3 万有引力理论的成就
1.A [解析] 根据牛顿第二定律可知G=m,解得M=,A正确.
2.BD [解析] 由万有引力提供向心力,可得G=m,解得M=,月球体积V=πR3 ,所以月球平均密度为ρ== ,故A错误,B正确;在月球表面,有G=mg,可解得月球表面重力加速度为g==,故C错误,D正确.
3.B [解析] 卫星绕土星运动,土星的引力提供卫星做圆周运动的向心力,设土星质量为M,则=mR,解得M=,代入计算可得M= kg≈5×1026 kg,故选B.
4.C [解析] 根据题意,由公式T=可得,卫星的轨道半径为r=,故A不符合题意;根据题意,由万有引力提供向心力得=mr,可得M=,由于卫星的质量消掉,无法求出,故B不符合题意,C符合题意;根据题意,由公式a=可得,卫星运动的加速度为a=,故D不符合题意.
5.A [解析] 设火星与地球的质量分别是M1、M2,由G=mg,得=,又G=mr,知T=2π,用T1表示“天问一号”环绕火星运动的周期,T2表示该卫星环绕地球运动的周期,则==,故A正确;由ρ=,得火星与地球的密度之比为=,故B错误;由v=,得火星表面卫星与地球表面卫星的环绕速度之比为∶,故C错误;由G=m,G=mg,得“天问一号”与该卫星的线速度之比为q∶,故D错误.
6.D [解析] 当压力为零时,有G=mR,又M=ρπR3,联立解得T=,所以A、B、C错误,D正确.
7.B [解析] 根据G=mg可得,M=,故A正确;根据G=mr可得M=,需要知道地球的公转周期而不是自转周期,故B错误;海王星的轨道是利用万有引力定律计算预言的,因此被称为“笔尖下发现的行星”,故C正确;牛顿用月球和太阳的万有引力解释了潮汐现象,故D正确.
8.C [解析] 质量为m的宇宙飞船围绕该系外行星做匀速圆周运动,它们之间的万有引力提供宇宙飞船所需的向心力,可得G=mr1,整理可得=,故C正确,D错误.开普勒第三定律仅适用于绕同一中心天体运动的物体,题中系外行星公转和宇宙飞船绕系外行星飞行的中心天体不同,不能使用开普勒第三定律,故A、B错误.
9.C [解析] 根据平抛规律可计算星球表面重力加速度,竖直方向有h=gt2,水平方向有x=vt,可得g星=g地,再由星球表面万有引力公式G=mg星,G=mg地,R星=2R地,可得M星=M,故选C.
10.D [解析] 设小球的质量为m,该星球的质量为M,因小球恰好能做完整的圆周运动,在最高点时小球速度为v,则由牛顿第二定律得mg=m,解得g=,对于在该星球表面上质量为m'的物体,万有引力近似等于其重力,有m'g=G,可得M=,故D正确.
11.D [解析] 飞船在Δt时间内的加速度a=,所以飞船的质量m==;绕星球做匀速圆周运动时,由万有引力提供向心力得G=mr,又v=,整理得M=,故D正确,A、B、C错误.
12.B [解析] 在地球表面,对质量为m的物体有mg=G,解得M=g,故密度ρ==,同理,月球的密度ρ0=,故地球和月球的密度之比=,故B正确.
13.(1)m(R+h) (2)(R+h)3
(3)(R+h)3
[解析] (1)组合体绕地球运动的周期T=
则所受的万有引力大小为
F=m(R+h)=m(R+h)
(2)根据万有引力提供向心力得
G=m(R+h)
解得地球的质量M=(R+h)3
(3)根据G=mg
解得g==(R+h)33 万有引力理论的成就建议用时:40分钟
◆ 知识点一 天体质量和密度的计算
1.2020年6月23日,我国北斗三号最后一颗全球组网卫星发射成功.卫星入轨后绕地球做匀速圆周运动,线速度大小为v,轨道半径为r,引力常量为G,则地球的质量为 ( )
A. B. C. D.
2.(多选)[2024·辽宁抚顺一中月考] “嫦娥五号”探测器绕月球做匀速圆周运动时,轨道半径为r,速度大小为v.已知月球半径为R,引力常量为G,忽略月球自转的影响.下列选项正确的是 ( )
A.月球平均密度为
B.月球平均密度为
C.月球表面重力加速度为
D.月球表面重力加速度为
3.土星最大的卫星叫“泰坦”(如图),每16天绕土星一周,其公转轨道半径约为1.2×106 km,已知引力常量G=6.67×10-11 N·m2/kg2,则土星的质量约为 ( )
A.5×1017 kg
B.5×1026 kg
C.7×1033 kg
D.4×1036 kg
◆ 知识点二 天体运行参量的分析与计算
4.[2024·重庆南开中学月考] 一探月卫星绕月球做圆周运动,由天文观测可得,该卫星的运动周期为T,速率为v.引力常量为G,由以上条件不能求出的是( )
A.卫星的轨道半径
B.月球的质量
C.卫星的质量
D.卫星运动的加速度
5.[2024·四川成都七中月考] 北京时间2021年2月10日,中国“天问一号”探测器进入环火轨道,标志着我国航天强国建设迈出坚定步伐.假设“天问一号”环绕火星的轨道半径等于某个环绕地球运动的卫星的轨道半径,如果地球表面重力加速度是火星表面的重力加速度的k倍,火星的半径是地球半径的q倍(不考虑它们本身的自转),火星和地球均可视为均匀球体,则下列说法正确的是 ( )
A.“天问一号”与该卫星的环绕运动周期之比为∶q
B.火星与地球的密度之比为q∶k
C.火星表面卫星与地球表面卫星的环绕速度之比为q∶
D.“天问一号”与该卫星的环绕速度之比为∶k
◆ 知识点三 星球稳定自转的临界问题
6.一物体静置在平均密度为ρ的球形天体表面的赤道上.已知引力常量为G,若由于天体自转使物体对天体表面压力恰好为零,则天体自转周期为 ( )
