专题课:机车启动问题和变力做功问题
例1 A [解析] 汽车以恒定的功率启动,由牛顿第二定律得F-Ff=ma,又知功率P额=Fv,联立可得-Ff=ma,当速度为10 m/s时的加速度大小为4 m/s2,即-Ff=4m N,而汽车达到最大速度时加速度为零,有=Ff,联立解得P额=60m(W)=60×1.5×103 W=90 kW,故A正确.
变式1 D [解析] 由题意可知,该公交车以额定功率启动,有P=Fv,F-Ff=ma,Ff=mg,启动过程中速度增大,所以由第一个式子可知,公交车的牵引力F减小,由第二个式子可知,加速度减小,故A错误;因为阻力恒为车重力大小的,有Ff=mg=6000 N,故B错误;当公交车的阻力大小等于牵引力大小时,公交车的速度达到最大值,有P=Ffvmax,解得vmax=30 m/s,故C错误;汽车匀速行驶时,其牵引力大小等于阻力大小,即F牵=Ff=6000 N,则牵引力做功为W=F牵x=9×108 J,故D正确.
例2 A [解析] 由P=Fv,可知当达到速度v时,牵引力大于阻力,此后继续做加速运动,则牵引力减小,由牛顿第二定律可知F-F阻=ma',汽车做加速度减小的加速运动,当牵引力大小等于阻力时,加速度减小到零,速度达到最大,所以汽车的牵引力先减小后不变,故A正确,B、D错误;汽车的最大速度为vm=,故C错误.
例3 D [解析] 由题意和v-t图像知,越野车速度最大时应有P额=Ffvm,汽车受到的阻力为Ff== N=2000 N,A正确;当汽车匀加速运动时,由图像可知a=4 m/s2,当匀加速结束时由P额=Fv,F-Ff=ma,可得越野车的质量为m=1250 kg,B正确;0~20 s内,若越野车全程匀加速至70 m/s,如图虚线所示,汽车的位移等于700 m,由图像面积可知题意中汽车的位移大于700 m,C正确;功率恒定时,由W=Pt知0~20 s内越野车牵引力做功为2800 kJ,但匀加速启动过程中功率小于额定功率,则越野车的牵引力做功小于2800 kJ,故D错误.
变式2 (1)4000 N (2)48 kW (3)2×105 J
[解析] (1)阻力F阻==4000 N
(2)刚达到额定功率时,由牛顿第二定律得-F阻=ma
解得v1=10 m/s
由v1=at1
解得匀加速运动的时间t1=5 s>3 s
第3 s末的速度v2=at2=6 m/s
由-F阻=ma
解得P2=48 kW
(3)匀加速运动的位移x=a=25 m
牵引力F=F阻+ma=8000 N
则匀加速运动过程中牵引力所做的功W=Fx=2×105 J
例4 50 J
[解析] 由于不计绳的质量及绳与滑轮间的摩擦,故恒力F做的功和绳对物体的拉力做的功相等.由于恒力F作用在绳的端点,故需先求出绳的端点的位移l,再求恒力F做的功.
由几何关系知,绳的端点的位移为
l=-=h=0.5 m
在物体从A移到B的过程中,恒力F做的功为
W=Fl=100×0.5 J=50 J
故绳的拉力对物体所做的功为50 J.
例5 B [解析] 在转盘转动一周的过程中,力F的方向时刻变化,但每一瞬时力F总是与该瞬时的速度同向(切线方向),即F在每瞬时与转盘转过的极小位移Δx1,Δ,Δ,…的方向同向,因而在转动一周过程中,力F做的功应等于在各极小段位移所做功的代数和,即W=FΔx1+FΔx2+FΔx3+FΔx4+…=F(Δx1+Δx2+Δx3+Δx4+…)=2πFR,故选B.
例6 39 J
[解析] 木块刚要滑动时,拉力的大小
F=kx1=200×0.3 N=60 N
从开始到木块刚滑动的过程,拉力做功
W1=·x1=×0.3 J=9 J
木块再缓慢移动的过程中,拉力做功
W2=Fx2=60×0.5 J=30 J
故拉力所做的总功为
W=W1+W2=39 J
例7 B [解析] 由F-x图像的面积可得推力全过程做功为W=×100×4 J=200 J,选项B正确.
随堂巩固
1.A [解析] 轻绳对滑块做的功为变力做功,可以通过转换研究对象,将变力做功转化为恒力做功;因轻绳对滑块做的功等于拉力F对轻绳做的功,而拉力F为恒力,W=F·Δl,Δl为轻绳拉滑块过程中力F的作用点移动的位移,大小等于定滑轮左侧绳长的缩短量,由题图及几何知识可知,ΔlAB>ΔlBC,故W1>W2,A正确.
2.B [解析] 力F对物体做的功等于图线与横轴x所包围面积的代数和,0~4 m,力F对物体做的功为W1=×(3+4)×2 J=7 J,4~5 m,力F对物体做的功为W2=-×(5-4)×2 J=-1 J,全过程中,力F对物体做的功为W=7 J-1 J=6 J,故B正确.
3.B [解析] 设阻尼装置对车轮的阻力为Ff,则有Ff×15×90×2πr=900 kJ,解得Ff≈354 N,故选B.
4.(1)20 m/s (2)1 m/s2
[解析] (1)汽车达到最大速度时,F=F阻,根据P=Fv,
可得最大速度为vmax== m/s=20 m/s
(2)当速度v=10 m/s时,F== N=4000 N
根据牛顿第二定律得F-F阻=ma
联立解得a=1 m/s2专题课:机车启动问题和变力做功问题
1.B [解析] 列车以恒定功率运动,根据P=F牵v知,随着速度的增加,牵引力逐渐减小,合力减小,加速度减小,故列车做加速度逐渐减小的加速直线运动,A错误;此过程牵引力的功率不变,由W=Pt知牵引力做的功可以表示为W牵=Pt,B正确;此过程阻力大小不变,但列车不是匀速运动,位移无法求出,所以克服阻力做的功无法求出,C、D错误.
