章末素养测评(三)
1.D [解析] 由对称性得tAB=tBA,选项A、B错误;由开普勒第二定律可知,卫星在近地点时运动快,在远地点时运动慢,所以tCD
2.B [解析] 对环绕地球做匀速圆周运动的卫星而言,由于所需的向心力由万有引力提供,所以其圆轨道的圆心应为地心,选项A错误,B正确;同步卫星的轨道与赤道共面,选项C、D错误.
3.C [解析] 第一宇宙速度7.9 km/s是环绕地球做圆运动的最大速度,则神舟十五号载人飞船的运行速度小于7.9 km/s,选项A错误;根据G=m(R+h)可得地球的质量为M=,选项B错误;根据G=mg可得地球表面重力加速度为g=,选项C正确;根据开普勒第三定律可知,若离地高度增大为2h,神舟十五号载人飞船运行周期将会变大,选项D错误.
4.D [解析] 由于物体的质量不随位置变化而改变,所以选项A错误;地面上物体与同步卫星角速度相同,由a=ω2r可得a地a同,所以a空>a同>a地,由于F合=ma,故物资在空间站所受合力大于在地面上所受合力,所以选项B错误;根据F引=,空间站轨道半径较大,可得所受地球引力较小,所以选项C错误;根据ω=可知,ω空>ω同,而ω地=ω同,可得ω空>ω地,所以选项D正确.
5.B [解析] 由图可知,恒星S2绕黑洞运行半个周期的时间为8年,所以TS2=16年.根据开普勒第三定律可知,恒星S2与以半径r=1000 AU绕黑洞做匀速圆周运动的天体的周期相同,根据万有引力提供向心力可知,=mr,地球绕太阳做圆周运动的半径r日地=1 AU,T=1年,根据万有引力提供向心力可知,=mr日地,联立两式得M黑=4×106M,B正确.
6.D [解析] 设木卫一、木卫二、木卫三的轨道半径分别为R1、R2、R3,由万有引力提供卫星做圆周运动的向心力,有=m3R3,=mr,且=n,则=n3,选项D正确;若地球、木星质量相等,则根据上式可知=n3,但木星、地球质量并不相等,所以选项C错误;根据开普勒第三定律=k可知,∶∶=∶∶T2=1∶4∶16,所以木卫一的轨道半径应该为,木卫二的轨道半径为,选项A、B错误.
7.C [解析] 设两个黑洞质量分别为mA、mB,轨道半径分别为RA、RB,角速度为ω,则由万有引力定律可知=mAω2RA,=mBω2RB,RA+RB=L,联立可以得到=,而RA>RB,所以mAvB,故选项B错误;联立方程式=mAω2RA,=mBω2RB,RA+RB=L,可以得到M=mA+mB=,而且T=,整理可以得到T=2π,可知当总质量M一定,L越大,则T越大,角速度越小,故选项C正确,D错误.
8.CD [解析] 三颗卫星的质量关系不确定,所以不能比较向心力大小关系,选项A错误;地球赤道上的物体与同步卫星具有相同的角速度和周期,即Ta=Tc,卫星绕地球做圆周运动,由万有引力提供向心力,由牛顿第二定律得G=mr,解得T=2π,由于rc>rb,则Tc>Tb,所以Ta=Tc>Tb,故B错误;地球赤道上的物体与同步卫星具有相同的角速度,即ωa=ωc,由于rc>ra,根据v=ωr可知vc>va,卫星绕地球做圆周运动,由万有引力提供向心力,由牛顿第二定律得G=m,解得v=,由于rc>rb,则vcvc>va,故C正确;地球赤道上的物体与同步卫星具有相同的角速度,即ωa=ωc,由于rc>ra,根据an=ω2r可知anc>ana,卫星绕地球做圆周运动,由万有引力提供向心力,由牛顿第二定律得G=man,解得an=,由于rc>rb,则ancanc>ana,故D正确.
9.AC [解析] “鹊桥”的轨道半径大于月球的轨道半径,但两者运行的角速度相同,由v=ωr,可知“鹊桥”的线速度大于月球的线速度,由向心加速度an=ω2r,可知“鹊桥”的向心加速度大于月球的向心加速度,A、C正确;“鹊桥”位于地月系统的拉格朗日点L2,与月球同步绕地球做匀速圆周运动,所受合外力指向地心,处于非平衡状态,B错误;“鹊桥”的向心力由地球和月球的引力共同提供,D错误.
