(共59张PPT)
专题课：电场的力的性质
学习任务一 非点电荷电场的电场强度的叠加问题
学习任务二 电场线与轨迹结合问题
学习任务三 带电体在静电场中的受力和运动分析
随堂巩固
练习册
◆
备用习题
学习任务一 非点电荷电场的电场强度的叠加问题
［科学思维］(1)等效法:在保证效果相同的前提下,将复杂的电场情景变换为简单的或熟悉的电场情景.
(2)对称法:利用空间上对称分布的电荷形成的电场具有对称性的特点,可使复杂电场的叠加计算大大简化.
(3)补偿法:将有缺口的带电圆环或圆板补全为圆环或圆板,或将半球面补全为球面,从而化难为易、事半功倍.
(4)微元法:将带电体分成许多微元电荷,每个微元电荷看成点电荷,先根据库仑定律求出每个微元电荷产生的电场强度,再结合对称性和电场强度叠加原理求出合电场强度.
(5)极限法:对于从给出的较为复杂的电场强度表达式中选出合理的表达式这一类题目,当采用其他方法不能计算出时,一般采用极限法,将表达式中的距离推向极端值(一般是推向零,或者无穷大,或者题中的其他长度值),从而定性判断出结果正误，用极限法进行某些物理过程分析时,具有化难为易、化繁为简的效果.
例1 (等效法)为足够大的不带电的金属板,在其右侧距离为的位置放一个电荷量为的点电荷,金属板右侧空间的电场分布如图甲所示,是金属板表面上与点电荷距离为的一点.几位同学想求出点的电场强度大小,但发现很难,经过研究,他们发现图甲的电场分布与图乙中虚线右侧的电场分布是一样的.图乙是两等量异种点电荷周围的电场线分布图,两点电荷的电荷量的大小均为,它们之间的距离为,虚线是两点电荷连线的中垂线，静电力常量为.由此他们分别对甲图中点的电场强度方向和大小作出以下判断,其中正确的是( )
A.方向沿点和点电荷的连线向左,大小为
B.方向沿点和点电荷的连线向左,大小为
C.方向垂直于金属板向左,大小为
D.方向垂直于金属板向左,大小为
[解析] 从图乙中可以看出,点电场强度方向垂直于金属板向左;正、负点电荷在点产生的电场相叠加,合场强大小为,故选项C正确.
√
例2 (对称法)如图所示，一半径为的圆盘上均匀分布着电荷量为的电荷，在垂直于圆盘且过圆心的轴线上有、、三个点，和、和、和间的距离均为，在点处有一电荷量为的固定点电荷.已知点处的电场强度为零，则点处电场强度的大小为(为静电力常量)( )
B
A. B. C. D.
[解析] 点处的电场强度为零，说明与在点处产生的电场强度大小相等、方向相反，即，由于点和点相对于圆盘是对称的，因此在点产生的电场强度的大小为，点电荷在点产生的电场强度，则点处的合电场强度大小为，故B正确.
例3 (补偿法)已知均匀带电球体在球的外部产生的电场与一个位于球心的、电荷量相等的点电荷产生的电场相同.如图所示，半径为的球体上均匀分布着电荷量为的电荷，在过球心的直线上有、两个点，和、和间的距离均为.现以为直径在球内挖一球形空腔，若静电力常量为，球的体积公式为，则点处的电场强度大小为( )
B
A. B. C. D.
[解析] 未挖空腔时，，挖出的球体在A点产生的电场强度，所以挖成空腔后的带电体在A点产生的电场强度，选项B正确.
例4 (微元法)一半径为的圆环上均匀地带有电荷量为的电荷，在垂直于圆环平面过圆环圆心的轴上有一点，它与环心的距离为.设静电力常量为，关于点的电场强度，下列四个表达式中只有一个是正确的，请你根据所学的物理知识，通过一定的分析，判断正确的表达式是( )
D
A. B. C. D.
[解析] 设想将圆环等分为个小段，当相当大时，每一小段都可以看成点电荷，其所带电荷量为，由点电荷的电场强度公式可求得每一个点电荷在点处产生的电场强度均为，由对
称性可知，各小段带电环在点处产生的电场强度垂直于轴向的分量相互抵消，而沿轴向的分量之和即为圆环在点处产生的电场强度，故，而，联立解得
，D正确.
学习任务二 电场线与轨迹结合问题
［科学思维］ 仅受静电力的带电粒子运动问题的解题技巧
1.带电粒子仅受静电力作用做曲线运动时，静电力指向轨迹曲线的内侧.静电力沿电场线方向或电场线的切线方向，粒子速度方向沿轨迹的切线方向.
2.分析方法
(1)由轨迹的弯曲情况，结合电场线确定静电力的方向；
(2)由静电力和电场线的方向可判断电荷的正负；
(3)由电场线的疏密程度可确定静电力的大小，再根据牛顿第二定律，可判断带电粒子加速度的大小；
(4)根据力和速度的夹角，由静电力做功的正负，动能的增大还是减小，可以判断速度变大还是变小，从而确定不同位置的速度大小关系.
例5 [2024·湖南雅礼中学月考] 某电场线分布如图所示，一带电粒子沿图中虚线所示途径运动，先后通过点和点，以下说法正确的是( )
D
A.、点的场强 B.粒子在、点的加速度
C.粒子在、点的速度 D.粒子带正电
[解析] 电场线越密集场强越大,根据题图可知,点场强小,粒子受到的电场力就小,加速度小,A、B错误;根据粒子运动的轨迹弯曲方向可知受到的电场力斜向右上,所以粒子带正电,又因为从到点, 静电力方向与速度方向的夹角小于 ,所以静电力都做正功,动能都增大,所以有,C错误,D正确.
