2 万有引力定律
[科学思维] 2.(3)G m地 R (4)
例1 AB [解析] 开普勒第三定律=k是开普勒研究天文学家第谷的行星观测记录时发现的,无法在实验室中得到验证,另外两个公式在实验室中可以得到验证.
[教材链接] (1)乘积 二次方 (2)F=G
(3)①6.67×10-11 N·m2/kg2 ②卡文迪什
例2 AD [解析] 万有引力定律适用于两质点间的相互作用,当两球体质量分布均匀时,可认为球体质量集中在球心,也可用万有引力定律计算万有引力,故A、D正确;当r→0时,两物体不能视为质点,万有引力定律不再适用,B错误;匀质大球球心周围各部分对匀质小球的万有引力的合力为零,故C错误.
变式1 B [解析] 根据F=G知,两物体间的距离保持不变,两物体的质量均减为原来的,则万有引力减小为原来的;仅一个物体质量减为原来的,则万有引力减小为原来的,故A错误,B正确.根据F=G知,两物体的质量均不变,两物体间的距离变为原来的,则万有引力变为原来的4倍;两物体间的距离变为原来的2倍,则万有引力变为原来的,故C、D错误.
例3 B [解析] 卡文迪什通过测出的引力常量进而测出了地球的质量,被称为“首个测量地球质量的人”,A项正确;万有引力定律是牛顿发现的,B项错误;实验利用了放大的原理,提高了测量的精确程度,C项正确;引力常量不易测量的一个重要原因就是地面上普通物体间的引力太微小,D项正确.
素养提升
1.(1)根据万有引力定律F=G,可知物体在地球的不同位置,受到的万有引力大小一样 (2)不考虑自转,万有引力等于重力 (3)万有引力的一个分力提供物体随地球转动需要的向心力
示例 A [解析] 根据万有引力等于重力,有=mg,g=,行星质量为地球的a倍,半径为地球的b倍,所以该行星表面由引力产生的重力加速度g'与地球表面的重力加速度g的比值为=,故A正确,B、C、D错误.
变式2 C [解析] 地球自转不可忽略时,物体受到的万有引力可分解为重力和向心力,所以物体在不同纬度处所受重力不同,在两极时轨道半径为零,向心力为零,此时万有引力等于重力,即F1=,在赤道上时轨道半径为地球半径,有=F2+mω2R,即F1=F2+mω2R,C正确,A、B、D错误.
随堂巩固
1.ABD [解析] 太阳对行星的引力规律是牛顿由开普勒行星运动定律结合匀速圆周运动的规律推导出来的,它不是实验得出的,太阳对行星的引力提供行星做匀速圆周运动的向心力,选项A、D正确,C错误;太阳对行星的引力大小与太阳、行星的质量的乘积成正比,与行星和太阳间距离的二次方成反比,选项B正确.
2.B [解析] 若“使月球绕地球运动的力”与“使苹果落地的力”都遵循万有引力定律,则受力应满足G=ma,因此加速度a与距离r的平方成反比,故选项B正确;已知月地距离为地球半径的60倍,根据万有引力定律F=G可知当苹果的质量与月球的质量相等时,地球吸引月球的力约为地球吸引苹果的力的,但因为苹果的质量远小于月球的质量,故选项A错误;根据G=mg(R为星球半径),可得星球表面重力加速度g=,星球表面的重力加速度与星球质量和半径有关,故不能得到自由落体运动在月球表面的加速度约为地球表面的,故选项C错误;苹果在地球上受到的引力和苹果在月球上受到的引力与地球质量和半径及月球质量和半径有关,与地月距离无关,故不能得出此结论,选项D错误.
3.D [解析] 设两个质点的质量分别为m1、m2,根据题意可得F=G,其中一个质点的质量变为原来的2倍,另一质点质量保持不变,万有引力F'=G=8F,故选D.
4.A [解析] 重力就是由于物体受到地球的吸引而产生的,但重力只是万有引力的一个分力,故A错误.2 万有引力定律
学习任务一 万有引力定律的发现过程
[科学思维]
1.太阳与行星间引力的推导
(1)两个理想化模型:①将行星绕太阳的椭圆运动看成匀速圆周运动.②将天体看成质点,且质量集中在球心上.