10.BD [解析] 对地球表面的物体有=mg,可得M=,则地球的平均密度ρ===,选项A、C错误;空间站绕地球运行,由万有引力提供向心力得G=m',解得v=,选项B正确;由牛顿第二定律有=m'·(R+h),解得T=2π,选项D正确.
11.AB [解析] 第一宇宙速度是围绕行星表面做圆周运动的速度,则由题图可知,行星A、B的第一宇宙速度相等,即v==,解得MB=3MA,选项A、B正确;两行星的密度满足ρA=,ρB=,可得行星A的密度是行星B的9倍,选项C错误;在行星表面有gA=,=,可得行星A表面的重力加速度大小是行星B表面重力加速度大小的3倍,选项D错误.
12.CD [解析] 根据开普勒第三定律得=, 可得火星公转周期是地球公转周期的倍,A错误;由于地球的公转速度比火星大,所以在冲日处,地球上的观测者,观测到火星相对于恒星背景由东向西运动,为逆行,B错误,C正确;地球、火星的速度以及二者的相对速度,可以构成一个矢量三角形,由于三角形的两边之差小于第三边,可知冲日时,二者的相对速度最小,D正确.
13.(1) (2)-
[解析] 设匀质实心球的密度为ρ,则有
M=ρ×πR3
挖去的小球质量
m=ρ×π
解得m=M
剩余空心球的质量M'=M
(1)由图甲知,空心球的质量分布对称,由万有引力定律得两球之间的引力
F1=G=
(2)由图乙知,空心球质量分布不均匀,不能直接用万有引力公式计算,可利用“割补法”.先将空心球转化为理想模型,即用同样的材料将其填补为实心球,这时,两者之间的引力
F=G=
由于填补空心球而增加的引力
ΔF=G=
所以空心球与挖去的小球之间的引力
F2=F-ΔF=-
14.(1) (2)-R
[解析] (1)设地球质量为M,卫星质量为m,引力常量为G,卫星在A点的加速度大小为a,由牛顿第二定律得G=ma
物体在地球赤道表面上受到的万有引力等于重力,有G=m'g
联立解得a=
(2)设远地点B距地面的高度为h2,卫星在同步轨道上受到的万有引力提供向心力,
由牛顿第二定律得G=m(R+h2)
解得h2=-R
15.(1)v (2) (3)4π
[解析] (1)小球在最高点时,由重力提供向心力,有mg=m
环月卫星的最小发射速度v1满足m'g=m'
联立解得v1=v
(2)由=mg可得M=
又因为ρ==
所以解得ρ=
(3)对该卫星,有G=m1·2R
解得T=4π
16.(1)-R (2) (3) (4)
[解析] (1)根据G=mg
G=m(R+h)
得同步卫星距地面的高度
h=-R
(2)根据mg=m
得地球的第一宇宙速度
v1=
(3)根据G=m
v1=
同理v2==
(4)地球的密度ρ=
结合G=mg
得ρ=章末素养测评(三)
第七章 万有引力与宇宙航行
一、单项选择题
1.[2024·天津南开中学月考] 如图所示,O表示地球,P表示绕地球沿椭圆轨道做逆时针方向运动的人造卫星,AB为长轴,CD为短轴.在卫星绕地球运动一周的时间内,从A到B的时间为tAB,从B到A、从C到D、从D到C的时间分别为tBA、tCD、tDC.下列关系式正确的是( )
A.tAB>tBA B.tABC.tCD>tDC D.tCD2.如图所示,a、b、c三圆的圆心均在地球的自转轴线上,对环绕地球做匀速圆周运动的卫星而言 ( )
A.卫星的轨道可能为a
B.卫星的轨道可能为b
C.同步卫星的轨道可能为c
D.同步卫星的轨道可能为b
3.[2024·湖南衡阳八中月考] 神舟十五号载人飞船入轨后,于北京时间2022年11月30日5时42分,成功对接于空间站天和核心舱前向端口.若神舟十五号载人飞船绕地球的运动可看作匀速圆周运动,周期为T,离地高度为h,已知地球半径为R,引力常量为G,则( )
