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※专题课：电场线和等势面的综合应用
学习任务一 带电粒子在电场中的运动轨迹综合分析
学习任务二 带电粒子在等差等势面中运动的定量计算
备用习题
练习册
◆
随堂巩固
学习任务一 带电粒子在电场中的运动轨迹综合分析
［科学思维］ 解决带电粒子在电场中运动轨迹问题的分析方法：
1.判断速度方向：带电粒子运动轨迹上某点的切线方向为粒子在该点处的速度方向.
2.判断静电力(或电场强度)的方向：仅受静电力作用时，带电粒子所受静电力方向指向轨迹曲线的凹侧，再根据粒子的正负判断该点处电场强度的方向.
3.判断静电力做功的正负及电势能的增减：若静电力与速度方向成锐角，则静电力做正功，电势能减小；若静电力与速度方向成钝角，则静电力做负功，电势能增大.
4.判断粒子动能的增减：可以根据动能定理或功能关系判断动能的变化情况.
例1 (多选)某静电除尘设备集尘板的内壁带正电,设备中心位置有一个带负电的放电极,它们之间的电场线分布如图所示,虚线为某带电烟尘颗粒(重力不计)的运动轨迹,
、
是轨迹上的两点,
点与
点关于放电极对称.下列说法正确的是( )
AC
A.
点电势低于
点电势
B.
点电场强度小于
点电场强度
C.烟尘颗粒在
点的动能小于在
点的动能
D.烟尘颗粒在
点的电势能小于在
点的电势能
[解析] 由沿电场线方向电势降低可知,A点电势低于B点电势,A正确;由图可知,A点处电场线比C点处电场线密集,因此A点的电场强度大于C点的电场强度,B错误;烟尘颗粒带负电,从A到B的过程中,静电力做正功,动能增加,电势能减小，故烟尘颗粒在A点的动能小于在B点的动能,烟尘颗粒在A点的电势能大于在B点的电势能,C正确,D错误.
变式 如图所示，图中虚线为某静电场中的等差等势线，实线为某带电粒子在该静电场中的运动轨迹，
、
、
为粒子的运动轨迹和等势线的交点，粒子只受静电力作用，以下说法正确的是( )
D
A.
点的电场强度大于
点的电场强度 B.粒子在
点的动能比在
点的动能小
C.粒子在
点和
点的速度相同 D.粒子在
点的电势能比在
点的电势能大
[解析] 根据等差等势线越密，场强越强的特点，
点的电场强度小于
点的电场强度，所以A错误；由曲线运动合外力指向轨迹凹侧，可知粒子从
到
过程中，静电力做负功，则粒子在
点的动能比在
点的动能大，所以B错误；
点与
点处于同一等势线上，粒子在
点和
点的速度大小相等，但是方向不同，所以C错误；粒子从
到
，静电力做正功，粒子在
点的电势能比在
点的电势能大，所以D正确.
学习任务二 带电粒子在等差等势面中运动的定量计算
［科学思维］ 在解决这类问题时常用到动能定理,有时也会用到功能关系.
(1)应用动能定理解决问题需研究合外力做的功(或总功).
(2)应用功能关系解决该类问题需明确电场力做功与电势能变化之间的对应关系.
例2 (多选)[2024·北京二中期末] 静电透镜是电子透镜的一种，它被广泛应用于电子器件(如阴极射线示波管)中.如图所示，虚线是某电子透镜中电场的等差等势线，一电子在该电场中的运动轨迹如图中实线所示，
、
、
分别是轨迹与等势线的交点.已知
点的电势为零，电子在
点的动能为
，在
点的电势能为
，不计电子重力，下列说法正确的是( )
BC
A.电子一定是从
点运动到
点
B.电子在经过等势线
时的动能为
C.
点的电场强度大于
点的
D.电子在关于等势线
对称的两点所受电场力相同
[解析] 分析可知粒子可能是从A点运动到C点，也可能是从C点运动到A点，A错误；电子只在电场力作用下运动，则电子的电势能和动能之和不变，为
，又题图中为等差等势线，B点的电势为
，A点的电势为零，则等势线
的电势为
，电子在经过等势线
时的电势能为
，所以动能为
，B
正确；根据等差等势线的疏密表示电场强度的大小可知B点的电场强度大于A点的，C正确；电子在关于等势线
对称的两点所受电场力大小一定相同，但方向不一定相同，D错误.
1.产生闪电的积雨云底层带负电,为避免闪电造成的损害,高大的建筑物会装有避雷针.图中虚线为避雷针周围的等势线,a、b两点的场强大小分别为Ea、Eb,a、b两点的电势分别为φa、φb,则 ( )
A.φa<φb
B.Ea>Eb
C.避雷针的顶端带负电
D.一带负电的雨滴从a下落至b,电场力做负功
A
[解析] 产生闪电的积雨云底层带负电,避雷针带正电,电场线由避雷针指向云底层,C错误;
沿着电场线方向,电势逐渐降低,则φa<φb,A正确;
等势线越密集,电场强度越大,故Ea
一带负电的雨滴从a下落至b,电场力做正功,D错误.
