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专题课：库仑定律的应用
学习任务一 三个共线点电荷的平衡问题
学习任务二 含库仑力的平衡问题
学习任务三 含库仑力的动力学问题
随堂巩固
练习册
◆
备用习题
学习任务一 三个共线点电荷的平衡问题
［物理观念］(1)条件：每个点电荷受到的两个库仑力大小相等，方向相反.
(2)规律：
①“三点共线”——三个点电荷分布在同一直线上；
②“两同夹异”——正、负电荷相互间隔；
③“两大夹小”——中间电荷的电荷量最小；
④“近小远大”——中间电荷靠近电荷量较小的电荷.
(3)注意：若两个点电荷固定，让新引入的一个自由点电荷平衡，则只能确定其位置，对其电性和电荷量无要求.
例1 [2024·江苏盐城中学月考] 真空中有两个距离为的点电荷和,它们位于同一条直线上,带电荷量分别为和.若、固定,则在此条直线上的什么位置放入第三个点电荷,可使点电荷处于平衡状态 对的电荷量及电性有无要求
[答案] 在的外侧距离为处; 对的电性和电荷量均没有要求
[解析] 若受力平衡，则必须和、在同一条直线上，因为、带异号电荷，所以不可能在它们中间.根据库仑力和距离的二次方成反
设与的距离是，根据库仑定律和平衡条件得
将已知量代入，解得(舍去)
对的电荷量及电性均没有要求.
比，可推知应该在、的连线上，且在的外侧(离带电荷量少的电荷近一点的地方)，如图所示.
变式 两个可自由移动的点电荷分别放在、两处，如图所示.处电荷带负电，电荷量为，处电荷带负电，电荷量为，且，另取一个可以自由移动的点电荷，放在直线上，欲使整个系统处于平衡状态，则( )
C
A.为负电荷，且放于右方 B.为负电荷，且放于左方
C.为正电荷，且放于、之间 D.为正电荷，且放于右方
[解析] 若为负电荷，且放于B右方，则对的静电力和对的静电力方向均向右，整个系统不可能处于平衡状态，A错误；若为负电荷，且放于A左方，则对的静电力和对的静电力方向均向左，整个系统不可能处于平衡状态，B错误；若为正电荷，且放于A、B之间，则对的电场力向左，对的电场力向右，再用同样的方法研究A、B的受力情况，可知整个系统可能处于平衡状态，C正确；若为正电荷，且放于B右方，则对的电场力和对的电场力方向均向左，整个系统不可能处于平衡状态，D错误.
学习任务二 含库仑力的平衡问题
［科学思维］ 分析静电力作用下点电荷的平衡问题时，方法仍然与力学中分析物体的平衡方法一样，具体步骤如下：
(1)确定研究对象：如果有几个物体相互作用，要依据题意，适当选取“整体法”或“隔离法”.
(2)对研究对象进行受力分析，此时多了静电力.
(3)根据列方程，若采用正交分解，则有，.
(4)求解方程.
例2 (多选)如图所示，用三根长度相同的绝缘细线将三个带电小球连接后悬挂在空中，三个带电小球质量相等，球带正电，平衡时三根绝缘细线都是直的，但拉力都为零.则( )
AD
A.球和球都带负电荷 B.球带负电荷，球带正电荷
C.球和球所带电荷量不一定相等 D.球和球所带电荷量一定相等
[解析] 以B球为研究对象，B球受重力及A、C球对B球的静电力而处于平衡状态，则A、C球对B球的静电力的合力应与重力大小相等、方向相反，而静电力的方向只能沿两电荷的连线方向，则A球对B球的静电力应指向A，C球对B球的静电力应指向B球的左侧，由此可知，B、C球都应带负电荷，A正确，B错误；由受力分析图可知，A球对
B球的静电力应为C球对B球的静电力的2倍，故C球所带电荷量应为A球所带电荷量的一半，同理分析C球可知，B球所带电荷量也应为A球所带电荷量的一半，故B、C球所带电荷量相等，C错误，D正确.
例3 (多选)如图所示，竖直墙面与水平地面均光滑且绝缘.两个带有同种电荷的小球、(均可视为质点)分别位于竖直墙面和水平地面上，且处于同一竖直平面内.若用图示方向的水平推力作用于小球，则两球静止于图示位置.如果将小球向左推动少许，并待两球重新达到平衡时，与原来相比( )
ACD
A.两小球的间距变大 B.球受到的推力变大
C.球对竖直墙面的压力变小 D.水平地面对球的支持力不变
[解析] 对A球受力分析，受到三个力，如图所示，小球B向左缓慢推动一小段距离后，库仑力与竖直方向的夹角 变小，A的重力不变，由 知，库仑力变小，由知，两球间距变大，A正确；由 知墙面对小球A的弹力变小，即A球对墙面的压力变小，B错误；对两球整体分析，墙面对球的弹力大小等于推力，则推力将减小，C正确；由可知，水平地面对B球的支持力不变，D正确.
【要点总结】
在共点力(包括库仑力)的平衡中,解决动态平衡类问题常用图解法,图解法就是在对物体进行受力分析(一般受三个力)的基础上,若满足有一个力大小、方向均不变,另有一个力方向不变,可画出这三个力的封闭矢量三角形来分析力的变化情况的方法;如果有一个力是恒力,另外两个力方向都变化,且题目给出了空间几何三角形关系,多数情况下力的矢量三角形与空间几何三角形相似,可利用相似三角形对应边成比例来进行计算.
学习任务三 含库仑力的动力学问题
［科学思维］ 静电力作用下的加速问题可以归纳为“电学问题、力学方法”，遵循力学规律和力的运算法则.在分析具体问题时应注意：
(1)受力分析：除分析重力、弹力、摩擦力等之外，还要分析静电力的作用.
(2)状态分析：通过分析确定带电体运动状态.
