2026年中考华师版数学一轮复习（九年级下册）期末 学情评估卷（含答案）

期末 学情评估卷
一、选择题(每题3分，共30分)
1. 以下调查中，调查方式选择最合理的是(　　)
A．对某市市民知晓“一盔一带”交通新规情况的调查，采用普查
B．了解全班50名同学每天体育锻炼的时间，采用抽样调查
C．学校招聘教师，对应聘人员进行面试，采用普查
D. 对社区80名党员进行“大走访、大调研”，采用抽样调查
2. 抛物线y＝x2－10x＋16的顶点坐标是(　　)
A．(5，－9) B．(－5，－9) C．(5，－13) D．(－5，－13)
3．如图，四边形ABCD内接于⊙O，若所对圆心角的度数为80°，则∠C＝(　　)
A．110° B．120° C．135° D．140°
INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\16979\\Desktop\\9数HSJ-35.tif" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\Desktop\\26春 点拨训练 9 数学 HS（\\9数HSJ-35.tif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "9数HSJ-35.tif" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\16979\\Desktop\\9数HSJ-36.tif" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\Desktop\\26春 点拨训练 9 数学 HS（\\9数HSJ-36.tif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "9数HSJ-36.tif" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\16979\\Desktop\\26春9HSJ-30.tif" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\Desktop\\26春 点拨训练 9 数学 HS（\\26春9HSJ-30.tif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "26春9HSJ-30.tif" \* MERGEFORMAT
(第3题) (第4题) (第5题)
4．如图，AC是⊙O的直径，B，D是⊙O上的两点，连结AB，BC，CD，BD，若∠A＋∠D＝80°，则∠ACB的度数为(　　)
A．40° B．50° C．60° D．80°
5．二次函数y＝ax2＋bx和反比例函数y＝的图象如图，则一次函数y＝x－b的图象经过(　　)
A．第一、二、三象限 B．第二、三、四象限
C．第一、三、四象限 D．第一、二、四象限
6．如图，在⊙O中，半径AO⊥BO，C为上一点，连结AC，BC，AB，OC，若∠ABC＝15°，CO＝2，则的长度为(　　)
A. B. C. D.
INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\16979\\Desktop\\9数HSJ-37.tif" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\Desktop\\26春 点拨训练 9 数学 HS（\\9数HSJ-37.tif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "9数HSJ-37.tif" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\16979\\Desktop\\26春9HSJ-31.tif" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\Desktop\\26春 点拨训练 9 数学 HS（\\26春9HSJ-31.tif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "26春9HSJ-31.tif" \* MERGEFORMAT
(第6题) (第7题)
7. 小飞家去年上半年的各项生活支出情况的扇形统计图如图①，去年下半年增加了生活支出的总费用，相应支出情况的扇形统计图如图②.下列说法正确的是(　　)
A．下半年教育支出的费用没有变化
B．下半年只有旅游支出的费用增加了
C．下半年食品支出的费用一定减少了
D．下半年其他支出的费用可能增加了
8．如图，在扇形MON中，∠MON＝105°，半径OM＝6，将扇形MON沿过点N的直线折叠，点O恰好落在上的点Q处，折痕交OM于点P，则阴影部分的面积为(　　)
A．9
B．9(π－ )
C.
D.－9
9. 已知抛物线y＝ax2－2ax＋4(a>0)．若A(m－1，y1)，B(m，y2)，C(m＋2，y3)为抛物线上三点，且总有y1>y3>y2，则m的取值范围可以是(　　)
A．m<1 B．m> C．010．如图，点A在半径为2的⊙O上，过线段OA上的一点P作直线m，与⊙O过A点的切线交于点B，且∠APB＝60°，设OP＝x，则△PAB的面积y关于x的函数图象大致是(　　)
INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\16979\\Desktop\\26春9HSJ-33.tif" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\Desktop\\26春 点拨训练 9 数学 HS（\\26春9HSJ-33.tif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "26春9HSJ-33.tif" \* MERGEFORMAT
二、填空题(每题3分，共15分)
11. 为了调查某校七年级同学的视力情况，从七年级的10个班共540名学生中，每班随机抽取了5名同学进行调查．在这个问题中，样本是______________________________. INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\16979\\Desktop\\得分.tif" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\Desktop\\26春 点拨训练 9 数学 HS（\\得分.tif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "得分.tif" \* MERGEFORMAT
12．若将抛物线y＝ax2－4向右平移3个单位，经过点(2，－6)，则a的值是____________. INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\16979\\Desktop\\得分.tif" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\Desktop\\26春 点拨训练 9 数学 HS（\\得分.tif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "得分.tif" \* MERGEFORMAT
13．“北斗”是中国自行研制的全球卫星导航系统，如图①是“北斗”的标识，表示太空的部分可以抽象出一条长为10π的弧，若该弧所在扇形可围成高为12的圆锥(如图②)，则该圆锥的母线长AB为________. INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\16979\\Desktop\\得分.tif" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\Desktop\\26春 点拨训练 9 数学 HS（\\得分.tif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "得分.tif" \* MERGEFORMAT
14．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的部分图象如图所示，对称轴为直线x＝且经过点(2，0)．下列说法：①abc＞0；②－2b＋c＝0；③ax2＋bx＋c>0的解集是－1＜x＜2；④a＋b≥m(am＋b)(m为任意实数)．其中正确的是________．(填序号) INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\16979\\Desktop\\得分.tif" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\Desktop\\26春 点拨训练 9 数学 HS（\\得分.tif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "得分.tif" \* MERGEFORMAT
INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\16979\\Desktop\\26春9HSJ-40.tif" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\Desktop\\26春 点拨训练 9 数学 HS（\\26春9HSJ-40.tif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "26春9HSJ-40.tif" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\16979\\Desktop\\26春9HSJ-41.tif" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\Desktop\\26春 点拨训练 9 数学 HS（\\26春9HSJ-41.tif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "26春9HSJ-41.tif" \* MERGEFORMAT
(第14题) (第15题)
15．如图，在正方形ABCD中，AB＝，点E在边AD上，AE＝1，将线段AE绕点A旋转，得到线段AP，连结BP，CP，当∠ABP最大时，CP的长为______________. INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\16979\\Desktop\\得分.tif" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\Desktop\\26春 点拨训练 9 数学 HS（\\得分.tif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "得分.tif" \* MERGEFORMAT
三、解答题(本大题共8个小题，满分75分)
16. (5分)如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，AD⊥BC于点E.求证：∠BAD＝∠CAD. INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\16979\\Desktop\\得分.tif" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\Desktop\\26春 点拨训练 9 数学 HS（\\得分.tif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "得分.tif" \* MERGEFORMAT
INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\16979\\Desktop\\期末-16.tif" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\Desktop\\26春 点拨训练 9 数学 HS（\\期末-16.tif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "期末-16.tif" \* MERGEFORMAT
17．(9分)如图，抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交于A，B两点，其中点A的坐标为(－3，0)，与y轴交于点C，点D(－2，－3)在抛物线上. INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\16979\\Desktop\\得分.tif" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\Desktop\\26春 点拨训练 9 数学 HS（\\得分.tif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "得分.tif" \* MERGEFORMAT
(1)求抛物线的表达式；
(2)若抛物线的对称轴上有一动点P，求PA＋PD的最小值．
INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\16979\\Desktop\\HJM-5.tif" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\Desktop\\26春 点拨训练 9 数学 HS（\\HJM-5.tif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "HJM-5.tif" \* MERGEFORMAT
18.(10分)倡导经典诵读，传承中华文化．某校为了解七年级学生每月借阅图书的数量，随机抽取了40名学生进行调查．
【收集数据】(1)下面的抽样方法中，最具代表性和广泛性的是(　　)
A．抽取40名男生每月借阅图书的数量组成样本
B．抽取40名成绩较好的学生每月借阅图书的数量组成样本
C．按学号随机抽取40名学生每月借阅图书的数量组成样本
【整理数据】依据调查结果绘制了如下不完整的统计图表：
每月借阅图书的数量t/本 频数
2≤t＜3 4
3≤t＜4 10
4≤t＜5 a
5≤t＜6 8
6≤t＜7 12
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\16979\\Desktop\\二返+8.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\Desktop\\26春 点拨训练 9 数学 HS（\\二返+8.TIF" \* MERGEFORMATINET )
【分析数据】(2)频数分布直方图的组距为________；
(3)补全频数分布直方图；
(4)若该校七年级共有600名学生，估计每月借阅图书的数量至少为4本的学生有多少名. INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\16979\\Desktop\\得分.tif" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\Desktop\\26春 点拨训练 9 数学 HS（\\得分.tif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "得分.tif" \* MERGEFORMAT
19. (9分) INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\16979\\Desktop\\情境题生活应用.tif" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\Desktop\\26春 点拨训练 9 数学 HS（\\情境题生活应用.tif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "情境题生活应用.tif" \* MERGEFORMAT 某户外实践活动小组欲测量球罐外斜梯的长度，一人站在球罐最高点C处，看到斜梯末端F处恰好被斜梯顶端E遮挡(此时EF与⊙O相切)，已知过切点B恰有一水平横梁交于斜梯末端F处，如图所示. INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\16979\\Desktop\\得分.tif" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\Desktop\\26春 点拨训练 9 数学 HS（\\得分.tif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "得分.tif" \* MERGEFORMAT
(1)连结OE，求证：∠DOE＝∠BFD；
(2)若眼睛D与点C的距离为1.5米，sin D＝，求斜梯EF的长．
INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\16979\\Desktop\\26春9HSJ-43.tif" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\Desktop\\26春 点拨训练 9 数学 HS（\\26春9HSJ-43.tif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "26春9HSJ-43.tif" \* MERGEFORMAT
20．(9分)某电商销售一批皮衣，进价是每件220元，售价是每件320元，平均每天可售出100件．调查发现，如果每件皮衣降价1元，平均每天可多售出2件，但每件不得低于300元．
(1)若每件皮衣降价x元(x≥0且取整数)，平均每天盈利y元，求y与x之间的函数关系式．
(2)每件皮衣降价多少元时，该电商平均每天盈利最多？求出最大盈利. INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\16979\\Desktop\\得分.tif" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\Desktop\\26春 点拨训练 9 数学 HS（\\得分.tif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "得分.tif" \* MERGEFORMAT
21．(10分)在圆内接正六边形ABCDEF中，AC，EC分别交BD于点H，G.
