第4节 万有引力理论的成就
人教版教参补充题
1.据报道，最近在太阳系外发现了首颗“宜居”行星，其质量是地球质量的6.4倍，一个在地球表面重量为600 N的人在这颗行星表面的重量变为960 N，由此可推知该行星的半径与地球半径之比约为（ ）
A.0.5 B.2 C.3.2 D.4
解析：由mg=G
代入得=×
又因为=
解得=2。
答案:B
2.据媒体报道，嫦娥一号卫星环月工作轨道为圆轨道，轨道高度为200 km，运行周期为127 min。若还知道引力常量和月球平均半径，仅利用以上条件不能求出的是（ ）
A.月球表面的重力加速度
B.月球对卫星的吸引力
C.卫星绕月球运行的速度
D.卫星绕月运行的加速度
解析：由M=解得月球的质量，由g=可求得月球表面的重力加速度，选项A正确；由v=可求卫星绕月球运行的速度，选项C正确；由a=可求卫星绕月运行的加速度，选项D正确；由于卫星的质量未知，因此不能求月球对卫星的吸引力，选项B错误；综上所述，本题应选B。
答案：B
3.宇航员在地球表面以一定的初速度竖直上抛一个小球，经过时间t小球落回原处；若他在某星球表面以相同的初速度竖直上抛同一小球，需经过时间5t小球落回原处。（取地球表面重力加速度g=10 ，空气阻力不计)
（1)求该星球表面的重力加速度g′；
（2)已知该星球的半径与地球半径之比为：=1∶4，求该星球的质量与地球质量之比：。
解析：（1）由运动学规律知
=①
=②
由以上两式解得g′=0.2g=2
（2）由g=知，
因此有：=×=1∶80。
答案：（1）2 （2）1∶80
4.天文学家将相距较近、仅在彼此的引力作用下运行的两颗恒星称为双星。双星系统在银河系中很普遍。利用双星系统中两颗恒星的运动特征可推算出它们的总质量。已知某双星系统中两颗恒星围绕它们连线上的某一固定点分别做匀速圆周运动，周期均为T，两颗恒星之间的距离为r，试推算这个双星系统的总质量。（引力常量为G)
解析：由万有引力提供向心力知
又因为=r
联立以上各式可得=。
答案：
其他版本的题目
广东教育版
假定地球绕太阳做匀速圆周运动，周期为365天，地球到太阳的距离为 m，取G＝ N·，求太阳的质量。
解析：M== kg
答案： kg
山东科技版
1970年，我国发射的第一颗人造地球卫星，运行周期是114 min，卫星轨道的平均半径为7 782 km，请据此计算地球的质量。
解析：M== kg。
答案： kg
上海科技教育版
1.一艘宇宙飞船沿着围绕未知天体的圆形轨道飞行，航天员只用一块秒表，能测量出的物理量是（ ）
A.飞船的线速度 B.飞船的角速度
C.未知天体的质量 D.未知天体的密度
解析：航天员可用秒表测量宇宙飞船绕该天体运动的周期T，由ω=可确定飞船的角速度，选项B正确。由ρ=可确定未知天体的密度，选项D正确；由于不知道未知天体的半径，因此无法确定选项A、C中的物理量。
答案：BD
2.已知引力常量，下列条件中能算出地球质量的是（ ）
A.已知地球绕太阳运动的轨道半径和地球表面的重力加速度
B.已知近地卫星的周期和它的向心加速度
C.已知卫星轨道半径和运动周期
D.已知卫星质量和它离地面的高度
解析：由于a=、M=且已知a、T，因此可求得地球的质量M，选项B正确；由M=可知，选项C正确。
答案：BC
3.一位航天员来到一颗未知星球上，资料给出该星球的半径为R，请设计一个实验，利用秒表和刻度尺估算出该星球的质量（引力常量G已知）。
解析：在该未知星球上，让一小球做自由落体运动，用刻度尺和秒表分别测出其下落高度h和下落时间t,由此可计算出该星球表面的重力加速度g=，因此该星球的质量M==。
答案：见解析
教育科学版
