3 万有引力理论的成就
[教材链接] (1)引力 (2)G
例1 A [解析] 由h=g,解得g=,在月球表面,万有引力近似等于重力,则mg=G=mr,解得月球的半径为,故A正确;由g=G,g=,解得M=,故B错误;由ρ==,解得月球的平均密度为ρ=,故C错误;由G=m,g=G,g=,得v==,故D错误.
例2 BC [解析] 地球的密度为ρ=,G=m(R+h),解得M=,ρ=,所以A错误,B正确;空间站运行的角速度为ω=,所以C正确;空间站运行的线速度为v=,所以D错误.
[科学思维] (1)由G=m,得v=,可见行星线速度的大小是由恒星的质量和行星绕恒星运动的轨道半径共同决定的 (2)无关,因为在G=man=m=mω2r=mr各项中都含有m,可以消掉.
例3 BC [解析] 飞船预定轨道的半径较小,根据G=m,得v=,所以飞船在预定轨道做圆周运动时的线速度比空间站的线速度大,故A错误;根据G=ma,可得飞船在预定轨道做圆周运动时的加速度比空间站的加速度大,故B正确;根据G=mrω2,可得飞船在预定轨道运行时的角速度与空间站的角速度之比为,故C正确,D错误.
变式 A [解析] 设太阳质量为M,地球绕太阳做匀速圆周运动的轨道半径为R,根据牛顿第二定律和万有引力定律,可得G=mR,白矮星质量为,气态巨行星绕白矮星做匀速圆周运动的轨道半径为3R,根据牛顿第二定律和万有引力定律,可得G=m'(3R),而T0=1年,解得T=3年,故A正确.
例4 C [解析] 脉冲星自转,边缘物体恰对球体无压力时万有引力提供向心力,则有G=mR,又知M=ρ·πR3,整理得密度ρ== kg/m3≈5×1015 kg/m3.
例5 CD [解析] 由行星的发现历史可知,天王星是通过观测发现的,海王星不是直接由万有引力定律计算出轨道而发现的,而是人们发现天王星的实际轨道与理论轨道存在偏差,然后运用万有引力定律计算出“新”行星的轨道,从而发现了海王星, 海王星的发现和哈雷彗星的“按时回归”确立了万有引力定律的地位,选项A、B错误,C、D正确.
随堂巩固
1.B [解析] 测出地球的公转周期和地球与太阳的距离,根据万有引力提供向心力,只能求出太阳的质量,故①错误;月球绕地球做匀速圆周运动,它受到的地球的万有引力提供向心力,由万有引力定律结合牛顿第二定律得G=m月r,所以地球的质量M=,其中r为地球与月球间的距离,T为月球的公转周期,故②正确;地球表面的物体受到的重力大小近似等于万有引力大小,即mg=G,可求出地球的质量M=,故③正确;测出月球的公转周期及月球的线速度,根据圆周运动公式可得,轨道半径r=,由万有引力定律结合牛顿第二定律得G=m月r,将r=代入可求出地球的质量M,故④正确,选项B正确.
2.A [解析] 根据h=gt2,得星球表面的重力加速度g=,根据G=mg,得星球的质量M==,故A正确.
3.C [解析] 地球绕中心天体做匀速圆周运动,万有引力提供向心力,可得G=mr,解得r=,“新太阳时代”的地球轨道半径r1与现在地球轨道半径r2之比为===,B项错误;由万有引力公式F=G,则有“新太阳时代”的地球所受万有引力与现在地球所受万有引力之比为=·=,A项错误;万有引力使地球产生公转加速度,由牛顿第二定律可得F=ma,则有“新太阳时代”的地球公转加速度与现在地球公转加速度之比为==,C项正确;由万有引力提供向心力,可得G=m,解得v=,则有“新太阳时代”的地球公转速率与现在地球公转速率之比为===,D项错误.3 万有引力理论的成就
学习任务一 计算天体的质量和密度
[教材链接] 阅读教材,完成下列填空:
(1)若不考虑地球自转的影响,则地面上质量为m的物体所受的重力等于地球对物体的 .
(2)公式:mg= .由此式可得出地球的质量m地= .
考向一 重力加速度法求中心天体的质量
例1 在未来的某一天,我国载人探月飞船嫦娥x号飞临月球,先在月球表面附近的圆轨道上绕月球做周期为T的匀速圆周运动,然后逐渐调整并安全登月.宇航员出舱后沿竖直方向做了一次跳跃,不计空气阻力,他腾空的高度为h,腾空时间为t.由此可计算出 ( )
A.月球的半径为
B.月球的质量为
C.月球的平均密度为
D.飞船在近月圆轨道上运行的线速度大小为
考向二 环绕法求中心天体的质量
例2 (多选)[2024·重庆南开中学月考] 2022年10月12日,“天宫课堂”第三课开讲.神舟十四号飞行乘组航天员陈冬、刘洋、蔡旭哲在问天实验舱内面向广大青少年进行太空授课.若中国空间站的轨道离地球表面高度为h,绕地球运行周期为T,地球半径为R,引力常量为G,则( )
A.地球密度为ρ=
B.地球质量为M=
C.中国空间站运行的角速度为ω=
D.中国空间站运行的线速度为v=
[反思感悟]
【要点总结】
1.中心天体质量的计算
(1)若已知中心天体的半径R和中心天体表面的重力加速度g,以及引力常量G,根据物体的重力近似等于中心天体对物体的引力,有mg=G,得中心天体质量为M=.
