鲁教版数学七年级上册
第三节 勾股定理的应用举例（2）
莱州市双语学校 张青华
教材与学情分析
本节课是在探究了勾股定理后运用勾股定理解决生活中的实际问题，本节内容分两课时，第一课时有两部分内容，第一部分立体图形表面上两点间最短距离，构造的直角三角形中已知两边，可以直接运用勾股定理解决实际问题；第二部分已知三角形的三边判断所构造的三角形是否为直角三角形，应用勾股定理的逆定理解决实际问题。第二课时在第一课时的基础上，进一步研究勾股定理的两方面实际应用，第一是在直角三角形中已知一边和其他两边等量关系时，要运用方程思想求未知边；第二是决策问题：判断车能否过隧道问题，构造已知两边的直角三角形，判断第三边。
学生在学习勾股定理的直接应用后，当已知两边能熟练求直角三角形的第三边。因此本课时的重点利用勾股定理的等量关系式列方程求未知边，和通过计算判断并作出决策。其中难点是在决策问题中如何构造直角三角形。
教学目标
知识与技能
应用勾股定理解决简单的实际问题，当所构造的直角三角形中只有一边已知时，可以根据勾股定理列方程解决问题
应用勾股定理解决生活中一类决策问题
过程与方法
在探究问题解决方法的过程中感受方程思想方法，感受构建方程模型的必要性
在探究问题过程中如何构造直角三角形，体会转化的数学思想方法
情感态度与价值观
在讨论问题过程中，进一步认识勾股定理的悠久历史和广泛应用，了解我国古代人民的聪明才智，从而增强学习数学的兴趣.
教学资源
PPT课件、几何画板课件、三角板等
教学设计思路
复习总结→创设问题引入新课→合作探究解决问题→巩固提升→梳理总结升华收获
五、教学实施过程：
（一）复习导入
师：同学们，前面学习了勾股定理，知道根据勾股定理能求出直角三角形的边长，请看：
1、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，则
总结并板书1）已知两直角边能求斜边
2）已知一直角边和斜边能求另一直角边
【设计意图】让学生明确直角三角形已知两边第三边能直接运用勾股定理求出第三边，为下面例1中只知一条边时求边要借助方程的方法，不能直接运用勾股定理做好铺垫.
师：勾股定理是一个非常重要的定理，从古代到现代，人们在生活中广泛应用。那么在生活中人们运用它可以解决什么问题，在解决问题中运用了什么数学方法？今天继续学习《勾股定理的应用举例》，请看例1。
（二）新课讲解
活动一：求水池深、芦苇高问题
（出示例1）
例1 有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池的中央有一根新生的芦苇，
它高出水面1尺，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，问
这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少？
【教师活动】
问题1：你能得到哪些数学信息？能在图中表示吗？
学生自由发言，提出自己得到的数学信息，
【注意】教师重点说明两点：
一“水面是边长为10尺的正方形”指图中的BD，而不是AO，题目所给的图形是水池的纵截面
二“把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面”的含义，课件辅助展示芦苇的拉动过程，学生观察：在拉动过程中什么变了，什么没有变，引导学生得到OB=OC
问题2：图中哪条线段的长度表示水池的深度，哪条线段的长度表示芦苇的长度？
问题3：图中有直角三角形吗？如果有，指出它的三边和直角
问题4：在Rt△ABC中，根据勾股定理你能得到什么结论？
问题5：在 中已知边长是几条？未知边是几条？
问题6：当一个等式中出现两个未知量，应该采用什么数学方法？（方程）
【对应巩固练习】（课本80页随堂第2题）
一架梯子若靠墙直立时比窗户的下沿高1m，
若斜靠在墙上，当梯子的下端离墙4m时，
梯子的上端恰好与窗户的下沿对齐.
求梯子的长度.