1.已知海王星的直径为地球的4倍，海王星表面的重力加速度与地球表面的重力加速度大致相等，求海王星的质量。（已知地球半径约为6 400 km）
解析：由M== kg
答案： kg
2.登月舱在离月球表面112 km的高空环绕月球运行，运行周期为120.5 min。已知月球半径约为 km,试估算月球质量。（不考虑地球对登月舱的作用力）
解析：M== kg
答案： kg
补充材料
一、解答天体运行问题的“一、二、三”法
1.一个近似
天体稳定运行的实际轨道大多是椭圆的，但在中学阶段，分析天体及卫星运动问题时，常将天体运行的轨道近似地看成是圆形轨道，即天体运行的物理模型是匀速圆周运动。
2.两个关系式
一个是万有引力提供天体做圆周运动的向心力：G=ma；另一个是某星球表面物体的重力近似等于物体所受的万有引力：G=mg，化简为，此式常称为黄金代换（式中的R为该星球的半径，M为该星球的质量，g为该星球表面的重力加速度)。
3.三个常用公式
假设某中心天体的质量为M，绕其运转的天体质量为m，向心加速度为a，线速度为v，角速度为ω，周期为T，轨道半径为r，由牛顿第二定律可将各物理量联系起来，即：G=m，G，G=mr，进而得出三个常用的关系式，即：v= ，ω=,T=2π 。
例1一行星绕恒星做圆周运动。由天文观测可得，其运动周期为T，速度为v，引力常量为G，则（ ）
A.恒星的质量为
B.行星的质量为
C.行星运动的轨道半径为
D.行星运动的加速度为
解析：由恒星对行星的万有引力提供行星做圆周运动的向心力得G=m①
而v=②
联立①②可解得恒星的质量M=③
选项A正确；
由已知条件无法求解行星的质量，选项B错误；
由②可解得，行星的运动轨道半径
R=④
选项C正确；
加速度a=⑤
联立②⑤可解得，行星运动的加速度a=，选项D正确。
答案：ACD
说明：从求解天体质量的两种方式来看，本题既不知道行星的半径及其表面的重力加速度，也没有给出绕行星做圆周运动的天体的运行情况，所以无法求解该行星的质量。
二、天体质量和密度的计算方法（以地球为例）
1.“g、R”计算法
若已知地球半径为R和地球表面的重力加速度g，依G=mg得，地球质量M=。
因此，地球密度ρ==。
2.“T、r”计算法
若已知地球的卫星（如月球、神舟飞船等)绕地球运转的周期T和轨道半径r，则由万有引力提供向心力可得：G=mr，求得地球质量M=。
地球的密度ρ==，若某一卫星绕地球在近地轨道做圆周运动，则r≈R，此时有ρ=，只需要测定卫星的运行周期便可求得地球的密度了。
例2天文学家新发现了太阳系外的一颗行星。这颗行星的体积是地球的4.7倍，质量是地球的25倍。已知某一近地卫星绕地球运动的周期约为1.4小时，引力常量 N·,由此估算该行星的平均密度为（ ）
解析：设该星球和地球的质量、半径、体积分别是和,和,和，则该星球的平均密度为=
地球的平均密度为=
所以==
对于地球的近地卫星有G=m
又=，所以=
故=
=
。
答案：D
点评：本题的关键点是如何先确定地球的密度，然后利用行星的密度与地球密度的关系确定行星的密度。有些同学抓不住这一关键点同时又不知道如何利用近地卫星求解地球的质量。既然是近地卫星，则存在卫星的轨道半径近似等于地球半径这一隐含条件。这样就可以利用G=m 求解地球的质量了。
班级_________ 组别_________ 座号_________ 姓名_________
学习目标
1.了解行星绕恒星运动及卫星绕行星运动的共同点：万有引力提供行星、卫星做圆周运动的向心力。
2.了解万有引力定律在天文学上的重要应用。
3.会用万有引力定律计算天体的质量、环绕速度及环绕周期。
重点：1.人造卫星、月球绕地球的运动；行星绕太阳运动的向心力是由万有引力提供的。
