2026届高三微专题6 概率统计的综合应用 学案（含解析）

2026届高三微专题6 概率统计的综合应用
概率与统计问题主要考查学生的阅读理解能力和数据分析能力.要从已知数表、题干信息中经过阅读分析判断获取关键信息，搞清各数据、各事件间的关系，建立相应的数学模型.概率与统计问题在近几年的高考中背景取自现实，题型新颖，综合性增强.
(
考点
一
概率
统计的综合
)
【典例精讲】
例1.(2025·广东省佛山市模拟)(多选)有一组样本数据，，，，，添加一个数形成一组新的数据，且，则新的样本数据( )
A. 极差不变的概率是 B. 第百分位数不变的概率是
C. 平均值变大的概率是 D. 方差变大的概率是
例2.(2025·山东省·模拟题)某市推行垃圾分类后，环保部门对居民分类准确率进行抽样调查已知该市有甲、乙两个人口数量相等的社区，甲社区开展过多次分类培训，乙社区未开展现从甲社区随机抽取人，乙社区随机抽取人，统计正确分类人数如下：甲社区：人正确分类乙社区：人正确分类假设各社区中每位居民的分类行为相互独立，用频率估计概率．
若从甲社区中任选人，求恰好人正确分类的概率；
依据小概率值的独立性检验，分析两个社区居民对垃圾分类的准确率是否有差异
环保部门从两社区抽取居民的样本中，对不能正确分类的样本，按照分层抽样抽取人，再从这人中选择人进行深度访谈设为人中来自甲社区的人数，求的分布列及数学期望．
参考公式：，其中．
【方法储备】
概率和统计综合问题主要包括：①概率与统计中列联表的综合问题；②概率与统计中线性回归方程的综合问题；③概率与统计指标的综合问题；④概率与简单随机抽样的综合问题；⑤概率与统计图的综合问题等几种类型.
【拓展提升】
练1-1((2025·浙江省温州市·模拟)某学校校医研究温差与本校当天新增感冒人数人的关系，该医生记录了天的数据，且样本中心点为由于保管不善，记录的天数据中有两个数据看不清楚，现用代替，已知，则下列结论正确的是( )
A. 在确定的条件下，去掉样本点，则样本的相关系数增大
B. 在确定的条件下，经过拟合，发现基本符合线性回归方程，则
C. 在确定的条件下，经过拟合，发现基本符合线性回归方程，则当时，残差为
D. 事件“”发生的概率为
练1-2(2025·安徽省六安市月考)某校想了解高二数学成绩在学业水平考试中的情况，从中随机抽出人的数学成绩作为样本并进行统计，频率分布表如表所示．
组号 分组 频数 频率
第组
第组
第组
第组
第组
合计
据此估计这次参加数学考试的高二学生的数学平均成绩；
从这五组中抽取人进行座谈，若抽取的这人中，恰好有人成绩为分，人成绩为分，人成绩为分，人成绩为分，求这人数学成绩的方差；
从人的样本中，随机抽取测试成绩在，内的两名学生，设其测试成绩分别为，．
求事件“”的概率；
求事件“”的概率．
(
考点二
概率
统计与函数的综合
)
【典例精讲】
例3.(2025·重庆市市辖区模拟)我市开展了“暖冬计划”活动，为高海拔地区学校加装供暖器按供暖器的达标规定：学校供暖器的噪声不能超过分贝、热效率不能低于某地采购了一批符合达标要求的供暖器，经抽样检测，这批供暖器的噪声单位：分贝和热效率的频率分布直方图如下图所示：
假设数据在组内均匀分布，且以相应的频率作为概率．
求，的值
如果供暖器的噪声与热效率是独立的，从这批供暖器中随机抽件，求恰有件噪声不超过分贝且热效率不低于的概率当，设供暖器的噪声不超过分贝的概率为，供暖器的热效率不低于的概率为，求的取值范围．
例4.(2025·安徽省合肥市模拟)心流是由心理学家米哈里提出的概念，指人们在进行某项活动时，完全投入并享受其中的状态某中学的学习研究小组为设计创新性学习活动，随机抽取了名学生进行调研，男生与女生的人数之比为，其中女生有名自述活动过程中体验到心流，男生有名没有体验到心流．
完成列联表，依据表中数据，以及小概率值的独立性检验，能否认为学生在创新性学习活动中是否体验到心流与性别有关
在体验到心流的学生中，有两名同学表示特别喜爱这种创新性学习活动，希望参加到进一步的学习中在接下来的进一步学习中，研究小组将每次从体验到心流的学生中不放回的随机抽取名同学参加，记抽取两次后抽中或的概率为，当最大时为何值？请证明你的结论．
参考公式：，其中．
心流 无心流 总计
女生
男生
合计
参考数据：
【方法储备】
概率统计与函数的交汇问题,本质仍是以概率统计为主导，利用函数辅助求解，综合性较强.利用概率统计知识，求解概率、均值、方差等的最值，通常以概率为变量转化为函数问题，建立函数模型，利用单调性求最值.
