mr,对物块B有μmg+FT=m·2r,联立可得ω1=ω,
因此物块A的线速度大小为vA=rω1=rω,物块B的线速度大小为vB=2rω1=rω
9.CD [解析] 当ω=0时,由于小球在水平方向受力平衡,因此AC杆对小球的作用力表现为拉力,BC杆对小球的作用力表现为支持力,且大小相等,选项A错误;当ω逐渐增大时,AC杆对小球的拉力逐渐增大,BC杆对小球的支持力逐渐减小,当BC杆的作用力为0时,有mgtan θ=mω2Lsin θ,解得ω=,当ω继续增大时,AC杆对小球的拉力继续增大,BC杆对小球的作用力变为拉力,且逐渐增大,选项B错误,D正确;一定时间后,AC杆和BC杆的作用力都变为拉力,拉力的竖直分力之差等于小球的重力,即F1cos θ-F2cos θ=mg,则F1-F2=,因此AC杆与BC杆上的力的大小之差恒定,选项C正确.
10.(1) rad/s (2)2.5 N 12.5 N
[解析] (1)当细线AB刚好被拉直时,细线AB的拉力为零,细线AC的拉力和重力的合力提供向心力,则有mgtan 37°=mLAB,LAB=Lsin θ
代入数据解得ω1== rad/s= rad/s
(2)若装置匀速转动的角速度ω2= rad/s>ω1,则两细线均有张力,竖直方向上有FACcos 37°=mg
水平方向上有FACsin 37°+FAB=mLAB
代入数据解得FAB=2.5 N,FAC=12.5 N.专题课:水平面内的圆周运动问题
学习任务一 水平转台模型
[科学思维] 物体做圆周运动时,若物体的线速度大小、角速度发生变化,会引起某些力(如拉力、支持力、摩擦力)发生变化.进而出现某些物理量或运动状态的突变,即出现临界状态.
水平面内的圆周运动常见的临界问题:
(1)物体恰好(没有)发生相对滑动,静摩擦力达到最大值.
(2)物体恰好要离开接触面,物体与接触面之间的弹力为0.
(3)绳子恰好断裂,绳子的张力达到最大承受值.
(4)物体所受支持力为0或绳子刚好伸直,绳子的张力恰好为0.
[模型探究]
1.特点:向心加速度沿 方向,重力不能提供向心力.
2.动力学分析:静摩擦力沿 方向,提供向心力,根据牛顿第二定律得Ff静=mω2r,当Ff静=Ffmax= 时,得ω临=, 可见物体是否相对转台滑动,与质量无关.
3.运动状态分析:在水平面上做圆周运动的物体,当角速度ω变化时,物体有 或 圆心运动的(半径有变化)趋势.若角速度突然变大,物体做圆周运动所需要的向心力也会变大,物体就会有 趋势;若角速度突然变小,物体则会有 趋势.
例1 (多选)[2024·四川内江六中月考] 如图所示,用同样材料做成的A、B、C三个物体放在匀速转动的水平转台上随转台一起绕竖直轴转动.已知三物体质量间的关系是mA=2mB=3mC,转动半径之间的关系是rC=rA=2rB,那么以下说法中正确的是 ( )
A.物体C受到的摩擦力最大
B.物体B受到的摩擦力最小
C.物体A受到的摩擦力最大
D.转台转速加快时,物体B最先开始滑动
[反思感悟]
变式1 [2024·福建厦门一中月考] 如图所示,水平转盘上放有质量为m的物块,物块到转轴的距离为r,物块和转轴用细绳相连,物块和转盘间的动摩擦因数为μ,设物块受到的最大静摩擦力等于滑动摩擦力,已知重力加速度为g.
(1)当转盘的角速度ω1=时,求细绳的拉力FT1的大小;
(2)当转盘的角速度ω2=时,求细绳的拉力FT2的大小.
