3.1 代数式 2025-2026学年数学北师大版（2024）七年级上册

课时1 代数式
3.1 代数式
第三章 整式及其加减
1.能正确列出代数式。
2.经历用字母表示数的过程，理解字母表示数的意义，了解代数式的意义，发展符号感。
想一想，填一填：
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}兔子数量
嘴/张
耳朵/只
腿/条
1只
2只
3只
…
n只
1
2
4
2
4
8
3
6
12
…
…
…
n
2n
4n
用长度相同的小棒按下图所示的方式拼摆正方形。
（1）拼摆5个这样的正方形需要_____根小棒。
16
第1个
4根
第2个
3根
第3个
第4个
第5个
3根
3根
3根
探究1：用字母表示数
用火柴棒搭正方形：
　 （2）拼摆100个这样的正方形需要多少根小棒？你是怎样得到的？
活动：以小组为单位讨论（5分钟）
要求:①说明你的计算方法，并列出算式。
②尽量找出多种计算方法。
　 （2）拼摆100个这样的正方形需要多少根小棒？你是怎样得到的？
第1个
4根
第2个
3根
第3个
第4个
第100个
3根
3根
3根
(100?1)个
?
100个正方形需要的火柴棒根数：
????＋(?????????????????)×????
?
……
　 （2）拼摆100个这样的正方形需要多少根小棒？你是怎样得到的？
1根
3根
3根
3根
3根
100个
100个正方形需要的火柴棒根数：
1＋????????????×????
?
3根
……
　 （2）拼摆100个这样的正方形需要多少根小棒？你是怎样得到的？
100根
100个正方形需要的火柴棒根数：
100根
(100＋1)根
????????????＋????????????＋(????????????＋????)
?
　 （2）拼摆100个这样的正方形需要多少根小棒？你是怎样得到的？
100个正方形需要的火柴棒根数：
……
4根
4根
4根
4根
4根
多了(100?1)根
?
????×?????????????(?????????????????)
?
用火柴棒搭正方形：
　 （3）拼摆????个这样的正方形需要多少根小棒？与同伴进行交流。
?
④????×?????????????(?????????????????)
?
③????????????＋????????????＋(????????????＋????)
?
②1＋????????????×????
?
①????＋(?????????????????)×????
?
①????＋????(?????????)
?
②1＋????????
?
③????＋????＋(????＋????)
?
④?????????(?????????)
?
用火柴棒搭正方形：
　 （4）拼摆????????????个这样的正方形需要多少根小棒？你是怎样计算的？与同伴进行交流。
?
＝????＋(?????????????????)×????＝????????????
?
＝????＋????????????×????＝????????????
?
①????＋????(?????????)
?
②1＋????????
?
③????＋????＋(????＋????)
?
④?????????(?????????)
?
＝????????????＋????????????＋????????????＋????＝????????????
?
＝4×200-(200-1)＝601
（1）在上面的活动中，我们借助字母表示正方形的个数与小棒的根数之间的关系，这样做有什么好处？
用字母表示数，能把数量和数量关系一般而又简明地表达出来，从而为描述和研究问题带来方便。
思考·交流
（2）在以前的学习中还有哪些地方用到了字母？这些字母都表示什么？与同伴进行交流。
思考·交流
{30F9D4DD-23FA-4A1F-B4F3-994118A7BB89}运算定律
字母表示
加法交换律
加法结合律

乘法交换律
乘法结合律

乘法分配律

?????+??????=??????+?????
?
(?????+?????)?+????=??????+(?????+?????)
?
?????????=?????????
?
(????????)?????=?????(????????)
?
(?????+?????)?????=?????????+????????
?