【拓展提升】
练2-1.(2025·湖北省黄石市·模拟)随着智能手机的普及，手机计步软件迅速流行开来，这类软件能自动记载用户每日健步的步数某市大型企业为了了解其员工每日健步走的情况，从正常上班的员工中随机抽取了人，统计了他们手机计步软件上同一天健步的步数单位：千步，假设每天健步的步数均在千步至千步之间将样本数据分成，，，，，，，，九组，绘制成如图所示的频率分布直方图，并用样本的频率分布估计总体的频率分布．
求图中的值；
设该企业正常上班的员工健步步数单位：千步近似服从正态分布，其中近似为样本的平均数各区间数据用中点值近似计算，取，若该企业恰有万人正常上班的员工，试估计这些员工中日健步步数位于区间范围内的人数；
现从该企业员工中随机抽取人，其中有名员工的日健步步数在千步至千步内的概率为，其中，，，，，当最大时，求的值．
参考数据：若随机变量服从正态分布，则，，．
练2-2(2025·广东省湛江市·模拟)某工生产某电子产品配件，关键接线环节需要焊接，焊接是否成功将直接导致产品“合格”与“不合格”，工厂经过大量后期出广检测发现“不合格”产品和“合格”产品的某性能指标有明显差异，统计得到如下的“不合格”产品和“合格”产品该指标的频率分布直方图：

利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值，将该指标大于的产品判定为“不合格”，小于或等于的产品判定为“合格”此检测标准的漏检率是将“不合格”产品判定为“合格”产品的概率，记为；错检率是将“合格”产品判定为“不合格”产品的概率，记为假设数据在组内均匀分布，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率．
当漏检率时，求临界值和错检率；
设函数，当时，求的解析式．
(
考点三
概率
统计与导数的综合
)
【典例精讲】
例5.(2025·云南省昆明市联考) 某校数学组老师为了解学生数学学科核心素养整体发展水平，组织本校名学生进行针对性检测检测分为初试和复试，并随机抽取了名学生的初试成绩，绘制了频率分布直方图，如图所示．
根据频率分布直方图，求样本平均数的估计值和分位数
若所有学生的初试成绩近似服从正态分布，其中为样本平均数的估计值，初试成绩不低于分的学生才能参加复试，试估计能参加复试的人数
复试共三道题，规定：全部答对获得一等奖答对两道题获得二等奖答对一道题获得三等奖全部答错不获奖已知某学生进入了复试，他在复试中前两道题答对的概率均为，第三道题答对的概率为若他获得一等奖的概率为，设他获得二等奖的概率为，求的最小值．
附：若随机变量服从正态分布，则，，．
例6.(2025·山西省临汾市模拟) 甲流和普通感冒都属于上呼吸道感染，而甲流是流行性感冒中致病力最强的一种流感，在医学检测中发现未接种过流感疫苗者感染该病毒的比例较大某医院选取个有感冒症状的就诊患者作为样本，统计了感染甲流病毒的情况，得到下面的列联表：
接种流感疫苗与否人数 感染甲流病毒 未感染甲流病毒
未接种流感疫苗
接种流感疫苗
根据小概率值的独立性检验，判断感染甲流病毒与接种流感疫苗是否有关
以样本中感染甲流病毒的频率估计概率，现从该医院所有感冒症状就诊者中随机抽取人进行感染甲流病毒人数统计，求至多有人感染甲流病毒的概率
该医院某病房住有位甲流密切接触的病人，医院要对该病房的人员逐一进行甲流病毒检测，若检测结果出现阳性，则该病房人员全部隔离假设该病房每位病人检测结果呈阳性的概率均为且相互独立，记该病房至少检测了位病人才确定需要隔离的概率为，求当为何值时，最大
附：
【方法储备】
概率统计与导数的综合问题上，解题的难点是建立函数模型，如独立性检验统计量、期望方差公式、正态分布函数和用分布列建立其他的函数的模型，利用导数研究单调性.