学习任务二 圆锥筒模型与圆锥摆模型
[模型建构]
圆锥筒模型 圆锥摆模型
模型图
运动特点 物体做匀速圆周运动,且圆周运动的轨迹在水平面内
受力特点 重力、支持力的合力提供向心力(水平) 重力、拉力的合力提供向心力(水平)
列式 竖直方向:FNsin θ=mg① 水平方向:FNcos θ=Fn=mω2r=② 几何关系:r=htan θ③ 竖直方向:Fcos θ=mg① 水平方向:Fsin θ=Fn=mω2r=m② 几何关系:r=lsin θ③
结果 FN=,ω=,v= F=, ω=, v=
结论 对于一个特定的圆锥筒,角度θ是固定的,物体所在平面h越高,ω越小,v越大 对于同一个圆锥摆,g、l的值不变,旋转轨迹圆平面越高,θ越大,r越大,ω和v也越大
例2 如图所示,一个内壁光滑的圆锥筒的轴线垂直于水平面,圆锥筒固定不动,两个小球A和B紧贴着内壁分别在图中所示的水平面内做匀速圆周运动, 则 ( )
A.球A的线速度大于球B的线速度
B.球A的角速度大于球B的角速度
C.球A运动的周期等于球B运动的周期
D.球A的向心加速度大于球B的向心加速度
[反思感悟]
变式2 如图所示,内壁光滑的半球形容器固定放置,其圆形顶面水平.两个完全相同的小球a、b分别沿容器内壁,在不同的水平面内做匀速圆周运动.下列判断正确的是 ( )
A.a对内壁的压力小于b对内壁的压力
B.a的角速度小于b的角速度
C.a的周期小于b的周期
D.a的向心加速度小于b的向心加速度
[反思感悟]
例3 [2024·河北唐山一中月考] 如图甲所示为某次训练中男运动员以自己为轴拉着女运动员做圆周运动的情形,若女运动员的质量m=40 kg,伸直的手臂与竖直方向的夹角θ=53°,转动过程中女运动员的重心做匀速圆周运动的半径r=1.2 m,如图乙所示.忽略女运动员受到的摩擦力,重力加速度g取10 m/s2,sin 53°=0.8,cos 53°=0.6.求:
(1)当女运动员的角速度为 rad/s时,女运动员对冰面压力的大小;
(2)当女运动员刚要离开冰面时,女运动员的角速度的大小.
1.(水平转台模型)[2024·重庆育才中学月考] 一圆盘可绕竖直轴在水平面内运动,A、B两物体(可看作质点)质量分别为M和m,两物体的最大静摩擦力均为正压力的k倍,两物体用一根长为L的轻绳相连,轻绳的拉力足够大,A放在圆盘中心轴处,轻绳刚好被拉直,重力加速度为g,现让圆盘缓慢转动,要使两物体与圆盘均不发生相对滑动,则圆盘转动的角速度不能超过 ( )
A.
B.
C.
D.
2.(圆锥摆模型)(多选)如图所示,两根长度相同的细线分别系有两个完全相同的小球,细线的上端都系于O点.设法让两个小球均在水平面上做匀速圆周运动.已知L1跟竖直方向的夹角为60°,L2跟竖直方向的夹角为30°,下列说法正确的是 ( )
A.小球1和2的线速度大小之比为3∶1
B.小球1和2的角速度大小之比为∶1
C.小球1和2的向心力大小之比为1∶3
D.细线L1和细线L2所受的拉力大小之比为∶1
3.(圆锥筒模型)(多选)[2024·河南郑州一中月考] 如图所示,杂技表演“飞车走壁”的演员骑着摩托车飞驶在光滑的圆锥形筒壁上,筒的轴线垂直于水平面,圆锥筒固定不动,演员和摩托车的总质量为m,先后在A、B两处紧贴着内壁分别在图中虚线所示的水平面内做匀速圆周运动,则下列说法正确的是 ( )
A.A处的线速度大于B处的线速度
B.A处的角速度小于B处的角速度
C.A处对筒的压力大于B处对筒的压力
D.A处的向心力大于B处的向心力专题课:水平面内的圆周运动问题建议用时:40分钟
◆ 知识点一 水平转台模型
1.[2024·河北石家庄二中月考] 如图所示,一茶杯(视为质点)放在水平餐桌的转盘上,茶杯到转轴的距离为r,转盘以周期T匀速转动时,茶杯与转盘保持相对静止.茶杯与转盘间的动摩擦因数为μ,假设最大静摩擦力等于滑动摩擦力,重力加速度为g,下列说法正确的是( )
A.μ的最小值为
B.若减少茶杯中的水量,则茶杯与转盘可能发生相对滑动
C.若减小转盘的转动周期,则茶杯与转盘可能发生相对滑动
D.若转盘减速转动,则茶杯受到的摩擦力方向始终指向转轴
2.如图所示,水平圆盘上放置一物体P,用一轻质弹簧将该物体和圆盘中心O固连,此时弹簧处于拉伸状态,圆盘能绕通过其中心的竖直轴自由转动.现让圆盘从静止开始缓慢加速转动,直到P与圆盘发生相对滑动,则在此过程中P与圆盘间的摩擦力( )