(2)若已知环绕天体的轨道半径r和周期T,以及引力常量G,将天体的运动近似看成匀速圆周运动,天体所需的向心力都来自万有引力,可得M=.
2.天体密度的计算
若中心天体的半径为R,则中心天体的密度ρ=,将M=,代入可得ρ=.
特殊情况:当卫星环绕中心天体表面运行时,卫星的轨道半径r可认为等于中心天体的半径R,则ρ=.
学习任务二 天体运行参量的分析与计算
[科学思维] 行星在围绕太阳做匀速圆周运动.
(1)行星绕恒星做匀速圆周运动时线速度的大小是由什么因素决定的
(2)行星、卫星绕中心天体运动时的线速度、角速度、周期和向心加速度与自身质量有关吗
例3 (多选)[2024·辽宁省实验中学月考] 2024年1月17日,天舟七号货运飞船与长征七号遥八运载火箭在我国文昌航天发射场点火发射,飞船成功进入预定轨道做圆周运动,之后再次点火加速与在轨运行的空间站组合体进行交会对接.已知飞船预定轨道的半径为地球半径的n倍,空间站轨道半径为地球半径的m倍.已知m>n,则下列分析正确的是 ( )
A.飞船在预定轨道做圆周运动时的线速度比空间站的线速度小
B.飞船在预定轨道做圆周运动时的加速度比空间站的加速度大
C.飞船在预定轨道运行时的角速度与空间站的角速度之比为
D.飞船在预定轨道运行时的角速度与空间站的角速度之比为
[反思感悟]
变式 [2024·江苏徐州中学月考] 2021年10月13日,《自然》杂志上的一篇天文学论文,描述了一颗质量达到木星级别的气态巨行星,沿一个宽广轨道围绕一颗银河系内的白矮星转动.若该白矮星的质量为太阳的一半,气态巨行星绕白矮星做匀速圆周运动的轨道半径为地球绕太阳做匀速圆周运动的轨道半径的3倍,则该气态巨行星运行的周期为( )
A.3年 B.2年
C.3年 D.2年
[反思感悟]
【要点总结】
1.基本思路
一般行星或卫星的运动可看成匀速圆周运动,所需要的向心力都由中心天体对它的万有引力提供,即Fn=F万.
2.常用关系
(1)万有引力提供行星或卫星做匀速圆周运动的向心力,有G=m=mω2r=mr=mωv=man.
(2)在天体表面物体的重力近似等于它受到的万有引力,即mg=G,可得gR2=Gm中,该公式称为“黄金代换式”.
3.四个重要结论
项目 推导式 关系式 结论
v与r的 关系 G=m v= r越大, v越小
ω与r的 关系 G=mω2r ω= r越大, ω越小
T与r的 关系 G= mr T=2π r越大, T越大
an与r 的关系 G= man an= r越大, an越小
口诀:“高轨低速周期长,低轨高速周期短”.
学习任务三 星球稳定自转的临界问题
[科学思维] 当星球自转越来越快时,星球对赤道上的物体的引力不足以提供向心力,物体将会“飘起来”,进一步导致星球瓦解,其临界条件是=mR.
例4 我国500 m口径射电望远镜(天眼)发现毫秒脉冲星“J0318+0253”,其自转周期T=5.19 ms.假设星体为质量均匀分布的球体,已知引力常量为6.67×10-11 N·m2/kg2.以周期T稳定自转的星体的密度最小值约为 ( )
A.5×109 kg/m3
B.5×1012 kg/m3
C.5×1015 kg/m3
D.5×1018 kg/m3
学习任务四 发现未知天体
[质疑创新] 海王星被称为“笔尖下发现的行星”,原因就是计算出来的轨道和预测的位置跟实际观测的结果非常接近.在18世纪,人们已经知道太阳系有7颗行星,而天王星的运动轨道与万有引力定律计算出来的轨道总有一些偏差.科学家大胆预测未知行星的存在,根据万有引力定律计算出了这颗“新”行星的轨道并在这轨道附近发现了它.
例5 (多选)下列说法正确的是 ( )
A.海王星是人们直接应用万有引力定律计算出轨道而发现的
B.天王星是人们依据万有引力定律计算出轨道而发现的
C.海王星的发现和哈雷彗星的“按时回归”确立了万有引力定律的地位
D.天王星的运动轨道与由万有引力定律计算的轨道存在偏差,其原因是天王星受到轨道外的行星的引力作用,由此,人们发现了海王星
[反思感悟]
【要点总结】
除了可以应用万有引力定律计算天体的质量外,还可以应用万有引力定律发现未知天体,海王星的发现和哈雷彗星的“按时回归”确立了万有引力定律的地位.