变式 如图所示，实线为不知方向的三条电场线，从电场中点以相同速度垂直于电场线方向飞出、两个带电粒子，仅在静电力作用下的运动轨迹如图中虚线所示，则( )
C
A.一定带正电，一定带负电 B.的速度将减小，的速度将增大
C.的加速度将减小，的加速度将增大 D.两个粒子的动能，一个增大一个减小
[解析] 带电粒子做曲线运动，所受的静电力方向指向轨迹的内侧，由于电场强度的方向未知，所以粒子带电性质不确定，故A错误；从图中轨迹可以看出，速度方向与力的方向的夹角都小于 ，所以静电力都做正功，动能都增大，速度都增大，故B、D错误；电场线密的地方电场强度大，电场线疏的地方电场强度小，所以受到的静电力减小，加速度减小，而受到的静电力增大，加速度增大，故C正确.
学习任务三 带电体在静电场中的受力和运动分析
［科学思维］ 1.带电体在静电力作用下的受力分析与必修第一册所学的力学受力分析思路相同，只是受力分析中多了静电力.
2.根据受力情况确定带电体是处于平衡状态还是处于加速状态，分别用共点力平衡条件或者牛顿第二定律进行运动分析.
例6 如图所示，光滑绝缘固定斜面(足够长)倾角为 ，一带正电的小物块质量为、电荷量为，置于斜面上，当沿水平方向加如图所示的匀强电场时，带电小物块恰好静止在斜面上，从某时刻开始，电场
(1) 原来的电场强度大小(用字母表示)；
[答案]
强度变化为原来的，重力加速度为，，，取求：
[解析] 对小物块受力分析如图所示，小物块静止于斜面上
则
可得
(2) 小物块运动的加速度；
[答案] ，方向沿斜面向下
[解析] 当电场强度变为原来的时，小物块受到的合外力为
由牛顿第二定律有
所以，方向沿斜面向下
(3) 小物块第末的速度大小和前内的位移大小.
[答案] ;
[解析] 由运动学公式，知
1.静电除尘器是目前普遍采用的一种高效除尘器.某除尘器模型的收尘板是很长的条形金属板,图中直线ab为该收尘板的横截面,工作时收尘板带正电,其左侧的电场线分布如图所示;粉尘带负电,在静电力作用下向收尘板运动,最后落在收尘板上.若用粗黑曲线表示原来静止于P点的带电粉尘颗粒的运动轨迹,则下列4幅图中可能正确的是(忽略重力和空气阻力) ( )
A
[解析] 根据力和运动的关系知,当粉尘颗粒运动至电场中某一点时,运动速度与受力如图所示,根据曲线运动特点知,粉尘颗粒运动轨迹夹在合力与速度之间,可判定粉尘颗粒的运动轨迹可能如选项A中的图像所示.
2. 如图所示,在真空中放置四个带电体,它们的电荷量均为+Q,半径均为R,彼此互不影响.甲为均匀带电的球,乙为均匀带电的圆环,丙为均匀带电的圆盘,丁为均匀带电的半球壳.在过球心或圆心O的中轴线上,距离球心或圆心为r处的A点的电场强度大小E可用公式E=k(k表示静电力常量)计算的是 ( )
A.甲
B.甲、丁
C.乙、丙
D.甲、乙、丙
A
[解析] 图甲中球体均匀带电,故可看作在球心O处的点电荷,A点处的电场强度可以用E=k求解;图乙中应该把圆环分成无数小段的电荷元Δq,每段电荷元在A点处形成的电场叠加,故A点处的电场强度不能用E=k求解;图丙中应该把带电圆盘面分成无数小的电荷元,每个电荷元在A点处形成的电场叠加,故A点处的电场强度不能用E=k求解;图丁中球壳上的电荷Q不能等效于放在球心处的点电荷,故A点处的电场强度不能用E=k求解,故A正确.
3. 如图所示,半径为R均匀带电圆形平板,单位面积带电荷量为σ,其轴线上任意一点P(坐标为x)的电场强度可以由库仑定律和电场强度的叠加原理求出:2πkσ,方向沿x轴.现考虑单位面积带电荷量为σ的无限大均匀带电平板,从其中间挖去一半径为r的圆板,如图所示.则圆孔轴线上任意一点Q(坐标为x)的电场强度为 ( )
A.2πkσ
B.2πkσ
C.2πkσ
D.2πkσ
B
[解析] 将挖去的圆板补上,复原无限大均匀带电平板,设无限大均匀带电平板在Q点的场强为E,补回来的半径为r的圆板在Q点的场强为E1,待求的场强为E2,由电场叠加原理得E=E1+E2,E1=2πkσ,由2πkσ得,当R无限大时,E=2πkσ=2πkσ,解得,E2=2πkσ.
[解析] 对小球B受力分析,如图所示,开始运动时小球B受重力、
库仑力、杆的弹力和静电力,沿杆方向运动,
由牛顿第二定律得mgsin θ--qEcos θ=ma,
代入数据解得a=3.2 m/s2.
4. 如图所示,有一水平向左的匀强电场,场强为E=1.25×104 N/C,一根长L=1.5 m、与水平方向的夹角θ=37°的光滑绝缘细直杆MN固定在电场中,杆的下端M固定一个带电小球A,电荷量Q=+4.5×10-6 C;另一带电小球B穿在杆上可自由滑动,电荷量q=+1.0×10-6 C,质量m=1.0×10-2 kg.将小球B从杆的上端N由静止释放,小球B开始运动.(静电力常量k=9.0×109 N·m2/C2,g取10 m/s2,sin 37°=0.6,cos 37°=0.8).则:
(1)小球B开始运动时的加速度为多大
[答案] 3.2 m/s2
4. 如图所示,有一水平向左的匀强电场,场强为E=1.25×104 N/C,一根长L=1.5 m、与水平方向的夹角θ=37°的光滑绝缘细直杆MN固定在电场中,杆的下端M固定一个带电小球A,电荷量Q=+4.5×10-6 C;另一带电小球B穿在杆上可自由滑动,电荷量q=+1.0×10-6 C,质量m=1.0×10-2 kg.将小球B从杆的上端N由静止释放,小球B开始运动.(静电力常量k=9.0×109 N·m2/C2,g取10 m/s2,sin 37°=0.6,cos 37°=0.8).则:
(2)小球B的速度最大时,与M端的距离r为多大
[答案] 0.9 m
[解析] 小球B速度最大时所受合力为零
即mgsin θ--qEcos θ=0
代入数据解得r=0.9 m.