2. (多选)位于正方形四顶点上的四个等量点电荷的电场线分布如图所示,ab、cd分别是正方形两条边的中垂线,O点为中垂线的交点,P、Q分别为cd、ab上的点,且POA.P、O两点的电势关系为φP=φO
B.P、Q两点的电场强度的大小关系为EQC.若在O点放一正点电荷,则该正点电荷受到的电场力不为零
D.若将某一负电荷由P点沿着图中曲线PQ移到Q点,电场力做负功
AB
[解析] 根据电场叠加,由图像可知ab、cd两中垂线上各点的电势都为零,所以P、O两点的电势相等,A正确;
电场线的疏密表示场强的大小,根据图像知EP>EQ,B正确;
四个点电荷在O点产生的电场相互抵消,场强为零,故在O点放一正点电荷,则该正点电荷受到的电场力为零,C错误;
P、Q电势相等,若将某一负电荷由P点沿着图中曲线PQ移到
Q点,电场力做功为零,D错误.
3.如图所示是高压电场干燥中药技术基本原理图,在大导体板MN上铺一薄层中药材,针状电极O和平板电极MN接高压直流电源,其间产生较强的电场.水分子是极性分子,可以看成棒状带电体,一端带正电,另一端带等量负电;水分子在电场力的作用下会加速从中药材中分离出去,在鼓风机的作用下飞离电场区域从而加速干燥.图中虚线ABCD是某一水分子从A处由静止开始的运动轨迹.下列说法正确的是( )
A.A处的电场强度大于D处
B.B处的电势高于C处
C.水分子做匀变速运动
D.水分子由A运动到C的过程中电势能减少
D
[解析] 电场线密的地方电场强度大,由图可知,A处的电场强度小于D处,A错误;
顺着电场线方向电势降低,B处的电势低于C处,B错误;
水分子受到的电场力是变力,所以做变加速运动,C错误;
水分子两端带等量异种电荷,所以棒状水分子与电场方向平行,且上端的电场强度大,受到较大的电场力,故水分子受到的合力沿电场线向上,即电场力对水分子做正功,根据功能关系可知电势能减少,D正确.
4.如图所示,三条相互平行、距离相等的虚线分别表示电场中的三个等势面,对应的电势分别为5 V、10 V、15 V,实线是一不计重力的带电粒子在该区域内的运动轨迹,则可知 ( )
A.粒子一定带正电荷
B.粒子在a、b、c三点中,在b点时所受电场力最大
C.粒子在三点的动能大小为Ekc>Eka>Ekb
D.粒子在三点的电势能大小为Epc>Epa>Epb
C
[解析] 由等势面的特点知,该电场为匀强电场,粒子在a、b、c三点所受电场力相等,电场线方向垂直等势面向上,而粒子所受电场力方向向下,故粒子带负电荷,A、B错误;
根据负电荷在电势高处电势能小,动能大,则知粒子在b点电势能最大,动能最小,且有Epb>Epa>Epc,Ekb5. (多选)两个位于纸面内的点电荷产生电场的等势面如图中实线所示,相邻等势面间的电势差相等.虚线MPN是一个电子在该电场中的运动轨迹,轨迹与某等势面相切于P点.下列说法正确的是 ( )
A.两点电荷可能是异种点电荷
B.A点的电场强度比B点的大
C.A点的电势高于B点的电势
D.电子运动到P点时动能最小
CD
[解析] 根据电荷间等势面的分布情况可知两点电荷是同种电荷,又根据电子在该电场中的运动轨迹可判断电子一直受到排斥的力,故可知两点电荷为同种负电荷,A错误;
根据等差等势面的疏密程度可以判断A点的电场强度比B点的小,B错误;
因为两点电荷是同种负电荷,电场线指向负电荷,故可知A点的电势高于B点的电势,C正确;
根据电子的运动轨迹和电场线的方向可知电子由M到P电场力做负功,由P到N电场力做正功,电子由M到P动能减少,由P到N动能增加,故电子运动到
P点时动能最小,D正确.
1.(带电粒子的运动轨迹分析)(多选)如图所示，虚线、、表示某电场中的三个等势面，相邻等势面间的电势差相等，一电子从右侧垂直等势面向左进入电场，运动轨迹与等势面分别交于、、三点，则可以判断( )
AD
A.三个等势面的电势大小为 B.三个等势面的电势大小为
C.电子由到电势能不断减小 D.电子由到动能不断减小
[解析] 电子在点受力和运动方向如图，并由此进一步得出电场线垂直等势面指向左，，A正确，B错误；从至电场力做负功，电势能不断增加，动能不断减小，C错误，D正确.