A. B.
C. D.
◆ 知识点四 发现未知天体
7.[2024·河北石家庄一中月考] 下列关于万有引力定律理论成就的说法,错误的是 ( )
A.已知地球的半径、地球表面的重力加速度和引力常量,可以“称量”出地球的质量
B.已知地球的公转轨道半径、地球的自转周期和引力常量,可以估算出太阳的质量
C.海王星的轨道是利用万有引力定律计算预言的,因此被称为“笔尖下发现的行星”
D.牛顿用月球和太阳的万有引力解释了潮汐现象
8.[2024·广东广州三中月考] 瑞士天文学家迪迪埃·奎洛兹(Didier Queloz)因为发现了围绕其他类太阳恒星运行的系外行星而获得了2019年诺贝尔物理学奖.假设某一系外行星的半径为R,质量为M,公转半径为r,公转周期为T.一质量为m的宇宙飞船围绕该系外行星做匀速圆周运动,半径为r1,周期为T1.不考虑其他天体的影响,已知引力常量为G,则有 ( )
A.= B.=
C.= D.=
9.宇航员在地球上的水平地面将一小球水平抛出,使小球产生一定的水平位移,当他登陆一半径为地球半径2倍的星球后,站在该星球水平地面上以和地球完全相同的方式水平抛出小球,测得小球的水平位移大约是地球上平抛时的4倍,由此宇航员估算该星球的质量为(式中M为地球的质量) ( )
A.M星=M B.M星=2M
C.M星=M D.M星=4M
10.假如人类发现了某星球,人类登上该星球后,进行了如下实验:在固定的竖直光滑圆轨道内部,一小球恰好能做完整的圆周运动,小球在最高点时的速度为v,轨道半径为r.不计空气阻力,若已测得该星球的半径为R,引力常量为G,则该星球的质量为( )
A. B. C. D.
11.[2024·河南郑州一中月考] 二十世纪人类伟大的创举之一是开拓了太空的全新领域.现有一艘远离星球在太空中直线飞行的宇宙飞船,为了测量自身质量,启动推进器,测出飞船在短时间Δt内速度的改变量大小为Δv和飞船受到的推力F(其他星球对它的引力可忽略).在某次航行中,当它飞近一个孤立的星球时,飞船能以速度v在离星球的较高轨道上绕星球做周期为T的匀速圆周运动.已知星球的半径为R,引力常量用G表示.则飞船和星球的质量分别是 ( )
A., B.,
C., D.,
12.某同学从网上得到一些信息,如表格中的数据所示,则地球和月球的密度之比为 ( )
月球半径 R0
月球表面处的重力加速度 g0
地球和月球的半径之比 =4
地球表面和月球表面的重力加速度之比 =6
A. B.
C.4 D.6
13.[2024·湖南岳阳一中月考] 2023年5月,我国神舟十六号宇宙飞船成功发射,三位宇航员与神舟十五号的三位宇航员在中国空间站成功会师.已知“神舟十六号”与空间站组合体完成对接后在轨道上的运动,可视为匀速圆周运动,它们飞行n圈所用时间为t.已知它们的总质量为m,它们距地面的高度为h,地球半径为R,引力常量为G.求:
(1)“神舟十六号”与空间站组合体对接后,地球对它们的万有引力大小F;
(2)地球的质量M;
(3)地球表面的重力加速度大小g.4 宇宙航行
[教材链接] (1)①7.9 (2)①11.2 ②地球 (3)①16.7
②太阳
例1 A [解析] 第一宇宙速度是最小的发射速度,此卫星的轨道为椭圆,发射速度大于第一宇宙速度,A正确;此卫星在远地点的速度小于同高度圆周运动卫星的速度,同高度圆周运动卫星的速度小于第一宇宙速度,所以此卫星在远地点的速度小于第一宇宙速度,B错误;月球轨道还在地球吸引范围之内,所以发射速度不能超过第二宇宙速度,C错误;第三宇宙速度是脱离太阳系所需要的最小发射速度,所以,若想让卫星进入环太阳轨道,发射速度不能大于第三宇宙速度,D错误.
例2 (1) (2)
[解析] (1)物体不落回地面,应围绕地球做匀速圆周运动,所需向心力由万有引力提供,有G=m
解得v=.
(2)当其紧贴地面飞行时,轨道半径约为R,由mg=m
得v=.
[科学思维] (1)轨道平面过地心 (2)没有绕某一经度线转动的卫星,因为地球的自转导致卫星的运行轨道不会与某一经度线重合;有绕着赤道转动的卫星,但没有绕着其他纬度线转动的卫星,因为其他纬度线的圆心不是地心
例3 D [解析] 根据G=mr,可得T=2π,知空间站的周期小于同步卫星的周期T,故A错误;第一宇宙速度为环绕地球做匀速圆周运动的最大速度,所以空间站的速度小于v,故B错误;根据ω=,可知空间站的角速度大于,故C错误;在地球表面有G=mg,根据G=ma,r>R,可知空间站的加速度小于g,故D正确.
例4 AC [解析] 某颗卫星的“星下点”轨迹图是一个点,说明该卫星相对地球静止,是地球的静止卫星,位于赤道上空,D错误;地球自转的周期为T,该卫星的角速度为ω=,该卫星的线速度为v=,其中h为卫星离地面的高度,A正确,B错误;由万有引力提供向心力可得G=mr,在地球表面的重力加速度为g=G,联立解得该卫星的轨道半径为r=,C正确.
例5 A [解析] a和c的周期相同,向心加速度之比为==,A正确;根据G=m ,解得v=, b为在地球表面附近做匀速圆周运动的人造卫星,其轨道半径略大于地球半径,b卫星转动线速度略小于7.9 km/s,B错误;根据G=mr,解得T=2π,轨道半径越大,公转周期越大,所以c的公转周期大于b的公转周期,又因为c的公转周期等于a的公转周期,所以a的公转周期大于b的公转周期,C错误;根据v=, b和c的线速度之比≈,D错误.