(1)如图①，求证：点H，G三等分BD；
(2)如图②，过点O作AC的垂线，垂足为K，以点O为圆心，OK的长为半径作圆；(保留作图痕迹，不写作法)
(3)在(2)所作图形中，求证：CE是所作圆的切线. INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\16979\\Desktop\\得分.tif" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\Desktop\\26春 点拨训练 9 数学 HS（\\得分.tif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "得分.tif" \* MERGEFORMAT
INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\16979\\Desktop\\26春9HSJ-44.tif" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\Desktop\\26春 点拨训练 9 数学 HS（\\26春9HSJ-44.tif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "26春9HSJ-44.tif" \* MERGEFORMAT 　 INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\16979\\Desktop\\26春9HSJ-45.tif" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\Desktop\\26春 点拨训练 9 数学 HS（\\26春9HSJ-45.tif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "26春9HSJ-45.tif" \* MERGEFORMAT
22．(11分) INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\16979\\Desktop\\新趋势跨学科物理.tif" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\Desktop\\26春 点拨训练 9 数学 HS（\\新趋势跨学科物理.tif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "新趋势跨学科物理.tif" \* MERGEFORMAT 如图，镜面l与半圆O相切于点C，延长直径AB与l交于点D，P是OB上的动点，PC为入射光线，其反射光线CQ与半圆和直径AB围成的封闭图形交于点Q，连结AC，∠DAC＝15°，AB＝8.
(1)∠D的度数为________；
(2)当反射光线CQ与AB平行时，求CQ的长度；
(3)在点P从点O运动到点B的过程中，直接写出点Q的运动路径长. INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\16979\\Desktop\\得分.tif" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\Desktop\\26春 点拨训练 9 数学 HS（\\得分.tif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "得分.tif" \* MERGEFORMAT
INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\16979\\Desktop\\26春9HSJ-46.tif" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\Desktop\\26春 点拨训练 9 数学 HS（\\26春9HSJ-46.tif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "26春9HSJ-46.tif" \* MERGEFORMAT 　 INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\16979\\Desktop\\26春9HSJ-47.tif" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\Desktop\\26春 点拨训练 9 数学 HS（\\26春9HSJ-47.tif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "26春9HSJ-47.tif" \* MERGEFORMAT
23．(12分)如图①是某个拱形彩灯门，抽象为数学模型是由抛物线和垂直于地面的两条相等的线段AB，CD构成的，如图②，以地面BC所在直线为x轴，过抛物线的最高点M且垂直于BC的直线为y轴，建立平面直角坐标系，其中BC＝12 m，OM＝7 m，AB＝3 m，O为BC的中点. INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\16979\\Desktop\\得分.tif" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\Desktop\\26春 点拨训练 9 数学 HS（\\得分.tif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "得分.tif" \* MERGEFORMAT
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)如图②，为支撑拱形彩灯门的结构，需要制作3条支撑杆EF，GH，FG，其中EF和GH长度相等且垂直于地面BC，求所需支撑杆长度和的最大值；
(3)如图③，工作人员计划在拱形彩灯门上悬挂灯笼，挂满后成轴对称分布，且灯笼到地面的垂直距离不低于4 m，相邻灯笼间的水平距离相等且至少间隔1 m，若灯笼高度忽略不计，请直接写出最多可以悬挂灯笼的数量．(参考数据： ≈1.73)
　　
答案
1．C　2.A　3.D　4.B　5.D　6.A　7.D　8.D　9.C　10.D
11. 抽取的50名同学的视力情况
12. －2　13. 13　14. ②③④　
15.或
16．证明：∵AD是⊙O的直径，
AD⊥BC，
∴＝.∴∠BAD＝∠CAD.
