习题课:天体运动(A)
1.D [解析] 11.2 km/s是第二宇宙速度,是卫星脱离地球引力束缚的最小发射速度,故该卫星的发射速度一定小于11.2 km/s,A错误;静止卫星的轨道在赤道上空,该卫星的同步轨道Ⅱ不可以在北京正上方,B错误;根据卫星变轨的原理可知,卫星在轨道Ⅰ上的Q点需加速,才能进入轨道Ⅱ,所以该卫星在轨道Ⅰ和轨道Ⅱ上的Q点处速度大小不相等,C错误;a=知该卫星在轨道Ⅰ和轨道Ⅱ上的Q点加速度相等,D正确.
2.A [解析] “天问一号” 在P点制动后进入轨道Ⅱ运动,故“天问一号”在轨道Ⅰ上P点的速度大于在轨道Ⅱ上P点的速度,故vⅠ>vⅡ;“天问一号”的加速度是由万有引力提供的,由F==ma,可知在同一点,万有引力使“天问一号”产生的加速度相同,故aⅠ=aⅡ,A正确,B、C、D错误.
3.C [解析] 黑洞和恒星组成双星系统,根据双星系统的特点可知,黑洞与恒星的向心力都等于黑洞和恒星之间的万有引力,转动的角速度相等,故A、B错误,C正确;根据牛顿第二定律a=,可知黑洞与恒星加速度大小之比为=,故D错误.
4.A [解析] 在双星系统中,双星的角速度和周期都相同,故B、D错误;由于双星系统中,双星间的万有引力提供圆周运动向心力,则=m1ω2r1,=m2ω2r2,解得m1∶m2=r2∶r1=2∶3,故C错误;双星的角速度相同,由v=ωr知v1∶v2=r1∶r2=3∶2,故A正确.
5.A [解析] 设该黑洞的半径为R,根据题意可得G=m,对围绕黑洞运行的星体有G=m'r,联立解得R=,故选A.
6.D [解析] 要成为地球的卫星,发射速度需大于地球的第一宇宙速度,小于地球的第二宇宙速度,选项A错误;卫星a的轨道低于b的轨道,根据v=,可知卫星a的线速度大于卫星b的线速度,选项B错误;若让卫星c加速,则其所需的向心力增大,由于万有引力小于所需的向心力,卫星c将做离心运动,离开原轨道,选项C错误;b、c在地球的同步轨道上,卫星b、c和地球具有相同的周期和角速度,由万有引力提供向心力,有G=mω2r,解得ω=,a距离地球表面的高度为R,卫星a的角速度ωa=,此时a、b恰好相距最近,设卫星a和b下一次相距最近的时间为t,则有(ωa-ω)t=2π,解得t=,选项D正确.
7.D [解析] 根据开普勒第三定律有=,解得T乙=7T甲,从图示时刻开始,乙转动半圈,甲转动3.5圈,“相遇”一次,此后甲每转动3.5圈,两个卫星就“相遇”一次,则甲运动15圈的时间内,甲、乙卫星将“相遇”4次,故选D.
8.C [解析] 根据题意,设A的质量为M,B的质量为m,则A、B之间的万有引力为F=,由于M增大,m减小,则M、m的乘积改变,A、B之间的万有引力改变,故B项错误;若双星稳定运行,则双星的角速度相等,双星间万有引力提供向心力,则有=Mω2rA,=mω2rB,又有r=rA+rB,解得ω=,由于质量在两星球间转移,故总质量不变,则角速度大小不变,由T=可知,周期不变,由上述分析可得Mω2rA=mω2rB解得=,由于M增大,m减小,则rA减小,rB增大,由于角速度不变,则B星球做圆周运动的线速度变大,故A、D项错误,C项正确.
9.D [解析] 根据G=mg,可知g月=G≈g,故A错误;登月火箭的发射没有脱离地球束缚,速度应小于11.2 km/s,故B错误;根据G=m,可得地球第一宇宙速度v==7.9 km/s,同理可得,月球第一宇宙速度v月=≈1.68 km/s,故C错误;根据G=mR,ρ==,可得ρ=,故月球密度ρ月=,故D正确.