2.(带电粒子的运动轨迹分析)如图所示，虚线1、2、3，为某电场中的三条电场线，实线表示某带电粒子仅在电场力作用下的运动轨迹，、是轨迹上的两点，则下列说法正确的是( )
B
A.粒子在点的加速度大于在点的加速度 B.粒子在点的电势能大于在点的电势能
C.粒子在点的速度大于在点的速度 D.点的电势高于点的电势
[解析] 利用电场线的疏密可比较各点电场强度的大小，点处的电场线相对点较为稀疏，所以，根据牛顿第二定律可知，选项A错误；假设粒子从点向点运动，在点，粒子速度方向与受力方向如图所示，所以粒子从点到点，电场力做正功，电
势能减小，同理，若粒子从点向点运动，电场力做负功，电势能增加，所以粒子在点的电势能大于在点的电势能，选项B正确；粒子运动过程中仅受电场力，则电势能和动能相互转化，因为粒子在点的电势能大于在点的电势能，则，根据可知，选项C错误；粒子的电性和电场线的方向均未知，所以无法比较、两点电势的高低，选项D错误.
3.(带电粒子在等差等势面中的运动)如图所示，虚线、、、是某匀强电场中的4个平行且等距的等势面，两等势面间的距离为，其中等势面的电势为0，一电子仅在静电力的作用下运动，经过、等势面时的动能分别为和，则下列说法正确的是( )
D
A.等势面的电势为
B.该匀强电场的电场强度为，方向水平向右
C.该电子运动过程中机械能守恒
D.该电子可能到达电势为的等势面
[解析] 电子只在静电力的作用下运动，经过A、D等势面时的动能分别为和，根据动能定理，,解得,可得相邻等势面间的电势差为，，可解得，A错误；电场强度，方向向右，B错误；电子仅在静电力的作用下运动，静电力做功，所以机械能不守恒，C错误；只有电场力做功，动能与电势能之和保持不变，总能量为，则在的等势面上动能为，可能到达电势为的等势面，D正确.
知识点一 带电粒子的运动轨迹综合问题
1.若带正电荷的微粒在电场中运动，只受静电力作用，它在任意一段时间内( )
D
A.一定沿电场线由高电势处向低电势处运动
B.一定沿电场线由低电势处向高电势处运动
C.不一定沿电场线运动，但一定由高电势处向低电势处运动
D.不一定沿电场线运动，也不一定由高电势处向低电势处运动
[解析] 微粒的运动情况取决于合外力和初速度的关系，微粒只受到静电力的作用，是否沿电场线运动，还要看电场线是直线还是曲线，微粒有没有初速度及初速度方向与电场线的关系；只有当电场线是直线且微粒的运动方向沿着电场线时，微粒才沿电场线运动，若微粒有一定初速度，则微粒不一定由高电势处向低电势处运动，故A、B、C错误，D正确.
2.[2024·北大附中期末] 如图所示，虚线、、代表某一电场中的三个等势面，相邻等势面之间的电势差相等，实线为一带正电的粒子仅在静电力作用下通过该区域时的运动轨迹，、、是这条轨迹上的三点，其中在等势面上.下列判断正确的是( )
D
A.三个等势面中，的电势最低
B.带电粒子在点的电势能比在点的小
C.带电粒子在点的动能与电势能之和比在点的小
D.带电粒子在点的加速度方向垂直于等势面
[解析] 带电粒子所受静电力指向轨迹弯曲的内侧，电场线与等势面垂直，且带电粒子带正电，因此电场线指向右下方，根据沿电场线电势降低，可知的电势最高，的电势最低，A错误；因，故带电粒子在点具有的电势能比在点具有的电势能大，B错误；只有静电力做功，所以带电粒子在点的动能与电势能之和与在点
的相等，C错误；电场的方向总是与等势面垂直，所以点的电场线的方向与该处的等势面垂直，而带正电粒子受到的静电力的方向与电场线的方向相同，加速度的方向又与受力的方向相同，所以带电粒子在点的加速度方向垂直于等势面，D正确.
3.如图所示，实线是匀强电场的电场线，带电粒子、分别从、两点以初速度垂直射入电场，其运动轨迹分别是图中的、.已知带正电，不计粒子重力和阻力.则下列说法中正确的是( )
D
A.也带正电 B.点的电势低于点的电势
C.电场力对做正功，对做负功 D.、的电势能均减小
[解析] 由物体做曲线运动的条件知，所受电场力水平向右，带正电，故电场方向向右,所受电场力向左，故带负电，选项A错误;电场线水平向右，沿电场线的方向电势降低，则A点的电势高于C点的电势，选项B错误；由题图可知，电场力方向与运动方向成锐角，电场力对、都做正功，、的电势能都减小，选项C错误，D正确.
4.某平面区域内一静电场的等势线分布如图中虚线所示，一正电荷仅在电场力作用下由运动至，设、两点的电场强度分别为、，电势分别为、，该电荷在、两点的速度分别为、，电势能分别为、，则( )
C
A. B. C. D.
[解析] 等势面的疏密反映电场强度的大小，所以，A错误；物体做曲线运动，合外力指向轨迹凹侧，又因为电荷带正电，所以电场线向左，所以，B错误；正电荷在电势高的地方电势能大，所以在点的电势能大于点的电势能，即，故D错误；电荷具有动能和电势能两种能量，根据功能关系，电势能大的地方，动能小，所以，C正确.