2.B [解析] 由题意知汽车受到的阻力大小为车重力的,则阻力大小为Ff=mg=×2×103×10 N=2000 N,选项A错误;由题图知前5 s内的加速度a==2 m/s2,由牛顿第二定律知前5 s内的牵引力大小为F=Ff+ma=(2000+2×103×2) N=6×103 N,选项B正确;5 s末达到额定功率P额=Fv5=6×103×10 W=6×104 W=60 kW,最大速度vmax== m/s=30 m/s,选项C、D错误.
3.ACD [解析] 重物匀速上升时,钢绳的拉力大小等于重力,此时的速度为vm=,选项A正确;重物匀加速的末速度为v1,此后继续加速到最大速度vm=,选项B错误;匀加速过程中钢绳的拉力不变且最大,最大拉力为Fm=,选项C正确;根据牛顿第二定律得Fm-mg=ma,解得a=-g,选项D正确.
4.B [解析] 利用微元法求解拉力F所做的功,可将圆周分成无限多小段,对每一小段,可以认为F与位移方向相同,则力F做的总功为F在各小段所做功的代数和,即WF=F·2πR=20π J,故B正确.
5.D [解析] 2~4 m内F逐渐减小,合力增大,加速度增大,故A错误;F-x图线与横轴所围区域的面积表示拉力对物体所做的功,所以WF= J=12 J,故B错误;0~2 m阶段,根据平衡条件可得F=Ff=4 N,所以整个过程中摩擦力对物体做的功为Wf=-Ffx=-4×4 J=-16 J,故C错误;整个过程中合外力所做的功为W合=WF+Wf=12 J+(-16 J)=-4 J,故D正确.
6.B [解析] 根据题意可知,水平拉力与位移的关系式为F=4+2x,则物体移动5 m过程中拉力的平均值为= N=9 N,则拉力做的功W=x=45 J,故选B.
7.D [解析] 动车组在bc段匀加速启动的过程中,速度逐渐增大,所受阻力与速率成正比,所以牵引力逐渐增大,故A错误;动车组在abcd段保持速率不变行驶,则阻力不变,在ab段不仅需要克服阻力做功,还需要克服重力做功,所以ab段输出功率最大,故B错误;根据题意则有4P=Ffvm、Ff=kvm,所以4P=k,当总功率变为2P时,有2P=kvm'2,联立解得vm'=,故C错误;动车组在cd段除了动车自身做功外,重力也会做功,故动车组在cd段能达到的最大速度最大,故D正确.
8.B [解析] 由速度—时间图像可知前2 s内物体加速度大小为a== m/s2=2 m/s2,设此过程牵引力为F,摩擦力为Ff,由牛顿第二定律得F-Ff=ma,在2 s末,由P=Fv得F== N=7.5 N,2 s以后,物体匀速运动,牵引力大小等于阻力,有P'=F'v'=Ffv',代入数据得Ff=2.5 N,联立解得m=2.5 kg,选项B正确.
9.C [解析] 将圆弧分成很多小段l1,l2,…,ln,拉力F在每小段上做的功为W1,W2,…,Wn,因拉力F大小不变,方向始终与小球的运动方向成37°角,所以W1=Fl1cos 37°,W2=Fl2cos 37°,…,Wn=Flncos 37°,W=W1+W2+…+Wn=F(cos 37°)(l1+l2+…+ln)=Fcos 37°·R= J,同理可得小球克服摩擦力做的功Wf=μmg·R= J,拉力F做的功与小球克服摩擦力做的功大小之比为2∶1.故选C.
10.(1)12 m/s (2)1 m/s2
[解析] (1)汽车在整个运动过程中速度达到最大时,牵引力与阻力大小相等,即F=Ff=mg=5×103 N
又P=Fv,所以最大速度vmax= m/s=12 m/s
(2)当汽车速度v'=6 m/s时,汽车的牵引力
F'==1×104 N
设此时汽车的加速度为a,根据牛顿第二定律,有
F'-Ff=ma
解得a==1 m/s2
11.(1)16 s (2)P=3750t (3)12 m/s
[解析] (1)由F-Ff=ma,Ff=mg
得F=7500 N
匀加速直线运动过程中速度最大值为v==8 m/s
所以匀加速直线运动的时间为t==16 s
(2)汽车匀加速直线运动过程中实际功率随时间变化的关系P=Fv=Fat=7500×0.5×t=3750t
(3)汽车速度达到最大值时有F'=Ff
所以汽车运动所能达到的最大速度为vm==12 m/s
12.B [解析] 设蹬踏一次的距离为x,则不载人时的速度为v1=,载人时的速度为v2=,设载人与不载人时的牵引力分别为F1、F2,由于小龙用力蹬踏自行车时的驱动力功率相同,故F1v1=F2v2,故==,根据牛顿第三定律可得==,故选B.专题课:机车启动问题和变力做功问题
学习任务一 机车启动问题
[模型建构] 机车由静止开始启动,分别在恒定功率和恒定加速度两种模式下运动,试分析机车运动过程中的速度v、加速度a和功率P等物理量的变化.
