第4节 万有引力理论的成就
[精读探究·纵横拓展]
1、万有引力在天文学上的应用：
○理要点：
把天体的运动看成是匀速圆周运动，其所需的向心力由万有引力提供。
天体质量M、密度ρ的估算。
（R为中心天体的半径）
在卫星贴近天体表面飞行时R＝r，故
○悟方法：
（1）研究天体运动的理论依据
我们现在对天体运动的计算只能是近似运算，所以我们把天体的运动看做是由万有引力提供向心力的匀速圆周运动。
（2）相关公式
研究天体运动：
研究天体表面物体重力：
（3）卫星作匀速圆周运动各物理量随轨道半径的变化情况
由得：即随着轨道半径的增加，作匀速圆周运动的卫星的向心力和向心加速度都减小。
由得：即随着轨道半径的增加，作匀速圆周运动的卫星的线速度减小。
由得：即随着轨道半径的增加，作匀速圆周运动的卫星的角速度减小。
由得：随着轨道半径的增加，作匀速圆周运动的卫星的周期增大。
（4）估算天体的质量
当做圆周运动的天体绕中心天体运行时，只需知道其轨道半径和运行周期，即可求得该中心天体的质量。
由得： 其中M即为中心天体的质量。
（5）估算天体的密度
由 代入 和 可得 其中R为中心天体的半径。当匀速圆周运动的天体绕中心天体表面运行时，，则。
说明：（1）在求天体质量时，只能求出中心天体的质量，不能求出环绕天体的质量。
（2）应掌握地球的公转周期、地球的自转周期、月球的周期等，在估算天体质量时，应作为已知条件。
（6）发现新天体
凭借着万有引力定律，通过计算与观察，在笔尖下发现了新天体，这充分的显示了科学理论的威力。在浩瀚的宇宙中，还有许多的未知领域，同学们应该刻苦学习理论知识，掌握一些科学的研究方法，为了人类的发展，去发现更多的奥秘。
[读题悟法·思维激活]
○读题型组
题型一：利用行星估算中心天体的质量
例1：为了研究太阳演化进程，需知道目前太阳的质量M。已知地球半径，地球质量，日地中心距离，地球表面处的重力加速度，1年约为，试估算目前太阳的质量M（保留一位有效数字，引力常量未知）
读思路：根据太阳对地球的引力提供地球绕太阳做圆周运动的向心力列出相关方程，再根据地球表面重力等于万有引力列出方程联立求解。
规范解：
设T为地球绕太阳运动的周期，则由万有引力定律和动力学知识得
对地球表面物体又有
两式联立得
代入数据得
题后小结：不能将地球质量和地球表面物体的质量混为一谈。在引力常量未知的情况下应能利用题目中的已知量来求得。
题型二：估算天体的密度
例2：一艘宇宙飞船飞近某一个不知名的行星，并进入靠近该行星表面的圆形轨道，宇航员进行预定的考察工作。宇航员能不能仅用一只表通过测定时间来测定该行星的密度？说明理由及推导过程。
读思路：本题不需要具体确定M和R，只需求出即可，而该比值可用宇宙飞船绕行星运行的周期表达，周期可用表测出。
规范解：使宇宙飞船靠近行星表面做匀速圆周运动，设行星的质量为M，宇宙飞船质量为m，行星半径为r，测出飞船运行周期T
所以
又行星的体积
所以
即宇航员只需测出T就能求出行星的密度。
题后小结：
题型三：万有引力定律与角速度、周期等
例3：如果到某一天，因某种原因地球自转加快，则地球上物体重量将发生怎样的变化？当角速度等于多少时，赤道上的物体重量为零？
（，，）。
读思路：重力是万有引力的分力，地球上物体随地球自转作圆周运动的向心力由万有引力的分力提供，引力的另一分力为重力。在赤道上的物体万有引力、重力和向心力在一条直线上，结合其特点和题中条件可知重力为零时，万有引力充当向心力。
