专题课:系统机械能守恒的应用
[模型建构] 物体B的高度不变,速度变大,所以物体B的机械能增加.物体A下落的过程中需克服细绳拉力做功,所以物体A的机械能减少.整个系统没有机械能与其他形式能的转化,所以系统的机械能是守恒的.
例1 A [解析] a、b两球组成的系统机械能守恒,设b球刚落地时的速度大小为v,则整个过程中系统动能增加量ΔEk增=(m+3m)v2=2mv2,系统重力势能的减少量ΔEp减=3mgh-mgh=2mgh,由机械能守恒定律得ΔEk增=ΔEp减,所以2mv2=2mgh,v=,A正确.
[模型建构] 球1的高度和速度都变大,所以机械能增加.球2下落的过程中需克服杆的阻力做功,所以球2的机械能减少.整个系统没有机械能与其他形式能的转化,所以系统的机械能是守恒的.
例2
[解析] 对A、B两球(包括轻杆)组成的系统,由机械能守恒定律得-ΔEp=ΔEk
即mg·+mgl=m+m
因A、B两球的角速度ω相等,则
vA=ω·
vB=ωl
联立解得vA=,vB=
例3 D [解析] 由几何关系可知,弹簧的原长为R,A错误;小球过B点时,由重力和弹簧弹力的合力提供小球的向心力,有F合=m,B错误;以小球和弹簧组成的系统为研究对象,在小球从A到B的过程中,只有重力和弹簧的弹力做功,系统机械能守恒,小球的重力势能转化为弹簧的弹性势能和小球的动能,故C错误;根据机械能守恒定律得mgR=mv2+Ep,解得Ep=mgR-mv2,故D正确.
变式1 B [解析] 由题意可知,A物体下落h时,弹簧形变量为h,对B物体受力分析可知,B受重力、弹簧弹力、斜面的支持力而处于静止状态,根据平衡条件得kh=2mgsin 30°,解得k=,A错误;因A落地后弹簧的形变量不再增大,弹力不会再增大,故B不可能离开挡板沿斜面向上运动,B正确;此时弹簧弹力为mg,则A受到的拉力为mg,故A物体受力平衡,加速度为0,故C错误;对A、B和弹簧组成的整体,由机械能守恒定律可得mgh=mv2+Ep,解得Ep=mgh-mv2,故D错误.
随堂巩固
1.BD [解析] 对于甲,绳子的拉力做正功,甲的机械能增加,对于乙,绳子的拉力做负功,乙的机械能减少,A错误.以甲、乙组成的系统为研究对象,绳子拉力所做的总功为零,故系统的机械能守恒,乙减少的机械能等于甲增加的机械能,B、D正确,C错误.
2.CD [解析] 对物体经过A点时进行受力分析,且物体只受重力,且加速度方向与速度方向相同,所以物体经过A点时继续加速,速度还未达到最大,选项A错误;物体从A下落到B的过程中,由于要克服弹簧弹力做功,所以物体的机械能不守恒,选项B错误,D正确;在A、B之间某位置满足kx=mg,此时加速度为0,速度最大,所以物体从A下落到B以及从B上升到A的过程中,动能都是先变大后变小,选项C正确.
3.A [解析] 环形槽光滑,甲、乙组成的系统在运动过程中只有重力做功,故系统机械能守恒,下滑过程中甲减少的机械能总是等于乙增加的机械能,甲、乙组成的系统减少的重力势能等于系统增加的动能,甲减少的重力势能等于乙增加的重力势能与甲、乙增加的动能之和,故A正确,B错误;由于乙的质量较大,系统的重心偏向乙一端,由机械能守恒定律知,甲不可能滑到凹槽的最低点,杆从右向左滑回时,乙一定会回到凹槽的最低点,故C、D错误.专题课:系统机械能守恒的应用
1.A [解析] 以木块和砝码组成的系统为研究对象,只有重力做功,系统的机械能守恒,则有Mgh=(M+m)v2,M=3m,解得v=,故A正确,B、C、D错误.
2.D [解析] B球下落的过程中,由A、B两球及绳子组成的系统机械能守恒,有mBgh-mAgh=(mA+mB)v2,解得=,故选D.
3.A [解析] 当B球到达最低点时,A上升到B球原来等高的位置,因为B减少的势能比A增加的势能要大,所以系统的重力势能减少,动能增加,A、B两球还具有相同大小的速度,故B球到达最低点时速度不为零,A错误;由上分析可知,当A向左摆到与B球开始时的高度时,B球到达最低点,由于此时仍有速度,还要向左摆动,可知A球摆的高度比B球的高度要高一些,B正确;根据系统的机械能守恒可知当它们从左向右回摆时,B球一定能回到起始位置,故C正确;对于两球组成的系统只有重力做功,机械能守恒,根据系统机械能守恒得知,B球到达最低点的过程中,B球机械能的减少量等于A球机械能的增加量,故D正确.
4.BD [解析] A球运动的速度增大,高度增大,所以动能和重力势能都增大,故A球的机械能增大;B球运动的速度增大,所以动能增大,高度减小,所以重力势能减小;对于两球组成的系统,只有重力做功,系统的机械能守恒,因为A球的机械能增大,故B球的机械能减小,故A球的重力势能和动能的增加量与B球的动能的增加量之和等于B球的重力势能的减少量,选项A、C错误,B、D正确.
5.A [解析] 由题意可知,物体B对地面恰好无压力时,弹簧所受的拉力大小等于物体B的重力,即F=mg,弹簧伸长的长度x=h,由F=kx,得k=,A正确;物体A与弹簧组成的系统机械能守恒,则有mgh=mv2+Ep,则弹簧的弹性势能Ep=mgh-mv2,B错误;物体B对地面恰好无压力时,物体B的速度为零,C错误;对物体A,根据牛顿第二定律有F-mg=ma,又F=mg,得a=0,D错误.
6.AD [解析] 设释放后A、B后,悬挂B的轻质细线中的拉力大小为FT,B的加速度大小为a,对B由牛顿第二定律得mg-FT=ma,对A由牛顿第二定律得2FT-mg=m×a,联立解得FT=mg,故A正确,B错误;设当A的位移为h时,A的速度大小为v,A、B组成的系统由机械能守恒定律可得mg×2h-mgh=mv2+m,解得v=,故C错误,D正确.