①用字母表示数的运算律
{30F9D4DD-23FA-4A1F-B4F3-994118A7BB89}名称
图形
用字母表示公式
周长（C）
面积（S)
长方形
三角形
梯形
圆
b
a
a
b
c
h
②用字母表示图形的周长和面积
b
h
c
d
a
r
①同一个字母，在不同的问题中可以代表不同的量，
在同一问题中，不同的量要用不同的字母来表示；
②数与字母，字母与字母相乘时，可以用“·”来代替，或者省略不写；
③????或?????与字母相乘时，????通常省略不写；
④除法通常写成分数的形式，如????÷????通常写成 ???????? ；
⑤代数式后面有单位时，和、差形式的代数式要在单位 前把代数式括起来。
?
字母可以表示任何数：
归纳总结
（1）今年李华????岁，去年李华________岁，5年后李华________岁。
（2）????个人????天完成一项工作，那么平均每人每天的工作量为______。
?
(?????????)
?
(????+????)
?
????????????
?
尝试·思考
探究2：代数式的概念
（3）某商店上月的收入为????元，本月收入比上月收入的2倍还多10元，本月收入是____________元。
（4）如果正方体的棱长是?????????，那么正方体的体积是____________，表面积是____________。
?
(????????+????????)
?
(?????????)????
?
????(?????????)????
?
观察下列各式：
????＋????(?????????)， ????＋????＋(????＋????)，????????????????，?????????+????，
????????????，??????????????????+????????，????????(?????????)????， ?????(?????????)????
它们有什么共同的特征？与同伴交流。
?
它们都是用运算符号把数与字母连接而成的，像这样的式子叫做代数式。单独的一个数或字母也是代数式。
用具体数值代替代数式中的字母，就可以求出带代数式的值。
例1：下列各式中哪些是代数式？哪些不是？
注意：(1)代数式中不含表示关系的符号。
( “＝”,???“＞”,???“＜”,???“≥”,????“≤”,????“≠” )
(2)单独的一个数或字母也是代数式。
?
典型例题
判断下列式子哪些是代数式，哪些不是.
(3) ????=?????? (4)????????
?
(5) (6) ????+????＞????
?
(1) ????????+?????????? (2) ????????
?
练一练
2.为了庆祝六一儿童节，某幼儿园矩形用火柴棒摆“金鱼”比赛，如图所示，按照图中的规律，摆n个“金鱼”需要用火柴棒的根数为（ ）
A.2＋6n B.6n＋8 C.8n D.4n＋4
B
A
1．如果甲数为x，且乙数为甲数的3倍，那么乙数是(　　)
A.13x B．3x C．x＋3 D．x＋13
?
5.如图, 用字母表示图中
阴影部分的面积是_________。
m
n
p
q
3.某市某日的温差为11 ℃，最高气温为t ℃，则最低气温可表示为 ℃。
4.假设k是一个奇数，则比k大且与k相邻的一个奇数是 。
mn－pq
(t－11)
k＋2
6.超市卖了x瓶啤酒和y瓶矿泉水，已知啤酒每瓶5元，矿泉水每瓶1.5元，则超市共卖了 元。
（5x＋1.5y）
代数式
识别代数式
书写规范
根据简单实际问题列出代数式
代数式的概念
代数式的应用
课时2 代数式求值
3.1 代数式
第三章 整式及其加减
2.能在具体情境中，解释代数式的实际意义．
1.在具体情境中，能正确列出代数式，会把具体数代入代数式进行计算．
当输入x的值为3时，你能求出输出的结果吗？
输出的结果-3。
例1：列代数式，并求值。
某景点的门票价格：成人票每张????????元，学生票每张????元。
(1)一个旅游团有成人????人，学生????人，那么该旅游团应付多少门票费？
?
解：(1)该旅游团应付的门票费是(????????????＋????????)元。
?
探究点1：代数式求值（直接代入求值）
例1：列代数式，并求值。
某景点的门票价格：成人票每张????????元，学生票每张????元。
(2) 如果该旅游团有37个成人，15个学生，那么他们应付多少门票费？
?
解：（2）把????＝????????，????＝????????代入代数式????????????+????????，得
????????×????????＋????×?????????＝????????????。
因此，他们应付????????????元门票费。
?
如果用????表示1支铅笔的价格，用????表示1本练习本的价格，那么????????????＋????????可以表示____________________________的总钱数；
?