【拓展提升】
练3-1(2025·福建省漳州市·模拟)某工业流水线生产一种零件，该流水线的次品率为，且各个零件的生产互不影响．
若流水线生产零件共有两道工序，且互不影响，其次品率依次为．
求；
现对该流水线生产的零件进行质量检测，检测分为两个环节：先进行自动智能检测，若为次品，零件就会被自动淘汰；若智能检测结果为合格，则进行人工抽检．已知自动智能检测显示该批零件的合格率为，求人工抽检时，抽检的一个零件是合格品的概率合格品不会被误检成次品．
视为概率，记从该流水线生产的零件中随机抽取个产品，其中恰好含有个次品的概率为，求函数最大值．
练3-2(2025·浙江省杭州市期末)从年底开始，非洲东部的肯尼亚等国家爆发出了一场严重的蝗虫灾情．目前，蝗虫已抵达乌干达和坦桑尼亚，并向西亚和南亚等地区蔓延蝗虫危害大，主要危害禾本科植物，能对农作物造成严重伤害，每只蝗虫的平均产卵数和平均温度有关，现收集了以往某地的组数据，得到下面的散点图及一些统计量的值．
平均温度
平均产卵数个
表中，．
根据散点图判断，与其中，为自然对数的底数哪一个更适宜作为平均产卵数关于平均温度的回归方程类型？给出判断即可，不必说明理由并由判断结果及表中数据，求出关于的回归方程．结果精确到小数点后第三位
根据以往统计，该地每年平均温度达到以上时蝗虫会造成严重伤害，需要人工防治，其他情况均不需要人工防治，记该地每年平均温度达到以上的概率为．
记该地今后年中，恰好需要次人工防治的概率为，求取得最大值时相应的概率；
根据中的结论，当取最大值时，记该地今后年中，需要人工防治的次数为，求的数学期望和方差．
附：对于一组数据，，，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计分别为，．
(
考点四
概率
统计与
数列
的综合
)
【典例精讲】
例7.(2025·吉林省长春市·模拟题)某企业举办企业年会，并在年会中设计了抽奖环节和游戏环节．
抽奖环节：该企业每位员工在年会上都会得到相应的奖金单位：千元，其奖金的平均值为，标准差为经分析，近似服从正态分布，用奖金的平均值作为的近似值，用奖金的标准差作为的近似值，现任意抽取一位员工，求他所获得奖金在的概率
游戏环节：从员工中随机抽取名参加投掷游戏，每位员工只能参加一次，并制定游戏规则如下：参与者掷一枚骰子，初始分数为，每次所得点数大于，得分，否则，得分连续投掷累计得分达到或时，游戏结束．
设员工在游戏过程中累计得分的概率为，求
得分的员工，获得二等奖，奖金元，得分的员工，获得一等奖，奖金元，估计该企业作为游戏奖励的预算资金精确到元
参考数据：，，
，，，
例8.(2025·湖南省株洲市模拟) 足球是一项大众喜爱的运动2026年世界杯将由美国、加拿大和墨西哥联合举办.
为了解喜爱足球运动是否与性别有关，随机抽取了男性和女性各名观众进行调查，得到列联表如下：
喜爱足球运动 不喜爱足球运动 合计
男性
女性
合计
依据小概率值的独立性检验，能否认为喜爱足球运动与性别有关？
校足球队中的甲、乙、丙、丁四名球员将进行传球训练，第次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能的将球传给另外三个人中的任何一人，如此不停地传下去，且假定每次传球都能被接到．记开始传球的人为第次触球者，第次触球者是甲的概率记为，即．
求直接写出结果即可；
证明：数列为等比数列，并判断第次与第次触球者是甲的概率的大小．
【方法储备】
概率统计问题与数列的交汇问题,要准确把题中所涉及的事件进行分解,明确所求问题所属的事件类型是关键.解答此类问题，一是要根据题意建立数列模型；二是熟练的利用已知的求概率的方法进行概率计算.概率与数列的交汇问题的常见类型有：
①求通项公式：关键是找出概率或数学期望的递推关系式,根据数列部分由递推公式求通项公式的方法，求出概率或期望的通项公式；
②利用等差、等比数列的性质,研究单调性、最值或求极限；
③求和：利用数列中的倒序求和、错位求和、裂项求和等方法.