10.C [解析] 卫星在调相轨道和绕月轨道上运行时其中心天体分别为地球与月球,中心天体不同,故≠,A项错误;卫星在Q点减速,才能使卫星从地月转移轨道切入到绕月轨道,B项错误;卫星在P点加速做离心运动,才能使卫星从调相轨道切入到地月转移轨道,C项正确;“嫦娥五号”卫星没有脱离地球引力束缚,在地面的发射速度不大于11.2 km/s,则卫星在地月转移轨道上运行的速度也不大于11.2 km/s,D项错误.
11.(1) (2) (3)-R
[解析] (1)在地球表面附近,由万有引力定律,得F=
(2)卫星环绕地球飞行,万有引力提供向心力,有=m
第一宇宙速度v=
(3)设卫星的同步轨道半径为r,则
=mr
r=
h=r-R
得h=-R
12.C [解析] 三颗星球均绕中心做圆周运动,由几何关系可知r==L,A错误;任一星球做圆周运动的向心力由其他两个星球的引力的合力提供,根据平行四边形定则得F=2cos 30°=ma,解得a=,B错误;由F=2cos 30°=m=mr,解得v=,T=2πL,C正确,D错误.习题课:天体运动(A)建议用时:40分钟
◆ 知识点一 人造卫星变轨问题
1.[2024·北京四中月考] 如图所示,在发射静止卫星的过程中,卫星首先进入椭圆轨道 Ⅰ,然后在Q点通过改变卫星速度,让卫星进入地球同步轨道Ⅱ,下列说法正确的是 ( )
A.该卫星的发射速度必定大于 11.2 km/s
B.该卫星的同步轨道Ⅱ可以在北京正上方
C.该卫星在轨道Ⅰ和轨道Ⅱ上的Q点处速度相等
D.该卫星在轨道Ⅰ和轨道Ⅱ上的Q点处加速度相等
2.[2024·山东日照一中月考] 2021年11月8日,天问一号探测器成功实施近火制动,准确进入遥感使命轨道.制动前探测器在轨道Ⅰ上运动,在P点制动后进入轨道Ⅱ运动.如图所示,探测器沿轨道Ⅰ、Ⅱ运动到P点的速度大小分别为vⅠ、vⅡ,加速度大小分别为aⅠ、aⅡ. 则( )
A.vⅠ>vⅡ aⅠ=aⅡ
B.vⅠ
C.vⅠ=vⅡ aⅠ=aⅡ
D.vⅠ=vⅡ aⅠ>aⅡ
◆ 知识点二 双星问题和黑洞问题
3.[2024·辽宁沈阳二中月考] 中国科学家利用“慧眼”太空望远镜观测到了银河系的MAXIJ1820+070,这是一个由黑洞和恒星组成的双星系统,距离地球约10 000光年.根据观测,此双星系统中的黑洞质量大约是恒星质量的16倍,可推断该黑洞与恒星的 ( )
A.向心力大小之比为16∶1
B.周期大小之比为16∶1
C.角速度大小之比为1∶1
D.加速度大小之比为1∶1
4.[2024·江苏苏州中学月考] 现代观测表明,由于引力作用,恒星有“聚集”的特点,众多的恒星组成了不同层次的恒星系统,最简单的恒星系统是两颗互相绕转的双星.事实上,冥王星也和另一星体构成双星,如图所示,这两颗行星1、2各以一定速率绕它们连线上某一中心O匀速转动,这样才不至于因万有引力作用而吸引在一起,现测出双星间的距离始终不变,且它们做匀速圆周运动的半径r1与r2之比为3∶2,则( )
A.它们的线速度大小之比v1∶v2=3∶2
B.它们的角速度大小之比ω1∶ω2=2∶3
C.它们的质量之比m1∶m2=3∶2
D.它们的周期之比T1∶T2=2∶3
5.[2024·湖南长沙一中月考] 银河系中心为一超大密度的黑洞,其第一宇宙速度达到光速c,一距离该黑洞中心为r的星体,绕黑洞中心运动的周期为T,则该黑洞的半径为 ( )