(3)根据问题情境和提供的条件选取适当的物理规律列方程求解.
例4 如图所示，光滑绝缘水平面上有质量分别为和的带有异种
C
A. B. C. D.
[解析] 将A和B整体为研究对象，当大小为的力作用在B时，根据牛顿第二定律可知，以A为研究对象，可知；当大小为的力作用在A上时，加速度为，以B为研究对象，可知，联立解得，C正确.
电荷的小球、(、可视为质点)，在球上施加水平向右、大小为的作用力后，当两小球保持相对静止时，、球间的距离为；若改用方向水平向左、大小为的力作用在球上后，两小球仍能保持相对静止时，则、球间的距离为( )
1. (多选)如图所示,用三根长度相同的绝缘细线将三个带电小球连接后悬挂在空中.三个带电小球质量相等,A球带正电,平衡时三根绝缘细线都是直的,且拉力都为0.则 ( )
A.B球和C球都带负电荷
B.B球带负电荷,C球带正电荷
C.B球和C球所带电荷量不一定相等
D.B球和C球所带电荷量一定相等
AD
[解析]以B为研究对象,B球受重力及A、C对B球的静电力而处于平衡状态,则A、C球对B球的静电力的合力应与重力大小相等、方向相反,而静电力的方向只能沿两电荷的连线方向,则A对B的静电力应指向A,C对B的静电力应指向B的左侧,由此可知,B、C都应带负电荷,A正确,B错误.
由受力分析图可知,A对B的静电力应为C对B静电力的2倍,故C所带电荷量应为A所带电荷量的一半;同理分析C可知,B所带电荷量也应为A所带电荷量的一半,故B、C所带电荷量相等,C错误,D正确.
2.水平面上A、B、C三点固定着三个电荷量为Q的正点电荷,将一质量为m的带正电的小球(可视为点电荷)放置在O点,OABC恰好构成一棱长为L的正四面体,如图所示.已知静电力常量为k,重力加速度为g,为使小球能静止在O点,小球所带的电荷量为 ( )
A. B.
C. D.
C
[解析]对小球进行受力分析,受到重力和A、B、C处正点电荷施加的库仑力作用.设A、B、C处正点电荷施加的库仑力方向与竖直方向的夹角为θ,在竖直方向上,根据平衡条件得3Fcos θ=mg,其中F=,根据几何关系得cos θ=,联立解得q=,选项C正确.
3.如图所示,光滑绝缘圆环竖直放置,a、b、c为三个套在圆环上可自由滑动的空心带电小球,已知小球c位于圆环最高点,a、c连线与竖直方向成60°角,b、c连线与竖直方向成30°角,三个小球均处于静止状态.下列说法正确的是 ( )
A.a、b、c小球带同种电荷
B.a、b小球带异种电荷
C.a、b小球电荷量之比为
D.a、b小球电荷量之比为
D
[解析]对c分析,受到重力、环的支持力以及a、b对c的库仑力,其中重力与支持力的方向在竖直方向上,水平方向有a对c的库仑力的分力与b对c的库仑力的分力,由共点力平衡条件可知,a与b对c的作用力都是吸引力,或都是排斥力,则a与b所带电荷的电性一定是相同的,a与b带同种电荷,它们之间的库仑力是斥力,对a分析,a受到重力、环的支持力以及b、c对a的库仑力,根据题给条件可得a、b连线为圆环直径,即b球对a球的库仑力与圆环对a的支持力在同一条直线上,都与过a球处的圆环的切线垂直,因重力有沿圆环切线方向向下的分力,若
a要平衡,则c对a的库仑力应有沿切线向上的分力,所以c对a的
作用力必须是吸引力,所以c与a所带电荷的电性一定相反,即
a、b小球带同种电荷,a、c小球带异种电荷,故选项A、B错误;
[解析] 设环的半径为R,三个小球的电荷量分别为q1、q2和q3,由几何关系可得lac=R,lbc=R,a与b对c的作用力都是吸引力,它们对c的作用力在水平方向的分力大小相等,有·sin 60°=·sin 30°,解得=,故选项C错误,D正确.
4. (多选)如图所示,水平天花板下方固定一光滑小定滑轮O,在定滑轮的正下方C处固定一带正电的点电荷,不带电的小球A与带正电的小球B通过跨过定滑轮的绝缘轻绳相连.开始时系统在图示位置静止,OB⊥BC .若B球所带的电荷量缓慢减少(未减为零),在B球到达O点正下方前,下列说法正确的是 ( )
A.A球的质量大于B球的质量
B.此过程中A球保持静止状态
C.此过程中点电荷对B球的库仑力逐渐减小
D.此过程中滑轮受到轻绳的作用力逐渐减小
BC
[解析]对B球进行受力分析如图所示,由图可知mBg>FT,FT=mAg ,则mB>mA,A错误.
假设A球保持静止状态,B球所带的电荷量缓慢减少,B球缓慢下摆,根据相似三角形有==,因mBg、OC、FT不变,可得OB不变,所以假设成立;因为BC逐渐减小,所以库仑力F逐渐减小,B、C正确.
轻绳中的拉力不变,∠AOB在减小,轻绳OA和OB的合力在
增大,滑轮受到轻绳的作用力逐渐增大,D错误.
5.如图所示,质量为m、电荷量为Q的带电小球A用绝缘细线悬挂于O点,另一个带电荷量也为Q的小球B固定于O点正下方的绝缘支架上.已知细线OA长为2l,O到B点的距离为l,平衡时A、B带电小球处于同一高度,重力加速度为g,静电力常量为k.则 ( )
A.A、B间库仑力大小为
B.A、B间库仑力大小为2mg
C.细线拉力大小为mg
D.细线拉力大小为
D
[解析]根据题述和图中几何关系可知,A、B间的距离为r=l,根据库仑定律,可得库仑力大小为F=k=k,选项A错误;
对小球A受力分析,如图所示,受到竖直向下的重力mg,水平向右的库仑力F和细线的拉力FT,由==可知F=mg,FT=2mg,选项B、C错误;
又FT∶F=2∶,F=k,可得FT=,选项D正确.