1.(计算天体的质量)已知引力常量G,下列各组数据测出后能估算出地球质量的是( )
①地球到太阳的距离及地球的公转周期
②月球到地球的距离及月球的公转周期
③地球表面的重力加速度及地球半径
④月球的公转周期及月球的线速度
A.①③④ B.②③④
C.②③ D.③④
2.(计算中心天体的质量)宇航员站在某一星球上距离星球表面h高度处以初速度v0沿水平方向抛出一个小球,经过时间t,小球落到星球表面.不计空气阻力,已知该星球的半径为R(R h),引力常量为G,则该星球的质量为 ( )
A. B.
C. D.
3.(天体运行参量的分析与计算)[2024·江苏常州高中月考] 在科幻电影《流浪地球》中,流浪了2500年的地球终于围绕质量约为太阳质量的比邻星做匀速圆周运动,进入了“新太阳时代”.若“新太阳时代”地球公转周期与现在绕太阳的公转周期相同,将“新太阳时代”的地球与现在相比较,下列说法正确的是 ( )
A.所受引力之比为1∶8
B.公转半径之比为1∶4
C.公转加速度之比为1∶2
D.公转速率之比为1∶4(共46张PPT)
3 万有引力理论的成就
学习任务一 计算天体的质量和密度
学习任务二 天体运行参量的分析与计算
学习任务三 星球稳定自转的临界问题
学习任务四 发现未知天体
随堂巩固
练习册
◆
备用习题
学习任务一 计算天体的质量和密度
［教材链接］ 阅读教材，完成下列填空:
(1) 若不考虑地球自转的影响,则地面上质量为的物体所受的重力等于地球对物体的______.
(2) 公式：________.由此式可得出地球的质量____.
引力
考向一 重力加速度法求中心天体的质量
例1 在未来的某一天，我国载人探月飞船嫦娥号飞临月球，先在月球表面附近的圆轨道上绕月球做周期为的匀速圆周运动，然后逐渐调整并安全登月.宇航员出舱后沿竖直方向做了一次跳跃，不计空气阻力，他腾空的高度为，腾空时间为.由此可计算出( )
A
A.月球的半径为
B.月球的质量为
C.月球的平均密度为
D.飞船在近月圆轨道上运行的线速度大小为
[解析] 由，解得，在月球表面，万有引力近似等于重力，则，解得月球的半径为，故A正确；由，，解得，故B错误；由，解得月球的平均密度为，故C错误；由，，，得，故D错误.
考向二 环绕法求中心天体的质量
例2 (多选)[2024·重庆南开中学月考] 2022年10月12日，“天宫课堂”第三课开讲.神舟十四号飞行乘组航天员陈冬、刘洋、蔡旭哲在问天实验舱内面向广大青少年进行太空授课.若中国空间站的轨道离地球表面高度为，绕地球运行周期为，地球半径为，引力常量为，则( )
BC
A.地球密度为 B.地球质量为
C.中国空间站运行的角速度为 D.中国空间站运行的线速度为
[解析] 地球的密度为，，解得，，所以A错误，B正确；空间站运行的角速度为，所以C正确；空间站运行的线速度为，所以D错误.
【要点总结】
1.中心天体质量的计算
(1)若已知中心天体的半径和中心天体表面的重力加速度,以及引力常量，根据物体的重力近似等于中心天体对物体的引力,有,得中心天体质量为.
(2)若已知环绕天体的轨道半径和周期，以及引力常量，将天体的运动近似看成匀速圆周运动,天体所需的向心力都来自万有引力,可得.
2.天体密度的计算
若中心天体的半径为，则中心天体的密度，将，代入可得.
特殊情况：当卫星环绕中心天体表面运行时，卫星的轨道半径可认为等于中心天体的半径，则.
学习任务二 天体运行参量的分析与计算
［科学思维］ 行星在围绕太阳做匀速圆周运动.
(1) 行星绕恒星做匀速圆周运动时线速度的大小是由什么因素决定的？
[答案] 由，得，可见行星线速度的大小是由恒星的质量和行星绕恒星运动的轨道半径共同决定的
(2) 行星、卫星绕中心天体运动时的线速度、角速度、周期和向心加速度与自身质量有关吗？
[答案] 无关，因为在各项中都含有，可以消掉.
例3 (多选)[2024·辽宁省实验中学月考] 2024年1月17日,天舟七号货运飞船与长征七号遥八运载火箭在我国文昌航天发射场点火发射,飞船成功进入预定轨道做圆周运动,之后再次点火加速与在轨运行的空间站组合体进行交会对接.已知飞船预定轨道的半径为地球半径的倍，空间站轨道半径为地球半径的倍.已知，则下列分析正确的是 ( )
BC
A.飞船在预定轨道做圆周运动时的线速度比空间站的线速度小
B.飞船在预定轨道做圆周运动时的加速度比空间站的加速度大
C.飞船在预定轨道运行时的角速度与空间站的角速度之比为
D.飞船在预定轨道运行时的角速度与空间站的角速度之比为
[解析] 飞船预定轨道的半径较小，根据，得，所以飞船在预定轨道做圆周运动时的线速度比空间站的线速度大，故A错误；根据，可得飞船在预定轨道做圆周运动时的加速度比空间站的加速度大，故B正确；根据，可得飞船在预定轨道运行时的角速度与空间站的角速度之比为
，故C正确，D错误.