知识点二 带电粒子在等差等势面中的运动
5.(多选)如图所示，虚线、、是某点电荷周围的三个等势面，相邻等势面间的距离相等.一电子仅在电场力作用下，从等势面运动到等势面时，动能增加，若取等势面的电势为零，则电子运动到等势面时的电势能可能为( )
AB
A. B. C. D.
[解析] 由于等势面与电场线垂直，而电子从到做加速运动，因此电场线如图所示，显然、之间的电场线比、之间的电场线密集，场强大，因此从等势面运动到等势面，电场力做功多，电势能减少多，根据能量守恒可知，总共电势能减少，而的电势为零，也就是电子在等势面的电势能为零，故运动到等势面时的电势能小于，动能大于，A、B正确.
6.如图所示，、、、为匀强电场中相邻的四个等势面，一个电子垂直经过等势面时，动能为，飞经等势面时，电势能为，飞至等势面时速度恰好为零，已知相邻等势面间的距离为，则下列说法正确是( )
B
A.等势面的电势为 B.匀强电场的场强大小为
C.电子再次飞经等势面时，动能为 D.电子的运动为变加速直线运动
[解析] 电子从D到B有，解得，则电场强度为，故B正确；电子经过等势面C时的电势能为，则C点的电势为，因为C、
A间的电势差等于D、B间的电势差，可知A点电势为，A错误；根据功能关系得，电子再次经过D等势面时，动能不变，仍然为，C错误；因电场为匀强电场，且电子所受电场力方向与速度方向在同一条直线上，所以电子的运动为匀变速直线运动，D错误.
7.[2022·浙江1月选考] 某种气体—电子放大器的局部结构是由两块夹有绝缘介质的平行金属薄膜构成，其上存在等间距小孔，其中相邻两孔截面上的电场线和等势线的分布如图所示.下列说法正确的是( )
C
A.点所在的线是等势线
B.点的电场强度比点大
C.、两点间的电势差的值比、两点间的大
D.将电荷沿图中的线从移动时电场力做功为零
[解析] 静电场中的电场线是不闭合的，所以图中的闭合曲线都是等势线，根据电场线与等势线相互垂直，可知点所在的线是电场线，选项A错误；点附近的电场线比附近的电场线稀疏，所以点的电场强度比点小，选项B错误；根据电场线与等势线垂直，可以画出通过点的等势线，比较可知、两点间的电势差的值比
、两点间的大，选项C正确；电场力做功与路径无关，取决于电势差，图中、并不在同一条等势线上，因此电场力做功一定不为零，选项D错误.
8.(多选)如图所示，水平面内有三条虚线、、，相邻虚线间距相等且彼此平行，、、为虚线上的三点，其中、连线与垂直.某时刻电子以水平向右的速度通过点，则( )
CD
A.若、、为电场线，则一定有
B.若、、为电场线，则电子一定能够通过点
C.若、、为等势线，则一定有
D.若、、为等势线，则电子一定不能通过点
[解析] 若、、为电场线，则、两点等电势，一定有，A错误；当电场方向斜向左下时，电子不能够通过点，B错误；若、、为等势线，则一定有，C正确；若、、为等势线，、连线在电场线上，电子运动离、连线越来越远，则电子一定不能通过点，D正确.
9.[2023·全国甲卷] 在一些电子显示设备中，让阴极发射的电子束通过适当的非匀强电场，可以使发散的电子束聚集.下列4幅图中带箭头的实线表示电场线，如果用虚线表示电子可能的运动轨迹，其中正确的是( )
A
A.&1& B.&2&
C.&3& D.&4&
[解析] 电子带负电，只受电场力，电场力沿电场线的切线方向，与场强方向相反，同时指向电子运动轨迹的凹侧，故A正确.
10.[2024·江苏常州高中月考] 如图所示，真空中有一个固定的点电荷，电荷量为，图中的虚线表示该点电荷形成的电场中的四个等差等势面.有两个一价离子、(不计重力，也不计它们之间的相互作用力)先后从点以相同的速率射入该电场，运动轨迹分别为曲线和，其中、分别是它们离固定点电荷最近的位置.以下说法中正确的是( )
D
A.一定是正离子，一定是负离子
B.在点的速率一定小于在点的速率
C.在点的速率一定大于在点的速率
D.从到的过程中电势能的增量一定小于从到的过程中电势能的增量
[解析] 由题图可知离子受到固定点电荷的斥力，而离子受到固定点电荷的引力，故两离子的电性一定不同，由于固定点电荷带正电，则一定是负离子，一定是正离子，A错误；由题图可判定在从到运动过程中，静电力做正功，动能增加，而在从到运动过程中，静电力做负功，动能减小，所以在点的速率一定大于在点
的速率，B错误；由于、、三点在同一等势面上，所以在从向运动过程中静电力所做的总功为零，在从向运动过程中静电力所做的总功为零，由于两离子以相同的速率从点射入电场，故两离子分别经过、两点时的速率一定相等，C错误；由题图可知点离固定点电荷更近一些，离子在从向运动过程中静电力做负功的值大于离子在从向运动过程中静电力做负功的值，故从到过程中电势能的增量一定小于从到过程中电势能的增量，D正确.