5. 如图所示为一个内、外半径分别为R1和R2的圆环状均匀带电平面,其单位面积带电荷量为σ.取环面中心O为原点,以垂直于环面的轴线为x轴.设轴上任意点P到O点的距离为x,P点的电场强度大小为E.下面给出E的四个表达式(式中k为静电力常量),其中只有一个是合理的.你可能不会求解此处的场强E,但是你可以通过一定的物理分析,对下列表达式的合理性作出判断.根据你的判断,E的合理表达式应为 ( )
A.E=2πkσx B.E=2πkσx
C.E=2πkσx D.E=2πkσx
B
[解析] 电场强度的单位为N/C,k为静电力常量,单位为N·m2/C2,σ为单位面积的带电荷量,单位为C/m2,则2πkσ表达式的单位即为N/C,故各表达式中其他部分应无单位,选项A、C错误;
当x→∞时,E→0,而选项D中E→4πkσ,选项D错误;只有选项B正确.
6.如图所示,光滑斜面的倾角为37°,A、B两点距离为L= m.一质量为m=1×10-2 kg、带电荷量为q=+1×10-6 C的小物块置于斜面上,当加上水平向右的匀强电场时,小物块恰能静止在斜面上,sin 37°=0.6,cos 37°=0.8,g取10 m/s2.
(1)求该电场的电场强度大小;
[解析] 如图所示
小物块受重力、斜面支持力和静电力三个力作用,
受力平衡,x方向上,有Eqcos θ=mgsin θ
解得E=7.5×104 N/C
[答案] 7.5×104 N/C
6.如图所示,光滑斜面的倾角为37°,A、B两点距离为L= m.一质量为m=1×10-2 kg、带电荷量为q=+1×10-6 C的小物块置于斜面上,当加上水平向右的匀强电场时,小物块恰能静止在斜面上,sin 37°=0.6,cos 37°=0.8,g取10 m/s2.
(2)若电场方向变为竖直向上,当小物块由静止沿斜面从A下滑至B点时,求小物块在B处速度的大小.
[答案] 1.4 m/s
[解析] 电场变化后小物块所受合力为 F=(mg-Eq)sin 37°
根据牛顿第二定律得F=ma
解得a=1.5 m/s2
设小物块在B处速度的大小为vB,由-0=2aL
可得vB= m/s≈1.4 m/s
1.(非点电荷电场的电场强度叠加问题)均匀带电的球壳在球外空间产生的电场等效于电荷集中于球心处产生的电场.如图所示，正电荷在半球面上均匀分布，总电荷量为，球面半径为，为通过半球面顶点与球心的轴线，在轴线上有、两点，.已知点的电场强度大小为，则点的电场强度大小为( )
A
A. B. C. D.
[解析] 左半球面上的正电荷产生的电场等效为带正电荷的整个球面产生的电场和带电荷量为的右半球面产生的电场的合电场，则，为带电荷量为的
右半球面在点产生的电场强度大小.带电荷量为的右半球面在点产生的电场强度大小与带电荷量为的左半球面在点产生的电场强度大小相等，则，选项A正确.
2.(电场线与轨迹结合问题)如图所示,是某个点电荷的一根电场线,在电场线上点由静止释放一个负电荷,它仅在静电力作用下沿电场线向运动,下列判断一定正确的是( )
B
A.电场线由点指向点,该电荷做加速运动,加速度越来越小
B.电场线由点指向点,该电荷做加速运动,其加速度大小变化情况由题设条件不能确定
C.电场线由点指向点,该电荷做匀加速运动
D.电场线由点指向点,该电荷做加速运动,加速度越来越大
[解析] 仅由一条电场线是不能确定电场线的疏密情况的,所以无法判定静电力及加速度大小变化情况,选项A、C、D错误.负电荷从点由静止向B点运动,说明其所受静电力方向由A点指向B点,则电场强度方向由B点指向A点,选项B正确.
3.(带电体在静电场中的受力和运动分析)在匀强电场中将一质量为、带电荷量为的带电小球，由静止释放，带电小球运动轨迹为一直线，该直线与竖直方向夹角为 ，如图所示.不能忽略小球的重力，重力加速度大小为，则匀强电场的电场强度( )
B
A.唯一值是 B.最小值是 C.最大值是 D.最小值是
[解析] 带电小球在重力和静电力的共同作用下做加速直线运动，如图所示，当静电力与合外力方向垂直时，静电力最小，即 ，则电场强度的最小值为，故选B.
知识点一 静电力作用下的非平衡问题
1.如图所示，是半径为的正边形(为大于3的偶数)外接圆的圆心，在正边形的一个顶点放置一个带电荷量为的点电荷，其余顶点分别放置带电荷量均为的点电荷(未画出).则圆心处的场强大小为( )
B
A. B. C. D.
[解析] 由对称性及电场叠加原理可知，除A处电荷以及与A关于点对称的电荷外，其他电荷的分布都关于点对称，它们在点处产生的合场强为零，圆心处的电场可等效为：由正边形的顶点A放置的一个带电荷量为的点电荷与过该点直径的另一端的顶点放置的一个带电荷量为的点电荷共同产生的，由点电荷电场强度公式知圆心处的场强大小为，选项B正确.
2.[2024·天津一中月考] 如图所示，半径为的绝缘细圆环上均匀分布着电荷量为的正电荷，、、三点将圆周三等分.取走、处弧长均为的圆弧上的电荷，静电力常量为，此时圆心处电场强度( )
A
A.方向沿，大小为 B.方向沿，大小为
C.方向沿，大小为 D.方向沿，大小为
[解析] 由于圆环所带电荷量均匀分布，所以长度为的小圆弧所带电荷量，没有取走电荷时圆心点的电场强度为零，取走A、B两处的电荷后，圆环剩余电荷在点产生的电场强度大小等于A、B处弧长为的小圆弧所带正电荷在点产生的场强的叠加，方向相反，即有 ，解得，方向沿，A正确.