A.神舟十五号载人飞船的运行速度大于7.9 km/s
B.地球的质量为
C.地球表面重力加速度为
D.若离地高度增大为2h,神舟十五号载人飞船运行周期将会减小
4.[2023·新课标卷] 2023年5月,世界现役运输能力最大的货运飞船天舟六号,携带约5800 kg的物资进入距离地面约400 km(小于地球同步卫星与地面的距离)的轨道,顺利对接中国空间站后近似做匀速圆周运动.对接后,这批物资 ( )
A.质量比静止在地面上时小
B.所受合力比静止在地面上时小
C.所受地球引力比静止在地面上时大
D.做圆周运动的角速度大小比地球自转角速度大
5.[2021·全国乙卷] 科学家对银河系中心附近的恒星S2进行了多年的持续观测,给出1994年到2002年间S2的位置如图所示.科学家认为S2的运动轨迹是半长轴约为1000 AU(太阳到地球的距离为1 AU)的椭圆,银河系中心可能存在超大质量黑洞. 这项研究工作获得了2020年诺贝尔物理学奖.若认为S2所受的作用力主要为该大质量黑洞的引力,设太阳的质量为M,可以推测出该黑洞质量约为 ( )
A.4×104M
B.4×106M
C.4×108M
D.4×1010M
6.[2023·浙江6月选考] 木星的卫星中,木卫一、木卫二、木卫三做圆周运动的周期之比为1∶2∶4.木卫三周期为T,公转轨道半径是月球绕地球轨道半径r的n倍.月球绕地球公转周期为T0,则( )
A.木卫一轨道半径为r
B.木卫二轨道半径为r
C.周期T与T0之比为
D.木星质量与地球质量之比为n3
7.[2024·吉林一中月考] 人类首次发现的引力波来源于距地球之外13亿光年的两个黑洞互相绕转最后合并的过程.设两个黑洞A、B绕其连线上的O点做匀速圆周运动,如图所示,黑洞A的轨道半径大于黑洞B的轨道半径,两个黑洞的总质量为M,两个黑洞中心间的距离为L,则 ( )
A.黑洞A的质量一定大于黑洞B的质量
B.黑洞A的线速度一定小于黑洞B的线速度
C.其运动周期T=2π
D.两个黑洞的总质量M一定,L越大,角速度越大
二、多项选择题
8.[2024·山东省实验中学月考] 如图所示,a为地球赤道上的物体,b为沿地球表面附近做匀速圆周运动的人造卫星,c为地球同步卫星.下列关于a、b、c做匀速圆周运动的说法正确的是 ( )
A.向心力关系为Fna>Fnb>Fnc
B.周期关系为Ta=TcC.线速度的大小关系为vaD.向心加速度的大小关系为ana9.拉格朗日点的定义是:“指受两大物体引力作用下,能使小物体稳定的点.”在数学上共有五个解,如图中的L1、L2、L3、L4、L5点.2018年5月21日,我国用长征四号丙运载火箭,成功将嫦娥四号任务“鹊桥”号中继卫星发射升空.“鹊桥”是世界首颗运行于拉格朗日点L2的通信卫星,当“鹊桥”处于拉格朗日点L2时,会在月球与地球共同的引力作用下,几乎不消耗燃料以与月球相同的周期同步绕地球运行.则以下有关判断正确的是 ( )
A.“鹊桥”的线速度大于月球的线速度
B.“鹊桥”在拉格朗日点L2处受力平衡
C.“鹊桥”的向心加速度大于月球的向心加速度
D.“鹊桥”的向心力仅由地球的引力提供
10.[2024·江西九江一中月考] 2022年11月3日9时32分,梦天实验舱顺利完成转位,标志着中国空间站“T”字型基本结构在轨组装完成,如图所示.已知空间站离地面的高度为h,地球的半径为R,地球表面的重力加速度为g,引力常量为G,忽略地球自转.若空间站可视为绕地心做匀速圆周运动,则下列说法正确的是 ( )
A.地球的质量为
B.空间站的线速度大小为
C.地球的平均密度为
D.空间站的周期为2π