变式 [2024·江苏徐州中学月考] 2021年10月13日，《自然》杂志上的一篇天文学论文，描述了一颗质量达到木星级别的气态巨行星，沿一个宽广轨道围绕一颗银河系内的白矮星转动.若该白矮星的质量为太阳的一半，气态巨行星绕白矮星做匀速圆周运动的轨道半径为地球绕太阳做匀速圆周运动的轨道半径的3倍，则该气态巨行星运行的周期为( )
A
A.年 B.年 C.年 D.年
[解析] 设太阳质量为，地球绕太阳做匀速圆周运动的轨道半径为，根据牛顿第二定律和万有引力定律，可得，白矮星质量为，气态巨行星绕白矮星做匀速圆周运动的轨道半径为，根据牛顿第二定律和万有引力定律，可得，而年，解得年，故A正确.
【要点总结】
1.基本思路
一般行星或卫星的运动可看成匀速圆周运动，所需要的向心力都由中心天体对它的万有引力提供，即.
2.常用关系
(1)万有引力提供行星或卫星做匀速圆周运动的向心力，有.
(2)在天体表面物体的重力近似等于它受到的万有引力，即,可得，该公式称为“黄金代换式”.
3.四个重要结论
项目 推导式 关系式 结论
与的关系 越大，越小
与的关系 越大， 越小
与的关系 越大，越大
与的关系 越大，越小
口诀：“高轨低速周期长，低轨高速周期短”.
学习任务三 星球稳定自转的临界问题
［科学思维］ 当星球自转越来越快时，星球对赤道上的物体的引力不足以提供向心力，物体将会“飘起来”，进一步导致星球瓦解，其临界条件是
.
例4 我国口径射电望远镜(天眼)发现毫秒脉冲星“”，其自转周期.假设星体为质量均匀分布的球体，已知引力常量为.以周期稳定自转的星体的密度最小值约为( )
C
A. B. C. D.
[解析] 脉冲星自转，边缘物体恰对球体无压力时万有引力提供向心力，则有，又知，整理得密度
学习任务四 发现未知天体
［质疑创新］ 海王星被称为“笔尖下发现的行星”，原因就是计算出来的轨道和预测的位置跟实际观测的结果非常接近.在18世纪，人们已经知道太阳系有7颗行星，而天王星的运动轨道与万有引力定律计算出来的轨道总有一些偏差.科学家大胆预测未知行星的存在，根据万有引力定律计算出了这颗“新”行星的轨道并在这轨道附近发现了它.
例5 (多选)下列说法正确的是( )
CD
A.海王星是人们直接应用万有引力定律计算出轨道而发现的
B.天王星是人们依据万有引力定律计算出轨道而发现的
C.海王星的发现和哈雷彗星的“按时回归”确立了万有引力定律的地位
D.天王星的运动轨道与由万有引力定律计算的轨道存在偏差，其原因是天王星受到轨道外的行星的引力作用，由此，人们发现了海王星
[解析] 由行星的发现历史可知，天王星是通过观测发现的，海王星不是直接由万有引力定律计算出轨道而发现的，而是人们发现天王星的实际轨道与理论轨道存在偏差，然后运用万有引力定律计算出“新”行星的轨道，从而发现了海王星，海王星的发现和哈雷彗星的“按时回归”确立了万有引力定律的地位，选项A、B错误，C、D正确.
【要点总结】
除了可以应用万有引力定律计算天体的质量外，还可以应用万有引力定律发现未知天体，海王星的发现和哈雷彗星的“按时回归”确立了万有引力定律的地位.
备 用 习 题
1.地球赤道上的物体随地球自转的向心加速度为a;假设月球绕地球做匀速圆周运动,轨道半径为r1,向心加速度为a1.已知引力常量为G,地球半径为R.下列说法中正确的是 ( )
A.地球质量M=
B.地球质量M=
C.地球赤道表面处的重力加速度g=a
D.向心加速度之比
A
备 用 习 题
[解析]根据万有引力充当向心力,有G=ma1,解得地球质量M=,选项A正确,B错误;设地球表面赤道处物体受到的支持力为FN,由牛顿第二定律有G-FN=m0a,其中FN=m0g,则地球表面赤道处的重力加速度g≠a,选项C错误;由于地球表面赤道处物体是由于地球自转而做匀速圆周运动,故向心加速度不与半径的二次方成反比,选项D错误.
备 用 习 题
2.一卫星绕某一行星表面附近做匀速圆周运动,其线速度大小为v.假设宇航员在该行星表面上用弹簧测力计测量一质量为m的物体的重力,物体静止时,弹簧测力计的示数为F,已知引力常量为G,忽略该行星的自转,则这颗行星的质量为 ( )
A. B. C. D.
B
[解析]设星球半径为R,星球质量为M,卫星质量为m1,卫星做圆周运动向心力由万有引力提供,即G=m1,而星球表面物体所受的重力大小等于万有引力,即F=mg=,联立解得星球质量M=,故B正确.