(2)理论依据:①牛顿第二定律:太阳对行星的引力提供行星做圆周运动的向心力.②牛顿第三定律:太阳对行星的引力大小等于行星对太阳的引力.③开普勒第三定律:=k.
2.月—地检验
(1)假设地球与月球间的作用力和太阳与行星间的作用力是同一种力,它们的表达式也应该满足F=G.
(2)根据牛顿第二定律,可知月球绕地球做圆周运动的向心加速度 a月==G(式中m地是地球质量,r是地球中心与月球中心的距离).
(3)假设地球对苹果的吸引力也是同一种力,同理可知,苹果的自由落体加速度a苹== (式中 是地球的质量, 是地球中心与苹果间的距离).
(4)由以上两式可得= .由于月球与地球中心的距离r约为地球半径R的60倍,所以=.
(5)结论:计算结果与预期相符,表明地球上物体所受地球的引力、月球所受地球的引力都与太阳和行星间的引力遵从相同的规律.
例1 (多选)下列说法正确的是 ( )
A.在探究太阳与行星间的引力规律时,我们引用了公式F=,这个关系式实际上是牛顿第二定律,是可以在实验室中得到验证的
B.在探究太阳与行星间的引力规律时,我们引用了公式v=,这个关系式实际上是匀速圆周运动的一个公式,它是由速度的定义得来的
C.在探究太阳与行星间的引力规律时,我们引用了公式=k,这个关系式是开普勒第三定律,是可以在实验室中得到验证的
D.在探究太阳与行星间的引力规律时使用的三个公式都是可以在实验室中得到验证的
【要点总结】
牛顿提出万有引力定律把地面上物体的运动和天体运动统一起来,揭示了天上、地下一切物体的普遍运动规律,建立了经典力学体系,实现了物理学史上第一次大综合.
学习任务二 对万有引力定律的理解和计算
[教材链接] 阅读教材, 完成下列填空:
(1)内容:自然界中任何两个物体都相互吸引,引力的方向在它们的连线上,引力的大小与物体的质量m1和m2的 成正比、与它们之间距离r的 成反比.
(2)表达式: .
(3)引力常量
①大小:G= .
②测定:英国物理学家 在实验室里比较准确地测出了G值.
(4) 距离r:公式中的r是两个质点间的距离,对于质量均匀分布的球体,就是两球心间的距离.
例2 (多选)下列说法正确的是 ( )
A.万有引力定律F=G适用于两质点间的相互作用
B.根据F=G,可知当r→0时,两物体间的万有引力F趋于无穷大
C.把质量为m的匀质小球放在质量为M、半径为R的匀质大球球心处,则大球与小球间的万有引力F=G
D.两个质量分布均匀的球体之间的相互作用力也可以用F=G计算,r是两球体球心间的距离
[反思感悟]
变式1 要使可视为质点的两物体间万有引力减小到原来的,可采取的方法是 ( )
A.两物体间的距离保持不变,两物体的质量均减小为原来的
B.两物体间的距离保持不变,仅一个物体的质量减小为原来的
C.两物体的质量均不变,两物体间的距离变为原来的
D.两物体的质量均不变,两物体间的距离变为原来的2倍
[反思感悟]
【要点总结】
对万有引力定律的理解
1.普遍性:任何两个物体之间都存在引力(大到天体小到微观粒子),万有引力是自然界中物体间的基本相互作用之一.
2.相互性:两个有质量的物体之间的万有引力也是力的一种,力的作用是相互的,具有相互性,符合牛顿第三定律.
3.特殊性:两物体间的引力只与它们的质量及距离有关,而与它们所在空间的性质无关,与周围是否存在其他物体无关.
4.宏观性:地面上的一般物体之间的万有引力比较小,与其他力比较可忽略不计.在质量巨大的天体间或天体与物体间,它的存在才有宏观的物理意义.
学习任务三 引力常量的测量
[科学探究] 牛顿虽然发现了万有引力定律,却没能给出引力常量的数值.这是因为一般物体间的引力非常小,很难用实验的方法将它测量出来.直到一百多年之后,才由英国的卡文迪什用精巧的扭秤装置测出.卡文迪什解决问题的思路是:先将测引力转化为测引力矩,再转化为测石英丝转的角度,最后转化为测光点在刻度尺上移动的距离.