2.会用万有引力定律计算中心天体的质量。
难点：在具体的天体运动中应用万有引力定律解决问题。
教学方法 ：导学案教学
学习过程
一．课前预习，自主学习检测
(一)通过万有引力定律“称量”地球的质量
1.思路：若不考虑地球_____的影响，地面上质量为m的物体所受的重力mg等于地球对物体的_____。
2.公式：mg= 。
3.地球的质量:M= 。
(二)计算天体的质量
1.行星绕太阳做匀速圆周运动的向心力是由行星与太阳之间的_________提供的。
2.已知卫星绕行星运动的______和卫星与行星之间的______，可以算出行星的质量
M= 。
【判一判】
(1)天王星是人们直接应用万有引力定律计算出轨道而发现 ( )
(2)重力就是万有引力。( )
(3)牛顿被称作第一个称出地球质量的人。( )
(4)若已知某行星绕太阳公转的半径为r，公转的周期为T，万有引力常量为G，则可求出太阳的质量。( )
二．课堂导学，小组合作探究
主题主题一：称量地球的质量
1.卡文迪许在实验室里测量几个铅球之间的作用力，测出了引力常量G的值，从而“称量”出了地球的质量。测出G后,他是怎样“称量”地球的质量的呢？
（点拨：忽略地球自转的影响，地面上物体的重力等于地球与物体间的万有引力）
2.已知地面附近的重力加速度g=9.8 m/s2,地球半径R=6.4×106 m，引力常量G=6.67×10-11 N·m2/kg2,试估算地球的质量
3.【变式训练】一名宇航员来到某一星球上，如果该星球质量为地球的一半，它的直径也为地球的一半，那么这名宇航员在该星球上的重力是他在地球上重力的( )
A．4倍 B．0.5倍 C．0.25倍 D．2倍
主题二:计算天体的质量
1.如果不知道天体表面的重力加速度，而知道它的卫星做圆周运动的相关量，能计算出天体的质量吗？比如：
(1)已知月球绕地球做匀速圆周运动的线速度v和轨道半径R；
(2)已知月球绕地球做匀速圆周运动的周期T和轨道半径R；
(3)已知月球绕地球做匀速圆周运动的周期T和线速度v。
【思路分析】月球绕地球实际是沿椭圆轨道运动的,而我们在通常情况下可以把月球的运动轨道近似处理为圆形轨道,即认为天体在做匀速圆周运动。利用地球对月球的万有引力提供向心力，结合适当向心力公式求解。
2.应用天体运动的动力学方程——万有引力充当向心力求天体质量时，能否求出环绕天体的质量?
【探究归纳】求中心天体质量的基本思路
天体绕中心天体的运动近似为匀速圆周运动，万有引力充当向心力，列方程求中心天体质量。
【规律方法总结】解决天体问题的两条基本思路
(1)物体在地球(或天体)表面时的重力近似等于它所受到的万有引力
(2)将行星绕恒星、卫星绕行星的运动均视为匀速圆周运动，所需要的向心力由万有引力提供
三. 随堂检测,分层达标训练 【基础达标】 随堂用10分钟完成
1.由下列哪一组物理量可以计算地球的质量( )
A．月球的轨道半径和月球的公转周期 B．月球的半径和月球的自转周期
C．卫星的质量和卫星的周期 D．卫星离地面的高度、卫星的周期和地球的半径
2.火星的质量和半径分别约为地球的和，地球表面的重力加速度为g，则火星表面的重力加速度约为( ) A．0.2g B．0.4g C．2.5g D．5g
3.一飞船在某行星表面附近沿圆轨道绕该行星飞行，认为行星是密度均匀的球体，要确定该行星的密度，只需要测量( )
A.飞船的轨道半径 B.飞船的运行速度 C.飞船的运行周期 D.行星的质量
4.已知地球的质量为M，月球的质量为m，月球绕地球运行的轨道半径为r，周期为T，万有引力常量为G，则月球绕地球运转轨道处的重力加速度大小等于( )