1.(三个共线电荷的平衡问题)(多选)如图所示，光滑绝缘水平面上有三个带电小球、、(可视为点电荷)，三球沿一条直线摆放，仅在它们之间的静电力作用下静止，则以下判断正确的是( )
AD
A.对的静电力一定是引力 B.对的静电力可能是斥力
C.的电荷量可能比的少 D.的电荷量一定比的多
[解析] 根据静电力方向来确定各自电性，从而得出“两同夹一异”的结论，故A正确，B错误；由平衡条件来确定各电荷量的大小关系，因此在大小上一定为“两大夹一小”，故D正确，C错误.
2.(含库仑力的平衡问题)(多选)两个质量分别是、的小球、各用丝线悬挂在同一点，当两球分别带同种电荷且电荷量分别为、时，两丝线张开一定的角度、，如图所示，此时两个小球处于同一水平面上.下列说法正确的是( )
BC
A.若，则 B.若，则
C.若，则 D.若，则
[解析] 以为研究对象，对受力分析如图所示，由共点力平衡得，，联立解得，同理，不论、大小如何，两带电小球所受库仑力都属于作用力与反作用力，大小一定相等，故由知，大，则 小， 亦小；相等，则 相等，故选项B、C正确.
3.(含库仑力的动力学问题)(多选)如图所示，光滑水平桌面上有、两个带电小球(可以看成点电荷)，球带电荷量为，球带电荷量为，由静止同时释放、两球后球的加速度大小为球的3倍.现在、球中点固定一个带正电的球(也可看成点电荷)，再由静止同时释放、两球，释放瞬间两球加速度大小相等，则球带电荷量为( )
BC
A. B. C. D.
[解析] 已知由静止同时释放A、B两球后A球的加速度大小为B球的3倍，
而A、B两球所受的作用力大小相等，根据牛顿第二定律可知，A、B两个带电小球的质量之比为.当在A、B连线中点固定一个带正电的C球时，由静止同时释放A、B两球，释放瞬间两球的加速度大小相等，设C球与A、B两球相距均为，若两球的加速度方向相反，即A球的加速度方向向右，B球的加速度方向向左，则根据库仑定律与牛顿第二定律，对A有，对B有，联立解得；若两球的加速度方向相同，即A、B两球的加速度方向均向左，则根据库仑定律与牛顿第二定律，对A有，对B有，联立解得，故B、C正确，A、D错误.
知识点一 三个自由点电荷的平衡问题
1.[2024·重庆八中月考] 如图所示，在光滑绝缘的水平桌面上，放置三个可视为点电荷的小球、和，且、和在同一直线上，其中和固定，带电荷量分别为和，若小球能保持静止，则( )
C
A.一定带正电， B.一定带负电，
C.可能带正电， D.可能带负电，
[解析] 根据题意可知，若小球能保持静止，则小球、对的作用力等大反向，由同种电荷相互吸引，异种电荷相互排斥
可知，由于小球、带异种电荷，无论带何种电荷，小球、对的作用力方向都相反，设小球的带电荷量为，由库仑定律可得,可得,故选C.
2.[2024·河北衡水中学月考] 如图所示，两个点电荷的电荷量分别为和，分别固定于光滑绝缘水平面上相距的、两点，有一个点电荷放在、所在直线上且静止不动，则该点电荷所处的位置是( )
A
A.在点左侧处 B.在点右侧处
C.在点右侧处 D.无法确定
[解析] 因为，故该点电荷应在点的左侧，设它所带电荷量为，距点的距离为，则，代入数据解得，故选项A正确.
3.如图所示,光滑绝缘的水平地面上有相距为的点电荷、,带电荷量分别为和,今引入第三个点电荷,使三个点电荷都处于平衡状态,则的电荷量和放置的位置是( )
C
A.,在左侧距为处 B.,在左侧距为处
C.,在右侧距为处 D.,在右侧距为处
[解析] A、B、C三个点电荷要平衡,三个电荷必须共线且外侧两点电荷相排斥,中间点电荷吸引外侧两点电荷,而且外侧点电荷电荷量大,所以C必须带负电,放在B右侧,设B、C间的距离为,对C有,代入得,对B有,代入得,选项C正确.
知识点二 含库仑力的平衡问题
4.(多选)[2024·杭州二中期末] 如图所示，质量分别为、，电荷量分别为、的两小球，分别用绝缘轻丝线悬挂起来，静止时两丝线与竖直方向的夹角分别为 和，两小球恰在同一水平线上，那么( )
AC
A.两球一定带异种电荷
B.一定大于
C.一定小于
D.质量为的小球所受的静电力一定大于质量为的小球所受的静电力
[解析] 两小球相互吸引，所以A正确.两小球受到的静电力大小相等，无法判断电荷量的大小，选项B、D错误.设轻丝线与竖直方向的夹角为 ，根据平衡条件可得两球之间的静电力 ，因为 ，故，即，选项C正确.
5.如图所示，、两个带电小球用等长绝缘轻质细线悬挂于点，球固定，跟球相连的细线与竖直方向成一定的夹角，若其中一个小球由于漏电，电荷量缓慢减小，则关于、两球的间距和它们之间的库仑力大小的变化，下列说法中正确的是( )
B
A.间距变小，库仑力变大 B.间距变小，库仑力变小
C.间距变小，库仑力不变 D.间距变大，库仑力变小
[解析] 以小球B为研究对象，对其进行受力分析，受到重力、A的斥力和绝缘轻质细线的拉力三个力作用，受力示意图如图所示；作出、的合力，则由平衡条件得，根据得，在电荷量逐渐减少的过程中，根据库仑力公式得，在不变的情况下，A、B间斥力应变小，由于、(即)均不变，则比值也不变，所以与同时减小，B正确.