11.(多选)[2023·辽宁卷] 图甲为金属四极杆带电粒子质量分析器的局部结构示意图，图乙为四极杆内垂直于轴的任意截面内的等势面分布图，相邻两等势面间电势差相等，则( )
CD
A.点电势比点的低 B.点电场强度大小比点的大
C.点电场强度方向沿轴正方向 D.沿轴运动的带电粒子，电势能不变
[解析] 电场方向垂直等势面，在轴方向上，电场方向由正极指向，在轴方向上，电场方向由指向负极，由沿电场线方向电势逐渐降低，可知点电势比点的高，选项A错误，C正确；因点所在处等差等势面更密集，则点电场强度比点的大，选项B错误；因轴上各点电势相等，则沿轴运动的带电粒子，电势能不变，选项D正确.
12.如图所示，虚线、、、、是某匀强电场中的5个平行且等距的等势面，一电子经过时的动能为，从到的过程中克服电场力所做的功为，电子运动轨迹如图中实线所示，已知等势面的电势为，电子经过等势面时的速率为，求：
(1) 等势面上的电势；
[答案]
[解析] 因等势面间距相等，由得相邻虚线之间电势差相等，电子由到，有
可得
已知等势面的电势为，各虚线电势如图所示
即
(2) 该电子经过等势面时的电势能；
[答案]
[解析] 电子经过时，电势能
(3) 该电子经过等势面时的速度大小.
[答案]
[解析] 由到，可得
可得
由到，可得
所以
根据
得该电子经过等势面时的速度大小为※专题课:电场线和等势面的综合应用
例1 AC [解析] 由沿电场线方向电势降低可知,A点电势低于B点电势,A正确;由图可知,A点处电场线比C点处电场线密集,因此A点的电场强度大于C点的电场强度,B错误;烟尘颗粒带负电,从A到B的过程中,静电力做正功,动能增加,电势能减小,故烟尘颗粒在A点的动能小于在B点的动能,烟尘颗粒在A点的电势能大于在B点的电势能,C正确,D错误.
变式 D [解析] 根据等差等势线越密,场强越强的特点,a点的电场强度小于b点的电场强度,所以A错误;由曲线运动合外力指向轨迹凹侧,可知粒子从a到b过程中,静电力做负功,则粒子在a点的动能比在b点的动能大,所以B错误;a点与c点处于同一等势线上,粒子在a点和c点的速度大小相等,但是方向不同,所以C错误;粒子从b到c,静电力做正功,粒子在b点的电势能比在c点的电势能大,所以D正确.
例2 BC [解析] 分析可知粒子可能是从A点运动到C点,也可能是从C点运动到A点,A错误;电子只在电场力作用下运动,则电子的电势能和动能之和不变,为32 eV,又题图中为等差等势线,B点的电势为15 V,A点的电势为零,则等势线c的电势为10 V,电子在经过等势线c时的电势能为-10 eV,所以动能为42 eV,B正确;根据等差等势线的疏密表示电场强度的大小可知B点的电场强度大于A点的,C正确;电子在关于等势线d对称的两点所受电场力大小一定相同,但方向不一定相同,D错误.
随堂巩固
1.AD [解析] 电子在c点受力和运动方向如图,并由此进一步得出电场线垂直等势面指向左,φA>φB>φC,A正确,B错误;从a至c电场力做负功,电势能不断增加,动能不断减小,C错误,D正确.
2.B [解析] 利用电场线的疏密可比较各点电场强度的大小,a点处的电场线相对b点较为稀疏,所以Ea3.D [解析] 电子只在静电力的作用下运动,经过A、D等势面时的动能分别为28 eV和4 eV,根据动能定理,-e(φA-φD)=(4-28) eV,解得φA-φD=24 V,可得相邻等势面间的电势差为U= V=8 V,φC=0,可解得φD=-8 V,A错误;电场强度E= V/m=400 V/m,方向向右,B错误;电子仅在静电力的作用下运动,静电力做功,所以机械能不守恒,C错误;只有电场力做功,动能与电势能之和保持不变,总能量为4 eV+·=12 eV,则在-10 V的等势面上动能为Ek=12 eV-=2 eV,可能到达电势为-10 V的等势面,D正确.※专题课:电场线和等势面的综合应用
1.D [解析] 微粒的运动情况取决于合外力和初速度的关系,微粒只受到静电力的作用,是否沿电场线运动,还要看电场线是直线还是曲线,微粒有没有初速度及初速度方向与电场线的关系;只有当电场线是直线且微粒的运动方向沿着电场线时,微粒才沿电场线运动,若微粒有一定初速度,则微粒不一定由高电势处向低电势处运动,故A、B、C错误,D正确.