A. B. C. D.
5.天文学家新发现了太阳系外的一颗行星。这颗行星的体积是地球的4.7倍，质量是地球的25倍。已知某一近地卫星绕地球运动的周期约为1.4小时，引力常量G=6.67×10-11 N·m2/kg2，由此估算该行星的平均密度约为( )
A.1.8×103 kg/m3 B.5.6×103 kg/m3 C.1.1×104 kg/m3 D.2.9×104 kg/m3
6.(2011·海南高考)2011年4月10日，我国成功发射第8颗北斗导航卫星，建成以后北斗导航卫星系统将包含多颗地球同步卫星，这有助于减少我国对GPS导航系统的依赖，GPS由运行周期为12小时的卫星群组成，设北斗导航系统的同步卫星和GPS导航卫星的轨道半径分别为R1和R2，向心加速度分别为a1和a2，则R1∶R2=__________，a1∶a2=__________ (可用根式表示)。
7.把地球绕太阳公转的轨道看做是匀速圆周运动轨道,平均半径为1.5×108 km,已知引力常量为G=6.67×10-11 N·m2/kg2，地球绕太阳运动一周为365天，则可估算出太阳的质量大约是多少千克?(结果取一位有效数字)
【能力提升】
8.一物体静置在平均密度为ρ的球形天体表面的赤道上。已知万有引力常量G，若由于天体自转使物体对天体表面压力恰好为零，则天体自转周期为( )
A. B. C. D.
9.火星探测项目是我国继神舟载人航天工程、嫦娥探月工程之后又一个重大太空探索项目。假设火星探测器在火星表面附近圆形轨道运行周期为T1，神舟飞船在地球表面附近圆形轨道运行周期为T2，火星质量与地球质量之比为p，火星半径与地球半径之比为q，则T1、T2之比为( )
A. B. C. D.
10.(2012·福建高考)一卫星绕某一行星表面附近做匀速圆周运动,其线速度
大小为v。假设宇航员在该行星表面上用弹簧测力计测量一质量为m的物体重
力,物体静止时,弹簧测力计的示数为N。已知引力常量为G,则这颗行星的质量为( )
A. B. C. D.
11.已知万有引力常量G，地球半径R，月球和地球之间的距离r，同步卫星距地面的高度h，月球绕地球的运转周期T1，地球的自转周期T2，地球表面的重力加速度g。某同学根据以上条件，提出一种估算地球质量M的方法：同步卫星绕地球做圆周运动，由得
(1)请判断上面的结果是否正确，并说明理由。如不正确，请给出正确的解法和结果。
(2)请根据已知条件再提出两种估算地球质量的方法并解得结果。
6.4万有引力理论的成就
新课教学
新课讲授：
一、“科学真实迷人”
师设问：
问题一:如何测地球的质量？ 天平能用吗？
问题一：如果要知道地球的质量，应该知道哪些条件？
教师活动：引导学生阅读教材“科学真实迷人”部分的内容，思考问题
1、推导出地球质量的表达式，说明卡文迪许为什么能把自己的实验说成是“称量地球的重量”？
2、设地面附近的重力加速度g=9.8m/s2，地球半径R =6.4×106m，引力常量G=6.67×10-11 Nm2/kg2，试估算地球的质量。
学生活动：阅读课文，推导出地球质量的表达式，在练习本上进行定量计算。
教师活动：学生的推导、计算过程，一起点评总结求天体质量方法一
不考虑天体自转的影响: 已知:三个量g、R、G三个量就可以求
练习一：一宇航员为了估测一星球的质量，他在该星球的表面做自由落体实验：让小球在离地面h高处自由下落，他测出经时间t小球落地，又已知该星球的半径为R，试估算该星球的质量。
二、计算天体的质量
教师活动：引导学生阅读教材“天体质量的计算”部分的内容，同时考虑下列问题
如何才能知道太阳的质量呢？
上面的方法可行吗？
能不能借用行星来称量呢？
请同学们看书后回答
学生活动：学生阅读课文第一部分，从课文中找出相应的答案.
我们可以测出太阳某行星的公转周期T、轨道半径r，能不能由此求出太阳的质量M？
分析：
1.将行星的运动看成是匀速圆周运动.
2.万有引力充当向心力 F引=Fn.
只可求出中心天体的质量， 求不出环绕天体的质量
具体数据代入：把地球绕太阳公转看做是匀速圆周运动，平均半径为1.5×1011 m，已知引力常量为：G=6.67×10-11 N·m2/kg2，则可估算出太阳的质量大约是多少千克?（结果取一位有效数字）
【解析】：题干给出了轨道的半径，虽然没有给出地球运转的周期，但日常生活常识告诉我们：地球绕太阳一周为365天。
故：T=365×24×3600 s=3.15×107 s
由万有引力充当向心力可得：
G=m 故：M=
代入数据解得M=kg=2×1030 kg
教师总结：求天体质量方法二： 计算中心天体的质量
建立情景： m（环绕天体）绕着M（中心天体）转，测出m运动周期T和离中心天体M的轨道半径r就可求出中心天体M：
F引=Fn
学生活动：练习二：用上面方法如何求地球质量呢?