例3 物理学领域中具有普适性的一些常量,对物理学的发展有很大作用,引力常量就是其中之一.1687年牛顿发现了万有引力定律,但并没有得出引力常量.直到1798年,卡文迪什首次利用如图所示的装置,比较精确地测量出了引力常量.关于这段历史,下列说法错误的是 ( )
A.卡文迪什被称为“首个测量地球质量的人”
B.万有引力定律是牛顿和卡文迪什共同发现的
C.这个实验装置巧妙地利用放大原理,提高了测量精度
D.引力常量不易测量的一个重要原因就是地面上普通物体间的引力太微小
【要点总结】
1.卡文迪什扭秤实验中的放大方法有:力学放大(借助力矩将万有引力的作用效果放大)和光学放大(借助平面镜将微小的运动效果放大).
2.卡文迪什扭秤实验开创了微小量测量的先河,使科学放大思想得到推广.
重力与万有引力的关系
1.物体在地球(地球被视为规则的球体)不同纬度的位置,随地球的自转做半径不同的匀速圆周运动,请思考:
(1)物体在地球不同纬度的位置,受到的万有引力大小一样吗
(2)不考虑自转,万有引力和重力有何关系
(3)物体在地球的不同位置,什么力提供向心力
2.假设地球不自转,
重力与万有引力相等.考虑地球自转,地表的物体做匀速圆周运动,圆心在地轴上的某点,此时物体所需的向心力Fn由万有引力F引指向地轴的分力提供,而另一个分力则是物体的重力G,如图所示.因此,重力与万有引力是分力与合力的关系.
3.重力和纬度的关系
(1)在两极处的重力:在两极处,物体自转需要的向心力为零,满足mg=G,方向指向地心.
(2)在赤道处的重力:在赤道处,物体所受的万有引力F引可以分解成两个同方向的力,其中一个是物体的重力G,另一个是物体随地球自转需要的向心力.
假设地球自转的角速度为ω,则有G=mg+mω2R,所以mg=G-mω2R,方向指向地心.若不考虑地球自转,则重力等于万有引力.
(3)在其他位置时,物体的重力随纬度的升高而增大,在赤道处最小,在两极处最大.
4.星球上空某一高度h处有G=mg',g'=,随着高度的增加,重力加速度逐渐减小.
示例 [2024·重庆西南大学附中月考] 若有一颗“宜居”行星,其质量为地球的a倍,半径为地球的b倍,则该行星表面的重力加速度与地球表面重力加速度的比值为 ( )
A. B.
C. D.
变式2 [2024·北京四中月考] 为探究地球表面万有引力与重力的关系,一科学爱好者用同一弹簧测力计分别在地面的不同纬度位置测量一质量为m的物体所受的重力.假设在两极时,物体静止时竖直方向的弹簧弹力为F1,在赤道上时,物体静止时竖直方向的弹簧弹力为F2.地球自转角速度
为ω,设地球为标准的球体,半径为R,质量为M,引力常量为G.则以下表达式正确的是( )
A.F1=F2 B.F2=
C.F1=F2+mω2R D.=ω2R
1.(万有引力定律的发现过程)(多选)下列关于太阳对行星的引力的说法中正确的是 ( )
A.太阳对行星的引力提供行星做匀速圆周运动的向心力
B.太阳对行星的引力大小与太阳、行星的质量的乘积成正比,与行星和太阳间距离的二次方成反比
C.太阳对行星的引力规律是由实验得出的
D.太阳对行星的引力规律是由开普勒行星运动定律和行星绕太阳做匀速圆周运动的规律推导出来的
2.(月—地检验)[2024·浙江杭州二中月考] 若想检验“使月球绕地球运动的力”与“使苹果落地的力”是否遵循同样的规律,在已知月地距离约为地球半径60倍的情况下,需要验证 ( )
A.地球吸引月球的力约为地球吸引苹果的力的
B.月球公转的加速度约为苹果落向地面加速度的
C.自由落体运动在月球表面的加速度约为地球表面的
D.苹果在月球表面受到的引力约为在地球表面的
3.(万有引力定律的计算)两个质点相距r时,它们之间的万有引力为F,若它们间的距离缩短为,其中一个质点的质量变为原来的2倍,另一质点质量保持不变,则它们之间的万有引力为 ( )
A.2F B.4F C.6F D.8F
4.(万有引力与重力的关系)关于重力和万有引力的关系,下列认识错误的是 ( )
A.地球表面的物体所受的重力就是万有引力
B.重力是由于物体受到地球的吸引而产生的
C.在不太精确的计算中,可以认为地球表面的物体的重力大小等于所受万有引力的大小
D.严格来说,除两极处物体的重力大小等于所受万有引力的大小外,在地球表面其他各处的重力都略小于所受万有引力2 万有引力定律(A)
1.C [解析] 若地球绕太阳的运动为圆周运动,则太阳对地球的吸引力提供向心力,即F=m2R,根据开普勒第三定律=k,联立可得F=4π2k·∝,故A、B错误;类比地球绕太阳的运动规律及开普勒第三定律得出,地球对月球的吸引力为f=4π2k'·∝,故C正确;若地球对苹果的吸引力与地球对月球的力是同一种力,则a月==,a苹==,所以苹果自由落体加速度与月球绕地球做圆周运动的向心加速度之比为=,故D错误.