A. B. C. D.
◆ 知识点三 天体追及相遇问题
6.如图所示,质量相同的三颗卫星a、b、c绕地球做匀速圆周运动(a、b、c在同一平面内且绕行方向相同),其中b、c在地球的同步轨道上,a距离地球表面的高度为R,此时a、b恰好相距最近.已知地球质量为M,半径为R,地球自转的角速度为ω,引力常量为G,则 ( )
A.发射卫星b时速度要大于11.2 km/s
B.卫星a的线速度小于卫星b的线速度
C.要使卫星c与b实现对接,可直接让卫星c加速
D.卫星a和b下一次相距最近还需经过t=
7.如图所示,卫星甲、乙均绕地球做匀速圆周运动,轨道平面相互垂直,乙的轨道半径是甲的倍.将两卫星和地心在同一直线且甲、乙位于地球同侧的位置称为“相遇”,则从某次“相遇”后,甲绕地球运动15圈的时间内,甲、乙卫星将“相遇” ( )
A.1次
B.2次
C.3次
D.4次
8.[2024·河北正定中学月考] 宇宙中互相绕转的两个恒星,天文学上称之为“双星”.如图所示,某双星系统中质量较大的A星球正在“吸食”质量较小的B星球的表面物质,从而达到质量转移.假设“吸食”过程A、B两星球球心间距离不变,运动的轨道均为圆周,则在“吸食”的最初阶段,下列说法正确的是( )
A.A、B运动的周期变大
B.A、B之间的万有引力保持不变
C.A星球做圆周运动的轨道半径变小
D.B星球做圆周运动的线速度变小
9.[2024·浙江余姚中学月考] 我国载人登月计划的核心技术是“绕、落、回”,先绕月球运行,然后软着陆到月球表面,最后从月球表面返回地球.已知月球的质量只有地球质量的,月球半径为地球半径的,地球表面的重力加速度为g,引力常量为G,下列说法正确的是 ( )
A.月球表面的重力加速度约为6g
B.登月火箭的发射速度应大于11.2 km/s
C.月球的第一宇宙速度约为2.4 km/s
D.若知道飞船近月环绕的周期,就可以求出月球的密度
10.[2024·重庆巴蜀中学月考] 如图所示,“嫦娥五号”卫星从地球上发射先经历绕地飞行调相轨道,再从调相轨道上的P点进入地月转移轨道,然后在地月转移轨道上的Q点进入到绕月飞行轨道段.假设调相轨道和绕月轨道分别是半长轴为a、b的椭圆轨道,卫星在两椭圆轨道上分别绕地球、月球运行的周期为T1、T2. 则下列说法中正确的是( )
A.=
B.从地月转移轨道切入到绕月轨道时,卫星在Q点必须加速
C.从调相轨道切入到绕月转移轨道时,卫星在P点必须加速
D.“嫦娥五号”卫星在地月转移轨道上运行的速度应大于11.2 km/s
11.[2024·江苏苏州中学月考] 假设卫星以第一宇宙速度发射,绕地球飞行一圈后在A点(近地点)加速进入椭圆轨道,在椭圆轨道的B点(远地点)再次加速变轨进入地球同步轨道.已知卫星质量为m,地球质量为M,地球半径为R,地球的自转周期为T,引力常量为G.求:
(1)卫星在地球表面受到的万有引力大小F;
(2)第一宇宙速度大小v;
(3)卫星在同步轨道运行时离地面的高度h.
12.宇宙间存在一些离其他恒星较远的三星系统,其中有一种三星系统如图所示,三颗质量均为m的星球位于等边三角形的三个顶点上,任意两颗星球的距离均为L,并绕其中心O做匀速圆周运动.忽略其他星球对它们的引力作用,引力常量为G.以下对该三星系统的说法正确的是 ( )
A.每颗星球做圆周运动的半径都等于L
B.每颗星球做圆周运动的加速度与星球的质量无关
C.每颗星球做圆周运动的线速度v=
D.每颗星球做圆周运动的周期为T=2πL习题课:天体运动(B)
1.AD [解析] 根据万有引力提供向心力,对B有G=m,整理得v=,故A正确;根据万有引力提供向心力, B的向心加速度满足G=man,整理得an=,因为A的轨道半径大于B的轨道半径,所以A的向心加速度小于,故B错误;根据万有引力提供向心力,则有G=mr,整理得T=,轨道半径越小,周期越小,B的运行周期小于A的运行周期,故C错误;B处于低轨道,需加速,使得万有引力不足以提供向心力,做离心运动,可能实现与A的对接,故D正确.