变式 C [解析] 同步卫星的周期与地球自转周期相同,角速度相同,则知a与c的角速度相同,根据a=ω2r知,c的向心加速度大,卫星的轨道半径越大,向心加速度越小,则c的向心加速度小于b的向心加速度,而b的向心加速度约为g,故知a的向心加速度小于重力加速度g,故A错误;由开普勒第三定律=k,卫星的轨迹半径越大,周期越大,所以d的运动周期大于c的周期24 h,故B错误;由a=ω2r得,=,C正确;由=得v=,所以≈,D错误.
随堂巩固
1.CD [解析] 火星探测器并没有脱离太阳引力束缚,发射速度应该小于第三宇宙速度,故A错误;探月工程中“嫦娥五号”没有脱离地球引力束缚,发射速度小于第二宇宙速度,故B错误;第一宇宙速度是最大的环绕速度,“地球静止轨道卫星”的绕行速度小于第一宇宙速度,故C正确;第一宇宙速度是最小的发射速度,中国空间站中“天和核心舱”的发射速度大于第一宇宙速度,故D正确.
2.B [解析] 根据万有引力提供向心力有=m,解得v=,那么火星的第一宇宙速度与地球的第一宇宙速度之比为===,故B正确.
3.D [解析] 由万有引力提供向心力得G=m,解得v=,即线速度v随轨道半径r的增大而减小,v=7.9 km/s为地球的第一宇宙速度,即卫星在地球附近做匀速圆周运动所具有的速度,由于同步卫星的轨道半径大于近地卫星的轨道半径,所以同步卫星的运行速度小于近地卫星的运行速度,即小于7.9 km/s,故A、B错误;由万有引力提供向心力得=mω2r,解得ω=,由于同步卫星绕地球运行的轨道半径小于月球绕地球运行的轨道半径,故同步卫星绕地球运行的角速度大于月球绕地球运行的角速度,故C错误;由万有引力提供向心力得G=man,解得an=,由于同步卫星绕地球运行的轨道半径小于月球绕地球运行的轨道半径,故同步卫星绕地球运行的向心加速度比月球绕地球运行的向心加速度大,故D正确.
4.CD [解析] a没有摆脱地球的万有引力作用,所以发射速度小于第二宇宙速度,故A错误;设地球质量为M,质量为m的卫星绕地球做半径为r、线速度为v、周期为T、向心加速度为a的匀速圆周运动,根据牛顿第二定律有G=m=mr=ma,解得v=,T=2πr,a=,可知va>vb,Ta
ab,b和c的周期相同,所以角速度相同,根据v=ωr,可知vb>vc,根据a=ω2r,可知ab>ac,则a、b、c的线速度大小关系为va>vb>vc,向心加速度大小关系为aa>ab>ac,故B错误,C、D正确.4 宇宙航行
学习任务一 对宇宙速度的理解
[教材链接] 阅读教材,完成下列填空:
(1)第一宇宙速度
①大小: km/s.
②定义:物体在地球附近绕地球做匀速圆周运动的速度.
(2)第二宇宙速度
①大小: km/s.
②意义:使卫星挣脱 引力束缚的最小发射速度.
(3)第三宇宙速度
①大小: km/s.
②意义:使卫星挣脱 引力束缚的最小发射速度.
考向一 对三种宇宙速度的理解
例1 [2024·浙江效实中学月考] 如图是关于地球表面发射卫星时的三种宇宙速度的示意图,椭圆轨道为某卫星的运动轨道,下列说法正确的是 ( )
A.此卫星的发射速度大于第一宇宙速度
B.此卫星在远地点的速度大于第一宇宙速度
C.若想让卫星进入月球轨道,发射速度需大于第二宇宙速度
D.若想让卫星进入环太阳轨道,发射速度需大于第三宇宙速度
[反思感悟]
考向二 第一宇宙速度的推导计算
例2 牛顿曾提出过一个著名的理想实验:如图所示,从高山上水平抛出一个物体,当抛出的速度足够大时,物体将环绕地球运动,成为人造地球卫星.据此思考并讨论以下问题:
(1)已知地球的质量为m地,地球半径为R,引力常量为G,若物体紧贴地面飞行而不落回地面,其速度大小为多少
(2)已知地球半径R,地球表面的重力加速度g,则物体在地球表面附近环绕地球做圆周运动的速度为多大
【要点总结】
第一宇宙速度
(1)两种计算方式
①万有引力提供向心力,由G=m,可得v=.
②重力提供向心力,由=m,=mg,可得v=.
(2)理解
①“最小发射速度”:第一宇宙速度是发射人造卫星的最小速度.
②“最大环绕速度”:第一宇宙速度是所有环绕地球做匀速圆周运动的卫星的最大环绕速度.
学习任务二 人造卫星(航天器)和同步卫星
[科学思维] 如图所示,在地球的周围,有许多卫星在不同的轨道上绕地球转动.
(1)这些卫星的轨道平面有什么特点
(2)卫星可以绕着某一经度线或某一纬度线运动吗
例3 [2024·宁夏银川一中月考] 2021年10月16日“神舟十三号”载人飞船与空间站组合体完成自主快速交会对接,执行此次航天任务的三名宇航员将在轨驻留六个月.空间站和同步卫星轨道的示意图如图所示,已知同步卫星的周期为T,地球表面重力加速度为g,第一宇宙速度为v,下面对空间站的运动描述正确的是 ( )
A.周期大于T
B.速度大于v
C.角速度小于
D.加速度小于g
[反思感悟]
例4 (多选)[2024·湖南长沙一中月考] 卫星的“星下点”是指卫星的瞬时位置和地球中心的连线与地球表面的交点,可用地理经、纬度来表示,对于位于“星下点”处的地面观察者来说,卫星就在头顶,如图所示,将“星下点”的轨迹画在地图上便是星下点轨迹图.已知某颗卫星的“星下点”轨迹图是一个点.地球自转的周期为T,地球半径为R,地球表面的重力加速度为g,卫星的运动可视为匀速圆周运动,则 ( )
A.该卫星的角速度ω=
B.该卫星的线速度v=
C.该卫星的轨道半径r=
D.该卫星可能位于北京的正上方
[反思感悟]
【要点总结】
关于同步卫星的特点
(1)地球同步卫星周期与地球自转周期相同,轨道高度固定,轨道平面与赤道平面成不同夹角时,卫星相对于赤道上某些点是同步的.