11.[2024·山西太原五中月考] 有两颗相距较远的行星A、B,距行星中心r处的卫星围绕行星做匀速圆周运动的线速度的平方v2随r变化的关系如图所示,R、3R分别是行星A、B的半径,两图线左端的纵坐标相同,行星可看作质量分布均匀的球体,忽略行星的自转和其他星球的影响,则下列说法正确的是 ( )
A.两行星的第一宇宙速度相等
B.行星A、B的质量之比为1∶3
C.行星A、B的密度之比为1∶3
D.行星A、B表面的重力加速度大小之比为1∶3
12.[2022·湖南卷] 如图所示,火星与地球近似在同一平面内,绕太阳沿同一方向做匀速圆周运动,火星的轨道半径大约是地球的1.5倍.地球上的观测者在大多数的时间内观测到火星相对于恒星背景由西向东运动,称为顺行;有时观测到火星由东向西运动,称为逆行.当火星、地球、太阳三者在同一直线上,且太阳和火星位于地球两侧时,称为火星冲日.忽略地球自转,只考虑太阳对行星的引力,下列说法正确的是 ( )
A.火星的公转周期大约是地球的倍
B.在冲日处,地球上的观测者观测到火星的运动为顺行
C.在冲日处,地球上的观测者观测到火星的运动为逆行
D.在冲日处,火星相对于地球的速度最小
三、计算题
13.[2024·河南师大附中月考] 一个质量为M的匀质实心球,半径为R.如果从此球上挖去一个直径为R的小球,放在与该球相距为d的地方.求下列两种情况下,两球之间引力的大小,引力常量为G.
(1)如图甲所示,从球的正中心挖去;
(2)如图乙所示,从与球面相切处挖去.
14.发射地球同步卫星时,先将卫星发射到距地面高度为h1的圆轨道上,在卫星经过A点时点火实施变轨进入椭圆轨道,最后在椭圆轨道的远地点B再次点火将卫星送入同步轨道,如图所示.已知同步卫星的运动周期为T,地球的半径为R,地球表面重力加速度为g,忽略地球自转的影响.求:
(1)卫星在A点的加速度大小;
(2)远地点B距地面的高度.
15.宇航员在月球表面完成下面的实验:在一固定的竖直光滑圆轨道内部有一质量为m的小球(可视为质点),如图所示.当在最高点给小球一瞬时速度v时,刚好能使小球在竖直平面内做完整的圆周运动.已知圆轨道半径为r,月球的半径为R,引力常量为G.
(1)若在月球表面上发射一颗环月卫星,所需最小发射速度为多少
(2)月球的平均密度为多大
(3)轨道半径为2R的环月卫星的周期为多大
16.我国北斗卫星导航系统有五颗同步卫星,如果地球半径为R,自转周期为T,地球表面重力加速度为g.求:
(1)同步卫星距地面的高度h;
(2)地球的第一宇宙速度v1;
(3)近期科学家发现一颗“超级地球”开普勒-22b,质量是地球质量的14倍,半径是地球半径的2.4倍,该“超级地球”的第一宇宙速度v2﹔
(4)地球的密度ρ.(共38张PPT)
章末素养测评(三)
◆ 测评卷
一、单项选择题
二、多项选择题
三、计算题
一、单项选择题
1.[2024·天津南开中学月考] 如图所示,表示地球,表示绕地球沿椭圆轨道做逆时针方向运动的人造卫星,为长轴,为短轴.在卫星绕地球运动一周的时间内,从到的时间为,从到、从到、从到的时间分别为、、.下列关系式正确的是( )
D
A. B. C. D.
[解析] 由对称性得,选项A、B错误;由开普勒第二定律可知,卫星在近地点时运动快,在远地点时运动慢,所以,选项C错误,D正确.
2.如图所示，、、三圆的圆心均在地球的自转轴线上，对环绕地球做匀速圆周运动的卫星而言( )
B
A.卫星的轨道可能为 B.卫星的轨道可能为
C.同步卫星的轨道可能为 D.同步卫星的轨道可能为
[解析] 对环绕地球做匀速圆周运动的卫星而言，由于所需的向心力由万有引力提供，所以其圆轨道的圆心应为地心，选项A错误，B正确；同步卫星的轨道与赤道共面，选项C、D错误.