10支铅笔和5本练习本
如果用????和????分别表示1个篮球和1个足球的价格，
?
那么????????????＋????????就表示________________________共多少钱。
?
10个篮球和5个足球
探究点2：解释代数式的实际意义
代数式10x+5y还可以表示哪些生活中的问题?
代数式????????可以表示什么？
?
解：①如果????表示正六边形的边长，那么代数式????????可以表示正六边形的周长；
②如果????表示一本书的价格，那么????????可以表示买6本这种书的价格；
③如果1条长凳可以坐6个小朋友，那么????????可以表示????条长凳可以坐????????个小朋友。
?
(答案不唯一，合理即可)
练一练
营养学家用身体质量指数(简称BMI)衡量人体胖瘦程度，这个指数等于人体体重(????????)与人体身高(????)平方的商。对于成年人来说，BMI在18.5~24之间，体重适中；BMI低于18.5，体重过轻；BMI高于24，体重超重。
(1)设一个人的体重为?????????????，身高为?????????，请用含 ?????,?????? 的代数式表示这个人的BMI。
?
解：(1)他的身体质量指数是：???????????? .
?
尝试·思考
(2)将????＝????????，????＝????.????????代入 ???????????? ，得：????????????.????????????≈????????.????
由于????????.????在????????.????到????????之间，因此，他的体重适中。
?
营养学家用身体质量指数(简称BMI)衡量人体胖瘦程度，这个指数等于人体体重(????????)与人体身高(????)平方的商。对于成年人来说，BMI在18.5~24之间，体重适中；BMI低于18.5，体重过轻；BMI高于24，体重超重。
(2)张老师的身高是1.75m，体重是65kg，他的体重是否适中？
?
营养学家用身体质量指数(简称BMI)衡量人体胖瘦程度，这个指数等于人体体重(????????)与人体身高(????)平方的商。对于成年人来说，BMI在18.5~24之间，体重适中；BMI低于18.5，体重过轻；BMI高于24，体重超重。
(3)BMI对未成年人的胖瘦程度也有一定的参考意义，请计算你的BMI。
?
填写下表，并观察下列两个代数式的值的变化情况。
字母取值与代数式值的对应关系：
字母的值变化，代数式的值随之变化；
字母的值确定，代数式的值随之确定。
n
1
2
3
4
5
6
7
8
5n+6
n2
11
16
21
26
31
36
41
46
1
4
9
16
25
36
49
64
探究点3：理解字母取值与代数式值的联系，推断代数式值的规律
填写下表，并观察下列两个代数式的值的变化情况。
（1）随着????的值逐渐变大，两个代数式的值如何变化？
?
随着????的值逐渐变大，两个代数式的值逐渐增大。
?
n
1
2
3
4
5
6
7
8
5n+6
n2
11
16
21
26
31
36
41
46
1
4
9
16
25
36
49
64
填写下表，并观察下列两个代数式的值的变化情况。
（2）估计一下，哪个代数式的值先超过100.
????????先超过100。
?
根据代数式值的变化趋势，可以预测代数式值的规律。
n
1
2
3
4
5
6
7
8
5n+6
n2
11
16
21
26
31
36
41
46
1
4
9
16
25
36
49
64
输入
2
机器1的输出结果
机器2的输出结果
输入x
输入x
输出
输出
×6
－3
?????????
?
?????
?
?????
?
?????.????????
?
?????
?
????????
?
????????
?
?????????
?
?????????
?
?????????
?
?????????.????????
?
?????????
?
?????
?
????
?
×6
－3
右面是一组“数值转换机”，请填写下表，并写出图1的输出结果，写出图2的运算过程。
练一练
（1）5箱苹果重m kg，每箱重 kg ；
（2）一个数比a的2倍小15，则这个数为 ；
（3）全校学生总数是x，其中女生占总数52%，则女生人数是 ，男生人数是 ；
（4）某班有a名学生，现把一批图书分给全班学生阅读，如果每人分4本，还缺25本，则这批图书共 本；
1.用式子表示下列数量：
????????