备 用 习 题
3. 天文学上常利用环绕星的运动了解中心星的一些特点,随着梦天实验舱的发射成功,我国的空间站已搭建完成,若知道我国空间站距地面的高度为h,每经过T时间绕地球转一圈,地球半径为R,引力常量为G,则可求出地球的密度ρ为 ( )
A.ρ=()3 B.ρ=()3
C.ρ=()3 D.ρ=()3
B
3
[解析] 根据G=m(R+h),ρ=,解得ρ=,故选B.
1.(计算天体的质量)已知引力常量，下列各组数据测出后能估算出地球质量的是( )
B
①地球到太阳的距离及地球的公转周期 ②月球到地球的距离及月球的公转周期
③地球表面的重力加速度及地球半径 ④月球的公转周期及月球的线速度
A.①③④ B.②③④ C.②③ D.③④
[解析] 测出地球的公转周期和地球与太阳的距离,根据万有引力提供向心力,只能求出太阳的质量,故①错误;月球绕地球做匀速圆周运动,它受到的地球的万有引力提供向心力,由万有引力定律结合牛顿第二定律得,所以地球的质量,其中为地球与月球间的距离,为月球的公转周期，故②正确;地球表面的物体受到的重力大小近似等于万有引力大小,即,可求出地球的质量,故③正确;测出月球的公转周期及月球的线速度,根据圆周运动公式可得,轨道半径,由万有引力定律结合牛顿第二定律得,将代入可求出地球的质量,故④正确,选项B正确.
2.(计算中心天体的质量)宇航员站在某一星球上距离星球表面高度处以初速度沿水平方向抛出一个小球，经过时间，小球落到星球表面.不计空气阻力，已知该星球的半径为，引力常量为，则该星球的质量为( )
A
A. B. C. D.
[解析] 根据，得星球表面的重力加速度,根据，得星球的质量,故A正确.
3.(天体运行参量的分析与计算)[2024·江苏常州高中月考] 在科幻电影《流浪地球》中，流浪了2500年的地球终于围绕质量约为太阳质量的比邻星做匀速圆周运动，进入了“新太阳时代”.若“新太阳时代”地球公转周期与现在绕太阳的公转周期相同，将“新太阳时代”的地球与现在相比较，下列说法正确的是( )
C
A.所受引力之比为 B.公转半径之比为
C.公转加速度之比为 D.公转速率之比为
[解析] 地球绕中心天体做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，可得,解得，“新太阳时代”的地球轨道半径与现在地球轨道半径之比为，B项错误；由万有引力公式，则有“新太阳时代”的地球所受万有引力与现在地球所受万有引力之比为，A项错误；万有引力使地球产生公转加速度，由牛顿第二定律可得，则有“新太阳时代”的地球公转加速度与现在地球公转加速度之比为，C项正确；由万有引力提供向心力，可得，解得，则有“新太阳时代”的地球公转速率与现在地球公转速率之比为，D项错误.
知识点一 天体质量和密度的计算
1.2020年6月23日，我国北斗三号最后一颗全球组网卫星发射成功.卫星入轨后绕地球做匀速圆周运动，线速度大小为，轨道半径为，引力常量为，则地球的质量为( )
A
A. B. C. D.
[解析] 根据牛顿第二定律可知，解得，A正确.
2.(多选)[2024·辽宁抚顺一中月考] “嫦娥五号”探测器绕月球做匀速圆周运动时，轨道半径为，速度大小为.已知月球半径为，引力常量为，忽略月球自转的影响.下列选项正确的是( )
BD
A.月球平均密度为 B.月球平均密度为
C.月球表面重力加速度为 D.月球表面重力加速度为
[解析] 由万有引力提供向心力，可得，解得，月球体积 ，所以月球平均密度为 ，故A错误，B正确；在月球表面，有，可解得月球表面重力加速度为，故C错误，D正确.
3.土星最大的卫星叫“泰坦”(如图)，每16天绕土星一周，其公转轨道半径约为，已知引力常量，则土星的质量约为( )
B
A. B. C. D.
[解析] 卫星绕土星运动，土星的引力提供卫星做圆周运动的向心力，设土星质量为，则，解得，代入计算可得，故选B.
知识点二 天体运行参量的分析与计算
4.[2024·重庆南开中学月考] 一探月卫星绕月球做圆周运动，由天文观测可得，该卫星的运动周期为，速率为.引
力常量为，由以上条件不能求出的是( )
C
A.卫星的轨道半径 B.月球的质量
C.卫星的质量 D.卫星运动的加速度
[解析] 根据题意，由公式可得，卫星的轨道半径为，故A不符合题意；根据题意，由万有引力提供向心力得，可得，由于卫星的质量消掉，无法求出，故B不符合题意，C符合题意；根据题意，由公式可得，卫星运动的加速度为，故D不符合题意.