(2)当它轨道平面与赤道平面成0度角(与赤道面重合)且运动方向与地球自转方向相同时,相对赤道平面所有点静止,这种同步卫星叫静止卫星.
学习任务三 赤道上物体、近地卫星、同步卫星比较
[科学思维]
1.赤道上物体随地球自转,周期与地球自转周期相同,T=24 h,运行轨道半径为地球半径R,万有引力与地面对其支持力的合力提供向心力,即G-FN=ma=mR.
2.近地圆轨道卫星,轨道半径略大于地球半径R,近似等于地球半径R,万有引力提供向心力,有G=mg=m,运行速度为第一宇宙速度v===7.9 km/s,周期T=2π=84 min.
3.地球同步轨道卫星,周期为地球自转周期T,万有引力提供向心力,即G=mr,轨道半径r==4.2×107 m.
例5 [2024·福建福州一中月考] 如图所示,a为赤道上的物体,随地球自转做匀速圆周运动,b为在地球表面附近做匀速圆周运动的人造卫星,c为地球的同步卫星,已知地球半径为R,地球同步卫星轨道半径为6.6R.下列说法中正确的是 ( )
A.a和c的向心加速度之比为1∶6.6
B.b卫星转动线速度大于7.9 km/s
C.a的公转周期小于b的公转周期
D.b和c的线速度之比约为6.6∶1
[反思感悟]
变式 [2024·浙江宁波中学月考] 有a、b、c、d四颗地球卫星,a还未发射,在地球赤道上随地球表面一起转动,向心加速度为a1;b处于近地圆轨道上,正常运行速度为v1;c是地球同步卫星,离地心距离为r,运行速率为v2,加速度为a2;d是高空探测卫星,各卫星排列位置如图,已知地球的半径为R,则有( )
A.a的向心加速度等于重力加速度g
B.d的运动周期有可能是20小时
C.=
D.=
[反思感悟]
【要点总结】
赤道上的物体、近地卫星和同步卫星的比较
比较 内容 赤道上 的物体 近地卫星 同步卫星
向心力 来源 万有引力 的分力 万有引力
向心力 方向 指向地心
线速度 v1=ω1R v2= v3=ω3(R+h)=
v1角速度 ω1=ω自 ω2= ω3=ω自=
ω1=ω3<ω2
向心加 速度 a1=R a2=R= a3=(R+h)=
a11.(对三种宇宙速度的理解)(多选)我国航天事业的快速发展,充分体现了民族智慧、经济实力、综合国力,也大大促进了我国生产力的发展.下列关于我国航天器的发射速度、绕行速度的说法正确的是( )
A.火星探测器“天问一号”的发射速度大于第三宇宙速度
B.探月工程中“嫦娥五号”的发射速度大于第二宇宙速度
C.北斗卫星导航系统中“地球静止轨道卫星”的绕行速度小于第一宇宙速度
D.中国空间站中“天和核心舱”的发射速度大于第一宇宙速度
2.(第一宇宙速度的计算)火星的质量约为地球质量的,半径约为地球半径的,则火星的第一宇宙速度与地球的第一宇宙速度的比值约为 ( )
A. B. C. D.
3.(同步卫星)[2024·浙江杭州二中月考] 2021年1月20日,我国在西昌卫星发射中心成功将地球同步卫星天通一号03星发射升空,标志着我国首个卫星移动通信系统建设取得重要进展,关于该卫星,下列说法正确的是 ( )
A.运行速率在7.9 km/s至11.2 km/s之间
B.运行速度大于近地卫星的运行速度
C.角速度比月球绕地球运行的角速度小
D.向心加速度比月球绕地球的向心加速度大
4.(赤道上物体、近地卫星、同步卫星比较)(多选)2021年10月,中国发射了首颗太阳探测科学技术试验卫星——“羲和号”,用于实现太阳Hα波段光
谱成像的空间探测,该卫星轨道为圆轨道,通过地球南北两极上方,离地面高度约为517 km.如图所示,a为“羲和号”,b为地球同步卫星,c为赤道上随地球一起转动的物体.已知地球半径约为6400 km,下列说法正确的是 ( )
A.a的发射速度大于第二宇宙速度
B.a、b、c的线速度大小关系为vc>va>vb
C.a的向心加速度大于c的向心加速度
D.a的运行周期小于24 h(共57张PPT)
4 宇宙航行
学习任务一 对宇宙速度的理解
学习任务二 人造卫星（航天器）和同步卫星
学习任务三 赤道上物体、近地卫星、同步卫星比较
随堂巩固
练习册
◆
备用习题
学习任务一 对宇宙速度的理解
［教材链接］ 阅读教材，完成下列填空：
(1) 第一宇宙速度
①大小:____.
②定义:物体在地球附近绕地球做匀速圆周运动的速度.
(2) 第二宇宙速度
① 大小:_____.
② 意义:使卫星挣脱______引力束缚的最小发射速度.
11.2
地球
(3) 第三宇宙速度
① 大小:_____.
② 意义:使卫星挣脱______引力束缚的最小发射速度.
16.7
太阳
考向一 对三种宇宙速度的理解
例1 [2024·浙江效实中学月考] 如图是关于地球表面发射卫星时的三种宇宙速度的示意图，椭圆轨道为某卫星的运动轨道，下列说法正确的是( )
A
A.此卫星的发射速度大于第一宇宙速度
B.此卫星在远地点的速度大于第一宇宙速度
C.若想让卫星进入月球轨道，发射速度需大于第二宇宙速度
D.若想让卫星进入环太阳轨道，发射速度需大于第三宇宙速度
[解析] 第一宇宙速度是最小的发射速度，此卫星的轨道为椭圆，发射速度大于第一宇宙速度，A正确；此卫星在远地点的速度小于同高度圆周运动卫星的速度，同高度圆周运动卫星的速度小于第一宇宙速度，所以此卫星在远地点的速度小于第一宇宙速度，B错误；月球轨道还在地球吸引范围之内，所以发射速度不能超过第二宇宙速度，C错误；第三宇宙速度是脱离太阳系所需要的最小发射速度，所以，若想让卫星进入环太阳轨道，发射速度不能大于第三宇宙速度，D错误.