3.[2024·北京二中月考] 均匀带电球壳在球壳外某处产生的电场可等效看作相同电荷量的点电荷位于球心处产生的电场.如图所示，在半球面上均匀分布负电荷，总的电荷量为，球面半径为，为通过半球顶点与球心的轴线，、、为上的点，且，.当点固定一电荷量为的点电荷时，点电场强度为零.则点的场强大小为( )
D
A. B. C. D.
[解析] 假设半球面右侧有一相同的半球面组成一个完整的均匀带电球壳，球壳所带电荷量为，设半球面在点的场
强大小为，半球面在点的场强大小为，则有，当点固定一电荷量为的点电荷时，点电场强度为零，则有，联立解得，，根据对称性可知半球面在点的场强大小为，则点固定一电荷量为的点电荷时，点的场强大小为，故D正确.
知识点二 电场线与轨迹结合问题
4.[2024·湖南岳阳一中月考] 一带负电荷的质点在静电力作用下沿曲线从运动到,已知质点的速率是逐渐减小的.关于点电场强度的方向,图中可能正确的是(虚线是曲线在点的切线)( )
D
A.&1& B.&2&
C.&3& D.&4&
[解析] 带负电荷的质点，在电场力作用下沿曲线从运动到，速率是递减的，可知电荷受电场力方向指向曲线凹侧，且与速度方向夹角大于90度，则场强方向指向曲线凸侧，与速度方向夹角小于90度，D正确.
5.如图所示,实线是匀强电场的电场线,虚线是某带电粒子(只受静电力作用)通过该电场区域时的运动轨迹,、是轨迹上两点,则由此图作出的判断错误的是( )
B
A.带电粒子带负电荷 B.带电粒子带正电荷
C.带电粒子所受静电力的方向向左 D.带电粒子做匀变速运动
[解析] 带电粒子受到的静电力指向轨迹的凹侧，即方向水平向左，而电场线方向水平向右，则带电粒子一定带负电，A、C正确，B错误；因是匀强电场，粒子所受静电力为恒力，故带电粒子做匀变速运动，D正确.
6.如图所示的电场中,虚线为某带电粒子只在静电力作用下的运动轨迹,、、是轨迹上的三个点,则( )
C
A.粒子一定带负电
B.粒子一定是从点运动到点
C.粒子在点的加速度一定大于在点的加速度
D.粒子在电场中点的速度一定大于在点的速度
[解析] 做曲线运动的物体所受的合力指向运动轨迹的凹侧,由此可知,带电粒子受到的静电力方向沿着电场线向左,所以粒子带正电,A错误;粒子不一定是从点沿轨迹运动到点,也可能从点沿轨迹运动到点,B错误;由电场线的分布可知,粒子在点的受力较大,在点的加速度一定大于在点的加速度,C正确;假设粒子从运动到,静电力与速度成锐角,所以粒子做加速运动,在点的速度一定小于在点的速度,D错误.
知识点三 带电体在静电场中的受力和运动分析
7.(多选)如图所示为某电场中一条方向未知的电场线，在点由静止释放一个带正电的粒子(所受重力不能忽略)，该粒子到达点时速度恰好为零，则( )
AB
A.该粒子从到做变速运动 B.电场线的方向一定竖直向上
C.点的电场强度有可能比点的大 D.该电场可能是负的点电荷产生的电场
[解析] 带电粒子从到，速度由零增加，最后又变为零，说明粒子有加速过程和减速过程，其所受静电力方向只能是向上的，所以电场线方向向上，A、B正确；粒子在点有，在点有，故，C错误；若是负点电荷产生的电场，则，不符合题意，D错误.
8.如图所示，质量为的小球穿在光滑绝缘细杆上，杆的倾角为 ，小球带正电(可视为点电荷)，电荷量为.在杆上点处固定一个电荷
(1) 球刚释放时的加速度；
[答案]
[解析] 小球刚释放时，由牛顿第二定律有
根据库仑定律有
又
联立解得
量为的正点电荷.将由距竖直高度为处无初速度释放，小球下滑过程中电荷量不变.整个装置处在真空中，已知静电力常量和重力加速度.求：
(2) 当球的动能最大时，球与点间的距离.
[答案]
[解析] 当球受到的合力为零时，即加速度为零时，动能最大，设此时球与点间的距离为，则有
解得
9.[2024·天津南开中学月考] 两大小不同的带电小球产生的电场的电场线分布情况如图所示，某一带电粒子仅受电场力作用沿虚线由点移动到点，则下列有关说法正确的是( )
D
A.两小球带同种电荷 B.带电粒子带正电
C.粒子在点所受电场力较大 D.粒子由点移动到点动能减小
[解析] 左侧小球的电场线是发散的，则左侧小球带正电，右侧小球的电场线是汇聚的，则右侧小球带负电，A错误；两球之间的电场线向右，电场强度方向向右,带电粒子的轨迹向左弯曲，所受的电场力向左，与电场强度方向相反，则带电粒子带负电，
B错误；点处的电场线比点处的电场线稀疏，则点的电场强度比点的电场强度小，粒子在点所受电场力较小，C错误； 粒子从点运动到点的过程中，电场力与运动方向成钝角，电场力做负功，动能减小，D正确.