5.[2024·四川成都七中月考] 北京时间2021年2月10日，中国“天问一号”探测器进入环火轨道，标志着我国航天强国建设迈出坚定步伐.假设“天问一号”环绕火星的轨道半径等于某个环绕地球运动的卫星的轨道半径，如果地球表面重力加速度是火星表面的重力加速度的倍，火星的半径是地球半径的倍(不考虑它们本身的自转)，火星和地球均可视为均匀球体，则下列说法正确的是 ( )
A
A.“天问一号”与该卫星的环绕运动周期之比为
B.火星与地球的密度之比为
C.火星表面卫星与地球表面卫星的环绕速度之比为
D.“天问一号”与该卫星的环绕速度之比为
[解析] 设火星与地球的质量分别是、，由，得，又，知，用表示“天问一号”环绕火星运动的周期，表示该卫星环绕地球运动的周期，则，故A正确；由，得火星与地球的密度之比为，故B错误；由，得火星表面卫星与地球表面卫星的环绕速度之比为，故C错误；由，，得“天问一号”与该卫星的线速度之比为，故D错误.
知识点三 星球稳定自转的临界问题
6.一物体静置在平均密度为 的球形天体表面的赤道上.已知引力常量为,若由于天体自转使物体对天体表面压力恰好为零,则天体自转周期为( )
D
A. B. C. D.
[解析] 当压力为零时，有,又,联立解得,所以A、B、C错误，D正确.
知识点四 发现未知天体
7.[2024·河北石家庄一中月考] 下列关于万有引力定律理论成就的说法，错误的是( )
B
A.已知地球的半径、地球表面的重力加速度和引力常量，可以“称量”出地球的质量
B.已知地球的公转轨道半径、地球的自转周期和引力常量，可以估算出太阳的质量
C.海王星的轨道是利用万有引力定律计算预言的，因此被称为“笔尖下发现的行星”
D.牛顿用月球和太阳的万有引力解释了潮汐现象
[解析] 根据可得，，故A正确；根据可得，需要知道地球的公转周期而不是自转周期，故B错误；海王星的轨道是利用万有引力定律计算预言的，因此被称为“笔尖下发现的行星”，故C正确；牛顿用月球和太阳的万有引力解释了潮汐现象，故D正确.
8.[2024·广东广州三中月考] 瑞士天文学家迪迪埃·奎洛兹因为发现了围绕其他类太阳恒星运行的系外行星而获得了2019年诺贝尔物理学奖.假设某一系外行星的半径为，质量为，公转半径为，公转周期为.一质量为的宇宙飞船围绕该系外行星做匀速圆周运动，半径为，周期为.不考虑其他天体的影响，已知引力常量为，则有( )
C
A. B. C. D.
[解析] 质量为的宇宙飞船围绕该系外行星做匀速圆周运动，它们之间的万有引力提供宇宙飞船所需的向心力，可得，整理可得，故C正确，D错误.开普勒第三定律仅适用于绕同一中心天体运动的物体，题中系外行星公转和宇宙飞船绕系外行星飞行的中心天体不同，不能使用开普勒第三定律，故A、B错误.
9.宇航员在地球上的水平地面将一小球水平抛出，使小球产生一定的水平位移，当他登陆一半径为地球半径2倍的星球后，站在该星球水平地面上以和地球完全相同的方式水平抛出小球，测得小球的水平位移大约是地球上平抛时的4倍，由此宇航员估算该星球的质量为(式中为地球的质量)( )
C
A. B. C. D.
[解析] 根据平抛规律可计算星球表面重力加速度，竖直方向有,水平方向有,可得,再由星球表面万有引力公式,,,可得,故选C.
10.假如人类发现了某星球，人类登上该星球后，进行了如下实验：在固定的竖直光滑圆轨道内部，一小球恰好能做完整的圆周运动，小球在最高点时的速度为，轨道半径为.不计空气阻力，若已测得该星球的半径为，引力常量为，则该星球的质量为( )
D
A. B. C. D.
[解析] 设小球的质量为，该星球的质量为，因小球恰好能做完整的圆周运动，在最高点时小球速度为，则由牛顿第二定律得，解得，对于在该星球表面上质量为的物体，万有引力近似等于其重力，有，可得，故D正确.
11.[2024·河南郑州一中月考] 二十世纪人类伟大的创举之一是开拓了太空的全新领域.现有一艘远离星球在太空中直线飞行的宇宙飞船，为了测量自身质量，启动推进器，测出飞船在短时间内速度的改变量大小为和飞船受到的推力(其他星球对它的引力可忽略).在某次航行中，当它飞近一个孤立的星球时，飞船能以速度在离星球的较高轨道上绕星球做周期为的匀速圆周运动.已知星球的半径为，引力常量用表示.则飞船和星球的质量分别是( )
D
A.， B.， C.， D.，
[解析] 飞船在时间内的加速度，所以飞船的质量；绕星球做匀速圆周运动时，由万有引力提供向心力得，又，整理得，故D正确，A、B、C错误.
12.某同学从网上得到一些信息，如表格中的数据所示，则地球和月球的密度之比为( )
月球半径
月球表面处的重力加速度
地球和月球的半径之比
地球表面和月球表面的重力加速度之比
B
A. B. C.4 D.6
[解析] 在地球表面，对质量为的物体有,解得,故密度,同理，月球的密度,故地球和月球的密度之比,故B正确.