2.D [解析] 带电粒子所受静电力指向轨迹弯曲的内侧,电场线与等势面垂直,且带电粒子带正电,因此电场线指向右下方,根据沿电场线电势降低,可知a的电势最高,c的电势最低,A错误;因φP>φQ,故带电粒子在P点具有的电势能比在Q点具有的电势能大,B错误;只有静电力做功,所以带电粒子在P点的动能与电势能之和与在Q点的相等,C错误;电场的方向总是与等势面垂直,所以R点的电场线的方向与该处的等势面垂直,而带正电粒子受到的静电力的方向与电场线的方向相同,加速度的方向又与受力的方向相同,所以带电粒子在R点的加速度方向垂直于等势面b,D正确.
3.D [解析] 由物体做曲线运动的条件知,q1所受电场力水平向右,q1带正电,故电场方向向右,q2所受电场力向左,故q2带负电,选项A错误;电场线水平向右,沿电场线的方向电势降低,则A点的电势高于C点的电势,选项B错误;由题图可知,电场力方向与运动方向成锐角,电场力对q1、q2都做正功,q1、q2的电势能都减小,选项C错误,D正确.
4.C [解析] 等势面的疏密反映电场强度的大小,所以Eaφa,B错误;正电荷在电势高的地方电势能大,所以在b点的电势能大于a点的电势能,即Epavb,C正确.
5.AB [解析] 由于等势面与电场线垂直,而电子从a到c做加速运动,因此电场线如图所示,显然a、b之间的电场线比b、c之间的电场线密集,场强大,因此从等势面a运动到等势面b,电场力做功多,电势能减少多,根据能量守恒可知,总共电势能减少12 eV,而c的电势为零,也就是电子在等势面c的电势能为零,故运动到等势面b时的电势能小于6 eV,动能大于6 eV,A、B正确.
6.B [解析] 电子从D到B有-eUDB=0-EkD,解得UDB==20 V,则电场强度为E= V/m=200 V/m,故B正确;电子经过等势面C时的电势能为-10 eV,则C点的电势为10 V,因为C、A间的电势差等于D、B间的电势差,可知A点电势为-10 V,A错误;根据功能关系得,电子再次经过D等势面时,动能不变,仍然为20 eV,C错误;因电场为匀强电场,且电子所受电场力方向与速度方向在同一条直线上,所以电子的运动为匀变速直线运动,D错误.
7.C [解析] 静电场中的电场线是不闭合的,所以图中的闭合曲线都是等势线,根据电场线与等势线相互垂直,可知a点所在的线是电场线,选项A错误;b点附近的电场线比c附近的电场线稀疏,所以b点的电场强度比c点小,选项B错误;根据电场线与等势线垂直,可以画出通过a点的等势线,比较可知b、c两点间的电势差的值比a、c两点间的大,选项C正确;电场力做功与路径无关,取决于电势差,图中d、g并不在同一条等势线上,因此电场力做功一定不为零,选项D错误.
8.CD [解析] 若l1、l2、l3为电场线,则a、c两点等电势,一定有Uab=-Ubc,A错误;当电场方向斜向左下时,电子不能够通过c点,B错误;若l1、l2、l3为等势线,则一定有Uab=Ubc,C正确;若l1、l2、l3为等势线,a、c连线在电场线上,电子运动离a、c连线越来越远,则电子一定不能通过c点,D正确.
9.A [解析] 电子带负电,只受电场力,电场力沿电场线的切线方向,与场强方向相反,同时指向电子运动轨迹的凹侧,故A正确.
10.D [解析] 由题图可知离子N受到固定点电荷的斥力,而离子M受到固定点电荷的引力,故两离子的电性一定不同,由于固定点电荷带正电,则M一定是负离子,N一定是正离子,A错误;由题图可判定M在从a到p运动过程中,静电力做正功,动能增加,而N在从a到q运动过程中,静电力做负功,动能减小,所以M在p点的速率一定大于N在q点的速率,B错误;由于a、b、c三点在同一等势面上,所以M在从a向b运动过程中静电力所做的总功为零,N在从a向c运动过程中静电力所做的总功为零,由于两离子以相同的速率从a点射入电场,故两离子分别经过b、c两点时的速率一定相等,C错误;由题图可知q点离固定点电荷更近一些,N离子在从a向q运动过程中静电力做负功的值大于离子M在从p向b运动过程中静电力做负功的值,故M从p到b过程中电势能的增量一定小于N从a到q过程中电势能的增量,D正确.
11.CD [解析] 电场方向垂直等势面,在y轴方向上,电场方向由正极指向O,在z轴方向上,电场方向由O指向负极,由沿电场线方向电势逐渐降低,可知P点电势比M点的高,选项A错误,C正确;因M点所在处等差等势面更密集,则M点电场强度比P点的大,选项B错误;因x轴上各点电势相等,则沿x轴运动的带电粒子,电势能不变,选项D正确.