考向二 第一宇宙速度的推导计算
例2 牛顿曾提出过一个著名的理想实验：如图所示，从高山上水平抛出一个物体，当抛出的速度足够大时，物体将环绕地球运动，成为人造地球卫星.据此思考并讨论以下问题：
(1) 已知地球的质量为，地球半径为，引力常量为，若物体紧贴地面飞行而不落回地面，其速度大小为多少？
[答案]
[解析] 物体不落回地面，应围绕地球做匀速圆周运动，所需向心力由万有引力提供，有
解得.
(2) 已知地球半径，地球表面的重力加速度，则物体在地球表面附近环绕地球做圆周运动的速度为多大？
[答案]
[解析] 当其紧贴地面飞行时，轨道半径约为，由
得.
【要点总结】
第一宇宙速度
(1)两种计算方式
①万有引力提供向心力，由，可得.
②重力提供向心力，由，，可得.
(2)理解
①“最小发射速度”：第一宇宙速度是发射人造卫星的最小速度.
②“最大环绕速度”：第一宇宙速度是所有环绕地球做匀速圆周运动的卫星的最大环绕速度.
学习任务二 人造卫星(航天器)和同步卫星
［科学思维］ 如图所示，在地球的周围，有许多卫星在不同的轨道上绕地球转动.
(1) 这些卫星的轨道平面有什么特点？
[答案] 轨道平面过地心
(2) 卫星可以绕着某一经度线或某一纬度线运动吗？
[答案] 没有绕某一经度线转动的卫星，因为地球的自转导致卫星的运行轨道不会与某一经度线重合；有绕着赤道转动的卫星，但没有绕着其他纬度线转动的卫星，因为其他纬度线的圆心不是地心
例3 [2024·宁夏银川一中月考] 2021年10月16日“神舟十三号”载人飞船与空间站组合体完成自主快速交会对接，执行此次航天任务的三名宇航员将在轨驻留六个月.空间站和同步卫星轨道的示意图如图所示，已知同步卫星的周期为，地球表面重力加速度
D
A.周期大于 B.速度大于 C.角速度小于 D.加速度小于
为，第一宇宙速度为，下面对空间站的运动描述正确的是( )
[解析] 根据，可得，知空间站的周期小于同步卫星的周期，故A错误；第一宇宙速度为环绕地球做匀速圆周运动的最大速度，所以空间站的速度小于，故B错误；根据，
可知空间站的角速度大于，故C错误；在地球表面有，根据，,可知空间站的加速度小于，故D正确.
例4 (多选)[2024·湖南长沙一中月考] 卫星的“星下点”是指卫星的瞬时位置和地球中心的连线与地球表面的交点，可用地理经、纬度来表示，对于位于“星下点”处的地面观察者来说，卫星就在头顶，如图所示，将“星下点”的轨迹
AC
A.该卫星的角速度 B.该卫星的线速度
C.该卫星的轨道半径 D.该卫星可能位于北京的正上方
画在地图上便是星下点轨迹图.已知某颗卫星的“星下点”轨迹图是一个点.地球自转的周期为，地球半径为，地球表面的重力加速度为，卫星的运动可视为匀速圆周运动，则( )
[解析] 某颗卫星的“星下点”轨迹图是一个点，说明该卫星相对地球静止，是地球的静止卫星，位于赤道上空，D错误；地球自转的周期为，该卫星的角速度为，该卫星的线速度为，其中为卫星离地面的高
度，A正确，B错误；由万有引力提供向心力可得，在地球表面的重力加速度为，联立解得该卫星的轨道半径为
，C正确.
【要点总结】
关于同步卫星的特点
(1)地球同步卫星周期与地球自转周期相同，轨道高度固定，轨道平面与赤道平面成不同夹角时，卫星相对于赤道上某些点是同步的.
(2)当它轨道平面与赤道平面成0度角(与赤道面重合)且运动方向与地球自转方向相同时，相对赤道平面所有点静止，这种同步卫星叫静止卫星.
学习任务三 赤道上物体、近地卫星、同步卫星比较
［科学思维］
1.赤道上物体随地球自转，周期与地球自转周期相同，，运行轨道半径为地球半径，万有引力与地面对其支持力的合力提供向心力，即.
2.近地圆轨道卫星，轨道半径略大于地球半径，近似等于地球半径，万有引力提供向心力，有，运行速度为第一宇宙速度，周期
.
3.地球同步轨道卫星，周期为地球自转周期，万有引力提供向心力，即，轨道半径.
例5 [2024·福建福州一中月考] 如图所示，为赤道上的物体，随地球自转做匀速圆周运动，为在地球表面附近做匀速圆周运动的人造卫星，为地球的同步卫星，已知地球半径为，地球同步卫星轨道半径为.下列说法中正确的是( )
A
A.和的向心加速度之比为 B.卫星转动线速度大于
C.的公转周期小于的公转周期 D.和的线速度之比约为
[解析] 和的周期相同，向心加速度之比为，
A正确；根据 ，解得,为在地球表面附近做匀速圆周运动的人造卫星，其轨道半径略大于地球半径，卫星转动线速度略小于，B错误；根据
,解得，轨道半径越大，公转周期越大，所以的公转周期大于的公转周期,又因为的公转周期等于的公转周期，所以的公转周期大于的公转周期，C错误；根据，和的线速度之比，D错误.