10.、两个带电小球的质量均为，所带的电荷量分别为和，两球间用一绝缘细线连接，用长度相同的另一绝缘细线将球悬挂在天花板上，两球所在的空间有方向向左的匀强电场，电场强度大小为，平衡时两细线都被拉紧，则平衡时两球的位置可能是图中的( )
D
A.&5& B.&6& C.&7& D.&8&
[解析] 带正电，受到的电场力水平向左，带负电，受到的电场力水平向右.以整体为研究对象，整体所受的电场力大小为，方向水平向左，受力分析如图所示，则上面悬挂球的绳子应向左偏转，设上面的绳子与竖直方向的夹角为 ，则由平衡条件得；以球为研究对象，设、间的绳子与竖直方向的夹角为 ，则由平
衡条件得，可得 ，根据几何知识可知，球应在悬点的正下方，故D正确，A、B、C错误.
11.(多选)一半径为的半球面均匀带有正电荷，电荷在球
心处产生的场强大小，方向如图甲所示.把半球面
分为表面积相等的上、下两部分，如图甲所示，上、下两部
分电荷在球心处产生电场的场强大小分别为、；把半球面分为表面积相等的左、右两部分，如图乙所示，左、右两部分电荷在球心处产生电场的场强大小分别为、，则( )
AD
A. B. C. D.
[解析] 根据点电荷电场强度公式，且电荷只分布在球的表面，可知每个元电荷在球心处产生的电场强度大小相同.对于图甲，表面积相同，所分布电荷总量相同，由电场强度的
矢量叠加可知，上、下两部分电荷在球心处产生电场的场强大小关系为，因电荷在球心处产生的场强大小，则，，故A正确，B错误；对于图乙，半球面分为表面积相等的左、右两部分，由于左右两个半个球壳在同一点产生的场强大小相等，则根据电场的叠加可知，左侧部分在点产生的场强与右侧电荷在点产生的场强大小相等，即，由于方向不共线，由合成法则可知，故C错误，D正确.
12.[2024·石家庄二中月考] 如图所示，两异种点电荷的电荷量均为，绝缘竖直平面过两点电荷连线的中点且与连线垂直，平面上、、三点位于同一竖直线上，，点电荷到点的距离也为.现有电荷量为、质量为的小物块(可视为质点)，从点以初速度向滑动，到达点时速度恰好减为零.已知物块与平面的动摩擦因数为 ，重力加速度为.求：
(1) 点的电场强度的大小；
[答案]
[解析] 正、负点电荷在点产生的场强
根据电场的叠加原理可得点的电场强度的大小
(2) 物块在点的加速度大小；
[答案]
[解析] 根据题意由牛顿第二定律得
，
联立解得
(3) 物块通过点的速度大小.
[答案]
[解析] 小物块从到过程中，设克服阻力做功为，由动能定理得
小物块从到过程中有
解得专题课:电场的力的性质
例1 C [解析] 从图乙中可以看出,P点电场强度方向垂直于金属板向左;正、负点电荷在P点产生的电场相叠加,合场强大小为E=2kcos θ=2k·=2k,故选项C正确.
例2 B [解析] b点处的电场强度为零,说明q与Q在b点处产生的电场强度大小相等、方向相反,即k=EQb,由于d点和b点相对于圆盘是对称的,因此Q在d点产生的电场强度的大小为EQd=k,点电荷q在d点产生的电场强度Eqd=k,则d点处的合电场强度大小为E合=k+k=k,故B正确.
例3 B [解析] 未挖空腔时,EA=,挖出的球体在A点产生的电场强度EA'=,所以挖成空腔后的带电体在A点产生的电场强度E=EA-EA'=,选项B正确.
例4 D [解析] 设想将圆环等分为n个小段,当n相当大时,每一小段都可以看成点电荷,其所带电荷量为q=,由点电荷的电场强度公式可求得每一个点电荷在P点处产生的电场强度均为EP=k=k,由对称性可知,各小段带电环在P点处产生的电场强度垂直于轴向的分量Ey相互抵消,而沿轴向的分量Ex之和即为圆环在P点处产生的电场强度E,故E=nEx=n··cos θ=,而r=,联立解得E=,D正确.
例5 D [解析] 电场线越密集场强越大,根据题图可知EM变式 C [解析] 带电粒子做曲线运动,所受的静电力方向指向轨迹的内侧,由于电场强度的方向未知,所以粒子带电性质不确定,故A错误;从图中轨迹可以看出,速度方向与力的方向的夹角都小于90°,所以静电力都做正功,动能都增大,速度都增大,故B、D错误;电场线密的地方电场强度大,电场线疏的地方电场强度小,所以a受到的静电力减小,加速度减小,而b受到的静电力增大,加速度增大,故C正确.
例6 (1) (2)3 m/s2,方向沿斜面向下 (3)6 m/s 6 m
[解析] (1)对小物块受力分析如图所示,小物块静止于斜面上
则mgsin 37°=qEcos 37°
可得E=
(2)当电场强度变为原来的时,小物块受到的合外力为
F合=mgsin 37°-qEcos 37°=0.3mg
由牛顿第二定律有F合=ma
所以a=3 m/s2,方向沿斜面向下
(3)由运动学公式,知v=at=3×2 m/s=6 m/s
x=at2=×3×22 m=6 m
随堂巩固
1.A [解析] 左半球面AB上的正电荷产生的电场等效为带正电荷2q的整个球面产生的电场和带电荷量为-q的右半球面产生的电场的合电场,则E=-E',E'为带电荷量为-q的右半球面在M点产生的电场强度大小.带电荷量为-q的右半球面在M点产生的电场强度大小与带电荷量为+q的左半球面AB在N点产生的电场强度大小相等,则EN=E'=-E=-E,选项A正确.
2.B [解析] 仅由一条电场线是不能确定电场线的疏密情况的,所以无法判定静电力及加速度大小变化情况,选项A、C、D错误.负电荷从O点由静止向B点运动,说明其所受静电力方向由A点指向B点,则电场强度方向由B点指向A点,选项B正确.