3.[2024·湖南衡阳八中月考] 神舟十五号载人飞船入轨后，于北京时间2022年11月30日5时42分，成功对接于空间站天和核心舱前向端口.若神舟十五号载人飞船绕地球的运动可看作匀速圆周运动，周期为，离地高度为，已知地球半径为，引力常量为，则( )
C
A.神舟十五号载人飞船的运行速度大于
B.地球的质量为
C.地球表面重力加速度为
D.若离地高度增大为，神舟十五号载人飞船运行周期将会减小
[解析] 第一宇宙速度是环绕地球做圆运动的最大速度，则神舟十五号载人飞船的运行速度小于，选项A错误；根据可得地球的质量为，选项B错误；根据可得地球表面重力加速度为，选项C正确；根据开普勒第三定律可知，若离地高度增大为，神舟十五号载人飞船运行周期将会变大，选项D错误.
4.[2023新课标卷] 年5月，世界现役运输能力最大的货运飞船天舟六号，携带约的物资进入距离地面约(小于地球同步卫星与地面的距离)的轨道,顺利对接中国空间站后近似做匀速圆周运动.对接后，这批物资( )
D
A.质量比静止在地面上时小
B.所受合力比静止在地面上时小
C.所受地球引力比静止在地面上时大
D.做圆周运动的角速度大小比地球自转角速度大
[解析] 由于物体的质量不随位置变化而改变,所以选项A错误;地面上物体与同步卫星角速度相同,由可得，对同步卫星和空间站进行比较,根据,可得,所以，由于，故物资在空间站所受合力大于在地面上所受合力，所以选项B错误；根据，空间站轨道半径较大，可得所受地球引力较小，所以选项C错误；根据可知,,而,可得,所以选项D正确.
5.[2021·全国乙卷] 科学家对银河系中心附近的恒星进行了多年的持续观测，给出1994年到2002年间的位置如图所示.科学家认为的运动轨迹是半长轴约为(太阳到地球的距离为)的椭圆，银河系中心可能存在超大质量黑洞.这项研究工作获得了2020年诺贝尔物理学奖.若认为所受的作用力主要为该大质量黑洞的引力，设太阳的质量为，可以推测出该黑洞质量约为 ( )
B
A. B. C. D.
[解析] 由图可知，恒星绕黑洞运行半个周期的时间为8年，所以年.根据开普勒第三定律可知，恒星与以半径绕黑洞做匀速圆周运动的天体的周期相同，根据万有引力提供向心力可知，，地球绕太阳做圆周运动的半径，年，根据万有引力提供向心力可知，，联立两式得，B正确.
6.[2023·浙江6月选考] 木星的卫星中，木卫一、木卫二、木卫三做圆周运动的周期之比为.木卫三周期为，公转轨道半径是月球绕地球轨道半径的倍.月球绕地球公转周期为，则( )
D
A.木卫一轨道半径为 B.木卫二轨道半径为
C.周期与之比为 D.木星质量与地球质量之比为
[解析] 设木卫一、木卫二、木卫三的轨道半径分别为、、，由万有引力提供卫星做圆周运动的向心力，有,,且，则,选项D正确；若地球、木星质量相等，则根据上式可知，但木星、地球质量并不相等，所以选项C错误；根据开普勒第三定律可知，，所以木卫一的轨道半径应该为，木卫二的轨道半径为，选项A、B错误.
7.[2024·吉林一中月考] 人类首次发现的引力波来源于距地球之外13亿光年的两个黑洞互相绕转最后合并的过程.设两个黑洞、绕其连线上的点做匀速圆周运动，如图所示，黑洞的轨道半径大于黑洞的轨道半径，两个黑洞的总质量为，两个黑洞中心间的距离为，则( )
C
A.黑洞的质量一定大于黑洞的质量
B.黑洞的线速度一定小于黑洞的线速度
C.其运动周期
D.两个黑洞的总质量一定，越大，角速度越大
[解析] 设两个黑洞质量分别为、，轨道半径分别为、，角速度为 ，则由万有引力定律可知，，，联立可以得到，而，所以，故
选项A错误；由于二者角速度相等，则线速度分别为，，则，故选项B错误；联立方程式，，，可以得到，而且，整理可以得到，可知当总质量一定，越大，则越大，角速度越小，故选项C正确，D错误.