6.[2024·湖南岳阳期末] 如图所示，固定在水平地面上的光滑绝缘圆筒内有两个带正电小球、，位于筒底靠在左侧壁处，在右侧筒壁上受到的斥力作用处于静止.若筒壁竖直，的电荷量保持不变，由于漏电而下降少许后重新平衡，下列说法中正确的是( )
D
A.小球、间的库仑力变小 B.小球、间的库仑力不变
C.小球对筒壁的压力变小 D.小球对筒底的压力不变
[解析] 对B受力分析，如图甲所示，由平衡条件有，解得小球A、B间的库仑力，B下降， 角变大， 变小，库仑力变大，A、B错误；对A受力分析如图乙所示，由平衡条件有，筒壁对小球A的支持力为 ，由于和 都变大，则变大，小球A对筒壁的压力变大，C错误；以整体为研究对象可知，筒底对A球的支持力大小等于A、B两球的重力之和，D正确.
甲
乙
7.[2024·天津一中月考] 如图所示，为带正电的金属板，其所带电荷量为，在金属板的垂直平分线上，距板处放一质量为、电荷量为的小球，小球用绝缘细线悬挂于点，小球受水平向右的静电力，绝缘细线与竖直方向的夹角为 ，小球保持静止，静电力常量为，重力加速度为，则小球与金属板之间的静电力大小为( )
D
A. B. C. D.
[解析] A为带正电的金属板，此时不能将其看成点电荷，所以不能使用库仑定律求小球受到的静电力，故A、B错误；小球受到的静电力方向向右，重力竖直向下，则小球的受力情况如图所示，由平衡条件得 ，故C错误，D正确.
知识点三 含库仑力的动力学问题
8.如图所示，把一个带电小球固定在光滑的水平绝缘桌面上，在桌面的另一处放置带电小球，现给小球一个沿垂直于方向的速度(平行于桌面)，可知( )
C
A.若、为异种电荷，球可能做加速度变大、速度变小的曲线运动
B.若、为异种电荷，球一定做圆周运动
C.若、为同种电荷，球一定做远离的变加速曲线运动
D.若、为同种电荷，球的动能一定会减小
[解析] 若A、B为异种电荷，则A、B之间的库仑力为吸引力，当A、B之间的库仑力大于B所需要的向心力时，B球做近心运动，速度和加速度都变大；当A、B之间的库仑力小于B所需要的向心力时，B球做离心运动，
速度和加速度都减小；当A对B的库仑力恰好等于B球所需要的向心力时，B球做圆周运动，选项A、B错误．若A、B为同种电荷，则A、B之间的库仑力为排斥力，并且力的方向和速度的方向不在一条直线上，所以B球一定做曲线运动；由于A、B之间的距离越来越大，它们之间的库仑力越来越小，所以B球的加速度减小，而库仑力做正功，故B球的动能不断变大，选项C正确，D错误．
9.[2024·江苏南通期中] 如图所示，竖直平面内固定一光滑圆形绝缘轨道，、分别为轨道上的最高点和最低点，圆心处固定一负点电荷，带正电的小球沿轨道外做完整的圆周运动，则( )
D
A.球在点时受到的弹力方向指向圆心
B.球在点时受到的弹力大于库仑力
C.球从运动到的过程中动能不变
D.球从运动到的过程中机械能守恒
[解析] 根据弹力的方向特点可知球在A点时受到的弹力方向背离圆心，故A错误；球在B点时，由牛顿第二定律可得,易知受到的弹力小于库仑力，故B错误；球从A运动到B的过程中，库仑力不做功，重力做正功，由动能定理可知动能增加，故C错误；球从A运动到B的过程中只有重力做功，机械能守恒，故D正确.
10.电荷量为的小球绝缘固定在点，质量为、电荷量为的小球用绝缘细线悬挂，静止于点.、间距离为，、连线与竖直方向夹角为 角.静电力常量为，取，小球可视为点电荷.下列图示正确的是( )
B
A.&1& B.&2& C.&3& D.&4&
[解析] A、B间的静电力，，A对B作用力大小与B的重力相等，所以细线与竖直方向的夹角为 .
11.[2024·河北正定中学月考] 如图所示，处于同一竖直平面内的两根光滑绝缘细杆与竖直方向的夹角分别为 、，套在两根杆上的带电小球、(均可视为点电荷)恰好静止在同一水平面上.下列说法正确的是( )
C
A.
B.
C.若因漏电小球电荷量逐渐减小，重新平衡后，、之间的库仑力一定不变
D.若因漏电小球电荷量逐渐减小，重新平衡后，、连线一定不再保持水平
[解析] A、B间的库仑力大小相等设为，根据库仑定律有，则不能判断电荷量的大小关系，故A错误；对B受力分析如图所示，根据平衡条件有，同样对A有，则，即，B错误；若因漏电小球的电荷量逐渐减小，重新平衡后，由于A、B受到的重力和杆对A、B的弹力也不变，故库仑力也不变，A、B连线仍在一条直线上，C正确，D错误.
12.如图所示，真空中两个相同的小球带有等量同种电荷，质量均为，分别用长的绝缘细线悬挂于绝缘天花板上的一点，当平衡时球偏离竖直方向 ，球竖直悬挂且与绝缘墙壁接触(两带电小球均可视为点电荷)，静电力常量，取，求：
(1) 两个小球所带电荷量；
[答案]
[解析] 对球受力分析如图甲所示.球受力平衡，则拉力与库仑力的合力大小等于重力大小，方向与重力方向相反，由几何知识可知
甲
根据库仑定律得
代入数据解得
(2) 墙壁受到的压力；
[答案] ，方向水平向左
[解析] 对球受力分析如图乙所示
乙
A球受力平衡，所以
由牛顿第三定律可知，墙受到小球的压力大小为
，方向水平向左
(3) 、分别受到的细线拉力的大小.