2.BD [解析] F'和F大小相等,方向相反,是作用力与反作用力,选项A、C错误,B正确;太阳对行星的引力提供行星绕太阳做圆周运动的向心力,选项D正确.
3.B [解析] 根据题意可知,假定维持月球绕地球运动的力与使得苹果下落的力真的是同一种力,即这两者都遵从与距离的二次方成反比的规律,设月球的质量为m,地球质量为M,月、地距离为r,则月球受到的引力F∝,结合牛顿第二定律可知,月球做圆周运动的向心加速度a∝,则苹果下落的加速度a苹=g∝,比较可得 =,即他需测出月球绕地球公转的向心加速度a及月、地间距离r,验证=是否成立,故B正确.
4.D [解析] 对两质量分布均匀的球体,F=G中的r为两球心之间的距离,则两球间的万有引力F=G,故选项D正确.
5.C [解析] 由万有引力定律的表达式F=G可知,当两球体质量不变时,两球体之间的万有引力大小与它们球心间距离的二次方成反比,C正确.
6.D [解析] 地面上有F=G,高度为h处有F'=G,因为F'=F,所以=,所以h=(-1)R,故D正确,A、B、C错误.
7.D [解析] 由万有引力提供向心力可得G=m1a1,G=m2a2,联立可以得到=,故D正确,A、B、C错误.
8.A [解析] 若把物体放到地球的中心,r=0,此时万有引力定律不能直接应用,可以设想将地球分为一个个质量相等的小质点,每个质点都对物体产生引力作用.由于地球关于球心对称,所以各部分对物体的吸引力相互抵消,整体而言,万有引力为零,故A正确.
9.B [解析] 设海水的质量为m,则太阳对海水的引力F1=,月球对海水的引力F2=,则===≈176,故A、C、D错误,B正确.
10.见解析
[解析] 月球绕地球做圆周运动的向心加速度为
an=r=60×6.4×106× m/s2≈2.59×10-3 m/s2
月球做圆周运动的向心加速度与地球表面重力加速度之比为
=≈
所以两种力是同一种性质的力
11.9∶1
[解析] 设月球的质量为M,则地球的质量为81M,飞行器的质量为m,飞行器距地心的距离为r1,飞行器距月心的距离为r2,由于地球对它的引力和月球对它的引力大小相等,根据万有引力定律得
G=G
解得=.