已知 地球半径： R = 6400×103m
月亮周期： T = 27.3天≈2.36×106s
月亮轨道半径： r ≈ 60R，
求 地球的质量M？
教师设问：如果不知道环绕天体的周期而是知道它的线速度或角速度，可以求中心天体质量吗？
教师引导学生同样用F引=Fn列式分析：
m绕M做匀速圆周运动
有 需要条件：线速度v；轨道半径r。
有 需要条件：角速度ω；轨道半径r。
有 需要条件：公转周期T；轨道半径r。
师：上面三式中，因为线速度与角速度实际操作中不好测量，周期好测量，所以我们用得最多的公式将会是第三个。
总结归纳： 师：从以上各式的推导过程可知，利用此法只能求出中心天体的质量，而不能求环绕天体的质量，因为环绕天体的质量同时出现在方程的两边，已被约掉。
【牢记】：、、计算的是中心天体的质量，不能计算环绕天体的质量。
归纳总结：计算天体的质量
（1）对于有行星（或卫星）的天体，可把行星（或卫星）绕中心天体的运动近似看做匀速圆周运动，其所需的向心力由中心天体对其的万有引力提供的。
若已知行星（或卫星）绕中心天体做匀速圆周运动的轨道半径为和运行的线速度为，有 , 解得中心天体的质量为 。
若已知行星（或卫星）绕中心天体做匀速圆周运动的轨道半径为和运行的角速度ω，有 ,解得中心天体的质量为 。
若已知行星（或卫星）绕中心天体做匀速圆周运动的轨道半径为和运行的周期，有 ,解得中心天体的质量为 。
（2）对于没有行星（或卫星）的天体，或虽有行星（或卫星），但不知道其运行的有关物理量的情况下，可以忽略天体自转的影响，根据万有引力近似等于重力的关系列式，计算天体的质量。
若已知天体的半径为和该天体表面的重力加速度，则有 ，解得天体的质量为 。
【牢记】：不同星球表面的力学规律相同，只是（重力加速度）不同，在解决其他星球表面上的力学问题时，若要用到重力加速度应该是该星球的重力加速度，如：竖直上抛运动、平抛运动、竖直平面内的圆周运动，都要用该星球的重力加速度。
三、天体的密度
师：我们近似把中心天体看作球体,,设中心天体的半径为, 球体的体积公式,由上面方法求得中心天体的质量为后代入密度公式 即可。
若环绕天体m接近中心天体M表面飞行则密度多少？
学生活动：
练习四：一艘宇宙飞船飞近一个不知名的行星，并进入靠近该行星表面的圆形轨道，宇航员进入预定的考察工作，宇航员能不能仅用一只表通过测定时间来测定该行星的密度？说明理由及推导过程
四、发现未知天体
师：到了18世纪，人们已经知道太阳系有7颗行星，其中1781年发现的第七颗行星——天王星的运动轨道有些“古怪”：根据万有引力定律计算出来的轨道和实际观测的结果总有一些偏差。有人据此认为万有引力定律的准确性有问题。但另一些人则推测，在天王星轨道外面还有一颗未发现的行星，它对天王星的吸引使其轨道产生了偏离。到底谁是谁非呢？
师：英国剑桥大学的学生亚当斯和法国年轻的天文学家勒维耶相信未知行星的存在。他们根据天王星的观测资料，各自独立地利用万有引力定律计算出这颗新星的轨道。1846年9月23日晚，德国的伽勒在勒维耶预言的附近发现了这颗行星，人们称其为“笔尖下发现的行星”。后来，这颗行星命名为海王星。
师：用类似的方法，人们又发现了太阳系及太阳系外的其他天体。1705年，英国天文学家哈雷根据万有引力定律计算了一颗著名彗星的轨道并正确预言了它的回归。这就是哈雷彗星。
师：海王星的发现和哈雷彗星的“按时回归”确立了万有引力定律的地位，也成为科学史上的美谈。诺贝尔物理学奖获得者，物理学家冯·劳厄说：“没有任何东西像牛顿引力理论对行星轨道的计算那样，如此有力地树立起人们对年轻的物理学的尊敬。从此以后，这门自然科学成了巨大的精神王国……”
五．总结归纳布置作业
课外作业：课本第40页问题与练习1--4
板书设计：
一、“科学真实迷人”称量地球的质量
地球表面，不考虑（忽略）地球自转的影响
地球质量
二、计算中心天体质量
情景： m（环绕天体）绕着M（中心天体）转，测出m运动周期T和离中心天体M的轨道半径r就可求出中心天体M：
F引=Fn
或者：
有 需要条件：线速度v；轨道半径r。
有 需要条件：角速度ω；轨道半径r。
三、天体的密度 ：
天体的体积公式,密度公式
四．.发现未知天体?：
海王星发现
冥王星
哈雷彗星。
随堂练习
1.已知下面的数据，可以求出地球质量M的是（引力常数G是已知的）?