2.BD [解析] “神舟十一号”飞船与“天宫二号”目标飞行器正确对接的方法是处于较低轨道的“神舟十一号”飞船在适当位置通过适当加速,恰好提升到“天宫二号”目标飞行器所在高度并与之交会对接.若“神舟十一号”与“天宫二号”原来在同一轨道上运动,后面的飞行器加速会上升到较高轨道,前面的飞行器减速会下降到较低的轨道,都不会完成交会对接.故A、C项错误,B、D项正确.
3.CD [解析] 由于卫星B为地球同步卫星,所以卫星B的周期为TB=24 h,根据万有引力提供向心力,有G=mr,可得T=2π,由图可知,卫星A的轨道比同步卫星低,则其周期小于24 h,故A错误;地球同步卫星B在6 h内转过的圆心角为θ=2π×=,故B错误;根据万有引力提供向心力,有G=m,解得v=,所以A的线速度大于B的线速度,故C正确;卫星B和卫星P角速度相等,根据向心加速度与角速度的关系an=ω2r,卫星B的向心加速度大于卫星P随地球自转的向心加速度,故D正确.
4.B [解析] 设火星轨道半径为R1,公转周期为T1,地球轨道半径为R2,公转周期为T2,依题意有R1-R2=R0,R1+R2=5R0,解得R1=3R0,R2=2R0,根据开普勒第三定律,有=,解得T1=年,设从相距最近到相距最远需经过的最短时间为t,有ω2t-ω1t=π,ω=,代入数据,可得t≈401天,故B正确.
5.AD [解析] 根据开普勒第三定律,有=k,卫星在轨道Ⅰ上运动周期比在轨道Ⅱ上长,A正确;根据=ma,解得a=,卫星在轨道Ⅱ上P点的加速度等于在轨道Ⅲ上P点时的加速度,B错误;月球的第一宇宙速度是卫星绕其做圆周运动的最大速度,所以卫星在轨道Ⅲ上运动的速度小于月球的第一宇宙速度,C错误;在P点的两次变轨都必须减速,D正确.
6.C [解析] 因“天问一号”发射后要先绕太阳转动,故发射速度要大于第二宇宙速度,即发射速度介于11.2 km/s与16.7 km/s之间,故A错误;因从P点转移到Q点的轨道的半长轴大于地球公转轨道半径,则其周期大于地球公转周期(1年),则从P点转移到Q点的时间为整个周期的一半,应大于6个月,故B错误;因停泊轨道的半长轴小于调相轨道的半长轴,则由开普勒第三定律可知在停泊轨道运行的周期比在调相轨道上小,故C正确;“天问一号”从P点变轨时,要加速,此后做离心运动,速度减小,当运动到Q点时,速度最小,若“天问一号”过Q点绕太阳做匀速圆周运动,则此时速度小于地球绕太阳运行的速度,但实际上“天问一号”在Q点做向心运动,所以“天问一号”在Q点的速度一定小于地球绕太阳运行的速度,故D错误.
7.C [解析] 设地球质量为M,飞船运动半径为r,对飞船研究可知G=mr,解得M=,由几何关系可知R=,则地球密度ρ=,V=πR3,解得ρ=,故选C.
8.C [解析] 探测器在飞往火星的过程中,不需要持续的动力来维持速度,把探测器加速到所需要的速度,就可关闭发动机,探测器靠惯性飞行,但是需要多次调整或修正方向使之能够进入火星轨道,故A错误;火星公转时,太阳对其的万有引力提供向心力,有=mR2,可得太阳的质量为M=,故B错误;根据开普勒第三定律=k可知T2>T1,两次“火星冲日”现象之间地球比火星多转一周,设时间为t,则有t=2π,解得t=,根据题意可知t=≈26个月,故C正确;由于两次“火星冲日”现象的时间间隔约为26个月,故若2020年7月发生一次,则下一次发生的时间为2022年9月,故D错误.