3.B [解析] 带电小球在重力和静电力的共同作用下做加速直线运动,如图所示,当静电力与合外力方向垂直时,静电力最小,即qE=mgsin θ,则电场强度的最小值为E=,故选B.专题课:电场的力的性质
1.B [解析] 由对称性及电场叠加原理可知,除A处电荷以及与A关于O点对称的电荷外,其他电荷的分布都关于O点对称,它们在O点处产生的合场强为零,圆心O处的电场可等效为:由正N边形的顶点A放置的一个带电荷量为+2q的点电荷与过该点直径的另一端的顶点放置的一个带电荷量为-q的点电荷共同产生的,由点电荷电场强度公式知圆心O处的场强大小为E=,选项B正确.
2.A [解析] 由于圆环所带电荷量均匀分布,所以长度为ΔL的小圆弧所带电荷量q=,没有取走电荷时圆心O点的电场强度为零,取走A、B两处的电荷后,圆环剩余电荷在O点产生的电场强度大小等于A、B处弧长为ΔL的小圆弧所带正电荷在O点产生的场强的叠加,方向相反,即有E剩=cos 60°,解得E剩=,方向沿CO,A正确.
3.D [解析] 假设半球面AB右侧有一相同的半球面A'B'组成一个完整的均匀带电球壳,球壳所带电荷量为-2q,设半球面AB在N点的场强大小为E1,半球面A'B'在N点的场强大小为E2,则有E1+E2=k=k,当P点固定一电荷量为-Q的点电荷时,N点电场强度为零,则有E1-k=0,联立解得E1=k,E2=k-k,根据对称性可知半球面AB在M点的场强大小为E2'=E2=k-k,则P点固定一电荷量为-Q的点电荷时,M点的场强大小为EM=E2'+k=k-k+k=k-k,故D正确.
4.D [解析] 带负电荷的质点,在电场力作用下沿曲线abc从a运动到c,速率是递减的,可知电荷受电场力方向指向曲线凹侧,且与速度方向夹角大于90度,则场强方向指向曲线凸侧,与速度方向夹角小于90度,D正确.
5.B [解析] 带电粒子受到的静电力指向轨迹的凹侧,即方向水平向左,而电场线方向水平向右,则带电粒子一定带负电,A、C正确,B错误;因是匀强电场,粒子所受静电力为恒力,故带电粒子做匀变速运动,D正确.
6.C [解析] 做曲线运动的物体所受的合力指向运动轨迹的凹侧,由此可知,带电粒子受到的静电力方向沿着电场线向左,所以粒子带正电,A错误;粒子不一定是从a点沿轨迹运动到b点,也可能从b点沿轨迹运动到a点,B错误;由电场线的分布可知,粒子在c点的受力较大,在c点的加速度一定大于在b点的加速度,C正确;假设粒子从c运动到a,静电力与速度成锐角,所以粒子做加速运动,在c点的速度一定小于在a点的速度,D错误.
7.AB [解析] 带电粒子从a到b,速度由零增加,最后又变为零,说明粒子有加速过程和减速过程,其所受静电力方向只能是向上的,所以电场线方向向上,A、B正确;粒子在a点有mg>qEa,在b点有mgEb,不符合题意,D错误.
8.(1)gsin α- (2)
[解析] (1)小球A刚释放时,由牛顿第二定律有
mgsin α-F=ma
根据库仑定律有F=k
又r=
联立解得a=gsin α-
(2)当A球受到的合力为零时,即加速度为零时,动能最大,设此时A球与B点间的距离为d,则有
mgsin α=
解得d=
9.D [解析] 左侧小球的电场线是发散的,则左侧小球带正电,右侧小球的电场线是汇聚的,则右侧小球带负电,A错误;两球之间的电场线向右,电场强度方向向右,带电粒子的轨迹向左弯曲,所受的电场力向左,与电场强度方向相反,则带电粒子带负电,B错误;b点处的电场线比a点处的电场线稀疏,则b点的电场强度比a点的电场强度小,粒子在b点所受电场力较小,C错误; 粒子从a点运动到b点的过程中,电场力与运动方向成钝角,电场力做负功,动能减小,D正确.
10.D [解析] a带正电,受到的电场力水平向左,b带负电,受到的电场力水平向右.以整体为研究对象,整体所受的电场力大小为2qE,方向水平向左,受力分析如图所示,则上面悬挂a球的绳子应向左偏转,设上面的绳子与竖直方向的夹角为α,则由平衡条件得tan α=;以b球为研究对象,设a、b间的绳子与竖直方向的夹角为β,则由平衡条件得tan β=,可得α=β,根据几何知识可知,b球应在悬点的正下方,故D正确,A、B、C错误.
11.AD [解析] 根据点电荷电场强度公式E=,且电荷只分布在球的表面,可知每个元电荷在球心O处产生的电场强度大小相同.对于图甲,表面积相同,所分布电荷总量相同,由电场强度的矢量叠加可知,上、下两部分电荷在球心O处产生电场的场强大小关系为E1>E2,因电荷Q在球心O处产生的场强大小E0=,则E1>,E2<,故A正确,B错误;对于图乙,半球面分为表面积相等的左、右两部分,由于左右两个半个球壳在同一点产生的场强大小相等,则根据电场的叠加可知,左侧部分在O点产生的场强与右侧电荷在O点产生的场强大小相等,即E3=E4,由于方向不共线,由合成法则可知E3=E4>=,故C错误,D正确.
12.(1) (2)-g (3)v0
[解析] (1)正、负点电荷在A点产生的场强
E0=k=k
根据电场的叠加原理可得A点的电场强度的大小
E=E0=
(2)根据题意由牛顿第二定律得
μFN-mg=ma,FN=Eq
联立解得a=-g
(3)小物块从A到B过程中,设克服阻力做功为Wf,由动能定理得2mgL-Wf=0-m
小物块从A到O过程中有
mgL-Wf=mv2-m
解得v=v0专题课:电场的力的性质
学习任务一 非点电荷电场的电场强度的叠加问题
[科学思维] (1)等效法:在保证效果相同的前提下,将复杂的电场情景变换为简单的或熟悉的电场情景.
(2)对称法:利用空间上对称分布的电荷形成的电场具有对称性的特点,可使复杂电场的叠加计算大大简化.