规范解：由以上分析可知，地球自转加快，重力减小。
当重力为零时有
则
代入数值得
题后小结：在通常情况中，物体随地球自转所作的圆周运动所需向心力很小，故可在近似计算中认为万有引力等于重力。但若要考虑自转的影响时则不能近似处理。
○读高考题
例4、（06四川）荡秋千是大家喜爱的一项体育活动。随着科技的迅速发展，将来的某一天，同学们也许会在其它星球上享受荡秋千的乐趣。假设你当时所在星球的质量是M、半径为R,可将人视为质点，秋千质量不计、摆长不变、摆角小于90°，万有引力常量为G。那么，
该星球表面附近的重力加速度g星等于多少？
若经过最低位置的速度为v0,你能上升的最大高度是多少？
读思路：本题的关键是确定星球表面的重力加速度，与在地球表面的求解方法相似。
规范解：(1)设人的质量为m,在星球表面附近的重力等于万有引力，有
mg星= ①
解得 g星= ②
设人能上升的最大高度为h,由功能关系得
mg星h= ③
解得 h= ④
题后小结：本题以“秋千”为情景立意命题，涉及了万有引力定律和功能关系的知识，题目很基础，但考查了考生运用基础知识分析综合问题的能力。
例5、（06全国1）我国将要发射一颗绕月运行的探月卫星“嫦娥1号”。设该卫星的轨道是圆形的，且贴近月球表面。已知月球的质量约为地球质量的，月球的半径约为地球半径的,地球上的第一宇宙速度约为7.9km/s，则该探月卫星绕月运行的速率约为
A.0.4km/s B.1.8km/s C.11km/s D.36km/s
读思路：本题的关键是确定星球表面的重力加速度，并结合圆周运动的规律及第一宇宙速度的计算公式处理。
规范解：B
题后小结：本题涉及圆周运动和天体知识，考察了天体表面重力加速度、第一宇宙速度及天体质量与半径的关系，要求学生能熟练运用物理量之间的关系来处理问题。
例6、一飞船在某行星表面附近沿圆轨道绕该行星飞行。认为行星是密度均匀的球体，要确定该行星的密度，只需要测量 A.飞船的轨道半径 B.飞船的运行速度 C.飞船的运行周期 D.行星的质量 读思路：万有引力提供向心力，则
所以
由于飞船在行星表面附近飞行，其运行轨道半径近似为行星的半径，行星的体积
所以
规范解：：C
题后小结：本题涉及的知识点是万有引力定律的应用，考察了考生灵活选择公式解决物理问题的能力。
四、万有引力理论的成就
［要点导学］
1．计算天体质量（或密度）。应用万有引力定律计算天体质量的基本思路和方法是将围绕某天体的行星的运动看成圆周运动，根据行星运动的向心力由它们间的万有引力提供建立方程，求出天体质量（或密度）。
(1)在不考虑地球自转的影响时，地面上物体受到的引力大小等于物体的重力。利用。解得地球质量_________。卡文迪许用扭秤测量了铅球间得作用力大小，得到了引力常量G，进而计算了地球的质量。从而使得万有引力定律进入定量计算领域，有了更实用的意义。
(2)根据卡文迪许计算地球质量的思路，我们还可以计算天体表面的重力加速度，某行星表面物体受到行星的引力大小等于物体在该行星表面的重力，解得:。式中M为行星质量，R为行星半径
（3）行星绕太阳做匀速圆周运动的向心力是由它们之间的万有引力提供的，由此可以列出方程，从中解出太阳的质量。
（4）假如一个近地卫星（离地高度忽略，运动半径等于地球半径R）的运行周期是T。有:，解得地球质量为___________;由于地球的体积为可以计算地球的密度为:______________.