9.BC [解析] 设脉冲双星的质量及轨道半径分别为m1、m2、r1、r2,双星间距为L=r2+r1,由于=m1ω2r1=m2ω2r2,得m1=,m2=,则双星总质量(m1+m2)==,整理得G(m1+m2)=L3ω2,由于不考虑脉冲双星质量的变化,即总质量不变,脉冲双星逐渐靠近的过程中L变小,则ω变大,由T=,可知周期逐渐变小,故A错误,B正确;由m1ω2r1=m2ω2r2,可得=,半径的比值保持不变,脉冲双星逐渐靠近的过程中L变小,因为L=r2+r1,所以它们各自做圆周运动的半径逐渐减小,故C正确; 由以上分析可知(m1+m2)==,要想知道双星总质量,需要知道周期T和双星间距L,故D错误.
10.(1)2π (2)m
[解析] (1)两个星球A、B组成的双星系统角速度相同,根据万有引力定律,两星之间的万有引力F=G.设两星的轨道半径分别是r1、r2.由两星之间的万有引力提供两星做匀速圆周运动的向心力,有F=mr1,F=mr2,可得r1=r2,因此两星绕连线的中点转动
由G=m··,解得ω0=
所以T0===2π .
(2)设星球C的质量为M,由于星球C的存在,A、B星的向心力均由两个万有引力的合力提供,则有
G+G=m·L·ω2
得ω=
则T==2π
有== =k
所以M=m.
11.(1) (2)9×10-3 m
[解析] (1)根据G=m,可得地球的第一宇宙速度v=
(2)由题意可知,逃逸速度v'=v=
假如地球变为黑洞则有v'≥c
代入数据解得地球半径的最大值 Rmax=9×10-3 m习题课:天体运动(B)建议用时:40分钟
1.(多选)[2024·北京八中月考] “天宫二号”和“神舟十一号”交会对接成功,标志着我国在对接技术上迈出了重要一步,用B代表“神舟十一号”,A代表“天宫二号”,它们对接前做圆周运动的情形如图所示,运行方向均为顺时针.已知地球质量为M,地球半径为R,引力常量为G,对接前“神舟十一号”离地表的高度为h,则 ( )
A.B的运行速度为
B.A的向心加速度大于G
C.B的运行周期大于A的运行周期
D.B适度加速可与A对接
2.(多选)[2024·江苏常州高中月考] 2016年10月19日凌晨,“神舟十一号”飞船与“天宫二号”目标飞行器顺利完成自动交会对接.关于它们的交会对接,以下说法正确的是 ( )
A.飞船在同轨道上加速直到追上“天宫二号”完成对接
B.飞船从较低轨道,通过加速追上“天宫二号”完成对接
C.在同一轨道上的“天宫二号”通过减速完成与飞船的对接
D.若“神舟十一号”与“天宫二号”原来在同一轨道上运动,则不能通过直接加速或减速某飞行器的方式完成对接
3.(多选)[2024·河北石家庄二中月考] 如图所示,卫星A是2022年8月20日我国成功发射的遥感三十五号04组卫星,卫星B是地球同步卫星,若它们均可视为绕地球做匀速圆周运动,卫星P是地球赤道上还未发射的卫星,下列说法正确的是 ( )
A.卫星A的运行周期可能为48 h
B.卫星B在6 h内转过的圆心角是45°
C.卫星A的线速度大于卫星B的线速度
D.卫星B的向心加速度大于卫星P随地球自转的向心加速度
4.中国首个火星探测器“天问一号”,已于2021年2月10日成功环绕火星运动.若火星和地球可认为在同一平面内绕太阳同方向做圆周运动,运行过程中火星与地球最近时相距R0,最远时相距5R0,则两者从相距最近到相距最远需经过的最短时间约为 ( )
A.365天 B.400天
C.670天 D.800天
5.(多选)[2024·河北辛集中学月考] “嫦娥五号”探月卫星沿地月转移轨道直奔月球,在距月球表面200 km的P点进行第一次变轨后被月球捕获,先进入椭圆轨道Ⅰ绕月飞行,如图所示.之后,卫星在P点又经过两次变轨,最后在距月球表面200 km的圆形轨道Ⅲ上绕月球做匀速圆周运动.对此,下列说法正确的是( )