(3)补偿法:将有缺口的带电圆环或圆板补全为圆环或圆板,或将半球面补全为球面,从而化难为易、事半功倍.
(4)微元法:将带电体分成许多微元电荷,每个微元电荷看成点电荷,先根据库仑定律求出每个微元电荷产生的电场强度,再结合对称性和电场强度叠加原理求出合电场强度.
(5)极限法:对于从给出的较为复杂的电场强度表达式中选出合理的表达式这一类题目,当采用其他方法不能计算出时,一般采用极限法,将表达式中的距离推向极端值(一般是推向零,或者无穷大,或者题中的其他长度值),从而定性判断出结果正误,用极限法进行某些物理过程分析时,具有化难为易、化繁为简的效果.
例1 (等效法)MN为足够大的不带电的金属板,在其右侧距离为d的位置放一个电荷量为+q的点电荷O,金属板右侧空间的电场分布如图甲所示,P是金属板表面上与点电荷O距离为r的一点.几位同学想求出P点的电场强度大小,但发现很难,经过研究,他们发现图甲的电场分布与图乙中虚线右侧的电场分布是一样的.图乙是两等量异种点电荷周围的电场线分布图,两点电荷的电荷量的大小均为q,它们之间的距离为2d,虚线是两点电荷连线的中垂线,静电力常量为k.由此他们分别对甲图中P点的电场强度方向和大小作出以下判断,其中正确的是( )
A.方向沿P点和点电荷的连线向左,大小为
B.方向沿P点和点电荷的连线向左,大小为
C.方向垂直于金属板向左,大小为
D.方向垂直于金属板向左,大小为
例2 (对称法)如图所示,一半径为R的圆盘上均匀分布着电荷量为Q的电荷,在垂直于圆盘且过圆心c的轴线上有a、b、d三个点,a和b、b和c、c和d间的距离均为R,在a点处有一电荷量为q(q>0)的固定点电荷.已知b点处的电场强度为零,则d点处电场强度的大小为(k为静电力常量) ( )
A.k B.k
C.k D.k
[反思感悟]
例3 (补偿法)已知均匀带电球体在球的外部产生的电场与一个位于球心的、电荷量相等的点电荷产生的电场相同.如图所示,半径为R的球体上均匀分布着电荷量为Q的电荷,在过球心O的直线上有A、B两个点,O和B、B和A间的距离均为R.现以OB为直径在球内挖一球形空腔,若静电力常量为k,球的体积公式为V=πr3,则A点处的电场强度大小为( )
A.
B.
C.
D.
例4 (微元法)一半径为R的圆环上均匀地带有电荷量为Q的电荷,在垂直于圆环平面过圆环圆心的轴上有一点P,它与环心O的距离为OP=L.设静电力常量为k,关于P点的电场强度E,下列四个表达式中只有一个是正确的,请你根据所学的物理知识,通过一定的分析,判断正确的表达式是 ( )
A.
B.
C.
D.
学习任务二 电场线与轨迹结合问题
[科学思维] 仅受静电力的带电粒子运动问题的解题技巧
1.带电粒子仅受静电力作用做曲线运动时,静电力指向轨迹曲线的内侧.静电力沿电场线方向或电场线的切线方向,粒子速度方向沿轨迹的切线方向.
2.分析方法
(1)由轨迹的弯曲情况,结合电场线确定静电力的方向;
(2)由静电力和电场线的方向可判断电荷的正负;
(3)由电场线的疏密程度可确定静电力的大小,再根据牛顿第二定律,可判断带电粒子加速度的大小;
(4)根据力和速度的夹角,由静电力做功的正负,动能的增大还是减小,可以判断速度变大还是变小,从而确定不同位置的速度大小关系.
例5 [2024·湖南雅礼中学月考] 某电场线分布如图所示,一带电粒子沿图中虚线所示途径运动,先后通过M点和N点,以下说法正确的是 ( )
A.M、N点的场强EM>EN
B.粒子在M、N点的加速度aM>aN
C.粒子在M、N点的速度vM>vN
D.粒子带正电
变式 如图所示,实线为不知方向的三条电场线,从电场中M点以相同速度垂直于电场线方向飞出a、b两个带电粒子,仅在静电力作用下的运动轨迹如图中虚线所示,则 ( )
A.a一定带正电,b一定带负电
B.a的速度将减小,b的速度将增大
C.a的加速度将减小,b的加速度将增大
D.两个粒子的动能,一个增大一个减小
学习任务三 带电体在静电场中的受力和运动分析
[科学思维] 1.带电体在静电力作用下的受力分析与必修第一册所学的力学受力分析思路相同,只是受力分析中多了静电力.
2.根据受力情况确定带电体是处于平衡状态还是处于加速状态,分别用共点力平衡条件或者牛顿第二定律进行运动分析.
例6 如图所示,光滑绝缘固定斜面(足够长)倾角为37°,一带正电的小物块质量为m、电荷量为q,置于斜面上,当沿水平方向加如图所示的匀强电场时,带电小物块恰好静止在斜面上,从某时刻开始,电场强度变化为原来的,重力加速度为g,(sin 37°=0.6,cos 37°=0.8,g取10 m/s2)求:
(1)原来的电场强度大小(用字母表示);
(2)小物块运动的加速度;
(3)小物块第2 s末的速度大小和前2 s内的位移大小.
1.(非点电荷电场的电场强度叠加问题)均匀带电的球壳在球外空间产生的电场等效于电荷集中于球心处产生的电场.如图所示,正电荷在半球面AB上均匀分布,总电荷量为q,球面半径为R,CD为通过半球面顶点与球心O的轴线,在轴线上有M、N两点,OM=ON=2R.已知M点的电场强度大小为E,则N点的电场强度大小为 ( )
A.-E
B.