2．发现未知天体等：
问题的发现：天文学家在用牛顿的引力理论分析天王星运动时，发现用万有引力定律计算出来的天王星的轨道与实际观测到的结果不相符，发生了偏离。
两种观点：一是万有引力定律不准确；二是万有引力定律没有问题，只是天王星轨道外有未知的行星吸引天王星，使其轨道发生偏离。
亚当斯和勒维耶的计算及预言：亚当斯和勒维耶相信未知行星的存在（即第二种假设）。他们根据天王星的观测资料，各自独立地利用万有引力定律计算出这颗“新”行星的轨道。
伽勒的发现：1846年，德国科学家伽勒在勒维耶预言的位置附近发现了海王星。和预言的位置只差1度。在理论指导下进行有目的的观察，用观察到的事实结果验证了万有引力定律的准确性。1930年，汤姆根据洛韦尔对海王星轨道异常的分析，发现了冥王星。未知天体的发现是根据已知天体的轨道偏离，由万有引力定律推测并计算未知天体的轨道并预言它的位置从而发现未知天体。
［范例精析］
例1：地球和月球的中心距离大约是r=4×108m，试估算地球的质量。估算结果要求保留一位有效数字。
解析：月球是绕地球做匀速运动的天体，它运动的向心力由地球对它的引力提供。根据牛顿定律和万有引力定律，可以列式求出地球质量。月球绕地球运动的周期约为27.3天，由于本题是估算，且只要求结果保留一位有效数字，可以取月球周期T=30天。
设地球质量为M，月球质量为m，有
得到地球质量
拓展：本题主要是依据课本计算太阳质量的思路和方法进行计算，从中体会解题思路和方法。由于有关天体的数据计算比较复杂，要注意细心、准确，提高自己的估算能力。
例2：已知地球半径R约为6.4×106m，地球质量M约为6×1024kg，引力常量G为6.67×10-11Nm2/kg2，近地人造地球卫星的周期T近约为85min，估算月球到地心的距离。
解析：本题的研究对象为月球，可以认为它绕地球做匀速圆周运动，圆周运动的向心力由地球对它的引力提供。本题还可以用到一个常识，即月球的周期T为一个月，约为30天。
解法一：对月球，万有引力提供向心力，有
（m为月球质量）
得：
答：月球到地心的距离为4×108m。
解法二：对月球有
设地面上有一物体质量为m’，在不考虑地球自转时有
，得，
代入上式得到
答：月球到地心的距离为4×108m。
解法三：利用开普勒第三定律求解：
得:
=4×108m
答：月球到地心的距离为4×108m。
拓展：本题方法一和方法二，仍然依据“将天体运动看成圆周运动，天体和中心天体间得万有引力提供向心力”的思路解题。方法一利用地球质量和引力常量，方法二运用地球表面物体的重力近似等于引力，作了替换。这种方法常常会被采用。方法三则运用开普勒第三定律解决勒问题。学习中要开阔思路，多练习从不同角度去思考问题。
例3：两个星球组成双星，它们在相互之间的万有引力作用下，绕连线上某点做周期相同的匀速圆周运动。现测得两星中心距离为R，其运动周期为T，求两星的总质量。
解析:双星之间的相互引力提供它们做匀速圆周运动的向心力，由于向心力总指向圆心，所以圆心在两星的连线上，且它们的角速度相同。如图所示，虚线圆是它们的轨道。
设它们的质量分别是m1、m2，两星到圆心的距离分别是L1、L2，做圆周运动的周期为T，根据万有引力提供向心力，有
由于
解得：
拓展：对于这种问题，不仅要明确万有引力提供向心力，还要注意到天体运动的特点和空间位置分布，特别要注意，万有引力中的距离L和两星做圆周运动的半径L1、L2之间的区别。另外要明确两星运动之间的联系，即向心力、周期相同。
1．人造地球卫星A和B,它们的质量之比为mA：mB=1：2,它们的轨道半径之比为2:1,则下面的结论中正确的是（BC）.