?
2a-15
0.52x
0.48x
（4a-25）
2.按如图所示的程序计算，若开始输入的数为x=3，则最后输出的结果是( )
A.6 B.21 C.156 D.231
D
3.当a=2，b=-1时，求下列代数式的值：
(1)2a+5b；
(2)a2-2ab+b2.
解：(1)当a=2，b=-1时，
原式=22-2×2×(-1)+(-1)2=4+4+1=9.
原式=2×2＋5×(-1)=4-5=-1.
(2)当a=2，b=-1时，
4. 根据一项科学研究，一个10～50 岁的人每天所需的睡眠时间t
(单位:h)可用公式 t=11-???????????? 计算出来，其中n代表这个人的年龄。
根据这个公式，解答下列问题:
(1) 一个15岁的未成年人每天所需的睡眠时间是多少?
?
解：当 n=15 时， t=11-???????????? =11-???????????????? =9.5 。
?
因此，一个15岁的未成年人每天所需的睡眠时间是 9.5 h 。
4. 根据一项科学研究，一个10～50 岁的人每天所需的睡眠时间t
(单位:h)可用公式t=11-????????????计算出来，其中n代表这个人的年龄。根据这个公式，解答下列问题:
(2) 一个35岁的成年女性每天睡眠时间是7h，她的睡眠时间够吗?
?
解：当 n=35 时， t=11-???????????? =11-???????????????? =7.5 。
?
因为7＜7.5，所以她的睡眠时间不够。
给代数式赋予实际意义。
代数式
字母取值与代数式的值相互对应。
根据具体情景列代数式及求值。
根据代数式值的变化趋势，预测代数式值的规律。
代数式
代数式值
课时3 整式
3.1 代数式
第三章 整式及其加减
1. 通过具体实例理解单项式、多项式、整式的概念.
2. 理解单项式的系数、次数，多项式的项、次数等概念.
1.代数式是指用 把数和字母连接起来而形成的式子。
2.列代数式：
（1）原价为a元的书包，现按8折出售，则售价为 元.
（2）甲、乙两人一起在体育场锻炼，体育场跑道每圈400米，甲跑了m圈，乙跑了n圈．甲乙两人共跑了 米.
（3）某种苹果的单价是x元/kg（x＜10），用50元买5kg这种苹果，应找回 元.
0.8a
（400m+400n）
（50-5x）
运算符号
复习回顾
一个组合柜如图所示，内部用隔板纵向分隔成5个独立的小柜子，柜门由5个完全相同的长方形组成。
(1)若要在5个柜门的周边都贴上装饰条，则所需装饰条的总长度是多少？
(2)若要给柜门外表面喷漆，则需要喷漆的面积是多少(边框缝隙忽略不计)？
(3)设柜门的进深为????，则整个柜子的容积是多
少(柜门、隔板及背板的厚度忽略不计)？
?
(1)????????+????????+????????????
(2)????????????
(3)????????????????
?
这三个式子都是
代数式，那么不同的代数式之间又有哪些区别和联系呢？
都是数与字母的乘积，这样的代数式叫作单项式.
单独一个数或一个字母也是单项式．
例如:像-2,a,-b等是单项式.
0.8a，5ab，5abc，3v，6p等.
想一想：（1）下面这些式子有什么特点？和同伴交流.
注意:像????+????,????????,????????????等不是数字与字母乘积的形式，因此不是单项式.
?
探究一：单项式与多项式的概念
上述几个式子都是两个或者多个单项式相加的形式.
几个单项式的和叫作多项式。
400m+400n ，50-5x，5a+5a+10b.
想一想： （2）观察下面这些式子又有什么特点呢？
单项式和多项式统称整式。
x，－3m2，π，－4
x，－3m2，π，－4
练一练
1.识别单项式的要点：
(1)单项式中不能含有加减运算，不能含有表示大小关系的符号；
(2)单项式的分母中不能含有字母．
2.单项式、多项式、整式的区别与联系：
区别：单项式不含加减运算，多项式必含加减运算．
联系：多项式是几个单项式的和，单项式和多项式都是整式．
探究二：单项式和多项式的相关概念
思考：（1）单项式中的数字和字母各有何意义呢?