C.-E
D.+E
2.(电场线与轨迹结合问题)如图所示,AB是某个点电荷的一根电场线,在电场线上O点由静止释放一个负电荷,它仅在静电力作用下沿电场线向B运动,下列判断一定正确的是 ( )
A.电场线由B点指向A点,该电荷做加速运动,加速度越来越小
B.电场线由B点指向A点,该电荷做加速运动,其加速度大小变化情况由题设条件不能确定
C.电场线由A点指向B点,该电荷做匀加速运动
D.电场线由B点指向A点,该电荷做加速运动,加速度越来越大
3.(带电体在静电场中的受力和运动分析)在匀强电场中将一质量为m、带电荷量为q的带电小球,由静止释放,带电小球运动轨迹为一直线,该直线与竖直方向夹角为θ,如图所示.不能忽略小球的重力,重力加速度大小为g,则匀强电场的电场强度 ( )
A.唯一值是
B.最小值是
C.最大值是
D.最小值是专题课:电场的力的性质建议用时:40分钟
◆ 知识点一 静电力作用下的非平衡问题
1.如图所示,O是半径为R的正N边形(N为大于3的偶数)外接圆的圆心,在正N边形的一个顶点A放置一个带电荷量为+2q的点电荷,其余顶点分别放置带电荷量均为-q的点电荷(未画出).则圆心O处的场强大小为 ( )
A.
B.
C.
D.
2.[2024·天津一中月考] 如图所示,半径为R的绝缘细圆环上均匀分布着电荷量为Q的正电荷,A、B、C三点将圆周三等分.取走A、B处弧长均为ΔL的圆弧上的电荷(ΔL R),静电力常量为k,此时圆心O处电场强度 ( )
A.方向沿CO,大小为k
B.方向沿OC,大小为k
C.方向沿CO,大小为k
D.方向沿OC,大小为k
3.[2024·北京二中月考] 均匀带电球壳在球壳外某处产生的电场可等效看作相同电荷量的点电荷位于球心处产生的电场.如图所示,在半球面AB上均匀分布负电荷,总的电荷量为-q,球面半径为R,CD为通过半球顶点与球心O的轴线,M、N、P为CD上的点,且MO=ON=2R,NP=R.当P点固定一电荷量为-Q的点电荷时,N点电场强度为零.则M点的场强大小为 ( )
A. B.
C. D.
◆ 知识点二 电场线与轨迹结合问题
4.[2024·湖南岳阳一中月考] 一带负电荷的质点在静电力作用下沿曲线abc从a运动到c,已知质点的速率是逐渐减小的.关于b点电场强度E的方向,图中可能正确的是(虚线是曲线在b点的切线) ( )
A
B
C
D
5.如图所示,实线是匀强电场的电场线,虚线是某带电粒子(只受静电力作用)通过该电场区域时的运动轨迹,a、b是轨迹上两点,则由此图作出的判断错误的是( )
A.带电粒子带负电荷
B.带电粒子带正电荷
C.带电粒子所受静电力的方向向左
D.带电粒子做匀变速运动
6.如图所示的电场中,虚线为某带电粒子只在静电力作用下的运动轨迹,a、b、c是轨迹上的三个点, 则( )
A.粒子一定带负电
B.粒子一定是从a点运动到b点
C.粒子在c点的加速度一定大于在b点的加速度
D.粒子在电场中c点的速度一定大于在a点的速度
◆ 知识点三 带电体在静电场中的受力和运动分析
7.(多选)如图所示为某电场中一条方向未知的电场线,在a点由静止释放一个带正电的粒子(所受重力不能忽略),该粒子到达b点时速度恰好为零,则( )
A.该粒子从a到b做变速运动
B.电场线的方向一定竖直向上
C.a点的电场强度有可能比b点的大
D.该电场可能是负的点电荷产生的电场
8.如图所示,质量为m的小球A穿在光滑绝缘细杆上,杆的倾角为α,小球A带正电(可视为点电荷),电荷量为q.在杆上B点处固定一个电荷量为Q的正点电荷.将A由距B竖直高度为H处无初速度释放,小球A下滑过程中电荷量不变.整个装置处在真空中,已知静电力常量k和重力加速度g.求:
(1)A球刚释放时的加速度;
(2)当A球的动能最大时,A球与B点间的距离.
9.[2024·天津南开中学月考] 两大小不同的带电小球产生的电场的电场线分布情况如图所示,某一带电粒子仅受电场力作用沿虚线由a点移动到b点,则下列有关说法正确的是 ( )
A.两小球带同种电荷
B.带电粒子带正电
C.粒子在b点所受电场力较大
D.粒子由a点移动到b点动能减小
10.a、b两个带电小球的质量均为m,所带的电荷量分别为+3q和-q,两球间用一绝缘细线连接,用长度相同的另一绝缘细线将a球悬挂在天花板上,两球所在的空间有方向向左的匀强电场,电场强度大小为E,平衡时两细线都被拉紧,则平衡时两球的位置可能是图中的 ( )
A
B
C
D
11.(多选)一半径为R的半球面均匀带有正电荷Q,电荷在球心O处产生的场强大小E0=,方向如图甲所示.把半球面分为表面积相等的上、下两部分,如图甲所示,上、下两部分电荷在球心O处产生电场的场强大小分别为E1、E2;把半球面分为表面积相等的左、右两部分,如图乙所示,左、右两部分电荷在球心O处产生电场的场强大小分别为E3、E4,则 ( )
A.E1> B.E2>
C.E3< D.E4>
12.[2024·石家庄二中月考] 如图所示,两异种点电荷的电荷量均为Q,绝缘竖直平面过两点电荷连线的中点O且与连线垂直,平面上A、O、B三点位于同一竖直线上,AO=BO=L,点电荷到O点的距离也为L.现有电荷量为-q、质量为m的小物块(可视为质点),从A点以初速度v0向B滑动,到达B点时速度恰好减为零.已知物块与平面的动摩擦因数为μ,重力加速度为g.求:
(1)A点的电场强度的大小;
(2)物块在A点的加速度大小;
(3)物块通过O点的速度大小.