13.[2024·湖南岳阳一中月考] 2023年5月，我国神舟十六号宇宙飞船成功发射，三位宇航员与神舟十五号的三位宇航员在中国空间站成功会师.已知“神
(1) “神舟十六号”与空间站组合体对接后,地球对它们的万有引力大小;
[答案]
[解析] 组合体绕地球运动的周期
则所受的万有引力大小为
舟十六号”与空间站组合体完成对接后在轨道上的运动,可视为匀速圆周运动,它们飞行圈所用时间为.已知它们的总质量为,它们距地面的高度为,地球半径为,引力常量为.求:
(2) 地球的质量;
[答案]
[解析] 根据万有引力提供向心力得
解得地球的质量
(3) 地球表面的重力加速度大小.
[答案]
[解析] 根据
解得3 万有引力理论的成就
1.A [解析] 根据牛顿第二定律可知G=m,解得M=,A正确.
2.BD [解析] 由万有引力提供向心力,可得G=m,解得M=,月球体积V=πR3 ,所以月球平均密度为ρ== ,故A错误,B正确;在月球表面,有G=mg,可解得月球表面重力加速度为g==,故C错误,D正确.
3.B [解析] 卫星绕土星运动,土星的引力提供卫星做圆周运动的向心力,设土星质量为M,则=mR,解得M=,代入计算可得M= kg≈5×1026 kg,故选B.
4.C [解析] 根据题意,由公式T=可得,卫星的轨道半径为r=,故A不符合题意;根据题意,由万有引力提供向心力得=mr,可得M=,由于卫星的质量消掉,无法求出,故B不符合题意,C符合题意;根据题意,由公式a=可得,卫星运动的加速度为a=,故D不符合题意.
5.A [解析] 设火星与地球的质量分别是M1、M2,由G=mg,得=,又G=mr,知T=2π,用T1表示“天问一号”环绕火星运动的周期,T2表示该卫星环绕地球运动的周期,则==,故A正确;由ρ=,得火星与地球的密度之比为=,故B错误;由v=,得火星表面卫星与地球表面卫星的环绕速度之比为∶,故C错误;由G=m,G=mg,得“天问一号”与该卫星的线速度之比为q∶,故D错误.
6.D [解析] 当压力为零时,有G=mR,又M=ρπR3,联立解得T=,所以A、B、C错误,D正确.
7.B [解析] 根据G=mg可得,M=,故A正确;根据G=mr可得M=,需要知道地球的公转周期而不是自转周期,故B错误;海王星的轨道是利用万有引力定律计算预言的,因此被称为“笔尖下发现的行星”,故C正确;牛顿用月球和太阳的万有引力解释了潮汐现象,故D正确.
8.C [解析] 质量为m的宇宙飞船围绕该系外行星做匀速圆周运动,它们之间的万有引力提供宇宙飞船所需的向心力,可得G=mr1,整理可得=,故C正确,D错误.开普勒第三定律仅适用于绕同一中心天体运动的物体,题中系外行星公转和宇宙飞船绕系外行星飞行的中心天体不同,不能使用开普勒第三定律,故A、B错误.
9.C [解析] 根据平抛规律可计算星球表面重力加速度,竖直方向有h=gt2,水平方向有x=vt,可得g星=g地,再由星球表面万有引力公式G=mg星,G=mg地,R星=2R地,可得M星=M,故选C.
10.D [解析] 设小球的质量为m,该星球的质量为M,因小球恰好能做完整的圆周运动,在最高点时小球速度为v,则由牛顿第二定律得mg=m,解得g=,对于在该星球表面上质量为m'的物体,万有引力近似等于其重力,有m'g=G,可得M=,故D正确.
11.D [解析] 飞船在Δt时间内的加速度a=,所以飞船的质量m==;绕星球做匀速圆周运动时,由万有引力提供向心力得G=mr,又v=,整理得M=,故D正确,A、B、C错误.
12.B [解析] 在地球表面,对质量为m的物体有mg=G,解得M=g,故密度ρ==,同理,月球的密度ρ0=,故地球和月球的密度之比=,故B正确.
13.(1)m(R+h) (2)(R+h)3
(3)(R+h)3
[解析] (1)组合体绕地球运动的周期T=
则所受的万有引力大小为
F=m(R+h)=m(R+h)
(2)根据万有引力提供向心力得
G=m(R+h)
解得地球的质量M=(R+h)3
(3)根据G=mg
解得g==(R+h)33 万有引力理论的成就建议用时:40分钟
◆ 知识点一 天体质量和密度的计算
1.2020年6月23日,我国北斗三号最后一颗全球组网卫星发射成功.卫星入轨后绕地球做匀速圆周运动,线速度大小为v,轨道半径为r,引力常量为G,则地球的质量为 ( )