二、多项选择题
8.[2024·山东省实验中学月考] 如图所示，为地球赤道上的物体，为沿地球表面附近做匀速圆周运动的人造卫星，为地球同步卫星.下列关于、、做匀速圆周运动的说法正确的是( )
CD
A.向心力关系为 B.周期关系为
C.线速度的大小关系为 D.向心加速度的大小关系为
[解析] 三颗卫星的质量关系不确定，所以不能比较向心力大小关系，选项A错误；地球赤道上的物体与同步卫星具有相同的角速度和周期，即,卫星绕地球做圆周运动，由万有引力提供向心
力，由牛顿第二定律得,解得,由于，则,所以,故B错误；地球赤道上的物体与同步卫星具有相同的角速度，即,由于，根据可知，卫星绕地球做圆周运动，由万有引力提供向心力，由牛顿第二定律得,解得,由于，则,所以,故C正确；地球赤道上的物体与同步卫星具有相同的角速度，即,由于，根据可知，卫星绕地球做圆周运动，由万有引力提供向心力，由牛顿第二定律得,解得,由于，则,所以,故D正确.
9.拉格朗日点的定义是：“指受两大物体引力作用下，能使小物体稳定的点.”在数学上共有五个解，如图中的、、、、点.2018年5月21日，我国用长征四号丙运载火箭，成功将嫦娥四号任务“鹊桥”号中继卫星发射升空.“鹊桥”是世界首颗运行于拉格朗日点的通信卫星，当“鹊桥”处于拉格朗日点时，会在月球与地球共同的引力作用下，几乎不消耗燃料以与月球相同的周期同步绕地球运行.则以下有关判断正确的是( )
AC
A.“鹊桥”的线速度大于月球的线速度
B.“鹊桥”在拉格朗日点处受力平衡
C.“鹊桥”的向心加速度大于月球的向心加速度
D.“鹊桥”的向心力仅由地球的引力提供
[解析] “鹊桥”的轨道半径大于月球的轨道半径，但两者运行的角速度相同，由，可知“鹊桥”的线速度大于月球的线速度，由向心加速度，可知“鹊桥”的向心加速度大于月球的向心加速度，A、C正确；“鹊桥”位于地月系统的拉格朗日点，与月球同步绕地球做匀速圆周运动，所受合外力指向地心，处于非平衡状态，
B错误；“鹊桥”的向心力由地球和月球的引力共同提供，D错误.
10.[2024·江西九江一中月考] 2022年11月3日9时32分，梦天实验舱顺利完成转位，标志着中国空间站“”字型基本结构在轨组装完成，如图所示.已知空间站离地面的高度为，地球的半径为，地球表面的重力加速度为，引力常量为，忽略地球自转.若空间站可视为绕地心做匀速圆周运动，则下列说法正确的是( )
BD
A.地球的质量为 B.空间站的线速度大小为
C.地球的平均密度为 D.空间站的周期为
[解析] 对地球表面的物体有，可得，则地球的平均密度，选项A、C错误；空间站绕地球运行，由万有引力提供向心力得，解得，选项B正确；由牛顿第二定律有，解得，选项D正确.
11.[2024·山西太原五中月考] 有两颗相距较远的行星
、，距行星中心处的卫星围绕行星做匀速圆周运
动的线速度的平方随变化的关系如图所示，、
分别是行星、的半径，两图线左端的纵坐标相同，行星可看作质量分布均匀的球体，忽略行星的自转和其他星球的影响，则下列说法正确的是( )
AB
A.两行星的第一宇宙速度相等
B.行星、的质量之比为
C.行星、的密度之比为
D.行星、表面的重力加速度大小之比为
[解析] 第一宇宙速度是围绕行星表面做圆周运动的速度，则由题图可知，行星A、B的第一宇宙速度相等，即，解得，选
项A、B正确；两行星的密度满足，，可得行星A的密度是行星B的9倍，选项C错误；在行星表面有，，可得行星A表面的重力加速度大小是行星B表面重力加速度大小的3倍，选项D错误.