方式1 以恒定功率启动
过程分析 以恒定功率启动
P-t图和v-t图
OA段 过程分析 v↑ F=↓ a= ↓
运动性质 加速度减小的加速直线运动
AB段 过程分析 F=F阻 a=0 vm=
运动性质 以速度vm做匀速直线运动
例1 质量为1.5×103 kg的汽车以某一恒定功率启动后沿平直路面行驶,且行驶过程中受到的阻力恒定,汽车能够达到的最大速度为30 m/s.若汽车的速度大小为10 m/s时的加速度大小为4 m/s2,则该恒定功率为 ( )
A.90 kW B.75 kW C.60 kW D.4 kW
[反思感悟]
变式1 [2024·浙江杭州二中月考] 为方便残障人士乘坐,嘉兴市投用了配备轮椅专用停放区的新型纯电动公交车,如图所示.已知车和乘客总质量m=1.5×104 kg,车子保持额定功率P=180 kW沿水平路面行驶,行驶过程中所受阻力恒为车重力大小的,重力加速度g取10 m/s2,则车子( )
A.启动阶段的加速度不变
B.受到的阻力为600 N
C.最大行驶速度为300 m/s
D.匀速行驶150 km的过程中,牵引力做功为9×108 J
方式2 以恒定加速度启动
过程分析 以恒定加速度启动
P-t图和v-t图
OA段 过程分析 a=不变 F不变,v↑ P=Fv↑ 直到P=P额
运动性质 匀加速直线运动,维持时间t0=
AB段 过程分析 v↑ F=↓ a=↓
运动性质 加速度减小的加速直线运动
BC段 过程分析 F=F阻 a=0 vm=
运动性质 以速度vm做匀速直线运动
例2 [2024·重庆巴蜀中学月考] 质量为m的汽车在平直公路上启动,阻力F阻保持不变,当它以加速度a加速到速度v时,发动机的实际功率正好等于额定功率P,从此时开始,发动机在额定功率下工作,则此后 ( )
A.汽车的牵引力先减小后不变
B.汽车的牵引力为F阻+ma
C.汽车的最大速度为
D.汽车的加速度在增大
[反思感悟]
例3 某型号越野SUV车发动机的额定功率为140 kW,在水平路面上从静止开始,0~5 s内以恒定加速度启动,其v-t图像如图所示,越野车受到的阻力恒定.关于越野车的运动,下列说法不正确的是( )
A.越野车受到的阻力为2000 N
B.越野车的质量为1250 kg
C.0~20 s内,越野车的位移大于700 m
D.0~20 s内,越野车的牵引力做功为2800 kJ
[反思感悟]
变式2 额定功率为80 kW的汽车在平直公路上行驶的最大速度为20 m/s,汽车的质量m=2×103 kg.如果汽车由静止开始做匀加速直线运动,加速度大小为2 m/s2,运动过程中阻力不变,求:
(1)汽车所受的阻力大小;
(2)第3 s末汽车的瞬时功率;
(3)汽车在匀加速运动过程中牵引力所做的功.
【要点总结】
1.机车的最大速度vm的求法.
机车最终匀速前进时速度最大,此时牵引力大小F等于阻力F阻,故vm==.结合v-t图像进行分析.
2.匀加速启动持续时间的求法.
牵引力F=ma+F阻,匀加速的最后速度vm'=,时间t=.
3.瞬时加速度的求法.
根据F=求出牵引力,则加速度a=.
学习任务二 变力做功的分析和计算
方法一 转换法:若某一变力做的功和某一恒力做的功相等,则可以通过计算恒力做的功,求出该变力做的功.
例4 某人利用如图所示的装置,用100 N的恒力F作用于不计质量的细绳的一端,将物体从水平面上的A点移到B点.已知α1=30°,α2=37°,h=1.5 m,不计滑轮质量及绳与滑轮间的摩擦.求绳的拉力对物体所做的功(sin 37°=0.6,cos 37°=0.8).
方法二 微元法:功的公式只能计算恒力做功,若一个力的大小不变,只改变方向时,可将运动过程分成很多小段,每一小段内F可看成恒力,求出每一小段内力F做的功,然后累加起来得到整个过程中变力所做的功.
例如物体在水平面上做曲线运动,所受摩擦力大小为μmg,路程为s,采用微元法:
W1=-μmgΔs1
W2=-μmgΔs2
W3=-μmgΔs3
……
W=W1+W2+W3+…=-μmg(Δs1+Δs2+Δs3+…)=-μmgs
例5 如图所示,某人用力F转动半径为R的磨盘,力F的大小不变,但方向始终与过力的作用点的转盘的切线一致,则在转动一周过程中力F做的功为 ( )
A.0 B.2πFR C.FR D.-2πFR
[反思感悟]
方法三 平均力法:若力F随位移x线性变化,则可以用一段位移内的平均力求功,如将劲度系数为k的弹簧由原长拉长x时,克服弹力做的功W=x=·x=kx2.
例6 如图所示,放在地面上的木块与一劲度系数k=200 N/m的轻质弹簧相连.现用手水平拉弹簧,拉力的作用点移动x1=0.3 m,木块开始运动,继续拉弹簧,木块缓慢移动了x2=0.5 m,求上述过程中拉力所做的功.
方法四 图像法:若已知F-x图像和P-t图像,则图像与x轴或t轴所围的面积表示功,如图甲所示,在位移x0内力F做的功W=x0.在图乙中,0~t0时间内做的功W=·t0.