A.它们受到地球的引力之比为FA：FB=1：1
B.它们的运行速度大小之比为vA：vB=1：
C.它们的运行周期之比为TA：TB=2：1
D.它们的运行角速度之比为ωA：ωB=3：1
2．离地面高度h处的重力加速度是地球表面重力加速度的1/2，则高度是地球半径的（D）
A. 2倍 B.1/2倍 C. 倍 D.（－1）倍
3．由于地球自转，又由于地球的极半径较短而赤道半径较长，使得在地球表面的同一物体受到的重力（A）
A.在两极较大 B.在赤道较大
C.在两极跟在赤道一样大 D.无法判断
4．为了计算地球的质量必须知道一些数据，下列各组数据加上已知的万有引力常量为G，可以计算地球质量的是（BC）
A．地球绕太阳运行的周期T和地球离太阳中心的距离R
B．月球绕地球运行的周期T和月球离地球中心的距离R
C．人造地球卫星在地面附近运行的速度v和运行周期T
D．地球自转周期T和地球的平均密度ρ
5．一艘宇宙飞船在一个星球表面附近作圆形轨道环绕飞行，宇航员要估测该星球的密度，只需要（C）
A.测定飞船的环绕半径
B.测定行星的质量
C.测定飞船的环绕周期
D.测定飞船的环绕速度
6．在绕地球圆形轨道上运行的卫星里，下列可能产生的现象是（D）
A.在任何物体轻轻放手后，就地停着不动，不需要支承
B.物体抛出后，将在封闭卫星内壁碰撞而往返运动
C.触动一下单摆的摆球，它将绕悬点做匀速圆周运动
D.摩擦力消失
7．对某行星的一颗卫星进行观测，已知它运行的轨迹是半径为r的圆周，周期为T.则该行星质量为______________；若测得行星的半径为卫星轨道半径的1/4，则此行星表面重力加速度为______________。
8．已知月球绕地球运行的轨道半径是地球半径的60倍，求月球环绕地球运行的速度.已知第一宇宙速度为7.9km/s.
1.0km/s
9．太阳对木星的引力是4.17×1023N，它们之间的距离是7.8×1011m，已知木星质量约为2×1027kg，求太阳的质量.
1.9×1030kg
10．已知太阳光照射到地球历时8分20秒，万有引力恒量为6.67×10-11Nm2/kg2.试估算太阳质量(保留一位有效数字).
2.0×1030kg
11．在天文学中，把两颗相距很近的恒星叫双星，这两颗星必须以一定的速度绕某一中心转动，才不至于被万有引力吸引到一起。已知两星的质量分别为m1和m2，距离为L，求两恒星转动中心的位置。
离m1距离
12．某一行星上一昼夜为T＝6h.若弹簧秤在其赤道上比在两极处读数小了10%，试计算此行星的平均密度ρ.万有引力恒量G＝6.67×10-11N·m2/kg2.
3×103kg/m3
6.4万有引力理论的成就
新课教学
(一)用投影片出示本节课的学习目标?
1.利用万有引力等于向心力求出中心天体的质量.?
2.了解万有引力定律在天文学上的应用.?
(二)学习目标完成过程?
学生阅读有关内容?
提问：行星绕太阳运动的向心力是什么？?
回答：太阳对行星的万有引力提供向心力.?
老师：如果我们知道某个行星与太阳之间的距离是r,T是行星公转的周期，列一下方程,能否求出太阳的质量M呢？?
1.设行星的质量为m.根据万有引力提供行星绕太阳运动的向心力，有：?
F向=F万有引力=
即
对于一个天体，M是一个定值.所以，绕太阳做圆周运动的行星都有.即开普勒第三定律.?
老师总结：应用万有引力定律计算天体质量的基本思路是：根据行星（或卫星）运动的情况，求出行星（或卫星）的向心力，而F向=F万有引力?.根据这个关系列方程即可.?
例如：已知月球到地球的球心距离为r=4×108m,月亮绕地球运行的周期为30天，求地球的质量.?