7.BC [解析] 根据题意,设绳子的弹力为FT,对物块Q由平衡条件有mQgsin 37°=FT,对物块P由平衡条件有FT=mPg,联立解得mQ==5 kg,A错误;根据题意可知,不计一切摩擦,P、Q组成的系统运动过程中,只有重力做功,故P、Q组成的系统机械能守恒,B正确;根据题意,设Q落地时速度的大小为v,由关联速度可知,此时P的速度也为v,由机械能守恒定律有mQgH-mPgHsin 37°=v2,代入数据解得v=2 m/s,C正确;由公式P=Fv可得,Q落地瞬间重力的功率为P=mQgv=100 W,故D错误.
8.BD [解析] 当a到达底端时,b的速度为零,b的速度在整个过程中,先增大后减小,则动能先增大后减小,所以轻杆对b先做正功,后做负功,故A错误;b的速度在整个过程中,先增大后减小,所以a对b的作用力先是动力后是阻力,所以b对a的作用力就先是阻力后是动力,所以在b减速的过程中,b对a是向下的拉力,此时a的加速度大于重力加速度g,故C错误;a落地前,把a、b看成整体,只有重力做功,所以机械能守恒,当a的机械能最小时,b的速度最大,此时b受到a的推力为零,b只受到重力的作用,根据牛顿第三定律可知b对地面的压力大小为mg,故B、D正确.
9.C [解析] 由于小球在A、P两点时,弹簧弹力大小相同,则小球在A点时,弹簧被拉伸,小球在P点时,弹簧被压缩,且拉伸量与压缩量相等,则在A、P之间必有一个弹簧处于原长状态的位置,由对称性原理可知,在P、B之间也必有一个弹簧处于原长状态的位置,小球在A、P、B三个位置时弹簧的弹性势能相等,在小球从A到P的过程中,弹簧的弹性势能先减小后增大,在小球从P到B的过程中,弹簧的弹性势能也是先减小后增大,A错误;弹簧处于原长状态时和小球在P点位置时,小球加速度大小等于g且方向沿杆向下,所以小球加速度大小等于g且方向沿杆向下的位置有三处,B错误;小球从A点运动到B点过程中,由机械能守恒定律可得Ep+mg·2Lsin 45°=Ep+EkB,解得EkB=mgL,C正确;A、P两点处弹簧的弹性势能相等,所以从A点运动到P点的过程中,只有重力势能转化为动能,所以小球在A、P两点的机械能相等,D错误.
10.(1)0.5m (2)g
[解析] (1)开始时,弹簧被压缩了
x0==
当B将要离开挡板时,弹簧伸长了
x0==
因为初、末位置弹簧的形变量相同,故初、末位置的弹性势能相同,则由机械能守恒定律可知
mCg·2x0=mg·2x0sin 30°
解得mC=0.5m
(2)当物块D达到最大速度时,此时A、D整体的加速度为零,由牛顿第二定律有
mDg-mgsin 30°-kx0=0
由机械能守恒定律可知
mDg·2x0-mg·2x0sin 30°=mD+m
解得vm==g专题课:系统机械能守恒的应用
学习任务一 绳连接的系统机械能守恒问题
[模型建构] 如图所示, 物体A和物体B用细绳相连,物体B置于光滑水平台面上,质量mA=2mB,不计一切阻力,物体A自H高处由静止开始下落,且物体B始终在水平台面上.若以地面为零势能面,物体A和B的机械能如何变化 两个物体和细绳组成的系统机械能如何变化
例1 如图所示,一不可伸长的柔软轻绳跨过光滑的定滑轮,绳两端各系一小球a和b.a球质量为m,静止于地面;b球质量为3m,用手托住,高度为h,此时轻绳刚好被拉紧(重力加速度为g). 从静止开始释放b球,则当b球刚落地时a球的速度为( )
A.
B.
C.
D.
[反思感悟]
【要点总结】
绳连物体系统机械能守恒问题
如图所示的两物体组成的系统,在释放B从而使A、B运动的过程中,A、B的速度方向均沿绳方向,在相等时间内A、B运动的路程相等,A、B的速率也相等.但有些问题中两物体的速率并不相等,这时就需要先进行运动的合成与分解找出两物体运动速度之间的关系
求解这类问题时,因为二者速率相等或相关,所以关键是寻找两物体间的位移关系,进而找到系统重力势能的变化.列机械能守恒方程时,一般选用ΔEk=-ΔEp的形式.另外应注意系统机械能守恒并非每个物体的机械能守恒,因为细绳对系统中的每一个物体都要做功
学习任务二 杆连接的系统机械能守恒问题
[模型建构] 如图所示,装置固定在杆恰好处于水平的位置,然后由静止释放, 在杆到达竖直位置的过程中,球1的机械能如何变化 球2的机械能如何变化 两个球和杆组成的系统机械能如何变化 (忽略空气阻力)
例2 如图所示,轻杆一端安装在过O点垂直于纸面的水平轴上,杆的中央和另一端分别固定质量均为m的小球A和B(可以看作质点),杆长为l,将轻杆从水平位置由静止释放,不计空气阻力,重力加速度为g.当轻杆通过竖直位置时,小球A、B的速度各为多大
【要点总结】
杆连物体系统机械能守恒问题
如图所示的两物体组成的系统,当释放后A、B在竖直平面内绕过O点的轴转动,且A、B的角速度相等
求解这类问题时,因为二者角速度相等,所以关键是根据二者转动半径的关系寻找两物体的线速度的关系,根据两物体间的位移关系,寻找到系统重力势能的变化,最后根据ΔEk=-ΔEp列出机械能守恒的方程求解.另外应注意轻杆对物体提供的弹力不一定沿着杆,轻杆的弹力也就不一定与速度方向垂直,轻杆的弹力对一个物体做了正功,就对另一物体做了负功,并且二者的绝对值相等
学习任务三 弹簧连接的系统机械能守恒问题
[科学思维]
1.由轻弹簧连接的物体系统,一般既有重力做功又有弹簧弹力做功,这时系统内物体的动能、重力势能和弹簧的弹性势能相互转化,而总的机械能守恒.