例7 如图甲所示,质量为4 kg的物体在水平推力作用下开始运动,水平桌面光滑,推力大小F随位移大小x变化的情况如图乙所示,则整个过程推力F所做的功为 ( )
A.400 J B.200 J
C.100 J D.无法确定
[反思感悟]
1.(转换法求变力做功)如图所示,固定的光滑竖直杆上套着一个滑块,用轻绳系着滑块绕过光滑的定滑轮,以恒定的拉力F拉绳,使滑块从A点起由静止开始上升.若从A点上升至B点和从B点上升至C点的过程中绳对物体做的功分别为W1和W2,图中AB=BC,则 ( )
A.W1>W2
B.W1C.W1=W2
D.无法确定W1和W2的大小关系
2.(图像法求变力做功)一物体所受的力F随位移x变化的图像如图所示,在这一过程中,力F对物体做的功为( )
A.3 J
B.6 J
C.7 J
D.8 J
3.(微元法求变力做功)2021年6月28日,聂海胜利用太空跑台——动感单车锻炼,如图所示.假设聂海胜锻炼15分钟克服动感单车阻力而消耗的能量约为900 kJ.假设动感单车的阻力主要来源于距车轴30 cm的阻尼装置(可视为质点),宇航员每分钟蹬车90圈,则阻尼装置对车轮的阻力约为 ( )
A.180 N
B.350 N
C.580 N
D.780 N
4.(机车启动问题)汽车发动机的额定功率为40 kW,质量为2000 kg,当汽车在水平路面上行驶时,受到的阻力为车重力大小的.(g取10 m/s2)
(1)求汽车在路面上能达到的最大速度;
(2)若汽车以额定功率启动,求汽车速度为10 m/s时的加速度大小.专题课:机车启动问题和变力做功问题建议用时:40分钟
◆ 知识点一 机车启动问题
1.中国高铁是中国走向世界的一张亮丽名片.一列质量为m的高速列车,初速度为v0,以恒定功率P在平直轨道上运动,经时间t达到该功率下的最大速度vm.设列车行驶过程所受到的阻力Ff保持不变,则在时间t内( )
A.该列车做匀加速直线运动
B.该列车牵引力做的功为Pt
C.克服阻力做的功为Ffvmt
D.克服阻力做的功为Fft
2.一辆汽车在水平路面上由静止启动,在前5 s内做匀加速直线运动,5 s末达到额定功率,之后保持额定功率运动,其v-t图像如图所示.已知汽车的质量为m=2×103 kg,汽车受到的阻力大小恒为车重力的,g取10 m/s2,则 ( )
A.汽车在前5 s内受到的阻力大小为200 N
B.前5 s内的牵引力大小为6×103 N
C.汽车的额定功率为40 kW
D.汽车的最大速度为20 m/s
3.(多选)[2024·福建福州一中月考] 一起重机的钢绳由静止开始匀加速提起质量为m的重物,当重物的速度为v1时,起重机的功率达到最大值P,此后起重机保持该功率不变,继续提升重物,直到重物匀速上升.已知重力加速度为g,则 ( )
A.重物匀速上升的速度为
B.重物匀加速的末速度为
C.整个过程中钢绳的最大拉力为
D.重物匀加速运动的加速度为-g
◆ 知识点二 变力做功问题
4.如图所示,F=10 N的力作用在半径为R=1 m的转盘的边缘上,力F的大小保持不变,但方向在任何时刻均与作用点的切线方向一致,则转盘转动一周的过程中力F做的总功为 ( )
A.0
B.20π J
C.10 J
D.10π J
5.一质量为4 kg的物体,在粗糙的水平面上受水平恒定的拉力F作用做匀速直线运动.物体运动一段时间后拉力逐渐减小,当拉力减小到零时,物体刚好停止运动.如图所示为拉力F随位移x变化的关系图像,重力加速度大小取10 m/s2,则可以求得 ( )
A.物体在2~4 m内做匀减速直线运动
B.整个过程拉力对物体所做的功为4 J
C.整个过程摩擦力对物体所做的功为-8 J
D.整个过程合外力对物体所做的功为-4 J
6.静止于光滑水平地面上质量为1 kg的物体,在水平拉力F=4+2x(式中F为力的大小、x为位移的大小,力F、位移x的单位分别是N、m)作用下,沿水平方向移动了5 m.已知重力加速度g取10m/s2,初始时x=0,则在物体移动5 m的过程中拉力所做的功为( )
A.35 J B.45 J C.55 J D.65 J
7.动车组由多节动力车厢提供动力,从而到达提速的目的.如图,质量为m的动车组通过轨道abcd,若整个过程中所受阻力与速率成正比,有四节动力车厢,每节动力车厢发动机的额定功率均为P,动车组在bc段(水平)达到的最大速度为vm.下列说法正确的是 ( )
A.动车组在bc段匀加速启动的过程中,牵引力恒定不变
B.若动车组在abcd段保持速率不变行驶,则在bc段输出功率最大
C.若四节动力车厢输出的总功率为2P,动车组在bc段的最大速度为0.5vm
D.动车组在cd段能达到的最大速度最大
8.[2024·广东广州六中月考] 物体放在水平地面上,在水平拉力的作用下,沿水平方向运动,在6 s内其速度与时间关系的图像和拉力的功率与时间关系的图像分别如图甲、乙所示,由图像可以求得物体的质量为(g取10 m/s2) ( )
A.2 kg B.2.5 kg C.3 kg D.3.5 kg
9.水平桌面上,长R=5 m的轻绳一端固定于O点,如图所示(俯视图),另一端系一质量m=2.0 kg的小球,现对小球施加一个大小不变的力F=10 N,F拉着物体从M点运动到N点,方向始终与小球的运动方向成37°角.已知小球与桌面间的动摩擦因数μ=0.2,不计空气阻力, g取10 m/s2,sin 37°=0.6,cos 37°=0.8,则拉力F做的功与克服摩擦力做的功大小之比为 ( )
A.∶1 B.∶1
C.2∶1 D.3∶1
10.[2024·福建上杭一中月考] 广泛使用氢燃料作为交通能源是氢经济的一个关键因素.使用氢为能源的最大好处是它跟空气中的氧反应,仅产生水蒸气排出,有效减少了传统汽油车造成的空气污染.一种氢燃料汽车,质量为m=5×103 kg,发动机的额定功率为60 kW,在平直水平公路上行驶时所受阻力大小恒为车重力的.若汽车保持额定功率由静止开始启动(g取10 m/s2),求:
(1)汽车所能达到的最大速度大小;
(2)当汽车的速度为6 m/s时的加速度大小.