【学生活动】独立完成，一学生上黑板板演
【教师活动】总结：在这一题中构建的直角三角形是Rt△ABC，它的三边中已知一边，所以要运用列方程的方法求出其他边（板书：已知一边 方程）
活动二：判断车能否过隧道
【教师活动】由上面两个例子可以看出勾股定理在日常生活中测量深度、高度、长度等问题，现代生活中，人们应用勾股定理更是广泛。请看例1
例2 如图，某隧道的截面是一个半径为4.2m的半圆形， 一辆高3.6m、宽3m卡车能通
过该隧道吗？
【教师活动】提出问题并思考：
问题1：如果不能通过隧道，最可能是受到卡车的哪个部位的影响？
问题2： 如果能通过隧道，卡车沿隧道的哪条线走最容易通过？
问题3：隧道是截面图，卡车通过这个隧道时的截面图是什么？
问题4：在长方形ABCD中，哪个点最有可能被半圆形卡住？
问题5：.长方形ABCD放在半圆形的什么位置表示“沿正中间走”？
【学生活动】利用几何画板探究OC与半径满足什么关系时卡车能通过？
请将卡车的截面图放到隧道截面图中表示“沿正中间走”的位置
问题1：当AB的中点O与半圆的圆心重合就一定能通过隧道吗？
问题2：当点C在什么位置表示卡车能通过隧道？点C在什么位置时表示卡车刚好不能通
过隧道？此时点C有什么性质？（OC表示半径，即OC=4.2m）
问题3：点C在半圆内时，OC与半径的大小关系是什么？
点C在半圆外时，OC与半径的大小关系是什么？
探讨的结论：当OC＜4.2米时，卡车能通过，；当OC≥4.2米时，卡车不能通过
【设计意图】
采用几何画板，让学生动手参与操作，在放、挪卡车截面图的过程中，真切感受卡车应沿着正中间走最容易通过，能从数学角度认识“隧道正中间”的含义，认识到在沿正中间走卡车需要满足什么条件？
师：由此我们只要计算出OC的长度即可。
如图，OC是Rt△BOC的斜边，其他两直角边是由表示卡车一半车宽的线段OB和表示车高的线段BC，已知OB=1.5m，BC=3.6m，根据勾股定理可得
求出OC与4.2比较大小较困难，还有什么方法不求OC,也能比较OC与4.2的大小，引导出比较平方数，至此问题得到解决。
3、【教师活动】出示规范的解题步骤，并进行例题小结
4、小组合作交流
解决“判断卡车能否通过隧道”这一问题，关键构建直角三角形。根据几何画板的操作探究，你能否找到其他构造直角三角形的方法？与你的同伴交流.
师总结：
构造Rt△BOE，直角边OB表示车宽的一半，斜边OE表示隧道半径，这两边是已知的，另一直角边BE表示恰好通不过的卡车的车高，比较BE与实际车高3.6m.
在这一问题中构造的直角三角形可以已知两直角边，求斜边与半径比较大小；也可以已知斜边和一直角边，求另一直角边与实际车高比较
【设计意图】
5、巩固练习——课本80页习题第2题
如图，一座城墙高11.7m，墙外有一条宽为9m的护城河，那么一个长为15m的云梯能否到达城墙的顶端？
【学生活动】可以展示两种方法
方法1：如左图，由15m和9m的两条线段构建直角三角形，
求出BC与11.7m比较大小
方法2：如左图，由11.7m和9m的两条线段构建直角三角形
求出AB与15m比较大小
活动三：课堂总结
师：本节课我们学习了两个勾股定理的应用例子
一、求水池的深度和芦苇的长度 转化 已知一边 方法 方程
已知两直角边 方法 求斜边与半径比较
二、判断卡车能否过隧道 转化 已知两边
已知一直角边和斜边 方法 求另一直角边与实
际车高比较
解决上述两类问题的关键是构造直角三角形
活动四：收获平台
这节课我学会了……
我发现了……
使我体会最深的是……
使我感到困难的是……
我想我将…
活动五：布置课后作业
必做：1. 习题第1题
2. 判断例2中的卡车能否通过隧道，你还有什么方法？
选做： 例2中的隧道改为双车道其他条件不变，卡车还能通过该隧道吗？
【设计意图】布置第2题，目的是让学生能系统地认识到判断卡车能否通过隧道问题可以有三种方法，这三种方法实质上就是已知不同的两个直角边问题.