2.如果系统每个物体除弹簧弹力外所受合外力为零,则当弹簧伸长或压缩到最大程度时物体速度相同.
3.对同一弹簧,弹性势能的大小由弹簧的形变量完全决定,弹簧形变量相同时弹性势能相同,无论弹簧伸长还是压缩.
4.物体运动的位移与弹簧的形变量或形变量的变化量有关.
例3 [2024·山东青岛二中月考] 如图所示,劲度系数为k的轻质弹簧一端系在竖直放置的半径为R的光滑圆环顶点P,另一端连接一套在圆环上的质量为m的小球.开始时小球位于A点,此时弹簧处于原长且与竖直方向的夹角为45°,之后小球由静止沿圆环下滑,小球运动到最低点B时的速率为v,此时小球与圆环之间的弹力恰好为零. 已知重力加速度为g.下列分析正确的是 ( )
A.轻质弹簧的原长为R
B.小球运动到B点时,所受的合力为mg+m
C.小球从A到B的过程中,重力势能转化为弹簧的弹性势能
D.小球运动到B点时,弹簧的弹性势能为mgR-mv2
[反思感悟]
变式1 [2024·江苏徐州一中月考] 如图所示,物体A、B通过细绳及轻质弹簧连接在轻滑轮两侧,物体B的质量为2m,放置在倾角为30°的光滑斜面上,物体A的质量为m,用手托着物体A使弹簧处于原长,细绳伸直且B与轻滑轮间的弹簧和细绳均与斜面平行,A与地面间的距离为h,物体B静止在斜面上挡板P处,放手后物体A下落,与地面即将接触时速度大小为v,此时物体B对挡板恰好无压力,不计空气阻力,重力加速度为g,则下列说法正确的是 ( )
A.弹簧的劲度系数为
B.此后物体B不可能离开挡板沿斜面向上运动
C.此时物体A的加速度大小为g,方向竖直向上
D.此时弹簧的弹性势能等于mv2-mgh
[反思感悟]
1.(绳连接的系统机械能守恒问题)(多选)如图所示,轻绳跨过定滑轮悬挂质量分别为m1、m2的甲、乙两个物体,滑轮的质量及摩擦不计,空气阻力不计.由于m1A.甲、乙各自的机械能分别守恒
B.乙减少的机械能等于甲增加的机械能
C.乙减少的重力势能等于甲增加的重力势能
D.甲、乙组成的系统机械能守恒
2.(弹簧连接的系统机械能守恒问题)(多选)如图所示,小物体从某一高度自由下落,落到竖直固定在地面上的轻弹簧上,在A点物体开始与弹簧接触,到B点物体的速度为零,然后被弹回.下列说法中正确的是 ( )
A.物体经过A点时速度最大
B.从A点下落到B点的过程中,物体的机械能守恒
C.从A点下落到B点以及从B点上升到A点的过程中,物体的动能都是先变大后变小
D.从A点下落到B点的过程中,物体的机械能不守恒
3.(杆连接的系统机械能守恒问题)内壁光滑的环形凹槽半径为R,固定在竖直平面内,长度为R的轻杆一端固定有质量为m的小球甲,另一端固定有质量为2m的小球乙. 现将两小球放入凹槽内,小球乙位于凹槽的最低点,如图所示,由静止释放后 ( )
A.下滑过程中甲球减少的机械能总是等于乙球增加的机械能
B.下滑过程中甲球减少的重力势能总是等于乙球增加的重力势能
C.甲球可沿凹槽下滑到凹槽的最低点
D.杆从右向左滑回时,乙球一定不能回到凹槽的最低点专题课:系统机械能守恒的应用建议用时:40分钟
◆ 知识点一 绳连接的系统机械能守恒问题
1.[2024·河北石家庄二中月考] 如图所示,质量为m的木块放在光滑的水平桌面上,用轻绳绕过桌边的定滑轮与质量为M的砝码相连,已知M=3m,让绳拉直后使砝码由静止开始下降.若砝码底部与地面的距离为h,砝码刚接触地面时木块仍没离开桌面,不计一切阻力,重力加速度为g,此时木块的速率为 ( )
A.
B.
C.
D.