11.小明一家人停车休息之后,重新启动汽车出发.已知汽车的额定功率P0=6×104 W,人与货物及汽车总质量m=5×103 kg,在水平直路面上行驶时阻力是车重力大小的,重力加速度g取10 m/s2.若汽车从静止开始以加速度a=0.5 m/s2做匀加速直线运动,求:
(1)汽车保持加速度不变的时间;
(2)汽车匀加速直线运动过程中实际功率随时间变化的关系;
(3)此后汽车运动所能达到的最大速度.
12.[2024·浙江镇海中学月考] 小龙同学为参加自行车比赛在操场上练习骑车.当他一个人骑车时,脚蹬踏的频率可以达到每秒3圈,为了增加训练强度,当他让一名同学坐在后座上时,脚蹬踏的频率最多只能达到每秒2圈,若小龙用力蹬踏自行车时的驱动力功率相同,则小龙单独骑车和载人时所受的阻力之比为( )
A.4∶9
B.2∶3
C.2∶
D.3∶2(共57张PPT)
专题课：机车启动问题和变力做功问题
学习任务一 机车启动问题
学习任务二 变力做功的分析和计算
随堂巩固
练习册
◆
备用习题
学习任务一 机车启动问题
［模型建构］ 机车由静止开始启动，分别在恒定功率和恒定加速度两种模式下运动，试分析机车运动过程中的速度、加速度和功率等物理量的变化.
方式1 以恒定功率启动
过程分析 以恒定功率启动
_____________________________________________________________________________________________________
过程分析
运动性质 加速度减小的加速直线运动
过程分析
运动性质
例1 质量为的汽车以某一恒定功率启动后沿平直路面行驶,且行驶过程中受到的阻力恒定,汽车能够达到的最大速度为.若汽车的速度大小为时的加速度大小为,则该恒定功率为( )
A
A. B. C. D.
[解析] 汽车以恒定的功率启动,由牛顿第二定律得,又知功率,联立可得,当速度为时的加速度大小为,即,而汽车达到最大速度时加速度为零,有,联立解得,故A正确.
变式1 [2024·浙江杭州二中月考] 为方便残障人士乘坐，嘉兴市投用了配备轮椅专用停放区的新型纯电动公交车，如图所示.已知车和乘客总质量，车子保持额定功率沿水平路面行驶，行驶过程中所受阻力恒为车重力大小的，重力加速度取，则车子( )
D
A.启动阶段的加速度不变
B.受到的阻力为
C.最大行驶速度为
D.匀速行驶的过程中，牵引力做功为
[解析] 由题意可知，该公交车以额定功率启动，有，，，启动过程中速度增大，所以由第一个式子可知，公交车的牵引力减小，由第二个式子可知，加速度减小，故A错误；因
为阻力恒为车重力大小的，有，故B错误；当公交车的阻力大小等于牵引力大小时，公交车的速度达到最大值，有，解得，故C错误；汽车匀速行驶时，其牵引力大小等于阻力大小，即，则牵引力做功为，故D正确.
方式2 以恒定加速度启动
过程分析 以恒定加速度启动
___________________________________________________________________________________________________________________
过程分析
运动性质
过程分析 以恒定加速度启动
过程分析
运动性质 加速度减小的加速直线运动
过程分析
运动性质
续表
例2 [2024·重庆巴蜀中学月考] 质量为的汽车在平直公路上启动，阻力保持不变，当它以加速度加速到速度时，发动机的实际功率正好等于额定功率，从此时开始，发动机在额定功率下工作，则此后( )
A
A.汽车的牵引力先减小后不变 B.汽车的牵引力为
C.汽车的最大速度为 D.汽车的加速度在增大
[解析] 由，可知当达到速度时，牵引力大于阻力，此后继续做加速运动，则牵引力减小，由牛顿第二定律可知，汽车做加速度减小的加速运动，当牵引力大小等于阻力时，加速度减小到零，速度达到最大，所以汽车的牵引力先减小后不变，故A正确，B、D错误；汽车的最大速度为，故C错误.
例3 某型号越野车发动机的额定功率为，在水平路面上从静止开始，内以恒定加速度启动，其图像如图所示，越野车受到的阻力恒定.关于越野车的运动，下列说法不正确的是( )
D
A.越野车受到的阻力为
B.越野车的质量为
C.内，越野车的位移大于
D.内，越野车的牵引力做功为
[解析] 由题意和图像知，越野车速度最大时应有，汽车受到的阻力为，A正确；当汽车匀加速运动时，由图像可知，当匀加速结束时由，，可得越野车的质量为，B
正确；内，若越野车全程匀加速至，如图虚线所示，汽车的位移等于，由图像面积可知题意中汽车的位移大于，C正确；功率恒定时，由知内越野车牵引力做功为，但匀加速启动过程中功率小于额定功率，则越野车的牵引力做功小于，故D错误.
变式2 额定功率为的汽车在平直公路上行驶的最大速度为，汽车的质量.如果汽车由静止开始做匀加速直线运动，加速度大小为，运动过程中阻力不变，求：
(1) 汽车所受的阻力大小；
[答案]
[解析] 阻力
(2) 第末汽车的瞬时功率；
[答案]
[解析] 刚达到额定功率时，由牛顿第二定律得
解得
由
解得匀加速运动的时间
第末的速度
由
解得
(3) 汽车在匀加速运动过程中牵引力所做的功.
[答案]
[解析] 匀加速运动的位移
牵引力
则匀加速运动过程中牵引力所做的功
【要点总结】
1.机车的最大速度的求法.