A.卫星在轨道Ⅰ上运动周期比在轨道Ⅱ上长
B.卫星在轨道Ⅱ上P点的加速度小于在轨道Ⅲ上P点时的加速度
C.卫星在轨道Ⅲ上运动的速度大于月球的第一宇宙速度
D.在P点的两次变轨都必须减速
6.[2024·清华附中月考] “天问一号”从地球发射后,在如图甲所示的P点沿地火转移轨道到Q点,再依次进入如图乙所示的调相轨道和停泊轨道,则“天问一号” ( )
A.发射速度介于7.9 km/s与11.2 km/s之间
B.从P点转移到Q点的时间小于6个月
C.在环绕火星的停泊轨道运行的周期比在调相轨道上小
D.在地火转移轨道运动时的速度均大于地球绕太阳的速度
7.[2024·江苏常州中学月考] 若某载人宇宙飞船绕地球做圆周运动的周期为T,由于地球遮挡,宇航员发现有时间会经历“日全食”过程,如图所示,已知引力常量为G,太阳光可看作平行光,则地球的平均密度ρ为( )
A.ρ= B.ρ=
C.ρ= D.ρ=
8.[2024·辽宁抚顺一中月考] 大约每隔26个月,地球与火星的距离会达到最近,即发生一次“火星冲日”现象,在此期间可以用较小的成本将探测器送往火星.火星探测器“天问一号”就是巧妙地利用“火星冲日”现象成功发射的.如图所示的虚线为火星探测器飞往火星的轨道示意图,若地球、火星的公转轨道半径分别为R1、R2,公转周期分别为T1、T2,引力常量为G,下列说法正确的是 ( )
A.探测器在飞往火星的过程中,需要持续的动力
B.火星的质量为
C.的数值大约为26个月
D.如果错过了2020年7月的最佳发射时机,下次最佳发射时机最早也需等到2022年5月
9.(多选)[2024·河北石家庄一中月考] 2017年10月16日,南京紫金山天文台对外发布一项重大发现,我国南极巡天望远镜追踪探测到首例引力波事件光学信号.1974年拉塞尔·赫尔斯和约瑟夫·泰勒发现赫尔斯—泰勒脉冲双星,这个双星系统在公转时,由于不断发射引力波而失去能量,因此逐渐相互靠近,这一现象为引力波的存在提供了首个间接证据.上述叙述中,若不考虑赫尔斯—泰勒脉冲双星质量的变化,则下列关于赫尔斯—泰勒脉冲双星的说法正确的是 ( )
A.脉冲双星逐渐靠近的过程中,它们的角速度不变
B.脉冲双星逐渐靠近的过程中,它们公转的周期逐渐变小
C.脉冲双星逐渐靠近的过程中,它们各自做圆周运动的半径逐渐减小,但半径的比值保持不变
D.若测出脉冲双星公转的周期,就可以求出双星的总质量
10.双星系统中两个星球A、B的质量都是m,A、B相距为L,它们正围绕两者连线上的某一点做匀速圆周运动.实际观测该系统的周期T要小于按照力学理论计算出的周期理论值T0,且=k(k<1).于是有人猜测这可能是受到了一颗未发现的星球C的影响,并认为C位于双星A、B的连线正中间,相对A、B静止,求:
(1)两个星球A、B组成的双星系统的周期理论值T0;
(2)星球C的质量.
11.[2024·人大附中月考] 已知地球质量为M0,引力常量为G,将地球视为半径为R、质量均匀分布的球体,忽略地球自转的影响.
(1)求地球的第一宇宙速度v.
(2)北京时间2019年4月10日21时,由全球200多位科学家合作得到的人类首张黑洞照片面世,引起众多天文爱好者的兴趣.
查阅相关资料后知道:
①黑洞具有非常强的引力,即使以3×108 m/s的速度传播的光也不能从它的表面逃逸出去.
②地球的逃逸速度是第一宇宙速度的倍,这个关系对于其他天体也是正确的.
③地球质量为6.00×1024 kg,引力常量G=6.67×10-11 N·m2/kg2.
请你根据以上信息,利用高中学过的知识,通过计算求出:假如地球变为黑洞,在质量不变的情况下,地球半径的最大值(结果保留一位有效数字).