【拓展提升】
练4-1(2025·福建省厦门市·期中考试)
“绿色出行，低碳环保”的理念已经深入人心，逐渐成为新的时尚.甲、乙、丙三人为响应“绿色出行，低碳环保”号召，他们计划每天选择“共享单车”或“地铁”两种出行方式中的一种.他们之间的出行互不影响，其中，甲每天选择“共享单车”的概率为，乙每天选择“共享单车”的概率为，丙在每月第一天选择“共享单车”的概率为，从第二天起，若前一天选择“共享单车”，后一天继续选择“共享单车”的概率为，若前一天选择“地铁”，后一天继续选择“地铁”的概率为，如此往复.
Ⅰ若3月1日有两人选择“共享单车”出行，求丙选择“共享单车”的概率;
Ⅱ记甲、乙、丙三人中3月1日选择“共享单车”出行的人数为X，求X的分布列与数学期望;
Ⅲ求丙在3月份第天选择“共享单车”的概率，并帮丙确定在3月份中选择“共享单车”的概率大于“地铁”的概率的天数.
练4-2(2025·河北省石家庄市·月考试卷)若数列满足，则称数列为k项数列，由所有k项数列组成集合
若是12项数列，当且仅当时，，求数列的所有项的和；
从集合中任意取出两个数列，记
①求随机变量X的分布列，并证明：；
②若用某软件产生项数列，记事件“第一次产生数字1”，“第二次产生数字1”，且若，比较与的大小.
【答案解析】
例1.数的分布列为
当时，极差不变，所以极差不变的概率是，故A正确；
，所以原数据的第百分位数为，
，所以当时，第百分位数不变，
所以第百分位数不变的概率为，故B错误；
原数据的平均值为，当时，平均值变大，所以平均值变大的概率为，故C正确
原数据的方差为，显然，当时，新数据的方差变小，当，，时，新数据的方差变大，
当时，新数据的平均数为，方差为，
同理，当时，新数据的方差为，
所以方差变大的概率是，故D正确．
故选ACD ．
例2.甲社区正确分类概率的估计值为，
按照二项分布的概率公式，恰好人正确分类的概率；
零假设为：两个社区居民对垃圾分类的准确率没有差异；
将样本数据进行整理，得到两个社区居民对垃圾分类的准确率的列联表如下：
社区 正确分类 不正确分类 合计
甲
乙
合计
根据列联表中的数据，经计算得到，
根据小概率值的独立性检验，推断不成立，
即认为两个社区居民对垃圾分类的准确率有差异；
按照分层抽样，应该在甲社区抽取人，在乙社区抽取人，
又人中抽取人，可以取，，，
，，
，
所以的分布列为
的数学期望为．
练1-1.对于，因为样本中心点为，
所以由相关系数公式可知，去掉样本点后，与的样本相关系数不变，故A错误；
对于，因为样本中心点为，
所以，解得，故B错误；
对于，由可得，，
当时，，
故残差为，故C错误；
对于，由题意可得，，
因为样本中心点为，所以，可得．
故包含的事件为，
故事件“”发生的概率为，故D正确．
练1-2.先求得为，为估计高二学生的数学平均成绩为：．
这人数学成绩的平均分为：，
这人数学成绩的方差为：．
由频数分布表知，成绩在内的人数有人，设其成绩分别为，；
在内的人数有人，设其成绩分别为，，，
若，时，只有一种情况；
若，时，有，，三种情况；
若，分别在和内时，有：
共种情况，基本事件总数为种，事件“”所包含的基本事件有种，
．
事件的基本事件只有这一种，．
例3.由，解得，
由，解得
件噪声不超过分贝且热效率不低于的概率为：，
随机抽件，恰有件噪声不超过分贝且热效率不低于的概率为：
当，则，所以，
当时，，当时，，
所以当时，，
当时，，
综上所述，的取值范围为．
例4.因为调查的女生人数为：，所以，调查的男生人数为，
于是可完成列联表如下：
心流 无心流 总计
女生
男生
合计
零假设为在创新性学习活动中体验到心流与否与性别无关根据列联表中的数据，
可得：，
根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，
因此可以认为成立，即创新性学习活动中体验到心流与否与性别无关
当时，的值最大，
，
，
由可知，，
即为增函数，所以当时的值最大．
练2-1.由，
解得，
，
，
估计这些员工中日健步步数位于区间范围内的人数约为人．
设从该企业中随机抽取人日健步步数在千步至千步内的员工有人，则，
，，，，，，
记，
当时，，则
当时，，则，
所以当时，最大．
练2-2.依题可知，第一个图形中第一个小矩形面积为，