变式 [2024·浙江宁波中学月考] 有、、
、四颗地球卫星，还未发射，在地球赤道上随地球表面一起转动，向心加速度为
C
A.的向心加速度等于重力加速度 B.的运动周期有可能是20小时
C. D.
；处于近地圆轨道上，正常运行速度为；是地球同步卫星，离地心距离为，运行速率为，加速度为；是高空探测卫星，各卫星排列位置如图，已知地球的半径为，则有( )
[解析] 同步卫星的周期与地球自转周期相同，角速度相同，则知与的角速度相同，根据知，的向心加速度大，卫星的轨道半径越大，向心加速度越小，则的向心加速
度小于的向心加速度，而的向心加速度约为，故知的向心加速度小于重力加速度，故A错误；由开普勒第三定律，卫星的轨迹半径越大，周期越大，所以的运动周期大于的周期，故B错误；由得，，C正确；由得，所以，D错误.
【要点总结】
赤道上的物体、近地卫星和同步卫星的比较
比较内容 赤道上的物体 近地卫星 同步卫星
向心力来源 万有引力的分力 万有引力 向心力方向 指向地心 线速度
比较内容 赤道上的物体 近地卫星 同步卫星
角速度
向心加速度
续表
备 用 习 题
1. “人造月亮”是一种携带大型空间反射镜的人造空间照明卫星,将部署在距离地球500 km以内的低地球轨道上,其亮度是月球亮度的8倍,可为城市提供夜间照明.假设“人造月亮”绕地球做圆周运动,则“人造月亮”在轨道上运动时 ( )
A.“人造月亮”的线速度等于第一宇宙速度
B.“人造月亮”的角速度大于月球绕地球运行的角速度
C.“人造月亮”的向心加速度大于地球表面的重力加速度
D.“人造月亮”的公转周期大于月球绕地球运行的周期
B
备 用 习 题
[解析]根据G=m,可得v=,因r越小,速度越大,所以“人造月亮”的运行速度不可能等于第一宇宙速度,故A错误;根据G=mω2r,可得ω= ,所以“人造月亮”的角速度大于月球绕地球运行的角速度,故B正确;根据G=ma,可得a=,所以“人造月亮”的向心加速度小于地球表面的重力加速度,故C错误;根据=mr,可得T= ,所以“人造月亮”的公转周期小于月球绕地球运行的周期,故D错误.
备 用 习 题
2.赤道平面内的某颗卫星自西向东绕地球做圆周运动,该卫星离地面的高度小于地球同步卫星的高度.赤道上一观察者发现,该卫星连续两次出现在观察者正上方的最小时间间隔为t,已知地球自转周期为T0,地球半径为R,地球表面的重力加速度为g,由此可知该卫星离地面的高度为 ( )
A.-R B. C.-R D.-R
A
[解析]设卫星的周期为T,有t=2π,解得T= ,由万有引力提供向心力,有G=m(R+h),在地表处,有g= ,联立解得h=-R,故A正确.
备 用 习 题
3.某行星的半径是地球的 2 倍,质量是地球的4 倍,已知地球表面的重力加速度取10 m/s2.
(1)求该行星表面的重力加速度大小.
[答案] 10 m/s2
[解析] 根据G=mg,可得g=
则==4×=1
所以g星=g地=10 m/s2
备 用 习 题
3.某行星的半径是地球的 2 倍,质量是地球的4 倍,已知地球表面的重力加速度取10 m/s2.
(2)若地球的第一宇宙速度为8 km/s,则该行星的第一宇宙速度是多大
[答案] 8 km/s
[解析] 根据G=m=mg,解得v=
则==
所以v星=v地=8 km/s
1.(对三种宇宙速度的理解)(多选)我国航天事业的快速发展，充分体现了民族智慧、经济实力、综合国力，也大大促进了我国生产力的发展.下列关于我国航天器的发射速度、绕行速度的说法正确的是( )
CD
A.火星探测器“天问一号”的发射速度大于第三宇宙速度
B.探月工程中“嫦娥五号”的发射速度大于第二宇宙速度
C.北斗卫星导航系统中“地球静止轨道卫星”的绕行速度小于第一宇宙速度
D.中国空间站中“天和核心舱”的发射速度大于第一宇宙速度
[解析] 火星探测器并没有脱离太阳引力束缚，发射速度应该小于第三宇宙速度，故A错误；探月工程中“嫦娥五号”没有脱离地球引力束缚，发射速度小于第二宇宙速度，故B错误；第一宇宙速度是最大的环绕速度，“地球静止轨道卫星”的绕行速度小于第一宇宙速度，故C正确；第一宇宙速度是最小的发射速度，中国空间站中“天和核心舱”的发射速度大于第一宇宙速度，故D正确.
2.(第一宇宙速度的计算)火星的质量约为地球质量的，半径约为地球半径的，则火星的第一宇宙速度与地球的第一宇宙速度的比值约为( )
B
A. B. C. D.
[解析] 根据万有引力提供向心力有,解得，那么火星的第一宇宙速度与地球的第一宇宙速度之比为
，故B正确.
3.(同步卫星)[2024·浙江杭州二中月考] 2021年1月20日，我国在西昌卫星发射中心成功将地球同步卫星天通一号03星发射升空，标志着我国首个卫星移动通信系统建设取得重要进展，关于该卫星，下列说法正确的是( )
D
A.运行速率在至之间 B.运行速度大于近地卫星的运行速度
C.角速度比月球绕地球运行的角速度小 D.向心加速度比月球绕地球的向心加速度大
[解析] 由万有引力提供向心力得，解得，即线速度随轨道半径的增大而减小，为地球的第一宇宙速度，即卫星在地球附近做匀速圆周运动所具有的速度，由于同步卫星的轨道半径大于近地卫星的轨道半径，所以同步卫星的运行速度小于近地卫星的运行速度，即小于，故A、B错误；由万有引力提供向心力得，解得，由于同步卫星绕地球运行的轨道半径小于月球绕地球运行的轨道半径，故同步卫星绕地球运行的角速度大于月球绕地球运行的角速度，故C错误；由万有引力提供向心力得，解得，由于同步卫星绕地球运行的轨道半径小于月球绕地球运行的轨道半径，故同步卫星绕地球运行的向心加速度比月球绕地球运行的向心加速度大，故D正确.