A.先增大后减小
B.先减小后增大
C.一直增大
D.一直减小
3.(多选)[2024·江苏连云港期中] 如图所示,叠放在水平转台上的物体A、B、C能随转台一起以角速度ω匀速转动,A、B、C的质量分别为3m、2m、m,A与B、B和C与转
台间的动摩擦因数均为μ,A、B和C与转台中心的距离分别为r、1.5r,最大静摩擦力等于滑动摩擦力,重力加速度为g.以下说法正确的是 ( )
A.B对A的摩擦力大小一定为3μmg
B.B对A的摩擦力大小一定为3mω2r
C.转台的角速度一定满足ω≤
D.转台角速度一定满足ω≤
◆ 知识点二 圆锥筒模型与圆锥摆模型
4.[2024·浙江余姚中学月考] 甲图是洗衣机脱水桶甩干衣服的情境,乙图是两个圆锥摆,两球在同一水平面上,丙图是完全相同的两个小球在内壁光滑的倒圆锥筒内做匀速圆周运动.关于这三种圆周运动,下列说法正确的是 ( )
A.甲图中衣服随脱水桶一起匀速转动的过程中,桶对衣服的摩擦力提供向心力
B.乙图中两小球的线速度大小相等
C.乙图中两小球具有相同的运动周期
D.丙图中a球的角速度大于b球的角速度
5.如图所示,位于竖直面内的光滑金属细圆环半径为R,质量分别为m1和m2的两带孔小球穿于环上.当圆环最终以角速度ω绕竖直直径匀速转动时,发现两小球均离开了原位置,它们和圆心的连线与竖直方向的夹角分别记为θ1和θ2,重力加速度为g,下列说法正确的是 ( )
A.若m1>m2,则θ1>θ2
B.若m1θ2
C.θ1和θ2总是相等,与m1和m2的大小无关
D.以上说法均错误
6.(多选)[2024·广西南宁二中月考] 如图所示,有一可绕竖直中心轴转动的足够大的水平圆盘,上面水平放置劲度系数为k的弹簧,弹簧的一端固定于轴上,另一端连接质量为m的小物块A(可视为质点),物块与圆盘间的动摩擦因数为μ,开始时弹簧未发生形变, 长度为L,若最大静摩擦力与滑动摩擦力大小相等,重力加速度为g,物块A始终与圆盘一起转动.则 ( )
A.当圆盘角速度缓慢地增加时,物块受到的摩擦力有可能背离圆心
B.当圆盘角速度增加到足够大时,弹簧将伸长
C.当圆盘角速度为时,物块开始滑动
D.当圆盘角速度缓慢地增加,弹簧的伸长量为x时,圆盘的角速度为ω=
7.如图所示,转动轴垂直于光滑水平面,交点O的上方h高处(A点)固定细绳的一端,细绳的另一端拴接一质量为m的小球B,绳长l>h,重力加速度为g,转动轴带动小球在光滑水平面内做圆周运动.当转动的角速度ω逐渐增大时,下列说法正确的是( )
A.小球始终受三个力的作用
B.细绳上的拉力始终保持不变
C.要使小球不离开水平面,角速度的最大值为
D.若小球离开了水平面,则角速度为
8.[2024·福建厦门一中月考] 如图甲所示,质量均为m的物块A、B放在水平圆盘上,它们到转轴的距离分别为r、2r,圆盘做匀速圆周运动.当转动的角速度为ω时,其中一个物块刚好要滑动,不计圆盘和中心轴的质量,不计物块的大小,两物块与圆盘间的动摩擦因数相同,重力加速度为g,最大静摩擦力等于滑动摩擦力.
(1)物块与圆盘间的动摩擦因数为多少
(2)图乙用细线将A、B两物块连接,细线刚好拉直,圆盘由静止开始逐渐增大转动的角速度,当两物块刚好要滑动时,A、B的线速度各为多少
9.(多选)[2023·北京八中月考] 如图所示,竖直杆AB在A、B两点通过光滑铰链连接两等长轻杆AC和BC,AC和BC与竖直方向的夹角均为θ,轻杆长均为L,在C处固定一质量为m的小球,重力加速度为g,在装置绕竖直杆AB转动的角速度ω从0开始逐渐增大过程中,下列说法正确的是 ( )
A.当ω=0时,AC杆和BC杆对球的作用力都表现为拉力
B.AC杆对球的作用力提供小球圆周运动的向心力
C.一定时间后,AC杆与BC杆上的力的大小之差恒定
D.某时刻BC杆对球的作用力可能为0
10.[2024·天津一中月考] 如图所示装置可绕竖直轴OO'转动,可视为质点的小球A与两细线连接后分别系于B、C两点,当细线AB沿水平方向绷直时,细线AC与竖直方向的夹角θ=37°.已知小球的质量m=1 kg,细线AC长L=1 m,重力加速度g取10 m/s2,sin 37°=0.6.
(1)若装置匀速转动时,细线AB刚好被拉直成水平状态,求此时的角速度ω1;(结果可用根号表示)
(2)若装置匀速转动的角速度ω2= rad/s,求细线AB和AC上的张力大小FAB、FAC.