解：月球绕地球运行的向心力即月地间的万有引力 即有：?
F向=F引=
得：
(2)求某星体表面的重力加速度.?
例：一个半径比地球大2倍，质量是地球的36倍的行星，它表面的重力加速度是地球表面的重力加速度的?
?A.6倍 B.18倍 C.4倍 Ｄ.13.5倍??
分析：在星体表面处，F引≈mg.所以，在地球表面处：
在某星球表面处：
∴
即正确选项为C.?
学生自己总结：求某星球表面的重力加速度，一般采用某物体在星体表面受到的重力等于其万有引力.一般采用比例计算法.?
练习：金星的半径是地球的0.95倍，质量是地球的0.82倍，金星表面的重力加速度是多大？?
3.发现未知天体?
万有引力对研究天体运动有着重要的意义.海王星、冥王星就是这样发现的.请同学们推导：已知中心天体的质量及绕其运动的行星的运动情况，在太阳系中，行星绕太阳运动的半径r为：?
根据F万有引力=F向=,而F万有引力=,两式联立得：?
在18世纪发现的第七个行星——天王星的运动轨道，总是同根据万有引力定律计算出来的有一定偏离.当时有人预测，肯定在其轨道外还有一颗未发现的新星.后来，亚当斯和勒维列在预言位置的附近找到了这颗新星.后来，科学家利用这一原理还发现了许多行星的卫星，由此可见，万有引力定律在天文学上的应用，有极为重要的意义.?
三、巩固练习?
1.将一物体挂在一弹簧秤上，在地球表面某处伸长30mm,而在月球表面某处伸长5mm.如果在地球表面该处的重力加速度为9.84 m/s2,那么月球表面测量处相应的重力加速度为
?A.1.64 m/s2 B.3.28 m/s2
C.4.92 m/s2 D.6.56 m/s2??
2.地球是一个不规则的椭球，它的极半径为6357km，赤道半径为6378km，物体在两极所受的引力与在赤道所受的引力之比为?
参考答案：?
1.A 2. 1.0066??
四、小结（用投影片出示）?
这节课我们主要掌握的知识点是：?
1.万有引力定律在天文学中的应用，一般有两条思路：?
(1)F万有引力=环绕体所需的向心力?
(2)地面（或某星球表面）的物体的重力=F万有引力.?
2.了解万有引力定律在天文学中具有的重要意义.?
五、作业?
（一）课本P１１０（1）?
（二）思考题：已知地球的半径为R，质量为M地，月球球心到地球球心的距离r月地=60 R，r月地=3.8×108米，月球绕地球运行周期T=27.3天，地球对物体的重力加速度g０=9.8m/s2，试证明地球对月球的引力和地球对其附近物体的引力是同性质的力，都是万有引力.?
参考答案：?
月球绕地球做半径为r月地的匀速圆周运动，如果提供月球做匀速圆周运动的向心力与地球对物体的引力是同性质的力，则由牛顿运动定律可得月球绕地球做圆周运动的向心加速度a月为：
a月=
地球上物体的重力加速度g为?
由月球绕地球做匀速圆周运动所需的向心加速度公式可知：?
已知地球表面的重力加速度g0=9.8m/s2??
则
即
由此可知，由月球以及地球附近的物体绕地球做匀速圆周运动所需的向心加速度之比，跟由同性质的万有引力对它们提供的向心力所获得的向心加速度之比近似相等.所以，地球对月球的引力跟地球对其附近物体的引力是同性质的力，而且都是万有引力.?
六、板书设计?
第四节 万有引力定律在天文学上的应用?
一、1.天体质量的计算
(只能求出中心体的质量)?
2.求某星体表面的重力加速度.?
(R为星体的半径)?
二、发现未知天体：（已知中心体的质量及环绕体的运动）?
七、素质能力训练?
1.已知下面的数据，可以求出地球质量M的是（引力常数G是已知的）?