所以，
所以，解得临界值，
于是错检率；
当时，，，
所以，
当时，，，
所以，
故．
例5.样本平均数的估计值为，
则．
解得所以样本平均数的估计值为
前三组的频率和为，前四组的频率和为，
第四组的频率为，所以分位数为．
因为学生的初试成绩近似服从正态分布，其中，．
所以所以．
所以估计能参加复试的人数为．
由该学生获一等奖的概率为可知：．
则．
令．．
当时，；当时，．
所以在区间上是减函数，在区间上是增函数．
所以所以的最小值为．
例6.假设为感染甲流病毒与接种流感疫苗无关，
由列联表可知的观测值，
根据小概率值的独立性检验，推断不成立，即认为感染甲流病毒与接种流感疫苗有关．
由题意得，该医院所有感冒症状中感染甲流病毒的概率为，
设随机抽取的人中至多有人感染甲流病毒为事件，
则
，则，
令，则，舍去，
随着的变化，，的变化如下表：
递增 极大值 递减
综上，当时，最大．
练3-1.因为两道生产工序互不影响，
所以
；
记该款芯片自动智能检测合格为事件，人工抽检合格为事件，
且，
则人工抽检时，抽检的一个芯片恰是合格品的概率为
；
因为各个芯片的生产互不影响，
所以，
所以
，
令，得，又，
则，
所以当时，
为单调增函数，
当时，为单调减函数，
所以，当时，取得最大值，
则最大值为
．
练3-2.由散点图可以判断，更适宜作为平均产卵数关于平均温度的回归类型，
对两边取自然对数得，
令，，，则，
因为，，
所以关于的回归方程为，
所以关于的回归方程为．
由，
，
且，当时，，当时，．
所以函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，
所以函数在处取得极大值，即最大值，故；
由可知，当时，取最大值，
又，则，由题意可知，
故，．
例7(1)由题意X~N(30,25),
P(35X<40)=P(u+X< u+2)==0.1359；
(2)由题意=+，
则-=(-k)+,
则，解得k=1或k=-,
选k=1时,-=-(-)，
由=,=+=，
则-=，
-=，
…
-=
-==，
=+=+(n9)，
当n=10时,==(+)=-，
综上=；
S=100040+200040
=40000[+(-5.081)]+80000[-(-5.081)]50001元.
即估计游戏奖励的预算资金为50001元.
例8.假设：喜爱足球运动与性别独立，即喜爱足球运动与性别无关，
，
根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，
即认为喜爱足球运动与性别有关，此推断犯错误的概率不超过．
由题意；
第次触球者是甲的概率记为，
则当时，第次触球者是甲的概率为，
第次触球者不是甲的概率为，
则，从而，
又，是以为首项，公比为的等比数列，
则，
，，
，故第次触球者是甲的概率大．
练4-1.Ⅰ记甲、乙、丙三人3月1日选择“共享单车”出行分别为事件A，B，C，记三人中恰有两人选择“共享单车”出行为事件D，
则
，
，
所以，
即若3月1日有两人选择“共享单车”出行，丙选择“共享单车”的概率为
Ⅱ由题意可知，X的所有可能取值为0，1，2，3，
则，
，
，
，
所以X的分布列为
故，
即X的数学期望为
Ⅲ由题意得，
则，
所以，
所以
又因为，所以数列是以为首项，为公比的等比数列，
所以
由题意知，3月份中选择“共享单车”的概率大于“地铁”的概率需满足，即，
则，即，
当n为偶数时，显然不成立，
当n为奇数时，不等式可变为，
当时，成立;
当时，成立;
当时，，
则时，不成立.
又因为函数单调递减，
所以当时，不成立，
所以只有在第1天和第3天时，，
所以丙在3月份中选择“共享单车”的概率大于“地铁”的概率的天数只有2天.
练4-2.因为是12项数列，当且仅当时，，
所以当和时，
设数列的所有项的和为S，
则
所以数列的所有项的和为
①证明：因为数列是从集合中任意取出的两个数列，
所以数列为k项数列，
所以X的可能取值为：
因为集合中元素的个数共有个，
当时，则数列中有m项取值不同，有项取值相同，
所以，
所以随机变量X的分布列为：
X 1 2 3 k
P
因为，
所以
，
即
②由条件得：，
所以，
化简得：，
所以，
则
即，
所以，即