4.(赤道上物体、近地卫星、同步卫星比较)(多选)2021年10月,中国发射了首颗太阳探测科学技术试验卫星——“羲和号”,用于实现太阳 波段光谱成像的空间探测,该卫星轨道为圆轨道,通过地球南北两极上方,离地面高度约为.如图所示,为“羲
CD
A.的发射速度大于第二宇宙速度 B.、、的线速度大小关系为
C.的向心加速度大于的向心加速度 D.的运行周期小于
和号”,为地球同步卫星,为赤道上随地球一起转动的物体.已知地球半径约为,下列说法正确的是( )
[解析] 没有摆脱地球的万有引力作用,所以发射速度小于第二宇宙速度,故A错误;设地球质量为,质量为的卫星绕地球做半径为、线速度为、周期为、向心加速度为的匀速圆周运动,根据牛顿第二定律有,解得
,,,可知,,,和的周期相同,所以角速度相同,根据,可知,根据,可知,则、、的线速度大小关系为,向心加速度大小关系为,故B错误,C、D正确.
知识点一 宇宙速度的理解和应用
1.(多选)关于地球的第一宇宙速度,下列说法正确的是( )
AD
A.它是人造地球卫星在近地圆轨道绕地球运行的速度,又叫环绕速度
B.它是人造地球卫星在地球同步圆轨道绕地球运行的速度,又叫环绕速度
C.第一宇宙速度是人造地球卫星的最小运行速度,跟地球的质量无关
D.第一宇宙速度是人造地球卫星的最小发射速度,跟地球的质量有关
[解析] 第一宇宙速度是卫星绕地球做圆周运动的最小发射速度，也是卫星绕地球做圆周运动的最大速度，又叫环绕速度，根据，得，故第一宇宙速度与地球的质量和半径有关，A、D正确.
2.[2024·北京四中月考] 我国的航空航天事业蓬勃发展，探月工程和深空探测同步进行.2020年12月17日，嫦娥五号成功返回地球；2021年5月15日天问一号火星探测器所携带的祝融号火星车成功降落在火星北半球的乌托邦平原南部.已知嫦娥五号绕月飞行的圆轨道半径为、周期为，天问一号绕火星飞行的圆轨道半径为、周期为，引力常量为.下列说法正确的是( )
D
A.根据开普勒第三定律有
B.根据题中所给的已知条件可以求出地球的质量
C.嫦娥五号和天问一号在地球表面的发射速度均需要大于第二宇宙速度
D.天问一号在地球表面的发射速度应大于第二宇宙速度而小于第三宇宙速度
[解析] 天问一号与嫦娥五号不是绕同一个中心天体运动，所以，A错误；天问一号与嫦娥五号均不绕地球运动，故无法求出地球质量，B错误；天问一号最终绕火星运动，需要挣脱地球的引力，其在地球表面的发射速度需要大于第二宇宙速度，但是要小于第三宇宙速度(挣脱太阳引力的最小速度)，嫦娥五号绕月球运动，没有完全挣脱地球的引力，其在地球表面的发射速度大于第一宇宙速度，小于第二宇宙速度，C错误，D正确.
3.若有一颗“宜居”行星,其质量为地球的倍,半径为地球的倍,则该行星卫星的环绕速度是地球卫星的环绕速度的( )
A
A.倍 B.倍 C.倍 D.倍
[解析] 根据万有引力提供向心力,有,得,“宜居”行星的质量为地球的
倍,半径为地球的倍,所以该行星卫星的环绕速度为,故A正确.
知识点二 人造卫星(航天器)和同步卫星
4.[2024·浙江1月选考] 如图所示，2023年12月9日“朱雀二号”运载火箭顺利将“鸿鹄卫星”等三颗卫星送入距离地面约的轨道.取地球质量为，地球半径为，引力常量为.下列说法正确的是( )
B
A.火箭的推力是空气施加的
B.卫星的向心加速度大小约
C.卫星运行的周期约
D.发射升空初始阶段，装在火箭上部的卫星处于失重状态
[解析] 火箭的推力是喷出的燃气对火箭施加的，选项A错误；火箭发射升空初始阶段是加速上升阶段，装在火箭上部的卫星处于超重状态，选项D错误；卫星进入距离地面约的轨道，根据万有引力提供向心力，有，解得，根据万有引力提供向心力，有，解得，选项B正确，C错误.
5.[2024·北京人大附中月考] 我国已建成覆盖全球的北斗卫星导航系统.该系统由静止轨道同步卫星(相对地球静止、离地高度约)、中地球轨道卫星(离地高度约)及其他轨道卫星组成，如图所示.下列说法正确的是( )
B
A.静止轨道同步卫星可定位在北京正上空
B.静止轨道同步卫星的速度小于第一宇宙速度
C.中地球轨道卫星的线速度比静止轨道同步卫星的线速度小
D.中地球轨道卫星的周期可能大于24小时
[解析] 静止轨道同步卫星绕地心做圆周运动，与地球自转周期相同，，轨道平面与赤道平面共面，只能定位在赤道正上空，故A错误；静止轨道同步卫星离地高度约，中地球轨道卫星离地高度约，第一宇宙速度为在地面附近绕地球运动的物体的线速度，根据，解得，静止轨道同步卫星的速度小于第一宇宙速度，中地球轨道卫星的线速度比静止轨道同步卫星的线速度大，故B正确，C错误；根据
，卫星的周期，中地球轨道卫星的周期小于24小时，故D错误.
知识点三 赤道上物体、近地卫星、同步卫星比较
6.(多选)[2024·湖南岳阳一中月考] 如图所示，卫星、、沿圆形轨道绕地球运行.是极地轨道卫星，在地球两极上空约处运行；是低轨道卫星，距地球表面高度与相等；是地球同步卫星，则( )
BC
A.、的周期不相同 B.的角速度比大
C.的线速度比大 D.、的向心加速度都比小
[解析] 设地球质量为，质量为的卫星绕地球做半径为、周期为、速度大小为、加速度大小为、角速度大小为 的匀速圆周运动，根据牛顿第二定律有，分别解得，，，.由于、的轨道半径相同，可知、的周期相同，A错误；的轨道半径比的轨道半径小，可知的线速度和角速度都比大，B、C正确；、的轨道半径都比的轨道半径小，可知、的向心加速度都比大，D错误.