2.[2024·重庆南开中学月考] 如图所示,一条轻绳跨过定滑轮,绳的两端各系一个小球A和B,当轻绳刚好被拉紧后,B球的高度为h,A球静止于地面.定滑轮的质量及轮与轴间的摩擦力不计,重力加速度为g,释放B球,当B球刚落地时,A球的速度大小为(g为重力加速度), 则A球与B球的质量比为 ( )
A.1∶2
B.1∶3
C.2∶5
D.3∶5
◆ 知识点二 杆连接的系统机械能守恒问题
3.[2024·山西太原五中月考] 如图所示,一个由轻杆组成的等边三角形ABO的A点和B点分别固定着质量为m和2m的小球,三角形ABO可绕光滑的水平转轴O自由转动,现使OA处于竖直位置,OB与水平方向的夹角为30°,此时将它们由静止释放,不考虑空气阻力作用,则错误的是 ( )
A.B球到达最低点时速度为零
B.A球向左摆动所能达到的最高点应高于B球开始运动时的最高点
C.当它们从左向右回摆时,B球一定能回到起始位置
D.B球到达最低点的过程中,B球机械能的减少量等于A球机械能的增加量
4.(多选)如图所示,A和B两个小球固定在一根轻杆的两端,mB>mA,此杆可绕穿过其中心的水平轴O无摩擦地转动.现使轻杆从水平位置无初速度释放,发现杆绕O沿顺时针方向转动,则杆从释放至转动90°的过程中 ( )
A.B球的动能增大,机械能增大
B.A球的重力势能和动能都增大
C.A球的重力势能和动能的增加量等于B球的重力势能的减少量
D.A球和B球的总机械能守恒
◆ 知识点三 弹簧连接的系统机械能守恒问题
5.如图所示,物体A、B通过细绳及轻质弹簧连接在光滑轻质定滑轮两侧,物体A、B的质量都为m.开始时细绳伸直,用手托着物体A使弹簧处于原长状态且物体A与水平地面的距离为h,物体B静止在地面上.放手后物体A下落,与地面即将接触时速度大小为v,此时物体B对地面恰好无压力,不计空气阻力,重力加速度为g,则下列说法正确的是 ( )
A.弹簧的劲度系数为
B.物体B对地面恰好无压力时,弹簧的弹性势能等于mgh+mv2
C.物体B对地面恰好无压力时,物体B的速度大小也为v
D.物体B对地面恰好无压力时,物体A的加速度大小为g,方向竖直向上
6.(多选)如图所示,轻质动滑轮下方悬挂重物A、轻质定滑轮下方悬挂重物B,悬挂滑轮的轻质细线竖直.开始时,重物A、B处于静止状态,释放后A、B开始运动.已知A、B的质量均为m,假设摩擦阻力和空气阻力均忽略不计,重力加速度为g,当A的位移为h时 ( )
A.悬挂B的轻质细线中的拉力为mg
B.悬挂B的轻质细线中的拉力为mg
C.重物A的速度为
D.重物A的速度为
7.(多选)[2024·海南中学月考] 如图所示,倾角θ=37°的斜面固定在水平地面上,物块P和Q通过不可伸长的轻绳连接并跨过轻质定滑轮,轻绳与斜面平行.已知P的质量mp=3 kg,开始时两物块均静止,P距地面高度H=1 m,Q与定滑轮间的距离足够大.现将P、Q位置互换并由静止释放,重力加速度g取10 m/s2,sin 37°=0.6,cos 37°=0.8,不计一切摩擦.下列说法正确的是 ( )
A.Q物块的质量为4 kg
B.P、Q组成的系统机械能守恒
C.Q落地时速度的大小为2 m/s
D.Q落地瞬间重力的功率为100 W
8.(多选)如图所示,滑块a、b的质量均为m,a套在固定竖直杆上,与光滑水平地面相距h,b放在地面上,a、b通过铰链用刚性轻杆连接,由静止开始运动.不计摩擦,a、b可视为质点,重力加速度大小为g.则 ( )
A.a落地前,轻杆对b一直做正功
B.a落地前a、b系统机械能守恒
C.a下落过程中,其加速度大小始终不大于g
D.a落地前,当a的机械能最小时,b对地面的压力大小为mg
9.如图所示,光滑细杆AB倾斜固定,与水平方向夹角为45°,一轻质弹簧的一端固定在O点,另一端连接质量为m的小球,小球套在细杆上,O与细杆上A点等高,O与细杆AB在同一竖直平面内,OB竖直,OP垂直于AB,且OP=L,当小球位于细杆上A、P两点时,弹簧弹力大小相等.现将小球从细杆上的A点由静止释放,在小球沿细杆由A点运动到B点的过程中,已知重力加速度为g,弹簧形变量一直处于弹性限度内且不弯曲,下列说法正确的是( )
A.弹簧的弹性势能先减小后增大
B.小球加速度大小等于g且方向沿杆向下的位置有两处
C.小球运动到B点时的动能为mgL
D.小球从A点运动到P点,机械能减少了mgL
10.[2024·河北正定中学月考] 如图所示,倾角θ=30°的固定光滑斜面足够长,一个质量为m的物块B停靠于固定在斜面底端的挡板上.一个劲度系数为k的轻弹簧一端与物块B相连,另一端与质量也为m的物块A相连接.细绳的一端系在A上,另一端跨过光滑定滑轮系一个不计质量的小挂钩,小挂钩不挂物体时,A处于静止状态,细绳与斜面平行,挂钩竖直.已知当地重力加速度为g.
(1)若在小挂钩上轻轻挂上一个物块C,会发现当物块C到达最低点时物块B恰好要离开挡板,请你求出物块C的质量mC;
(2)若在小挂钩上轻轻挂上一个物块D后,会发现当物块D达到最大速度时物块B恰好要离开挡板,请你求出物块D的最大速度vm.(共49张PPT)
专题课：系统机械能守恒的应用
学习任务一 绳连接的系统机械能守恒问题
学习任务二 杆连接的系统机械能守恒问题
学习任务三 弹簧连接的系统机械能守恒问题
随堂巩固
练习册
◆
备用习题
学习任务一 绳连接的系统机械能守恒问题
［模型建构］ 如图所示，物体和物体用细绳相连，物体置于光滑水平台面上，质量，不计一切阻力，物体自高处由静止开始下落，且物体始终在水平台面上.若以地面为零势能面，物体和的机械能如何变化 两个物体和细绳组成的系统机械能如何变化
[答案] 物体的高度不变，速度变大，所以物体的机械能增加.物体下落的过程中需克服细绳拉力做功，所以物体的机械能减少.整个系统没有机械能与其他形式能的转化，所以系统的机械能是守恒的.
例1 如图所示,一不可伸长的柔软轻绳跨过光滑的定滑轮,绳两端各系一小球和球质量为,静止于地面;球质量为,用手托住,高度为,此时轻绳刚好被拉紧(重力加速度为.从静止开始释放球,则当球刚落地时球的速度为( )
A
A. B. C. D.
[解析] 、两球组成的系统机械能守恒,设球刚落地时的速度大小
为,则整个过程中系统动能增加量增,系统重力势能的减少量减,由机械能守恒定律得增减,所以,,A正确.
【要点总结】
绳连物体系统机械能守恒问题
问题简述 ______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
如图所示的两物体组成的系统，在释放B从而使A、B运动的过程中，A、B的速度方向均沿绳方向，在相等时间内A、B运动的路程相等，A、B的速率也相等.但有些问题中两物体的速率并不相等，这时就需要先进行运动的合成与分解找出两物体运动速度之间的关系
方法突破
续表
学习任务二 杆连接的系统机械能守恒问题
［模型建构］ 如图所示，装置固定在杆恰好处于水平的位置，然后由静止释放，在杆到达竖直位置的过程中，球1的机械能如何变化 球2的机械能如何变化 两个球和杆组成的系统机械能如何变化 (忽略空气阻力)
[答案] 球1的高度和速度都变大，所以机械能增加.球2下落的过程中需克服杆的阻力做功，所以球2的机械能减少.整个系统没有机械能与其他形式能的转化，所以系统的机械能是守恒的.