A. B. C. D.
2.(多选)[2024·辽宁抚顺一中月考] “嫦娥五号”探测器绕月球做匀速圆周运动时,轨道半径为r,速度大小为v.已知月球半径为R,引力常量为G,忽略月球自转的影响.下列选项正确的是 ( )
A.月球平均密度为
B.月球平均密度为
C.月球表面重力加速度为
D.月球表面重力加速度为
3.土星最大的卫星叫“泰坦”(如图),每16天绕土星一周,其公转轨道半径约为1.2×106 km,已知引力常量G=6.67×10-11 N·m2/kg2,则土星的质量约为 ( )
A.5×1017 kg
B.5×1026 kg
C.7×1033 kg
D.4×1036 kg
◆ 知识点二 天体运行参量的分析与计算
4.[2024·重庆南开中学月考] 一探月卫星绕月球做圆周运动,由天文观测可得,该卫星的运动周期为T,速率为v.引力常量为G,由以上条件不能求出的是( )
A.卫星的轨道半径
B.月球的质量
C.卫星的质量
D.卫星运动的加速度
5.[2024·四川成都七中月考] 北京时间2021年2月10日,中国“天问一号”探测器进入环火轨道,标志着我国航天强国建设迈出坚定步伐.假设“天问一号”环绕火星的轨道半径等于某个环绕地球运动的卫星的轨道半径,如果地球表面重力加速度是火星表面的重力加速度的k倍,火星的半径是地球半径的q倍(不考虑它们本身的自转),火星和地球均可视为均匀球体,则下列说法正确的是 ( )
A.“天问一号”与该卫星的环绕运动周期之比为∶q
B.火星与地球的密度之比为q∶k
C.火星表面卫星与地球表面卫星的环绕速度之比为q∶
D.“天问一号”与该卫星的环绕速度之比为∶k
◆ 知识点三 星球稳定自转的临界问题
6.一物体静置在平均密度为ρ的球形天体表面的赤道上.已知引力常量为G,若由于天体自转使物体对天体表面压力恰好为零,则天体自转周期为 ( )
A. B.
C. D.
◆ 知识点四 发现未知天体
7.[2024·河北石家庄一中月考] 下列关于万有引力定律理论成就的说法,错误的是 ( )
A.已知地球的半径、地球表面的重力加速度和引力常量,可以“称量”出地球的质量
B.已知地球的公转轨道半径、地球的自转周期和引力常量,可以估算出太阳的质量
C.海王星的轨道是利用万有引力定律计算预言的,因此被称为“笔尖下发现的行星”
D.牛顿用月球和太阳的万有引力解释了潮汐现象
8.[2024·广东广州三中月考] 瑞士天文学家迪迪埃·奎洛兹(Didier Queloz)因为发现了围绕其他类太阳恒星运行的系外行星而获得了2019年诺贝尔物理学奖.假设某一系外行星的半径为R,质量为M,公转半径为r,公转周期为T.一质量为m的宇宙飞船围绕该系外行星做匀速圆周运动,半径为r1,周期为T1.不考虑其他天体的影响,已知引力常量为G,则有 ( )
A.= B.=
C.= D.=
9.宇航员在地球上的水平地面将一小球水平抛出,使小球产生一定的水平位移,当他登陆一半径为地球半径2倍的星球后,站在该星球水平地面上以和地球完全相同的方式水平抛出小球,测得小球的水平位移大约是地球上平抛时的4倍,由此宇航员估算该星球的质量为(式中M为地球的质量) ( )
A.M星=M B.M星=2M
C.M星=M D.M星=4M
10.假如人类发现了某星球,人类登上该星球后,进行了如下实验:在固定的竖直光滑圆轨道内部,一小球恰好能做完整的圆周运动,小球在最高点时的速度为v,轨道半径为r.不计空气阻力,若已测得该星球的半径为R,引力常量为G,则该星球的质量为( )
A. B. C. D.
11.[2024·河南郑州一中月考] 二十世纪人类伟大的创举之一是开拓了太空的全新领域.现有一艘远离星球在太空中直线飞行的宇宙飞船,为了测量自身质量,启动推进器,测出飞船在短时间Δt内速度的改变量大小为Δv和飞船受到的推力F(其他星球对它的引力可忽略).在某次航行中,当它飞近一个孤立的星球时,飞船能以速度v在离星球的较高轨道上绕星球做周期为T的匀速圆周运动.已知星球的半径为R,引力常量用G表示.则飞船和星球的质量分别是 ( )
A., B.,
C., D.,
12.某同学从网上得到一些信息,如表格中的数据所示,则地球和月球的密度之比为 ( )
月球半径 R0
月球表面处的重力加速度 g0
地球和月球的半径之比 =4
地球表面和月球表面的重力加速度之比 =6
A. B.
C.4 D.6
13.[2024·湖南岳阳一中月考] 2023年5月,我国神舟十六号宇宙飞船成功发射,三位宇航员与神舟十五号的三位宇航员在中国空间站成功会师.已知“神舟十六号”与空间站组合体完成对接后在轨道上的运动,可视为匀速圆周运动,它们飞行n圈所用时间为t.已知它们的总质量为m,它们距地面的高度为h,地球半径为R,引力常量为G.求:
(1)“神舟十六号”与空间站组合体对接后,地球对它们的万有引力大小F;
(2)地球的质量M;
(3)地球表面的重力加速度大小g.