[答案] ;
[解析] 球受力平衡，则有
由(1)分析知
13.如图所示，边长为的立方体八个顶点上有八个带电质点，其中顶点、上的质点所带电荷量分别为、，其他质点所带电荷量未知，上的质点仅在静电力作用下处于平衡状态，现将上的质点电荷量变成，则顶点上质点受力的合力大小为( )
B
A. B. C. D.0
[解析] 根据库仑定律可得，现将上质点电荷量变成，其他质点对A上质点的作用力不变，上质点对A上质点的作用力大小不变、方向相反，则顶点A上质点受到的合力大小为，故B正确.
14.如图所示，带电小球和放在倾角为 的光滑绝缘斜面上，质量均为，所带电荷量分别为和，沿斜面向上的恒力作用于球，可使、两球保持间距不变且沿斜面向上加速运动，已知重力加速度为，静电力常量为，求：
(1) 加速度的大小；
[答案]
[解析] 根据库仑定律，两球相互吸引的库仑力为
对球，由牛顿第二定律有
联立解得加速度大小为
(2) 的大小.
[答案]
[解析] 把球和球看成整体，由牛顿第二定律有
解得专题课:库仑定律的应用
例1 在A的外侧距离为r处 对C的电性和电荷量均没有要求
[解析] 若C受力平衡,则必须和A、B在同一条直线上,因为A、B带异号电荷,所以C不可能在它们中间.根据库仑力和距离的二次方成反比,可推知C应该在A、B的连线上,且在A的外侧(离带电荷量少的电荷近一点的地方),如图所示.
设C与A的距离是x,根据库仑定律和平衡条件得
k=k
将已知量代入,解得x=r(x=-舍去)
对C的电荷量及电性均没有要求.
变式 C [解析] 若Q3为负电荷,且放于B右方,则Q1对Q3的静电力和Q2对Q3的静电力方向均向右,整个系统不可能处于平衡状态,A错误;若Q3为负电荷,且放于A左方,则Q1对Q3的静电力和Q2对Q3的静电力方向均向左,整个系统不可能处于平衡状态,B错误;若Q3为正电荷,且放于A、B之间,则Q1对Q3的电场力向左,Q2对Q3的电场力向右,再用同样的方法研究A、B的受力情况,可知整个系统可能处于平衡状态,C正确;若Q3为正电荷,且放于B右方,则Q1对Q3的电场力和Q2对Q3的电场力方向均向左,整个系统不可能处于平衡状态,D错误.
例2 AD [解析] 以B球为研究对象,B球受重力及A、C球对B球的静电力而处于平衡状态,则A、C球对B球的静电力的合力应与重力大小相等、方向相反,而静电力的方向只能沿两电荷的连线方向,则A球对B球的静电力应指向A,C球对B球的静电力应指向B球的左侧,由此可知,B、C球都应带负电荷,A正确,B错误;由受力分析图可知,A球对B球的静电力应为C球对B球的静电力的2倍,故C球所带电荷量应为A球所带电荷量的一半,同理分析C球可知,B球所带电荷量也应为A球所带电荷量的一半,故B、C球所带电荷量相等,C错误,D正确.
例3 ACD [解析] 对A球受力分析,受到三个力,如图所示,小球B向左缓慢推动一小段距离后,库仑力与竖直方向的夹角θ变小,A的重力不变,由mAg=F库cos θ知,库仑力F库变小,由F库=k知,两球间距变大,A正确;由FN=F库sin θ知墙面对小球A的弹力FN变小,即A球对墙面的压力变小,B错误;对两球整体分析,墙面对球的弹力大小等于推力F,则推力F将减小,C正确;由F地=(mA+mB)g可知,水平地面对B球的支持力不变,D正确.
例4 C [解析] 将A和B整体为研究对象,当大小为F的力作用在B时,根据牛顿第二定律可知a1=,以A为研究对象,可知k=ma1;当大小为的力作用在A上时,加速度为a2=,以B为研究对象,可知k=2ma2,联立解得x=L,C正确.
随堂巩固
1.AD [解析] 根据静电力方向来确定各自电性,从而得出“两同夹一异”的结论,故A正确,B错误;由平衡条件来确定各电荷量的大小关系,因此在大小上一定为“两大夹一小”,故D正确,C错误.
2.BC [解析] 以a为研究对象,对a受力分析如图所示,由共点力平衡得FTsin θ1=F斥,FTcos θ1=m1g,联立解得tan θ1=,同理tan θ2=,不论q1、q2大小如何,两带电小球所受库仑力都属于作用力与反作用力,大小一定相等,故由tan θ=知,m大,则tan θ小,θ亦小(θ<);m相等,则θ相等,故选项B、C正确.
3.BC [解析] 已知由静止同时释放A、B两球后A球的加速度大小为B球的3倍,而A、B两球所受的作用力大小相等,根据牛顿第二定律F=ma可知,A、B两个带电小球的质量之比为1∶3.当在A、B连线中点固定一个带正电的C球时,由静止同时释放A、B两球,释放瞬间两球的加速度大小相等,设C球与A、B两球相距均为r,若两球的加速度方向相反,即A球的加速度方向向右,B球的加速度方向向左,则根据库仑定律与牛顿第二定律,对A有k-k=ma,对B有k+k=3ma,联立解得QC=q;若两球的加速度方向相同,即A、B两球的加速度方向均向左,则根据库仑定律与牛顿第二定律,对A有k-k=ma,对B有k+k=3ma,联立解得QC=q,故B、C正确,A、D错误.专题课:库仑定律的应用
1.C [解析] 根据题意可知,若小球P能保持静止,则小球M、N对P的作用力等大反向,由同种电荷相互吸引,异种电荷相互排斥可知,由于小球M、N带异种电荷,无论P带何种电荷,小球M、N对P的作用力方向都相反,设小球P的带电荷量为q,由库仑定律可得,可得q1>q2,故选C.