例2 如图所示，轻杆一端安装在过点垂直于纸面的水平轴上，杆的中央和另一端分别固定质量均为的小球和(可以看作质点)，杆长为，将轻杆从水平位置由静止释放，不计空气阻力,重力加速度为.当轻杆通过竖直位置时，小球、的速度各为多大？
[答案] ;
[解析] 对、两球(包括轻杆)组成的系统，由机械能守恒定律得
即
因、两球的角速度 相等，则
联立解得，
【要点总结】
杆连物体系统机械能守恒问题
问题简述
方法突破
续表
学习任务三 弹簧连接的系统机械能守恒问题
［科学思维］
1.由轻弹簧连接的物体系统，一般既有重力做功又有弹簧弹力做功，这时系统内物体的动能、重力势能和弹簧的弹性势能相互转化，而总的机械能守恒.
2.如果系统每个物体除弹簧弹力外所受合外力为零，则当弹簧伸长或压缩到最大程度时物体速度相同.
3.对同一弹簧，弹性势能的大小由弹簧的形变量完全决定，弹簧形变量相同时弹性势能相同，无论弹簧伸长还是压缩.
4.物体运动的位移与弹簧的形变量或形变量的变化量有关.
例3 [2024·山东青岛二中月考] 如图所示，劲度系数为的轻质弹簧一端系在竖直放置的半径为的光滑圆环顶点，另一端连接一套在圆环上的质量为的小球.开始时小球位于点，此时弹簧处于原长且与竖直方向的夹角为 ，之后小球由静止沿圆环下滑，小球运动到最低点时的速
D
A.轻质弹簧的原长为
B.小球运动到点时，所受的合力为
C.小球从到的过程中，重力势能转化为弹簧的弹性势能
D.小球运动到点时，弹簧的弹性势能为
率为，此时小球与圆环之间的弹力恰好为零.已知重力加速度为.下列分析正确的是( )
[解析] 由几何关系可知，弹簧的原长为，A错误；小球过B点时，由重力和弹簧弹力的合力提供小球的向心力，有，B错误；以小球和弹簧组成的系统为研究对象，在小球从A到B的过程中，只有重力和弹簧的弹力做功，系统机械能守恒，小球的重力势能转化为弹簧的弹性势能和小球的动能，故C错误；根据机械能守恒定律得，解得，故D正确.
变式1 [2024·江苏徐州一中月考] 如图所示，物体、通过细绳及轻质弹簧连接在轻滑轮两侧，物体的质量为，放置在倾角为 的光滑斜面上，物体的质量为，用手托着物体使弹簧处于原长，细绳伸直且 与轻滑轮间的弹簧和细绳均与斜面平行， 与地面间的距离为 ，物体 静止在斜面上挡板 处，放手后物体 下落，与地面即将接触时速度大小为 ，此时物体 对挡板恰好无压力，不计空气阻力，重力加速度为 ，则下列说法正确的是( )
B
A.弹簧的劲度系数为
B.此后物体不可能离开挡板沿斜面向上运动
C.此时物体的加速度大小为，方向竖直向上
D.此时弹簧的弹性势能等于
[解析] 由题意可知，A物体下落时，弹簧形变量为，对B物体受力分析可知，B受重力、弹簧弹力、斜面的支持力而处于静止状态，根据平衡条件得 ，解得，A错误；因A落地后弹簧的形变量不再增大，弹力不会再增大，故B不可能离开挡板沿斜面向上运动，B正确；此时弹簧弹力为，则A受到的拉力为，故A物体受力平衡，加速度为0，故C错误；对A、B和弹簧组成的整体，由机械能守恒定律可得，解得，故D错误.
备 用 习 题
1. (多选) 如图所示,两个质量均为m的小滑块P、Q通过铰链用长为L的刚性轻杆连接,P套在固定的竖直光滑杆上,Q放在光滑水平地面上,轻杆与竖直方向夹角α=30°.原长为的轻弹簧水平放置,右端与Q相连,左端固定在竖直杆O点上.P由静止释放,下降到最低点时,α变为60°.整个运动过程中,P、Q始终在同一竖直平面内,弹簧在弹性限度内,忽略一切摩擦,重力加速度为g,则P下降过程中 ( )
A.P、Q组成的系统机械能守恒
B.P、Q的速度大小始终相等
C.弹簧弹性势能最大值为mgL
D.P达到最大动能时,Q受到地面的支持力大小为2mg
CD
备 用 习 题
[解析] P、Q、弹簧组成的系统机械能守恒,而P、Q组成的系统机械能不守恒,选项A错误;在下滑过程中,根据速度的合成与分解可知vPcos α=vQsin α,解得=tan α,故P、Q的速度大小不相同,选项B错误;根据机械能守恒定律得Ep=mgL(cos 30°-cos 60°),所以弹性势能的最大值为Ep=mgL,选项C正确;P由静止释放,P开始向下做加速度逐渐减小的加速运动,当加速度为零时,P的速度达到最大,此时动能最大,对P、Q和弹簧组成的整体受力分析,在竖直方向,根据牛顿第二定律得FN-2mg=m×0+m×0解得FN=2mg,选项D正确.
备 用 习 题
2. 如图所示,上表面光滑、倾角θ=30°的斜面固定在水平地面上,斜面顶端固定一光滑的小定滑轮,质量分别为m和3m的两小物块A、B用轻绳连接,其中B被垂直于斜面的挡板挡住而静止在斜面上,定滑轮与A之间绳子水平.已知绳子开始刚好拉直,水平部分长为L,重力加速度为g.现由静止释放A,在A向下开始运动到O点正下方的过程中,下列说法正确的是 ( )
A.物块A的下落轨迹为一段圆
B.物块B一直处于静止状态
C.物块A在下摆过程中的机械能处于最大值时,速度最大值为
D.物块A在下摆过程中的机械能处于最大值时,速度最大值为
C
备 用 习 题
[解析]假设物块B不动,设A摆到最低点时的速度大小为v,由机械能守恒定律得mgL=mv2,解得v=,A在最低点时,有FT-mg=m,联立得FT=3mg,物块B的重力沿斜面向下的分力为3mgsin θ=mg联立解得v=,故C正确,D错误.