机车最终匀速前进时速度最大，此时牵引力大小等于阻力，故.结合图像进行分析.
2.匀加速启动持续时间的求法.
牵引力，匀加速的最后速度，时间.
3.瞬时加速度的求法.
根据求出牵引力，则加速度.
学习任务二 变力做功的分析和计算
方法一 转换法：若某一变力做的功和某一恒力做的功相等，则可以通过计算恒力做的功，求出该变力做的功.
例4 某人利用如图所示的装置,用的恒力作用于不计质量的细绳的一端,将物体从水平面上的点移到点.已知 , ,,不计滑轮质量及绳与滑轮间的摩擦.求绳的拉力对物体所做的功.
[答案]
[解析] 由于不计绳的质量及绳与滑轮间的摩擦,故恒力做的功和绳对物体的拉力做的功相等.由于恒力作用在绳的端点,故需先求出绳的端点的位移,再求恒力做的功.
由几何关系知,绳的端点的位移为
在物体从移到的过程中,恒力做的功为
故绳的拉力对物体所做的功为.
方法二 微元法：功的公式只能计算恒力做功，若一个力的大小不变，只改变方向时，可将运动过程分成很多小段，每一小段内可看成恒力，求出每一小段内力做的功，然后累加起来得到整个过程中变力所做的功.
例如物体在水平面上做曲线运动，所受摩擦力大小为，路程为，采用微元法：
…
…
例5 如图所示，某人用力转动半径为的磨盘，力的大小不变，但方向始终与过力的作用点的转盘的切线一致，则在转动一周过程中力做的功为( )
B
A.0 B. C. D.
[解析] 在转盘转动一周的过程中，力的方向时刻变化，但每一瞬时力总是与该瞬时的速度同向(切线方向)，即在每瞬时与转盘转过的极小位移，，， 的方向同向，因而在转动一周过程中，力做的功应等于在各极小段位移所做功的代数和，即，故选B.
方法三 平均力法：若力随位移线性变化，则可以用一段位移内的平均力求功，如将劲度系数为的弹簧由原长拉长时，克服弹力做的功.
例6 如图所示，放在地面上的木块与一劲度系数的轻质弹簧相连.现用手水平拉弹簧，拉力的作用点移动，木块开始运动，继续拉弹簧，木块缓慢移动了，求上述过程中拉力所做的功.
[答案]
[解析] 木块刚要滑动时，拉力的大小
从开始到木块刚滑动的过程，拉力做功
木块再缓慢移动的过程中，拉力做功
故拉力所做的总功为
方法四 图像法：若已知图像和图像，则图像与轴或轴所围的面积表示功，如图甲所示，在位移内力做的功.在图乙中，时间内做的功.
例7 如图甲所示,质量为的物体在水平推力作用下开始运动,水平桌面光滑，推力大小随位移大小变化的情况如图乙所示,则整个过程推力所做的功为( )
B
A. B. C. D.无法确定
[解析] 由图像的面积可得推力全过程做功为,选项B正确.
备 用 习 题
1. (多选)同一辆货车两次匀速驶上同一坡路,空载时,上坡的速度为v1,牵引力为F1;满载时,上坡的速度为v2,牵引力为F2.已知两次上坡过程该货车的输出功率相同,则 ( )
A.v1>v2 B.v1F2 D.F1AD
[解析]空载时的牵引力F1小于满载时的牵引力F2,选项D正确;由P=F1v1=F2v2可知v1>v2,选项A正确.
备 用 习 题
2.(多选)一辆轿车在平直公路上运行,启动阶段轿车牵引力保持不变,而后以额定功率继续行驶,经过时间t0,其速度由零增大到最大值vm.若轿车所受的阻力F阻为恒力,关于轿车的速度v、牵引力F、功率P随时间t变化的情况,图中正确的是 ( )
BCD
备 用 习 题
[解析]轿车以恒定的牵引力F启动,由a=得,轿车先做匀加速运动,由P=Fv知,轿车的输出功率均匀增加,当功率达到额定功率时,牵引力逐渐减小,加速度逐渐减小,轿车做加速度逐渐减小的加速运动,当F=F阻时,速度达到最大,之后轿车做匀速运动,选项B、C、D正确.
备 用 习 题
3. 一辆质量为M的拖车的最大功率为P,当拖车拖着一辆质量为m小车以最大功率沿一倾角为30°的斜面向上运动时,最大速度为v,拖车对小车拉力为F1,当拖车拖着该小车沿着同一斜面向下运动时,最大速度为3v,拖车对小车拉力为F2,假设拖车对小车的拉力沿运动方向.拖车和小车受到的阻力均为自身重力的k倍,重力加速度为g,则以下表达式可能正确的是 ( )
A.k= B.k=1 C.F1=2mg D.F2=mg
BD
[解析]当拖车沿着斜面向上运动时,对小车有P=F1v,F1=kmg+mgsin 30°,当拖车沿着斜面向下运动时,对小车有P=F2·3v,F2+mgsin 30°=kmg,联立解得k=1,F1=mg,F2=mg,故选B、D.
备 用 习 题
4.如图甲所示,静止于光滑水平面上坐标原点处的小物块,在水平拉力F的作用下,沿x轴正方向运动,拉力F随物块所在位置的坐标x的变化关系如图乙所示,已知纵、横坐标轴单位长度代表的数值相等,图线为半圆,则小物块运动到b m处时F做的总功为 ( )
A.0 B.ab J
C.ab J D.b2 J
[解析] F为变力,但F-x图像与x轴包围的面积在数值上表示拉力做的总功.由于图线为半圆,则a=b,故W=ab J=a2 J=b2 J,即选项C正确.