12.(1)0 V (2)2 eV (3)v
[解析] (1)因等势面间距相等,由U=Ed得相邻虚线之间电势差相等,电子由O到C,有
-eUOC=-6 eV
可得UOC=6 V
已知等势面A的电势为2 V,各虚线电势如图所示
即φB=0 V
(2)电子经过C时,电势能Ep=-eφC=2 eV
(3)由O到A,可得WOA=EkA-EkO=-2 eV
可得EkA=8 eV
由O到C,可得WOC=EkC-EkO=-6 eV
所以EkC=4 eV
根据EkC=mv2
得该电子经过等势面A时的速度大小为vA=v※专题课:电场线和等势面的综合应用
学习任务一 带电粒子在电场中的运动轨迹综合分析
[科学思维] 解决带电粒子在电场中运动轨迹问题的分析方法:
1.判断速度方向:带电粒子运动轨迹上某点的切线方向为粒子在该点处的速度方向.
2.判断静电力(或电场强度)的方向:仅受静电力作用时,带电粒子所受静电力方向指向轨迹曲线的凹侧,再根据粒子的正负判断该点处电场强度的方向.
3.判断静电力做功的正负及电势能的增减:若静电力与速度方向成锐角,则静电力做正功,电势能减小;若静电力与速度方向成钝角,则静电力做负功,电势能增大.
4.判断粒子动能的增减:可以根据动能定理或功能关系判断动能的变化情况.
例1 (多选)某静电除尘设备集尘板的内壁带正电,设备中心位置有一个带负电的放电极,它们之间的电场线分布如图所示,虚线为某带电烟尘颗粒(重力不计)的运动轨迹,A、B是轨迹上的两点,C点与B点关于放电极对称.下列说法正确的是 ( )
A.A点电势低于B点电势
B.A点电场强度小于C点电场强度
C.烟尘颗粒在A点的动能小于在B点的动能
D.烟尘颗粒在A点的电势能小于在B点的电势能
[反思感悟]
变式 如图所示,图中虚线为某静电场中的等差等势线,实线为某带电粒子在该静电场中的运动轨迹,a、b、c为粒子的运动轨迹和等势线的交点,粒子只受静电力作用,以下说法正确的是 ( )
A.a点的电场强度大于b点的电场强度
B.粒子在a点的动能比在b点的动能小
C.粒子在a点和c点的速度相同
D.粒子在b点的电势能比在c点的电势能大
学习任务二 带电粒子在等差等势面中运动的定量计算
[科学思维] 在解决这类问题时常用到动能定理,有时也会用到功能关系.
(1)应用动能定理解决问题需研究合外力做的功(或总功).
(2)应用功能关系解决该类问题需明确电场力做功与电势能变化之间的对应关系.
例2 (多选)[2024·北京二中期末] 静电透镜是电子透镜的一种,它被广泛应用于电子器件(如阴极射线示波管)中.如图所示,虚线是某电子透镜中电场的等差等势线,一电子在该电场中的运动轨迹如图中实线所示,A、B、C分别是轨迹与等势线的交点.已知A
点的电势为零,电子在A点的动能为32 eV,在B点的电势能为-15 eV,不计电子重力,下列说法正确的是( )
A.电子一定是从A点运动到C点
B.电子在经过等势线c时的动能为42 eV
C.B点的电场强度大于A点的
D.电子在关于等势线d对称的两点所受电场力相同
1.(带电粒子的运动轨迹分析)(多选)如图所示,虚线A、B、C表示某电场中的三个等势面,相邻等势面间的电势差相等,一电子从右侧垂直等势面A向左进入电场,运动轨迹与等势面分别交于a、b、c三点,则可以判断 ( )
A.三个等势面的电势大小为φA>φB>φC
B.三个等势面的电势大小为φC>φB>φA
C.电子由a到c电势能不断减小
D.电子由a到c动能不断减小
2.(带电粒子的运动轨迹分析)如图所示,虚线1、2、3,为某电场中的三条电场线,实线表示某带电粒子仅在电场力作用下的运动轨迹,a、b是轨迹上的两点,则下列说法正确的是 ( )
A.粒子在a点的加速度大于在b点的加速度
B.粒子在a点的电势能大于在b点的电势能
C.粒子在a点的速度大于在b点的速度
D.a点的电势高于b点的电势
3.(带电粒子在等差等势面中的运动)如图所示,虚线A、B、C、D是某匀强电场中的4个平行且等距的等势面,两等势面间的距离为2 cm,其中等势面C的电势为0,一电子仅在静电力的作用下运动,经过A、D等势面时的动能分别为28 eV和4 eV,则下列说法正确的是 ( )
A.等势面D的电势为6 V
B.该匀强电场的电场强度为4 V/m,方向水平向右
C.该电子运动过程中机械能守恒
D.该电子可能到达电势为-10 V的等势面※专题课:电场线和等势面的综合应用建议用时:40分钟
◆ 知识点一 带电粒子的运动轨迹综合问题
1.若带正电荷的微粒在电场中运动,只受静电力作用,它在任意一段时间内 ( )
A.一定沿电场线由高电势处向低电势处运动
B.一定沿电场线由低电势处向高电势处运动
C.不一定沿电场线运动,但一定由高电势处向低电势处运动