2.A [解析] 因为|q1|<|q2|,故该点电荷应在a点的左侧,设它所带电荷量为q,距a点的距离为x,则k=k,代入数据解得x=40 cm,故选项A正确.
3.C [解析] A、B、C三个点电荷要平衡,三个电荷必须共线且外侧两点电荷相排斥,中间点电荷吸引外侧两点电荷,而且外侧点电荷电荷量大,所以C必须带负电,放在B右侧,设B、C间的距离为r,对C有=k,代入得r=L,对B有,代入得qC=4Q,选项C正确.
4.AC [解析] 两小球相互吸引,所以A正确.两小球受到的静电力大小相等,无法判断电荷量的大小,选项B、D错误.设轻丝线与竖直方向的夹角为θ,根据平衡条件可得两球之间的静电力F=mgtan θ,因为α>β,故m1g5.B [解析] 以小球B为研究对象,对其进行受力分析,受到重力G、A的斥力F2和绝缘轻质细线的拉力F1三个力作用,受力示意图如图所示;作出F1、F2的合力F,则由平衡条件得F=G,根据△CBD∽△OAB得,在电荷量逐渐减少的过程中,根据库仑力公式得F2=,在AB不变的情况下,A、B间斥力F2应变小,由于OA、G(即F)均不变,则比值也不变,所以AB与F2同时减小,B正确.
6.D [解析] 对B受力分析,如图甲所示,由平衡条件有F库cos θ=mBg,解得小球A、B间的库仑力F库=,B下降,θ角变大,cos θ变小,库仑力F库变大,A、B错误;对A受力分析如图乙所示,由平衡条件有,筒壁对小球A的支持力为F=F库sin θ,由于F库和sin θ都变大,则F变大,小球A对筒壁的压力变大,C错误;以整体为研究对象可知,筒底对A球的支持力大小等于A、B两球的重力之和,D正确.
甲
乙
7.D [解析] A为带正电的金属板,此时不能将其看成点电荷,所以不能使用库仑定律求小球受到的静电力,故A、B错误;小球受到的静电力方向向右,重力竖直向下,则小球的受力情况如图所示,由平衡条件得F=mgtan θ,故C错误,D正确.
8.C [解析] 若A、B为异种电荷,则A、B之间的库仑力为吸引力,当A、B之间的库仑力大于B所需要的向心力时,B球做近心运动,速度和加速度都变大;当A、B之间的库仑力小于B所需要的向心力时,B球做离心运动,速度和加速度都减小;当A对B的库仑力恰好等于B球所需要的向心力时,B球做圆周运动,选项A、B错误.若A、B为同种电荷,则A、B之间的库仑力为排斥力,并且力的方向和速度的方向不在一条直线上,所以B球一定做曲线运动;由于A、B之间的距离越来越大,它们之间的库仑力越来越小,所以B球的加速度减小,而库仑力做正功,故B球的动能不断变大,选项C正确,D错误.
9.D [解析] 根据弹力的方向特点可知球在A点时受到的弹力方向背离圆心,故A错误;球在B点时,由牛顿第二定律可得F库-F弹-mg=Fn,易知受到的弹力小于库仑力,故B错误;球从A运动到B的过程中,库仑力不做功,重力做正功,由动能定理可知动能增加,故C错误;球从A运动到B的过程中只有重力做功,机械能守恒,故D正确.
10.B [解析] A、B间的静电力FAB=k=2 N,G=mg=2 N,A对B作用力大小与B的重力相等,所以细线与竖直方向的夹角为60°.
11.C [解析] A、B间的库仑力大小相等设为F,根据库仑定律有F=k,则不能判断电荷量的大小关系,故A错误;对B受力分析如图所示,根据平衡条件有F=,同样对A有F=,则,即,B错误;若因漏电小球的电荷量逐渐减小,重新平衡后,由于A、B受到的重力和杆对A、B的弹力也不变,故库仑力也不变,A、B连线仍在一条直线上,C正确,D错误.
12.(1)×10-7 C (2)×10-3 N,方向水平向左
(3)1.5×10-3 N 1×10-3 N
[解析] (1)对B球受力分析如图甲所示.B球受力平衡,则拉力与库仑力的合力大小等于重力大小,方向与重力方向相反,由几何知识可知F=mg=FTB
甲
根据库仑定律得F=k
代入数据解得q=×10-7 C
(2)对A球受力分析如图乙所示
乙
A球受力平衡,所以
FN=Fsin 60°=mgsin 60°=×10-3 N
由牛顿第三定律可知,墙受到小球的压力大小为
×10-3 N,方向水平向左
(3)A球受力平衡,则有
FTA=mg+Fcos 60°=1.5×10-3 N
由(1)分析知FTB=mg=1×10-3 N
13.B [解析] 根据库仑定律可得FC'A=,现将C'上质点电荷量变成-Q,其他质点对A上质点的作用力不变,C'上质点对A上质点的作用力大小不变、方向相反,则顶点A上质点受到的合力大小为,故B正确.
14.(1)g (2)
[解析] (1)根据库仑定律,两球相互吸引的库仑力为F库=k
对B球,由牛顿第二定律有F库-mgsin 30°=ma
联立解得加速度大小为a=g
(2)把A球和B球看成整体,由牛顿第二定律有
F-2mgsin 30°=2ma
解得F=专题课:库仑定律的应用
学习任务一 三个共线点电荷的平衡问题
[物理观念] (1)条件:每个点电荷受到的两个库仑力大小相等,方向相反.
(2)规律:
①“三点共线”——三个点电荷分布在同一直线上;
②“两同夹异”——正、负电荷相互间隔;
③“两大夹小”——中间电荷的电荷量最小;
④“近小远大”——中间电荷靠近电荷量较小的电荷.