备 用 习 题
3. (多选) 如图所示,竖直平面内固定两根足够长的细杆L1、L2,两杆不接触且两杆间的距离忽略不计.两个小球a、b(视为质点)质量均为m,a球套在竖直杆L1上,b球套在水平杆L2上,a、b通过铰链用长度为L的刚性轻杆连接,将a球从图示位置由静止释放(刚性轻杆与L2杆夹角为45°),不计一切摩擦,重力加速度为g.在此后的运动过程中,下列说法中正确的是 ( )
A.a球和b球所组成的系统机械能守恒
B.b球的速度为零时,a球的加速度大小一定等于g
C.b球的最大速度为
D.a球的最大速度为
AC
备 用 习 题
[解析]对于a球和b球组成的系统,没有外力做功,因此a球和b球组成的系统机械能守恒,故A正确;当a球再次回到初始位置向下加速时,b球此时刻速度为零,但a球的加速度小于g,故B错误;当刚性轻杆和杆L1平行,成竖直状态,球a运动到最下方,球b运动到L1和L2交点的位置时,球b的速度达到最大,此时a球的速度为0,根据机械能守恒定律得mgm,
解得vb=,故C正确;当a球向下运动到杆L1和杆L2的交点的位置时,
刚性轻杆和杆L2平行,此时b球的速度为零,根据机械能守恒定律得mg·L=m,解得va=,此时a球具有向下的加速度g,因此此时a球的速度不是最大,a球将继续向下运动到加速度为0时速度达到最大,故D错误.
备 用 习 题
4.如图所示,一轻绳跨过光滑的小定滑轮,一端与在倾角为37°的光滑斜面上质量为m1的小物体1连接,另一端与套在光滑竖直杆上质量为m2的小物体2连接,滑轮到竖直杆的距离为1.2 m.现在让物体2从与滑轮等高的A点由静止释放,设斜面和杆足够长,物体1不会碰到滑轮,物体2不会碰到地面,g取10 m/s2,sin 37°=0.6.
(1)若m2=0.36m1,当物体2下滑到距A点0.9 m的B点时,求此时两物体的速度大小;
[答案] 1.2 m/s 2 m/s
[解析] 由几何关系知,当物体2下滑到B点时,物体1沿斜面上升了l1=0.3 m
此时两物体的速度关系为v1=v2sin 37°
系统的机械能守恒,有m2ghAB=m1gl1sin 37°+m1m2
解得v1=1.2 m/s,v2=2 m/s
备 用 习 题
4.如图所示,一轻绳跨过光滑的小定滑轮,一端与在倾角为37°的光滑斜面上质量为m1的小物体1连接,另一端与套在光滑竖直杆上质量为m2的小物体2连接,滑轮到竖直杆的距离为1.2 m.现在让物体2从与滑轮等高的A点由静止释放,设斜面和杆足够长,物体1不会碰到滑轮,物体2不会碰到地面,g取10 m/s2,sin 37°=0.6.
(2)若物体2下滑到距A点1.6 m的C点时,其速度刚好为0,求两物体的质量之比m1∶m2.
[答案] 10∶3
[解析] 由几何关系知,当物体2下滑到C点时,物体1沿斜面上升了l2=0.8 m
当物体2下滑到C点时,其速度为0,此时物体1的速度也为0.
系统的机械能守恒,有m2ghAC=m1gl2sin 37°
解得
备 用 习 题
5.如图所示,长为L的轻杆两端分别固定有质量均为m的A、B两小球,杆的三等分点O处有光滑的水平固定转轴,使轻杆可绕转轴在竖直面内无摩擦转动.用手将该装置固定在杆恰好水平的位置,然后由静止释放.重力加速度为g.
(1)当杆到达竖直位置时,求小球A的速度大小和杆对小球B的弹力;
[答案] 2 mg,方向竖直向上
[解析]当杆到达竖直位置时,设小球A、B的速度分别为vA、vB,因为小球A、B的角速度大小相同,所以vA=2vB,对小球A、B组成的系统,由机械能守恒定律得mg·L=mg·mm
联立解得vA=2,vB=杆在竖直位置时,对小球B,由牛顿第二定律得mg+FB=m
解得FB=-mg,即杆对小球B的弹力大小为mg,方向竖直向上
备 用 习 题
5.如图所示,长为L的轻杆两端分别固定有质量均为m的A、B两小球,杆的三等分点O处有光滑的水平固定转轴,使轻杆可绕转轴在竖直面内无摩擦转动.用手将该装置固定在杆恰好水平的位置,然后由静止释放.重力加速度为g.
(2)从释放杆到杆转到竖直位置的过程中,求杆对小球A做的功.
[答案] -mgL
[解析]对小球A,由动能定理得
mg·L+WA=m
解得WA=-mgL
1.(绳连接的系统机械能守恒问题)(多选)如图所示,轻绳跨过定滑轮悬挂质量分别为、的甲、乙两个物体,滑轮的质量及摩擦不计，空气阻力不计.由于,两物体从静止开始运动，则 ( )
BD
A.甲、乙各自的机械能分别守恒 B.乙减少的机械能等于甲增加的机械能
C.乙减少的重力势能等于甲增加的重力势能 D.甲、乙组成的系统机械能守恒
[解析] 对于甲,绳子的拉力做正功,甲的机械能增加,对于乙,绳子的拉力做负功,乙的机械能减少,A错误.以甲、乙组成的系统为研究对象,绳子拉力所做的总功为零,故系统的机械能守恒,乙减少的机械能等于甲增加的机械能,B、D正确，C错误.