A.月球绕地球运行的周期T1及月球到地球中心的距离R1?
?B.地球“同步卫星”离地面的高度?
?C.地球绕太阳运行的周期T2及地球到太阳中心的距离R2?
?D.人造地球卫星在地面附近的运行速度v和运行周期T3?
2.以下说法正确的是?
?A.质量为m的物体在地球上任何地方其重力均相等?
?B.把质量为m的物体从地面移到高空，其重力变小了?
?C.同一物体在赤道处的重力比在两极处大?
?D.同一物体在任何地方其质量都是相同的?
3.下列说法正确的是?
?A.海王星和冥王星是人们依据万有引力定律计算的轨道而发现的?
B.天王星是人们依据万有引力计算的轨道而发现的?
C.天王星的运行轨道偏离根据万有引力计算出来的轨道，其原因是由于天王星受到轨道外面其他行星的引力作用?
D.以上均不正确??
4.站在赤道上的人随地球自转做匀速圆周运动，提供向心力的是?
A.重力和支持力
B.万有引力和支持力?
C.重力、静摩擦力和支持力
D.万有引力、静摩擦力和支持力??
5.地球和月球的质量之比为81∶1,半径之比为4∶1，求：?
（1）地球和月球表面的重力加速度之比.
（2）在地球上和月球上发射卫星所需最小速度之比.?
参考答案：?
? 1.AD 2.BD 3.AC 4.B 5.（1）81∶16 （2）9∶2??
课件25张PPT。4．万有引力理论的成就1．若不考虑地球__________的影响，地面上的物体所受的________等于地球对它的万有引力．自转重力2．在地面或地面附近的物体到地心的距离，可以近似看做______________．地球的半径3．两个物体间的万有引力大小为 F，若两物体间的距离增大为原来的 2 倍，则此时两物体间的万有引力的大小为()A．2F 1
B. F
2C．4F 1
D. F
4D4．下列关于万有引力定律的说法，正确的是()A．天体间的万有引力与它们的质量成正比，与它们之间的距离成反比B B．任何两个物体都是相互吸引的，引力的大小跟两个物
体的质量的乘积成正比，跟它们的距离的平方成反比
C．万有引力与质量、距离和万有引力常量都成正比
D．万有引力定律对质量大的物体适用，对质量小的物体
不适用知识点计算天体的质量和密度 2012 年8 月，美国国家航空航天局宣布在距地球4 900 光
年处发现了一个新的类太阳系，并在其网站上展示了模拟图片
和视频．该类太阳系的核心为两颗恒星，两者互为中心转动，
天文学上称作双子星体系．据报道，其中一颗恒星的大小与太
阳相近，亮度为太阳的 84%；另一颗则尺寸约为太阳的三分之
一，但亮度还不足太阳的 1%. 该发现最令人兴奋的还在于它同时拥有两个环绕行星，它
们围绕着共同的“动态目标”进行公转．这表明能够超过一颗
行星在双子星强大的引力下形成天体系统，反映出天体系统存
在的多样性． 科学家介绍说，内层的行星叫做开普勒－47b，公转周期不
超过 50 天，不过可能由于其过热的大气层内有甲烷燃烧而导致
覆盖着一层浓雾，无法直接观测到；外层的行星叫做开普勒－
47c，公转周期约 303 天，轨道占据在所谓的适居带上，使得该
行星表面温度适宜，能够稳定存有液态水，存在孕育生命的条件．图 6－4－1讨论：(1)在该类太阳系中，简述星体的运动情况． 提示：两颗恒星绕着它们共同的质量中心转动，且周期、
角速度一样；两颗行星各自在离两颗恒星较远的不同轨道上，