D.不一定沿电场线运动,也不一定由高电势处向低电势处运动
2.[2024·北大附中期末] 如图所示,虚线a、b、c代表某一电场中的三个等势面,相邻等势面之间的电势差相等,实线为一带正电的粒子仅在静电力作用下通过该区域时的运动轨迹,P、R、Q是这条轨迹上的三点,其中R在等势面b上.下列判断正确的是( )
A.三个等势面中,a的电势最低
B.带电粒子在P点的电势能比在Q点的小
C.带电粒子在P点的动能与电势能之和比在Q点的小
D.带电粒子在R点的加速度方向垂直于等势面b
3.如图所示,实线是匀强电场的电场线,带电粒子q1、q2分别从A、C两点以初速度v垂直射入电场,其运动轨迹分别是图中的ABC、CDA.已知q1带正电,不计粒子重力和阻力.则下列说法中正确的是( )
A.q2也带正电
B.A点的电势低于C点的电势
C.电场力对q1做正功,对q2做负功
D.q1、q2的电势能均减小
4.某平面区域内一静电场的等势线分布如图中虚线所示,一正电荷仅在电场力作用下由a运动至b,设a、b两点的电场强度分别为Ea、Eb,电势分别为φa、φb,该电荷在a、b两点的速度分别为va、vb,电势能分别为Epa、Epb,则( )
A.Ea>Eb B.φa>φb
C.va>vb D.Epa>Epb
◆ 知识点二 带电粒子在等差等势面中的运动
5.(多选)如图所示,虚线a、b、c是某点电荷周围的三个等势面,相邻等势面间的距离相等.一电子仅在电场力作用下,从等势面a运动到等势面c时,动能增加12 eV,若取等势面c的电势为零,则电子运动到等势面b时的电势能可能为 ( )
A.5 eV B.5.5 eV
C.6 eV D.6.5 eV
6.如图所示,A、B、C、D为匀强电场中相邻的四个等势面,一个电子垂直经过等势面D时,动能为20 eV,飞经等势面C时,电势能为-10 eV,飞至等势面B时速度恰好为零,已知相邻等势面间的距离为5 cm,则下列说法正确的是( )
A.等势面A的电势为10 V
B.匀强电场的场强大小为200 V/m
C.电子再次飞经D等势面时,动能为10 eV
D.电子的运动为变加速直线运动
7.[2022·浙江1月选考] 某种气体—电子放大器的局部结构是由两块夹有绝缘介质的平行金属薄膜构成,其上存在等间距小孔,其中相邻两孔截面上的电场线和等势线的分布如图所示.下列说法正确的是( )
A.a点所在的线是等势线
B.b点的电场强度比c点大
C.b、c两点间的电势差的值比a、c两点间的大
D.将电荷沿图中的线从d→e→f→g移动时电场力做功为零
8.(多选)如图所示,水平面内有三条虚线l1、l2、l3,相邻虚线间距相等且彼此平行,a、b、c为虚线上的三点,其中a、c连线与l2垂直.某时刻电子以水平向右的速度v通过a点,则 ( )
A.若l1、l2、l3为电场线,则一定有Uab=Ubc
B.若l1、l2、l3为电场线,则电子一定能够通过c点
C.若l1、l2、l3为等势线,则一定有Uab=Ubc
D.若l1、l2、l3为等势线,则电子一定不能通过c点
9.[2023·全国甲卷] 在一些电子显示设备中,让阴极发射的电子束通过适当的非匀强电场,可以使发散的电子束聚集.下列4幅图中带箭头的实线表示电场线,如果用虚线表示电子可能的运动轨迹,其中正确的是 ( )
10.[2024·江苏常州高中月考] 如图所示,真空中有一个固定的点电荷,电荷量为+Q,图中的虚线表示该点电荷形成的电场中的四个等差等势面.有两个一价离子M、N(不计重力,也不计它们之间的相互作用力)先后从a点以相同的速率v0射入该电场,运动轨迹分别为曲线apb和aqc,其中p、q分别是它们离固定点电荷最近的位置. 以下说法中正确的是 ( )
A.M一定是正离子,N一定是负离子
B.M在p点的速率一定小于N在q点的速率
C.M在b点的速率一定大于N在c点的速率
D.M从p到b的过程中电势能的增量一定小于N从a到q的过程中电势能的增量
11.(多选)[2023·辽宁卷] 图甲为金属四极杆带电粒子质量分析器的局部结构示意图,图乙为四极杆内垂直于x轴的任意截面内的等势面分布图,相邻两等势面间电势差相等,则 ( )
A.P点电势比M点的低
B.P点电场强度大小比M点的大
C.M点电场强度方向沿z轴正方向
D.沿x轴运动的带电粒子,电势能不变
12.如图所示,虚线O、A、B、C、D是某匀强电场中的5个平行且等距的等势面,一电子经过O时的动能为10 eV,从O到C的过程中克服电场力所做的功为6 eV,电子运动轨迹如图中实线所示,已知等势面A的电势为2 V,电子经过等势面C时的速率为v,求:
(1)等势面B上的电势;
(2)该电子经过等势面C时的电势能;
(3)该电子经过等势面A时的速度大小.