2.(弹簧连接的系统机械能守恒问题)(多选)如图所示，小物体从某一高度自由下落，落到竖直固定在地面上的轻弹簧上，在点物体开始与弹簧接触，到点物体的速度为零，然后被弹回.下列说法中正确的是( )
CD
A.物体经过点时速度最大
B.从点下落到点的过程中，物体的机械能守恒
C.从点下落到点以及从点上升到点的过程中，物体的动能都是先变大后变小
D.从点下落到点的过程中，物体的机械能不守恒
[解析] 对物体经过A点时进行受力分析，且物体只受重力，且加速度方向与速度方向相同，所以物体经过A点时继续加速，速度还未达到最大，选项A错误；物体从A下落到B的过程中,由于要克服弹簧弹力做功，所以物体的机械能不守恒，选项B错误，D正确；在A、B之间某位置满足，此时加速度为0，速度最大，所以物体从A下落到B以及从B上升到A的过程中，动能都是先变大后变小，选项C正确.
3.(杆连接的系统机械能守恒问题)内壁光滑的环形凹槽半径为,固定在竖直平面内,长度为的轻杆一端固定有质量为的小球甲,另一端固定有质量为的小球乙.现将两小球放入凹槽内,小球乙位于凹槽的最低点,如图所示,由静止释放后( )
A
A.下滑过程中甲球减少的机械能总是等于乙球增加的机械能
B.下滑过程中甲球减少的重力势能总是等于乙球增加的重力势能
C.甲球可沿凹槽下滑到凹槽的最低点
D.杆从右向左滑回时,乙球一定不能回到凹槽的最低点
[解析] 环形槽光滑,甲、乙组成的系统在运动过程中只有重力做功,故系统机械能守恒,下滑过程中甲减少的机械能总是等于乙增加的机械能,甲、乙组成的系统减少的重力势能等于系统增加的动能，甲减少的重力势能等于乙增加的重力势能与甲、乙增加的动能之和，故A正确，B错误;由于乙的质量较大,系统的重心偏向乙一端,由机械能守恒定律知,甲不可能滑到凹槽的最低点,杆从右向左滑回时，乙一定会回到凹槽的最低点，故C、D错误.
知识点一 绳连接的系统机械能守恒问题
1.[2024·河北石家庄二中月考] 如图所示，质量为的木块放在光滑的水平桌面上，用轻绳绕过桌边的定滑轮与质量为的砝码相连，已知，让绳拉直后使砝码由静止开始下降.若砝码底部与地面的距
A
A. B. C. D.
[解析] 以木块和砝码组成的系统为研究对象，只有重力做功，系统的机械能守恒，则有，，解得，故A正确，B、C、D错误.
离为，砝码刚接触地面时木块仍没离开桌面，不计一切阻力，重力加速度为,此时木块的速率为( )
2.[2024·重庆南开中学月考] 如图所示,一条轻绳跨过定滑轮,绳的两端各系一个小球和,当轻绳刚好被拉紧后,球的高度为,球静止于地面.定滑轮的质量及轮与轴间的摩擦力不计,重力加速度为,释放球,当球刚落地时,球的速度大小为(为重力加速度),则球与球的质量比为( )
D
A. B. C. D.
[解析] B球下落的过程中,由A、B两球及绳子组成的系统机械能守恒,有,解得,故选D.
知识点二 杆连接的系统机械能守恒问题
3.[2024·山西太原五中月考] 如图所示，一个由轻杆组成的等边三角形的点和点分别固定着质量为和的小球，三角形可绕光滑的水平转轴自由转动，现使处于竖直位置，与水平方向的夹角为 ，此时将它们由静止释放，不考虑空气阻力作用，则错误的是( )
A
A.球到达最低点时速度为零
B.球向左摆动所能达到的最高点应高于球开始运动时的最高点
C.当它们从左向右回摆时，球一定能回到起始位置
D.球到达最低点的过程中，球机械能的减少量等于球机械能的增加量
[解析] 当B球到达最低点时，A上升到B球原来等高的位置，因为B减少的势能比A增加的势能要大，所以系统的重力势能减少，动能增加，A、B两球还具有相同大小的速度，故B球到达最低点时速度不为零，A错误；由上分析可知，当A向左摆到与B球开始时的高度时，B球到达
最低点，由于此时仍有速度，还要向左摆动，可知A球摆的高度比B球的高度要高一些，B正确；根据系统的机械能守恒可知当它们从左向右回摆时，B球一定能回到起始位置，故C正确；对于两球组成的系统只有重力做功，机械能守恒，根据系统机械能守恒得知，B球到达最低点的过程中，B球机械能的减少量等于A球机械能的增加量，故D正确.
4.(多选)如图所示，和两个小球固定在一根轻杆的两端，，此杆可绕穿过其中心的水平轴无摩擦地转动.现使轻杆从水平位置无初速度释放，发现杆绕沿顺时针方向转动，则杆从释放至转动 的过程中( )
BD
A.球的动能增大，机械能增大
B.球的重力势能和动能都增大
C.球的重力势能和动能的增加量等于球的重力势能的减少量
D.球和球的总机械能守恒
[解析] A球运动的速度增大，高度增大，所以动能和重力势能都增大，故A球的机械能增大；B球运动的速度增大，所以动能增大，高度减小，所以重力势能减小；对于两球组成的系统，只有重力做功，系统的机械能守恒，因为A球的机械能增大，故B球的机械能减小，故A球的重力势能和动能的增加量与B球的动能的增加量之和等于B球的重力势能的减少量，选项A、C错误，B、D正确.
知识点三 弹簧连接的系统机械能守恒问题
5.如图所示,物体、通过细绳及轻质弹簧连接在光滑轻质定滑轮两侧,物体、的质量都为.开始时细绳伸直,用手托着物体使弹簧处于原长状态且物体与水平地面的距离为,物体静止在地面上.放手后物体下落,与地面即将接触时速度大小为,此时物体对地面恰好无压力,不计空气阻力,重力加速度为,则下列说法正确的是( )
A
A.弹簧的劲度系数为
B.物体对地面恰好无压力时,弹簧的弹性势能等于
C.物体对地面恰好无压力时,物体的速度大小也为
D.物体对地面恰好无压力时,物体的加速度大小为,方向竖直向上
[解析] 由题意可知,物体B对地面恰好无压力时,弹簧所受的拉力大小等于物体B的重力,即,弹簧伸长的长度,由,得,A正确;物体A与弹簧组成的系统机械能守恒,则有,则弹簧的弹性势能,B错误;物体B对地面恰好无压力时,物体B的速度为零,C错误;对物体A,根据牛顿第二定律有,又,得,D错误.