C
备 用 习 题
5. 如图甲所示,某物体在光滑水平面上受外力作用从坐标原点O由静止开始沿x轴正方向运动,其加速度a随位移x变化的规律如图乙所示,图中加速度的最大值为amax,x1和x2已知,则物体 ( )
A.在0~x1内做匀加速直线运动
B.在x1处速度最大
C.在物体由x=0运动到x=x1的过程中合外力对物体所做的功为W1=mamaxx1
D.在物体由x=0运动到x=x2的过程中合外力对物体所做的功为W2=mamaxx2
D
备 用 习 题
[解析] 物体在0~x1内加速度逐渐增大,做加速度逐渐增大的加速直线运动,选项A错误;
物体在x1处速度不是最大,之后加速度大于零,还要继续加速,选项B错误;
因为F=ma,所以合力F与x的图像与加速度a与x的图像类似,根据F-x图线与横轴围成的面积表示做的功可求得在物体由x=0运动到x=x1的过程中合外力对物体所做的功为W1=mamaxx1,在物体由x=0运动到x=x2的过程中合外力对物体所做的功为W2=mamaxx2,选项D正确,C错误.
1.(转换法求变力做功)如图所示，固定的光滑竖直杆上套着一个滑块，用轻绳系着滑块绕过光滑的定滑轮，以恒定的拉力拉绳，使滑块从点起由静止开始上升.若从点上升至点和从点上升至点的过程中绳对物体做的功分别为和，图中，则( )
A
A. B.
C. D.无法确定和的大小关系
[解析] 轻绳对滑块做的功为变力做功，可以通过转换研究对象，将变力做功转化为恒力做功；因轻绳对滑块做的功等于拉力对轻绳做的功，而拉力为恒力，，为轻绳拉滑块过程中力的作用点移动的位移，大小等于定滑轮左侧绳长的缩短量，由题图及几何知识可知，，故，A正确．
2.(图像法求变力做功)一物体所受的力随位移变化的图像如图所示,在这一过程中,力对物体做的功为( )
B
A. B. C. D.
[解析] 力对物体做的功等于图线与横轴所包围面积的代数和,,力对物体做的功为,,力对物体做的功为,全过程中,力对物体做的功为,故B正确.
3.(微元法求变力做功)2021年6月28日，聂海胜利用太空跑台——动感单车锻炼，如图所示.假设聂海胜锻炼15分钟克服动感单车阻力而消耗的能量约为.假设动感单车的阻力主要来源于距车轴的阻尼装置(可视为质点)，宇航员每分钟蹬车90圈，则阻尼装置对车轮的阻力约为( )
B
A. B. C. D.
[解析] 设阻尼装置对车轮的阻力为，则有，解得，故选B.
4.(机车启动问题)汽车发动机的额定功率为，质量为，当汽车在水平路面上行驶时，受到的阻力为车重力大小的.取
(1) 求汽车在路面上能达到的最大速度；
[答案]
[解析] 汽车达到最大速度时，，根据，
可得最大速度为
(2) 若汽车以额定功率启动，求汽车速度为时的加速度大小.
[答案]
[解析] 当速度时，
根据牛顿第二定律得
联立解得
知识点一 机车启动问题
1.中国高铁是中国走向世界的一张亮丽名片.一列质量为的高速列车，初速度为，以恒定功率在平直轨道上运动，经时间达到该功率下的最大速度.设列车行驶过程所受到的阻力保持不变，则在时间内( )
B
A.该列车做匀加速直线运动 B.该列车牵引力做的功为
C.克服阻力做的功为 D.克服阻力做的功为
[解析] 列车以恒定功率运动，根据知,随着速度的增加，牵引力逐渐减小，合力减小，加速度减小，故列车做加速度逐渐减小的加速直线运动，A错误；此过程牵引力的功率不变，由知牵引力做的功可以表示为，B正确；此过程阻力大小不变，但列车不是匀速运动，位移无法求出，所以克服阻力做的功无法求出，C、D错误.
2.一辆汽车在水平路面上由静止启动，在前内做匀加速直线运动，末达到额定功率，之后保持额定功率运动，其图像如图所示.已知汽车的质量为，汽车受到的阻力大小恒为车重力的，取，则( )
B
A.汽车在前内受到的阻力大小为 B.前内的牵引力大小为
C.汽车的额定功率为 D.汽车的最大速度为
[解析] 由题意知汽车受到的阻力大小为车重力的，则阻力大小为，选项A错误；由题图知前内的加速度，由牛顿第二定律知前内
的牵引力大小为，选项B正确；末达到额定功率，最大速度，选项C、D错误．
3.(多选)[2024·福建福州一中月考] 一起重机的钢绳由静止开始匀加速提起质量为的重物,当重物的速度为时,起重机的功率达到最大值,此后起重机保持该功率不变,继续提升重物,直到重物匀速上升.已知重力加速度为,则( )
ACD
A.重物匀速上升的速度为 B.重物匀加速的末速度为
C.整个过程中钢绳的最大拉力为 D.重物匀加速运动的加速度为
[解析] 重物匀速上升时,钢绳的拉力大小等于重力,此时的速度为,选项A正确;重物匀加速的末速度为,此后继续加速到最大速度,选项B错误;匀加速过程中钢绳的拉力不变且最大,最大拉力为,选项C正确;根据牛顿第二定律得,解得,选项D正确.
知识点二 变力做功问题
4.如图所示，的力作用在半径为的转盘的边缘上，力的大小保持不变，但方向在任何时刻均与作用点的切线方向一致，则转盘转动一周的过程中力做的总功为( )
B
A.0 B. C. D.
[解析] 利用微元法求解拉力所做的功，可将圆周分成无限多小段，对每一小段，可以认为与位移方向相同，则力做的总功为在各小段所做功的代数和，即，故B正确.