板书设计
课件15张PPT。3.3勾股定理的应用举例（2）义务教育教科书山东教育出版社七年级上册古题欣赏 在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一个有趣的问题，这个问题的意思是：如图，有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池的
中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇沿与一边垂直的方向拉向岸边，那么它的顶端恰好到达岸边的水面.这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少？COBA10尺1尺例15尺DOB=OC古题欣赏 在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一个有趣的问题，这个问题的意思是：如图，有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池的
中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇沿与一边垂直的方向拉向岸边，那么它的顶端恰好到达岸边的水面.这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少？COBA10尺1尺例15尺1.线段 的长度表示水池的深度
2.线段 的长度表示芦苇的长度
3. 是直角三角形.它的三边分别
是 .DOAOC或OBOB=OC△AOBOA, AB, OB已知直角三角形的一边和其他两边的数量关系求边方法关键构建直角三角形数学问题根据勾股定理列方程例题小结求芦苇长度和水池深度实际问题转化COBA5尺D一架梯子若靠墙直立时比窗户的下沿高1m，若斜靠在墙上，当梯子的下端离墙4m时，梯子的上端恰好与窗户的下沿对齐.求梯子的长度.BAC学以致用 例2 如图，某隧道的截面是一个半径为4.2m的半圆形，
一辆高3.6m、宽3m卡车能通过该隧道吗？请你帮忙思考1. 如果不能通过隧道，最可能是受到卡车的哪个部位的影响？
2. 如果能通过隧道，卡车沿隧道的哪条线走最容易通过？前进隧道ABCD3.在长方形中，哪个点最有可能被半圆形卡住？
4.长方形放在半圆形的什么位置表示“沿正中间走”？ 例2 如图，某隧道的截面是一个半径为4.2m的半圆形，
一辆高3.6m、宽3m卡车能通过该隧道吗？请你帮忙ABCDO 解：长方形ABCD是卡车截面的示意图，
AB的中点O是隧道的截面半圆的圆心
OB=1.5m，BC=3.6m，∠OBC=90°在Rt△BOC中，根据勾股定理，有
OC2=OB2+BC2
即 OC2=1.52+3.62=15.21隧道的截面半径r=4.2m，
r2=4.22=17.64所以卡车可以沿着隧道中间顺利通过＞15.21OC＜r例题小结ABCDO构建直角三角形比较斜边与隧道半径的大小方法关键已知直角三角形的两直角边求斜边数学问题判断卡车能否通过隧道实际问题转
化拓展提高 请你帮忙O构建直角三角形比较另一直角边与车高的大小方法二关键已知直角三角形的一直角边和斜边求另一直角边数学问题 例2 如图，某隧道的截面是一个半径为4.2m的半圆形，
一辆高3.6m、宽3m卡车能通过该隧道吗？
如图，一座城墙高11.7m，墙外有一条宽为9m的护
城河，那么一个长为15m的云梯能否到达城墙的顶端？学以致用1511.7
如图，一座城墙高11.7m，墙外有一条宽为9m的护
城河，那么一个长为15m的云梯能否到达城墙的顶端？学以致用12m收获平台返回
如图，一座城墙高11.7m，墙外有一条宽为9m的护
城河，那么一个长为15m的云梯能否到达城墙的顶端？学以致用返回收获平台这节课我学会了……
我发现了……
使我体会最深的是……
使我感到困难的是……
我想我将…教师寄语：数学来源于我们的生活，又服务于我们的生活，让我们用心来发现它，用知识来解决它，你会体验到数学给你带来的巨大乐趣！
必做：
习题第1题选做： 课后作业 判断例2中的卡车能否通过隧道，你还有什么方法？ 例2中的隧道改为双车道其他条件不变，卡车还能通
过该隧道吗？