7.[2024·湖北华师一附中月考] 如图所示，是静止在赤道上随地球自转的物体，、是在赤道平面内的两颗人造卫星，是地球同步卫星.下列关系正确的是 ( )
B
A.物体随地球自转的线速度大于卫星的线速度
B.卫星的角速度大于卫星的角速度
C.物体随地球自转的周期大于卫星的周期
D.物体随地球自转的向心加速度等于卫星的向心加速度
[解析] 根据题意可知，物体A和卫星C的角速度和周期相等，由公式可知，由于卫星C做圆周运动的半径大于物体A做圆周运动的半径，则有，根据万有引力提供向心力有，可得，由于卫星B做圆周运
动的半径小于卫星C的轨道半径，则有，则物体A随地球自转的线速度小于卫星B的线速度，A、C错误；根据万有引力提供向心力有，可得，由于卫星B做圆周运动的半径小于卫星C的轨道半径，则有，B正确；由公式可得，由于卫星C做圆周运动的半径大于物体A做圆周运动的半径，则有，因此物体A随地球自转的向心加速度小于卫星C的向心加速度，D错误.
8.[2024·上海中学月考] 某行星的密度为地球的，半径为地球的，那么在此行星上的第一宇宙速度与在地球上的第一宇宙速度大小之比为( )
D
A. B. C. D.
[解析] 设第一宇宙速度为，由牛顿第二定律有，得，根据体积公式知，行星半径是地球半径的，则体积是地球体积的，行星的密度为地球密度的，则行星的质量是地球质量的，代入数据后，行星上的第一宇宙速度与地球上的第一宇宙速度之比为，故D正确，A、B、C错误.
9.[2024·河南师大附中月考] “祝融号”火星车登陆火星之前，“天问一号”探测器沿椭圆形的停泊轨道绕火星飞行，其周期为2个火星日，已知一个火星日的时长约为一个地球日(地球自转一圈的时间称为一个地球日)，火星质量约为地球质量的，则“天问一号”探测器的椭圆形的停泊轨道的半长轴与地球同步卫星的轨道半径的比值约为( )
A
A. B. C. D.
[解析] 由开普勒第三定律可知，周期相同的椭圆轨道半长轴与圆轨道半径相当，再根据万有引力提供向心力可得，解得轨道半径为，代入数据解得探测器的椭圆形的停泊轨道的半长轴与地球同步卫星的轨道半径的比值约为,故选A.
10.[2024·湖北荆州中学月考] 2023年10月31日8时11分,神舟十六号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆,圆满完成150多天在轨空间任务.航空总局飞船控制中心记录了一幅卫星运行轨迹图,如图所示,它
C
A. B. C. D.
记录了“神舟十六号”飞船在地球表面投影的位置变化;图中表示在一段时间内飞船绕地球圆周飞行四圈,依次飞经中国、太平洋、大西洋地区的四次轨迹①、②、③、④,图中分别标出了各地点的经纬度(如:在轨迹①通过赤道时的经度为西经 ,绕行一圈后在轨迹②再次经过赤道时经度为),根据图中的信息可判断飞船运行周期为( )
[解析] 飞船每运行一周,地球自转角度为 ,则“神舟十六号”飞船运行的周期为,故选C.
11.(多选)[2024·江西南昌二中月考] 极轨气象卫星的运动采用近极地太阳同步轨道,卫星轨道平面和太阳光线保持固定的交角.卫星每天差不多在固定的时间经过同一地区两次.将极轨卫星的轨道看作圆形,每条轨道都经过高纬度地区,由于地球自转,一个极轨卫星每隔12小时左右就可以获得一次全球的气象资料.以下关于极轨卫星在轨运行的判断正确的是 ( )
AD
A.运行速度小于第一宇宙速度 B.运行高度与地球同步通信卫星的高度相同
C.运行轨道中心不是地心 D.向心加速度小于地球表面处重力加速度
[解析] 极轨卫星的运行周期为,大于近地卫星的运行周期,所以其运行速度小于近地卫星的运行速度即第一宇宙速度,选项A正确;极轨卫星的运行周期为,小于同步卫星的运行周期,所以其运行高度小于同步卫星的高度,选项B错误;任何绕地做匀速圆周运动的卫星,其轨道中心都是地心,选项C错误;极轨卫星的向心加速度为,地面处的重力加速度为,可见,选项D正确.
12.[2024·浙江杭州二中月考] 2021年2月10日“天问一号”被火星捕获,通过调整进入环火星轨道做匀速圆周运动,若“天问一号”在环火星轨道上运动的线速度大小为,周期为,轨道离火星表面的高度为,引力常量为,忽略火星自转,求:
(1) 火星的质量;
[答案]
[解析] 设“天问一号”的运动轨道半径为,则
解得
根据万有引力提供向心力,有
解得
(2) 火星表面的重力加速度大小.
[答案]
[解析] 设火星表面重力加速度为,则
火星半径
解得
13.[2024·江苏苏州中学月考] 一颗在赤道上空运行的人造卫星，其距离地球表面的高度为为地球半径)，卫星的转动方向与地球自转方向相同，已知地球自转的角速度为，地球表面处的重力加速度为，引力常量为.
(1) 求该卫星绕地球运行的角速度 ；
[答案]
[解析] 在地球表面处物体受到的重力等于万有引力，有
在距离地球表面的高度为处，人造地球卫星绕地球做匀速圆周运动，由地球的万有引力提供向心力，有
联立以上各式解得
(2) 若某时刻卫星通过赤道上某建筑物的正上方，求它下次通过该建筑物正上方需要的时间.
[答案]
[解析] 卫星绕地球做匀速圆周运动，建筑物随地球自转做匀速圆周运动，当卫星转过的角度与建筑物转过的角度之差等于 时，卫星再次出现在建筑物上空，即
解得