(3)注意:若两个点电荷固定,让新引入的一个自由点电荷平衡,则只能确定其位置,对其电性和电荷量无要求.
例1 [2024·江苏盐城中学月考] 真空中有两个距离为r的点电荷A和B,它们位于同一条直线上,带电荷量分别为q1=-q和q2=4q.若A、B固定,则在此条直线上的什么位置放入第三个点电荷C,可使点电荷C处于平衡状态 对C的电荷量及电性有无要求
变式 两个可自由移动的点电荷分别放在A、B两处,如图所示.A处电荷带负电,电荷量为Q1,B处电荷带负电,电荷量为Q2,且Q2 = 5Q1,另取一个可以自由移动的点电荷Q3,放在AB直线上,欲使整个系统处于平衡状态,则 ( )
A.Q3为负电荷,且放于B右方
B.Q3为负电荷,且放于A左方
C.Q3为正电荷,且放于A、B之间
D.Q3为正电荷,且放于B右方
学习任务二 含库仑力的平衡问题
[科学思维] 分析静电力作用下点电荷的平衡问题时,方法仍然与力学中分析物体的平衡方法一样,具体步骤如下:
(1)确定研究对象:如果有几个物体相互作用,要依据题意,适当选取“整体法”或“隔离法”.
(2)对研究对象进行受力分析,此时多了静电力(F=).
(3)根据F合=0列方程,若采用正交分解,则有Fx=0,Fy=0.
(4)求解方程.
例2 (多选)如图所示,用三根长度相同的绝缘细线将三个带电小球连接后悬挂在空中,三个带电小球质量相等,A球带正电,平衡时三根绝缘细线都是直的,但拉力都为零.则( )
A.B球和C球都带负电荷
B.B球带负电荷,C球带正电荷
C.B球和C球所带电荷量不一定相等
D.B球和C球所带电荷量一定相等
例3 (多选)如图所示,竖直墙面与水平地面均光滑且绝缘.两个带有同种电荷的小球A、B(均可视为质点)分别位于竖直墙面和水平地面上,且处于同一竖直平面内.若用图示方向的水平推力F作用于小球B, 则两球静止于图示位置.如果将小球B向左推动少许,并待两球重新达到平衡时,与原来相比 ( )
A.两小球的间距变大
B.B球受到的推力F变大
C.A球对竖直墙面的压力变小
D.水平地面对B球的支持力不变
[反思感悟]
【要点总结】
在共点力(包括库仑力)的平衡中,解决动态平衡类问题常用图解法,图解法就是在对物体进行受力分析(一般受三个力)的基础上,若满足有一个力大小、方向均不变,另有一个力方向不变,可画出这三个力的封闭矢量三角形来分析力的变化情况的方法;如果有一个力是恒力,另外两个力方向都变化,且题目给出了空间几何三角形关系,多数情况下力的矢量三角形与空间几何三角形相似,可利用相似三角形对应边成比例来进行计算.
学习任务三 含库仑力的动力学问题
[科学思维] 静电力作用下的加速问题可以归纳为“电学问题、力学方法”,遵循力学规律和力的运算法则.在分析具体问题时应注意:
(1)受力分析:除分析重力、弹力、摩擦力等之外,还要分析静电力的作用.
(2)状态分析:通过分析确定带电体运动状态.
(3)根据问题情境和提供的条件选取适当的物理规律列方程求解.
例4 如图所示,光滑绝缘水平面上有质量分别为m和2m的带有异种电荷的小球A、B(A、B可视为质
点),在B球上施加水平向右、大小为F的作用力后,当两小球保持相对静止时,A、B球间的距离为L;若改用方向水平向左、大小为的力作用在A球上后,两小球仍能保持相对静止时,则A、B球间的距离为( )
A.4L
B.2L
C.L
D.L
1.(三个共线电荷的平衡问题)(多选)如图所示,光滑绝缘水平面上有三个带电小球a、b、c(可视为点电荷),三球沿一条直线摆放,仅在它们之间的静电力作用下静止,则以下判断正确的是 ( )
A.a对b的静电力一定是引力
B.a对b的静电力可能是斥力
C.a的电荷量可能比b的少
D.a的电荷量一定比b的多
2.(含库仑力的平衡问题)(多选)两个质量分别是m1、m2的小球a、b各用丝线悬挂在同一点,当两球分别带同种电荷且电荷量分别为q1、q2时,两丝线张开一定的角度θ1、θ2,如图所示,此时两个小球处于同一水平面上.下列说法正确的是( )
A.若m1>m2,则θ1>θ2 B.若m1=m2,则θ1=θ2
C.若m1θ2 D.若q1>q2,则θ1=θ2
3.(含库仑力的动力学问题)(多选)如图所示,光滑水平桌面上有A、B两个带电小球(可以看成点电荷),A球带电荷量为+3q,B球带电荷量为-q,由静止同时释放A、B两球后A球的加速度大小为B球的3倍.现在A、B球中点固定一个带正电的C球(也可看成点电荷),再由静止同时释放A、B两球,释放瞬间两球加速度大小相等,则C球带电荷量为( )
A.q
B.q
C.q
D.q专题课:库仑定律的应用建议用时:40分钟
◆ 知识点一 三个自由点电荷的平衡问题
1.[2024·重庆八中月考] 如图所示,在光滑绝缘的水平桌面上,放置三个可视为点电荷的小球M、N和P,且M、N和P在同一直线上,其中M和N固定,带电荷量分别为-q1和+q2,若小球P能保持静止,则( )
A.P一定带正电,q1=q2
B.P一定带负电,q1=q2
C.P可能带正电,q1>q2