12.[2022·湖南卷] 如图所示，火星与地球近似在同一平面内，绕太阳沿同一方向做匀速圆周运动，火星的轨道半径大约是地球的1.5倍.地球上的观测者在大多数的时间内观测到火星相对于恒星背景由西向东运动，称为顺行；有时观测到火星由东向西运动，称为逆行.当火星、地球、太阳三者在同一直线上，且太阳和火星位于地球两侧时，称为火星冲日.忽略地球自转，只考虑太阳对行星的引力，下列说法正确的是( )
CD
A.火星的公转周期大约是地球的倍
B.在冲日处，地球上的观测者观测到火星的运动为顺行
C.在冲日处，地球上的观测者观测到火星的运动为逆行
D.在冲日处，火星相对于地球的速度最小
[解析] 根据开普勒第三定律得,可得火星公转周期是地球公转周期的倍,A错误;由于地球的公转速度比火星大,所以在冲日处,地球上的观测者,观测到火星相对于恒星背景由东向西运动,为逆行,B错误,C正确;地球、火星的速度以及二者的相对速度,可以构成一个矢量三角形,由于三角形的两边之差小于第三边,可知冲日时,二者的相对速度最小,D正确.
三、计算题
13.[2024·河南师大附中月考] 一个质量为的匀质实心球，半径为.如果从此球上挖去一个直径为的小球，放在与该球相距为的地方.求下列两种情况下，两球之间引力的大小，引力常量为.
甲
(1) 如图甲所示，从球的正中心挖去；
[答案]
[解析] 设匀质实心球的密度为 ，则有
挖去的小球质量
解得
剩余空心球的质量
由图甲知，空心球的质量分布对称，由万有引力定律得两球之间的引力
甲
(2) 如图乙所示，从与球面相切处挖去.
乙
[答案]
乙
[解析] 由图乙知，空心球质量分布不均匀，不能直接用万有引力公式计算，可利用“割补法”.先将空心球转化为理想模型，即用同样的材料将其填补为实心球，这时，两者之间的引力
由于填补空心球而增加的引力
所以空心球与挖去的小球之间的引力
14.发射地球同步卫星时，先将卫星发射到距地面高度为的圆轨道上，在卫星经过点时点火实施变轨进入椭圆轨道，最后在椭圆轨道的远地点再次点火将卫星送入同步轨道，如图所示.已知同步卫星的运动周期为，地球的半径为，地球表面重力加速度为，忽略地球自转的影响.求：
(1) 卫星在点的加速度大小；
[答案]
[解析] 设地球质量为，卫星质量为，引力常量为，卫星在点的加速度大小为，由牛顿第二定律得
物体在地球赤道表面上受到的万有引力等于重力，有
联立解得
(2) 远地点距地面的高度.
[答案]
[解析] 设远地点距地面的高度为，卫星在同步轨道上受到的万有引力提供向心力，
由牛顿第二定律得
解得
15.宇航员在月球表面完成下面的实验：在一固定的竖直光滑圆轨道内部有一质量为的小球(可视为质点),如图所示.当在最高点给小球一瞬时速度时,刚好能使小球在竖直平面内做完整的圆周运动.已知圆轨道半径为,月球的半径为,引力常量为.
(1) 若在月球表面上发射一颗环月卫星,所需最小发射速度为多少？
[答案]
[解析] 小球在最高点时，由重力提供向心力，有
环月卫星的最小发射速度满足
联立解得
(2) 月球的平均密度为多大？
[答案]
[解析] 由可得
又因为
所以解得
(3) 轨道半径为的环月卫星的周期为多大？
[答案]
[解析] 对该卫星，有
解得
16.我国北斗卫星导航系统有五颗同步卫星，如果地球半径为，自转周期为，地球表面重力加速度为.求：
(1) 同步卫星距地面的高度；
[答案]
[解析] 根据
得同步卫星距地面的高度
(2) 地球的第一宇宙速度；
[答案]
[解析] 根据
得地球的第一宇宙速度
(3) 近期科学家发现一颗“超级地球”开普勒，质量是地球质量的14倍，半径是地球半径的2.4倍，该“超级地球”的第一宇宙速度；
[答案]
[解析] 根据
同理
(4) 地球的密度 .
[答案]
[解析] 地球的密度
结合
得