17．解：(1)∵抛物线y＝x2＋bx＋c经过A(－3，0)，D(－2，－3)两点，
∴解得
∴抛物线的表达式为y＝x2＋2x－3.
(2)∵y＝x2＋2x－3＝(x＋1)2－4，
∴抛物线的对称轴为直线x＝－1.令x＝0，则y＝－3，∴C(0，－3)．
∵D(－2，－3)，∴点C，D关于直线x＝－1对称．
连结AC，当点P在AC与对称轴的交点处时PA＋PD的值最小，等于AC的长．
∵AC＝＝3 ，
∴PA＋PD的最小值是3 .
18．解：(1)C　(2)1
(3)a＝40－4－10－8－12＝6.
补全频数分布直方图如图．
INCLUDEPICTURE"二返+9.tif"
(4)600×＝390(名)．
答：估计每月借阅图书的数量至少为4本的学生有390名．
19．(1)证明：∵BF，EF均与⊙O相切，
∴∠OEF＝∠OBF＝90°，
∵四边形OBFE内角和为360°，
∴∠BOE＋∠BFD＝180°，
又∵∠BOE＋∠DOE＝180°，
∴∠DOE＝∠BFD.
(2)解：设⊙O的半径为r米，在Rt△DOE中，OE＝OD·sin D，
即r＝，解得r＝6，
在Rt△DBF中，BD＝1.5＋6＋6＝13.5(米)，∵sin D＝，
∴可设BF＝4t，DF＝5t，
∴BD＝＝3t，
∴tan D＝＝，
∴BF＝BD·tan D＝13.5×＝18(米)．
∵BF，EF均与⊙O相切，∴根据切线长定理可知EF＝BF＝18(米)．
答：斜梯EF的长为18米．
20．解：(1)根据题意，得
y＝＝－2x2＋100x＋10 000.
(2)因为每件最低价不得低于300元，
所以320－x≥300，解得x≤20，
所以0≤x≤20，
因为y＝－2x2＋100x＋10 000＝－22＋11 250，
所以当x＜25时，y随x的增大而增大．
所以当x＝20时，盈利最多，
最大盈利为－2×(20－25)2＋11 250＝11 200(元)．
答：每件皮衣降价20元时，该电商平均每天盈利最多，最大盈利为11 200元．
21．(1)证明：在圆内接正六边形ABCDEF中，CD＝BC＝AB＝DE，
∠CDE＝∠DCB＝∠ABC＝120°，
∴∠CDB＝∠CBD＝∠ACB＝
∠DCE＝30°，
∴∠ACE＝120°－30°－30°＝60°，
CG＝DG，CH＝BH，
在△CDG和△CBH中，∠CDG＝∠CBH，CD＝CB，∠DCG＝∠BCH，
∴△CDG≌△CBH.∴CG＝CH，
∴△CGH是等边三角形，
∴CG＝HG＝DG＝CH＝BH，
∴点H，G三等分BD.
(2)解：如图所示．
INCLUDEPICTURE"26春9HSJD-13.tif"
(3)证明：如图，过点O作OP⊥CE，垂足为P，连结OC，则∠DCO＝∠BCO＝60°.
由(1)知∠ECD＝∠ACB＝30°，
∴∠PCO＝∠KCO＝30°.
∵OK⊥AC，OP⊥CE，∴OP＝OK，
∴OP为所作圆的半径，∴CE是所作圆的切线．
22．解：(1)60°
(2)如图，连结OC，过点O作OE⊥CQ于点E，∴CE＝QE＝CQ.
∵AB＝8，∴OC＝AB＝4，
∵∠DAC＝15°，∴∠COD＝30°.
∵CQ∥AB，∴∠ECO＝∠COD＝30°，
∴CE＝OC·cos 30°＝2，
∴CQ＝2CE＝4，
即CQ的长度为4.
INCLUDEPICTURE"26春9HSJD-14.tif"
(3)点Q的运动路径长为4＋.
23．解：(1)因为OM＝7 m，
所以抛物线顶点M的坐标是，
因为BC＝12 m，O为BC的中点，AB＝3 m，所以点A的坐标是，
设抛物线的函数表达式为y＝nx2＋7，则有36n＋7＝3，解得n＝－，
所以抛物线的函数表达式是
y＝－x2＋7.
(2)设点F的坐标是，
则EF＝GH＝－a2＋7，FG＝－2a，
设支撑杆的长度和为l m，则l＝
2－2a，
整理得l＝－2＋，
所以当a＝－时，所需支撑杆长度和取得最大值，最大值为 m.
(3)11个．