A.月球绕地球运行的周期T1及月球到地球中心的距离R1?
?B.地球“同步卫星”离地面的高度?
?C.地球绕太阳运行的周期T2及地球到太阳中心的距离R2?
?D.人造地球卫星在地面附近的运行速度v和运行周期T3?
2.以下说法正确的是?
?A.质量为m的物体在地球上任何地方其重力均相等?
?B.把质量为m的物体从地面移到高空，其重力变小了?
?C.同一物体在赤道处的重力比在两极处大?
?D.同一物体在任何地方其质量都是相同的?
3.下列说法正确的是?
?A.海王星和冥王星是人们依据万有引力定律计算的轨道而发现的?
B.天王星是人们依据万有引力计算的轨道而发现的?
C.天王星的运行轨道偏离根据万有引力计算出来的轨道，其原因是由于天王星受到轨道外面其他行星的引力作用?
D.以上均不正确??
4.站在赤道上的人随地球自转做匀速圆周运动，提供向心力的是?
A.重力和支持力
B.万有引力和支持力?
C.重力、静摩擦力和支持力
D.万有引力、静摩擦力和支持力??
5.地球和月球的质量之比为81∶1,半径之比为4∶1，求：?
（1）地球和月球表面的重力加速度之比.
（2）在地球上和月球上发射卫星所需最小速度之比.?
6.某人在某一星球上以速率v竖直上抛一物体，经t秒钟落回抛出点，已知该星球的半径为R，若要在该星球上发射一颗靠近该星运转的人造星体，则该人造星体的速度大小为多少？?
7.一艘宇宙飞船绕一个不知名的、半径为R的行星表面飞行，环绕一周飞行时间为T.?求：该行星的质量和平均密度.?
参考答案：?
? 1.AD 2.BD 3.AC 4.B 5.（1）81∶16 （2）9∶2??
6.速度等于
7.解：设宇宙飞船的质量为m，行星的质量为M.宇宙飞船围绕行星的中心做匀速圆周运动，其向心力由万有引力提供.?
∴ ∴
又 ∴
课件55张PPT。第六章 万有引力与航天第四节 万有引力理论的成就1.掌握测量天体质量的方法．
2．了解发现未知天体的过程．
3．了解万有引力定律在天文学上的重要应用.重力 万有引力 万有引力 周期 轨道半径 周期 轨道半径． 万有引力定律 轨道 海王星 冥王星 2．天体质量计算的几种方法
万有引力定律从动力学角度解决了天体运动问题．天体运动遵循与地面上物体相同的动力学规律．行星(或卫星)的运动可视为匀速圆周运动，由恒星对其行星(或行星对其卫星)的万有引力提供向心力．
应用万有引力定律，不仅可以计算太阳的质量，还可以计算其他天体的质量．下面以地球质量的计算为例，介绍几种计算天体质量的方法：答案：9.6×1025 kg答案：1.96×1030kg答案：5.5×103 kg/m31.天文学家根据观察研究得出：银河系中心可能存在一个大“黑洞”，距“黑洞”6×109km的星球以2.0×106 m/s速度绕它旋转．已知万有引力常量G＝6.67 ×10－11N·m2/kg2，求该“黑洞”的质量．答案：3.6×1035 kg答案：3.01×103 kg/m34．土星周围有许多大小不等的岩石颗粒，其绕土星的运动可视为圆周运动．其中有两个岩石颗粒A和B与土星中心距离分别为rA＝8.0×104km和rB＝1.2×105km.忽略所有岩石颗粒间的相互作用．(结果可用根式表示)
(1)求岩石颗粒A和B的线速度之比；
(2)求岩石颗粒A和B的周期之比；(3)土星探测器上有一物体，在地球上重为10N，推算出它在距土星中心3.2×105km处受到土星的引力为0.38N．已知地球半径为6.4×103km，请估算土星质量是地球质量的多少倍？