12.能 7.45×1025 N
[解析] 两恒星的半径比它们之间的距离小得多,两恒星可以视为质点,可以用万有引力定律直接计算它们之间的万有引力大小
F万=G=6.67×10-11× N=7.45×1025 N.2 万有引力定律(A)建议用时:40分钟
◆ 知识点一 万有引力定律的发现过程
1.[2024·北京四中月考] 牛顿利用他的运动规律把行星的向心加速度与太阳对它的引力联系起来,并深入思考了月球受到的引力与地面物体受到的引力的关系.设太阳质量为m1,地球质量为m2,月球质量为m3,地球与太阳间距离为R,月球与地球间距离为r.若地球绕太阳的运动及月球绕地球的运动可以看作匀速圆周运动,关于得出万有引力定律的推理,下列说法正确的是 ( )
A.根据地球绕太阳的运动规律及开普勒第三定律得出,太阳对地球的吸引力F∝
B.根据牛顿第三定律及对称性,地球对太阳的吸引力F'∝
C.类比地球绕太阳的运动规律及开普勒第三定律得出,地球对月球的吸引力f∝
D.若地球对苹果的吸引力与地球对月球的力是同一种力,则苹果自由落体加速度与月球绕地球做圆周运动的向心加速度之比为
2.(多选)根据开普勒行星运动定律和圆周运动知识得:太阳对行星的引力F∝,行星对太阳的引力F'∝,其中M、m、r分别为太阳的质量、行星的质量和太阳与行星间的距离.下列说法正确的是 ( )
A.由F∝和F'∝,知F∶F'=m∶M
B.F和F'大小相等,是作用力与反作用力
C.F和F'大小相等,是同一个力
D.太阳对行星的引力提供行星绕太阳做圆周运动的向心力
3.牛顿深入思考月球受到的引力与地面物体受到的引力的关系,提出了著名的“月—地检验”.其基本思想是:假定维持月球绕地球运动的力与使得苹果下落的力真的是同一种力,即这两者都遵从与距离的二次方成反比的规律,在当时地球表面的重力加速度g和地球半径R已精确测得,则下列说法符合他的研究思维的是 ( )
A.他需测出月球表面的重力加速度g'及月球半径R',验证=是否成立
B.他需测出月球绕地球公转的向心加速度a及月、地间距离r,验证=是否成立
C.他需测出月球表面的重力加速度g'、月球绕地球公转的向心加速度a'、月球半径R'及月、地间距离r,验证=是否成立
D.由于当时尚未测出引力常量G,“月—地检验”没有实际意义
◆ 知识点二 对万有引力定律的理解和计算
4.如图所示,两球间的距离为r3,两球的质量分别为m1、m2,半径分别为r1、r2,两球的质量分布均匀,引力常量为G,则两球间的万有引力大小为 ( )
A.G B.G
C.G D.G
5.两个质量相等的均匀球体之间的万有引力大小为F,若将它们球心间距离增大为原来的3倍,其万有引力大小将变为 ( )
A. B.
C. D.
6.已知地球半径为R,将物体从地面发射至离地面高度为h处时,物体所受万有引力减小到原来的一半,则h为 ( )
A.R B.2R
C.R D.(-1)R
7.两个行星的质量分别为m1和m2,绕太阳运行的轨道半径分别是r1和r2,若它们只受太阳引力的作用,那么这两个行星的向心加速度之比为 ( )
A.1 B.
C. D.
8.设想把质量为m的物体(可视为质点)放到地球的中心,地球质量为M、半径为R.则物体与地球间的万有引力是 ( )
A.零 B.无穷大
C. D.无法确定
9.[2024·河南郑州一中月考] 太阳、月球对地球上某一区域海水引力呈周期性变化,引起潮汐现象.已知太阳质量为2.0×1030 kg,太阳与地球的距离为1.5×108 km,月球质量为7.3×1022 kg,月球与地球的距离为3.8×105 km.对同一片海水来说,设太阳对其引力为F1、月球对其引力为F2,则约为 ( )
A.2 B.200
C.7×104 D.4×1013
10.万有引力定律的正确性可以通过“月—地检验”来证明.如果重力与星体间的引力是同种性质的力,都与距离的二次方成反比关系,那么,由于月心到地心的距离是地球半径的60倍,故月球绕地球做近似圆周运动的向心加速度就应该是重力加速度的.试根据上述思路并通过计算证明:重力和星体间的引力是同一性质的力.(已知地球半径为6.4×106 m,月球绕地球运动的周期为28天,地球表面的重力加速度取9.8 m/s2,π为3.14)
11.[2024·宁夏银川一中月考] 地球质量大约是月球质量的81倍,一个飞行器在地球与月球之间.当地球对它的引力和月球对它的引力大小相等时,该飞行器距地心的距离与距月心的距离之比为多少
12.根据天文观测,在距离地球430 ly处有两颗恒星,它们的质量分别为1×1031 kg和6.4×1030 kg,半径分别为4.86×1010 m和2.4×109 m,它们之间的距离为7.57×1012 m.能否用万有引力定律直接计算它们之间的万有引力大小 如果能,请计算;如果不能,请说明理由.(ly为长度单位光年的符号,即光在一年内传播的距离, 1 ly≈9.46×1015 m)