6.(多选)如图所示，轻质动滑轮下方悬挂重物、轻质定滑轮下方悬挂重物，悬挂滑轮的轻质细线竖直.开始时，重物、处于静止状态，释放后、开始运动.已知、的质量均为，假设摩擦阻力和空气阻力均忽略不计，重力加速度为，当的位移为时( )
AD
A.悬挂的轻质细线中的拉力为
B.悬挂的轻质细线中的拉力为
C.重物的速度为
D.重物的速度为
[解析] 设释放后A、B后，悬挂B的轻质细线中的拉力大小为，B的加速度大小为，对B由牛顿第二定律得，对A由牛顿第二定律得，联立解得，故A正确，B错误；设当A的位移为时，A的速度大小为，A、B组成的系统由机械能守恒定律可得，解得，故C错误，D正确.
7.(多选)[2024·海南中学月考] 如图所示，倾角 的斜面固定在水平地面上，物块和通过不可伸长的轻绳连接并跨过轻质定滑轮，轻绳与斜面平行.已知的质量，开始
BC
A.物块的质量为 B.、组成的系统机械能守恒
C.落地时速度的大小为 D.落地瞬间重力的功率为
时两物块均静止，距地面高度，与定滑轮间的距离足够大.现将、位置互换并由静止释放，重力加速度取，，，不计一切摩擦.下列说法正确的是( )
[解析] 根据题意，设绳子的弹力为，对物块由平衡条件有，对物块由平衡条件有，联立解得，A错误；根据题意可知，不计一切摩擦，
、组成的系统运动过程中，只有重力做功，故、组成的系统机械能守恒，B正确；根据题意，设落地时速度的大小为，由关联速度可知，此时的速度也为，由机械能守恒定律有，代入数据解得，C正确；由公式可得，落地瞬间重力的功率为，故D错误.
8.(多选)如图所示，滑块、的质量均为，套在固定竖直杆上，与光滑水平地面相距，放在地面上，、通过铰链用刚性轻杆连接，由静止开始运动.不计摩擦，、可视为质点，重力加速度大小为.则( )
BD
A.落地前，轻杆对一直做正功
B.落地前、系统机械能守恒
C.下落过程中，其加速度大小始终不大于
D.落地前，当的机械能最小时，对地面的压力大小为
[解析] 当到达底端时，的速度为零，的速度在整个过程中，先增大后减小，则动能先增大后减小，所以轻杆对先做正功，后做负功，故A错误；的速度在整个过程中，先增大后减小，所以对的作用力先是动力后是阻力，所以对的作用力就先是阻力后是动力，所以在减速的过程中，对是向下的拉力，此时的加速度大于重
力加速度，故C错误；落地前，把、看成整体，只有重力做功，所以机械能守恒，当的机械能最小时，的速度最大，此时受到的推力为零，只受到重力的作用，根据牛顿第三定律可知对地面的压力大小为，故B、D正确.
9.如图所示,光滑细杆倾斜固定,与水平方向夹角为 ,一轻质弹簧的一端固定在点,另一端连接质量为的小球,小球套在细杆上,与细杆上点等高,与细杆在同一竖直平面内,竖直,垂直于,且,当小球位于细杆上、两点时,弹簧弹力大小相等.现将小球从细杆上的点由静止释放,在小球沿细杆由 点运动到 点的过程中,已知重力加速度为 ,弹簧形变量一直处于弹性限度内且不弯曲,下列说法正确的是( )
C
A.弹簧的弹性势能先减小后增大
B.小球加速度大小等于且方向沿杆向下的位置有两处
C.小球运动到点时的动能为
D.小球从点运动到点,机械能减少了
[解析] 由于小球在A、两点时,弹簧弹力大小相同,则小球在A点时,弹簧被拉伸,小球在点时,弹簧被压缩,且拉伸量与压缩量相等,则在A、之间必有一个弹簧处于原长状态的位置,由对称性原理可知,在、B之间也必有一个弹簧处于原长状态的位置,小球在A、、B三个位置时弹簧的弹性
势能相等,在小球从A到的过程中,弹簧的弹性势能先减小后增大,在小球从到B的过程中,弹簧的弹性势能也是先减小后增大,A错误;弹簧处于原长状态时和小球在点位置时,小球加速度大小等于且方向沿杆向下,所以小球加速度大小等于且方向沿杆向下的位置有三处,B错误;小球从A点运动到B点过程中,由机械能守恒定律可得,解得,C正确;A、两点处弹簧的弹性势能相等,所以从A点运动到点的过程中,只有重力势能转化为动能,所以小球在A、两点的机械能相等,D错误.
10.[2024·河北正定中学月考] 如图所示，倾角 的固定光滑斜面足够长，一个质量为的物块停靠于固定在斜面底端的挡板上.一个劲度系数为的轻弹簧一端与物块相连，另一端与质量也为的物
块相连接.细绳的一端系在上，另一端跨过光滑定滑轮系一个不计质量的小挂钩，小挂钩不挂物体时，处于静止状态，细绳与斜面平行，挂钩竖直.已知当地重力加速度为.
(1) 若在小挂钩上轻轻挂上一个物块，会发现当物块到达最低点时物块恰好要离开挡板，请你求出物块的质量；
[答案]
[解析] 开始时，弹簧被压缩了
当将要离开挡板时，弹簧伸长了
因为初、末位置弹簧的形变量相同，故初、末位置的弹性势能相同，则由机械能守恒定律可知
解得
(2) 若在小挂钩上轻轻挂上一个物块后，会发现当物块达到最大速度时物块恰好要离开挡板，请你求出物块的最大速度.
[答案]
[解析] 当物块达到最大速度时，此时、整体的加速度为零，由牛顿第二定律有
由机械能守恒定律可知
解得