环绕着两颗恒星进行公转．(2)结合万有引力定律，分析星体的运动情况．1．基本方法：把天体(或人造卫星)的运动看成匀速圆周运动，其所需的向心力由万有引力提供．
2．解决天体做圆周运动问题的两条思路：(1)在地面附近，万有引力近似等于物体的重力，有 F引＝ 【例 1】为了研究太阳演化进程，需知道目前太阳的质量
M.已知地球的半径 R＝6.4×106 m，地球的质量 m＝6×1024 kg，
日地中心的距离 r＝1.5×1011 m，地球表面的重力加速度 g＝10
m/s2，1 年约为 3.2×107 s，试估算目前太阳的质量 M.(保留一位
有效数字，引力常数未知) 解：设 T 为地球绕太阳运动的周期，则由万有引力定律和
动力学知识得【触类旁通】 1．某行星绕太阳的运动可近似看做是匀速圆周运动，已知
行星运动的轨道半径为 R，周期为 T，引力常数为 G，则该行星
的线速度为多大？太阳的质量为多少？ 【例 2】假设在半径为 R 的某天体上发射一颗该天体的卫
星，若它贴近该天体的表面做匀速圆周运动的周期为 T1，已知
引力常数为 G，则该天体的密度为多少？若这颗卫星距该天体
表面的高度为 h，测得在该处做匀速圆周运动的周期为 T2，则
该天体的密度又可表示为什么？【触类旁通】
2．“神舟”六号飞船在预定圆轨道上飞行，每绕地球一圈需
要的时间为 90 min，每圈飞行的路程为 L＝4.2×104 km.试根据以
上数据估算地球的质量和密度．(地球的半径 R 约为 6.37×103 km，
引力常量 G为6.67×10－11 N·m2/kg2，结果保留两位有效数字)双星问题 天文学家将相距较近、仅在彼此的引力作用下运行的两颗
恒星称为双星，双星系统在银河系中很普遍．利用双星系统中
两颗恒星的运动特征可推算出它们的总质量． 【例 3】已知某双星系统中两颗恒星围绕它们连线上的某
一固定点分别做匀速圆周运动，周期均为 T，两颗恒星之间的
距离为 r，试计算这个双星系统的总质量．(引力常量为 G)解：设两颗恒星的质量分别为 m1、m2，做圆周运动的半径分别为 r1、r2，角速度分别是ω1、ω2.根据题意有ω1＝ω2①r1＋r2＝r②根据万有引力定律和牛顿运动定律，有【触类旁通】 3．土星周围有许多大小不等的岩石颗粒，其绕土星的运动
可视为圆周运动．其中有两个岩石颗粒 A 和 B 与土星中心的距
离分别为 rA＝8.0×104 km 和 rB＝1.2×105 km.忽略所有岩石颗
粒间的相互作用．求：(结果可用根式表示)(1)岩石颗粒 A 和 B 的线速度之比；
(2)岩石颗粒 A 和 B 的周期之比． 解：(1)设土星的质量为 M0，岩石颗粒的质量为 m，岩石颗
粒距土星中心的距离为 r，线速度为 v，根据牛顿第二定律和万自转的影响，则星球对物体的万有引力等于物体的重力，有G——“黄金代换”的理解与运用若已知星球表面的重力加速度 g 和星球的半径 R，忽略星球MmR2＝mg，所以 GM＝gR2，此式是在有关计算中常用到的一个替换关
系，称为“黄金代换”． (1)若物体绕星球表面(忽略物体离星球表面的高度)做匀速圆
周运动，则轨道半径近似地认为是星球半径 R，重力加速度为星
球表面的重力加速度 g； (2)若物体在离星球表面 h 处(h 不能忽略)绕星球做匀速圆周运
动，则轨道半径为 r＝R＋h，高度为 R＋h 处的重力加速度为 g′.【触类旁通】
4．一人造地球卫星距地球表面的高度是地球半径的 15 倍，
地球半径 R＝6 400 km，试估算此卫星的线速度．