D.P可能带负电,q12.[2024·河北衡水中学月考] 如图所示,两个点电荷的电荷量分别为q1=4×10-9 C和q2=-9×10-9 C,分别固定于光滑绝缘水平面上相距20 cm的a、b两点,有一个点电荷c放在a、b所在直线上且静止不动,则该点电荷所处的位置是 ( )
A.在a点左侧40 cm处
B.在a点右侧8 cm处
C.在b点右侧20 cm处
D.无法确定
3.如图所示,光滑绝缘的水平地面上有相距为L的点电荷A、B,带电荷量分别为-4Q和+Q,今引入第三个点电荷C,使三个点电荷都处于平衡状态,则C的电荷量和放置的位置是 ( )
A.-Q,在A左侧距A为L处
B.-2Q,在A左侧距A为处
C.-4Q,在B右侧距B为L处
D.+2Q,在A右侧距A为处
◆ 知识点二 含库仑力的平衡问题
4.(多选)[2024·杭州二中期末] 如图所示,质量分别为m1、m2,电荷量分别为q1、q2的两小球,分别用绝缘轻丝线悬挂起来,静止时两丝线与竖直方向的夹角分别为α和β(α>β),两小球恰在同一水平线上,那么( )
A.两球一定带异种电荷
B.q1一定大于q2
C.m1一定小于m2
D.质量为m1的小球所受的静电力一定大于质量为m2的小球所受的静电力
5.如图所示,A、B两个带电小球用等长绝缘轻质细线悬挂于O点,A球固定,跟B球相连的细线与竖直方向成一定的夹角,若其中一个小球由于漏电,电荷量缓慢减小,则关于A、B两球的间距和它们之间的库仑力大小的变化, 下列说法中正确的是 ( )
A.间距变小,库仑力变大
B.间距变小,库仑力变小
C.间距变小,库仑力不变
D.间距变大,库仑力变小
6.[2024·湖南岳阳期末] 如图所示,固定在水平地面上的光滑绝缘圆筒内有两个带正电小球A、B,A位于筒底靠在左侧壁处,B在右侧筒壁上受到A的斥力作用处于静止.若筒壁竖直,A的电荷量保持不变,B由于漏电而下降少许后重新平衡,下列说法中正确的是( )
A.小球A、B间的库仑力变小
B.小球A、B间的库仑力不变
C.小球A对筒壁的压力变小
D.小球A对筒底的压力不变
7.[2024·天津一中月考] 如图所示,A为带正电的金属板,其所带电荷量为Q,在金属板的垂直平分线上,距板r处放一质量为m、电荷量为q的小球,小球用绝缘细线悬挂于O点,小球受水平向右的静电力,绝缘细线与竖直方向的夹角为θ,小球保持静止,静电力常量为k,重力加速度为g,则小球与金属板之间的静电力大小为 ( )
A.k
B.k
C.
D.mgtan θ
◆ 知识点三 含库仑力的动力学问题
8.如图所示,把一个带电小球A固定在光滑的水平绝缘桌面上,在桌面的另一处放置带电小球B,现给小球B一个沿垂直于AB方向的速度v0(平行于桌面),可知 ( )
A.若A、B为异种电荷,B球可能做加速度变大、速度变小的曲线运动
B.若A、B为异种电荷,B球一定做圆周运动
C.若A、B为同种电荷,B球一定做远离A的变加速曲线运动
D.若A、B为同种电荷,B球的动能一定会减小
9.[2024·江苏南通期中] 如图所示,竖直平面内固定一光滑圆形绝缘轨道,A、B分别为轨道上的最高点和最低点,圆心O处固定一负点电荷,带正电的小球沿轨道外做完整的圆周运动,则 ( )
A.球在A点时受到的弹力方向指向圆心
B.球在B点时受到的弹力大于库仑力
C.球从A运动到B的过程中动能不变
D.球从A运动到B的过程中机械能守恒
10.电荷量为4×10-6 C的小球绝缘固定在A点,质量为0.2 kg、电荷量为-5×10-6 C的小球用绝缘细线悬挂,静止于B点.A、B间距离为30 cm,A、B连线与竖直方向夹角为60°角.静电力常量为9.0×109 N·m2/C2,g取10 m/s2,小球可视为点电荷.下列图示正确的是( )
11.[2024·河北正定中学月考] 如图所示,处于同一竖直平面内的两根光滑绝缘细杆与竖直方向的夹角分别为α、β(α<β),套在两根杆上的带电小球A、B(均可视为点电荷)恰好静止在同一水平面上.下列说法正确的是 ( )
A.
B.
C.若因漏电小球电荷量逐渐减小,重新平衡后,A、B之间的库仑力一定不变
D.若因漏电小球电荷量逐渐减小,重新平衡后,A、B连线一定不再保持水平
12.如图所示,真空中两个相同的小球带有等量同种电荷,质量均为0.1 g,分别用10 cm长的绝缘细线悬挂于绝缘天花板上的一点,当平衡时B球偏离竖直方向60°,A球竖直悬挂且与绝缘墙壁接触(两带电小球均可视为点电荷),静电力常量k=9.0×109 N·m2/C2,g取10 m/s2,求:
(1)两个小球所带电荷量;
(2)墙壁受到的压力;
(3)A、B分别受到的细线拉力的大小.
13.如图所示,边长为a的立方体ABCD-A'B'C'D'八个顶点上有八个带电质点,其中顶点A、C'上的质点所带电荷量分别为q、Q,其他质点所带电荷量未知,A上的质点仅在静电力作用下处于平衡状态,现将C'上的质点电荷量变成-Q,则顶点A上质点受力的合力大小为 ( )
A.
B.
C.
D.0
14.如图所示,带电小球A和B放在倾角为30°的光滑绝缘斜面上,质量均为m,所带电荷量分别为+q和-q,沿斜面向上的恒力F作用于A球,可使A、B两球保持间距r不变且沿斜面向上加速运动,已知重力加速度为g,静电力常量为k,求:
(1)加速度a的大小;
(2)F的大小.