5.一质量为的物体，在粗糙的水平面上受水平恒定的拉力作用做匀速直线运动.物体运动一段时间后拉力逐渐减小，当拉力减小到零时，物体刚好停止运动.如图所示为拉力随位移变化的关系图像，重力加速度大小取，则可以求得( )
D
A.物体在内做匀减速直线运动 B.整个过程拉力对物体所做的功为
C.整个过程摩擦力对物体所做的功为 D.整个过程合外力对物体所做的功为
[解析] 内逐渐减小，合力增大，加速度增大，故A错误；图线与横轴所围区域的面积表示拉力对物体所做的功，所以，故B错误；阶段，根据平衡条件可得，所以整个过程中摩擦力对物体做的功为，故C错误；整个过程中合外力所做的功为，故D正确.
6.静止于光滑水平地面上质量为的物体，在水平拉力(式中为力的大小、为位移的大小，力、位移的单位分别是、)作用下，沿水平方向移动了.已知重力加速度取，初始时，则在物体移动的过程中拉力所做的功为( )
B
A. B. C. D.
[解析] 根据题意可知，水平拉力与位移的关系式为，则物体移动过程中拉力的平均值为，则拉力做的功，故选B.
7.动车组由多节动力车厢提供动力,从而到达提速的目的.如图，质量为的动车组通过轨道,若整个过程中所受阻力与速率成正比,有四节动力车厢,每节动力车厢发动机的额定功率均为,动车组在段(水平)达到的最大速度为.下列说法正确的是( )
D
A.动车组在段匀加速启动的过程中,牵引力恒定不变
B.若动车组在段保持速率不变行驶,则在段输出功率最大
C.若四节动力车厢输出的总功率为,动车组在段的最大速度为
D.动车组在段能达到的最大速度最大
[解析] 动车组在段匀加速启动的过程中,速度逐渐增大,所受阻力与速率成正比,所以牵引力逐渐增大,故A错误;动车组在段保持速率不变行驶,则阻力不变,在段不仅需要克服阻力做功,还需要克服重力做功,所以段输出功率最大,故B错误;根据题意则有、,所以,当总功率变为时，有,联立解得,故C错误;动车组在段除了动车自身做功外,重力也会做功,故动车组在段能达到的最大速度最大,故D正确.
8.[2024·广东广州六中月考] 物体放在水平地面上,在水平拉力的作用下,沿水平方向运动,在内其速度与时间关系的图像和拉力的功率与时间关系的图像分别如图甲、乙所示,由图像可以求得物体的质量为取 ( )
B
A. B. C. D.
[解析] 由速度—时间图像可知前内物体加速度大小为,设此过程牵引力为,摩擦力为,由牛顿第二定律得,在末,由得,以后,物体匀速运动,牵引力大小等于阻力,有,代入数据得,联立解得,选项B正确.
9.水平桌面上，长的轻绳一端固定于点，如图所示(俯视图)，另一端系一质量的小球，现对小球施加一个大小不变的力，拉着物体从点运动到点，方向始终与小球的运动方向成 角.已知小球与桌面间的动摩擦因数，不计空气阻力，
C
A. B. C. D.
取，，，则拉力做的功与克服摩擦力做的功大小之比为( )
[解析] 将圆弧分成很多小段，， ，，拉力在每小段上做的功为，， ，，因拉力大小不变，方向始终与小球的运动方向成 角，所以 ， ， ， ，，同理可得小球克服摩擦力做的功
，拉力做的功与小球克服摩擦力做的功大小之比为.故选C.
10.[2024·福建上杭一中月考] 广泛使用氢燃料作为交通能源是氢经济的一个关键因素.使用氢为能源的最大好处是它跟空气中的氧反应,仅产生水蒸气排出,有效减少了传统汽油车造成的空气污染.一种氢燃料汽车,质量为,发动机的额定功率为,在平直水平公路上行驶时所受阻力大小恒为车重力的.若汽车保持额定功率由静止开始启动取,求:
(1) 汽车所能达到的最大速度大小;
[答案]
[解析] 汽车在整个运动过程中速度达到最大时,牵引力与阻力大小相等,即
又，所以最大速度
(2) 当汽车的速度为时的加速度大小.
[答案]
[解析] 当汽车速度时,汽车的牵引力
设此时汽车的加速度为,根据牛顿第二定律,有
解得
11.小明一家人停车休息之后,重新启动汽车出发.已知汽车的额定功率,人与货物及汽车总质量,在水平直路面上行驶时阻力是车重力大小的，重力加速度取.若汽车从静止开始以加速度做匀加速直线运动,求:
(1) 汽车保持加速度不变的时间;
[答案]
[解析] 由,
得
匀加速直线运动过程中速度最大值为
所以匀加速直线运动的时间为
(2) 汽车匀加速直线运动过程中实际功率随时间变化的关系;
[答案]
[解析] 汽车匀加速直线运动过程中实际功率随时间变化的关系
(3) 此后汽车运动所能达到的最大速度.
[答案]
[解析] 汽车速度达到最大值时有
所以汽车运动所能达到的最大速度为
12.[2024·浙江镇海中学月考] 小龙同学为参加自行车比赛在操场上练习骑车.当他一个人骑车时，脚蹬踏的频率可以达到每秒3圈，为了增加训练强度，当他让一名同学坐在后座上时，脚蹬踏的频率最多只能达到每秒2圈，若小龙用力蹬踏自行车时的驱动力功率相同，则小龙单独骑车和载人时所受的阻力之比为( )
B
A. B. C. D.
[解析] 设蹬踏一次的距离为，则不载人时的速度为，载人时的速度为，设载人与不载人时的牵引力分别为、，由于小龙用力蹬踏自行车时的驱动力功率相同，故，故，根据牛顿第三定律可得，故选B.