单项式中的数字因数叫作这个单项式的系数（包括数字前面的符号）.
例如：5ab的系数是5，3v的系数是3.
所有字母的指数和叫作这个单项式的次数.
例如：5ab是2次的，3v是1次的.
注意:作为单项式,单独一个非零数的次数是0.
2.判断下列说法是否正确:
①－7xy2的系数是7；（ ）
②－x2y3的次数是5；（ ）
③－ab3c2的次数是0＋3＋2；（ ）
④－a3的系数是－1； （ ）
⑤－32x2y3的次数是7；（ ）
⑥ πr2h的系数是1.（ ）
×
×
×
×
√
π是系数的一部分
－32是系数
勿遗漏a的指数1
单项式的系数包括数字前面的符号
√
练一练
{5940675A-B579-460E-94D1-54222C63F5DA}单项式
3a
r2



系数






次数





3.写出下列各单项式的系数和次数.
?
3
1
π2
1
3
1
4
-1
3
练一练
确定单项式的系数和次数的注意事项：
(1)单项式的系数：若一个单项式只含有字母因数，则它的系数是1或－1；若单项式是一个常数，则它的系数就是它本身．
(2)单项式的次数是所有字母的指数的和，与系数的指数无关，如24x2y3的次数是5，而不是9.单独一个数的次数是0.
思考：（2）多项式中的数字和字母各有何意义呢?多项式有没有系数和次数呢？
在多项式中,每个单项式叫作多项式的项(不含字母的项叫作常数项).
一个多项式中，次数最高的项的次数，叫作这个多项式的次数。
例如：多项式10x+5y是10x与5y两项的和.
例如：10x+5y是1次的，????????????+????????是3次的.
?
(1)如图，一个十字形花坛铺上了草皮，这个花坛草地面积是多少？
a
b
c
c
(2)当水结冰时,其体积大约会比原来增加????????，x m3的水结成冰后体积是多少？
?
请列出下列问题中的代数式，并指出其中：①哪些是单项式？单项式的系数和次数分别是多少？②哪些是多项式？多项式的次数是多少？
解：(1)这个花坛草地面积是?????????????????????,
它是多项式，次数是2.
?
(2)x m3的水结成冰后体积是(????+????????)????=???????????????? m3,
它是单项式，次数是1.
?
尝试·思考
(4)某件商品的成本价为a元，按成本价提高15%后标价，后又以八折（即按标价的80%）销售，这件商品的售价为多少元？
(3)如图，一个长方体的箱子紧靠墙角，它的长、宽、高分别是 a，b，c.这个箱子露在外面的表面积是多少？
(4)这件商品的售价为80%(1+15%)a=0.92a元，
它是单项式，次数是1.
(3)这个箱子露在外面的表面积是ab+ac+bc,
它是多项式，次数是2.
解：单项式：2m，－ab2c，a，－????????x.
多项式：ab＋c，ax2＋c，y＋2.
?
单项式2m，－ab2c，a，－????????x的系数分别为2，－1，1，－????????.多项式ab＋c，ax2＋c，y＋2的次数分别为2，3，1.
?
例1：下列代数式中哪些是单项式?哪些是多项式?指出其中单项式的系数和多项式的次数.
ab+c，2m，ax2+c，-ab2c，a，?????????x，y+2.
?
典型例题
例2：如果多项式3xm－2－（n－1）x＋1是关于x的二次二项式，试求m，n的值．
所以m－2＝2，n－1＝0．
解得：m＝4，n＝1．
答：m，n的值为m＝4，n＝1．
解：因为多项式3xm－2－（n－1）x＋1是关于x的二次二项式，
典型例题
1.下列说法中，正确的是(　　)
A．－????????????????的系数是???????? B.????????????????????的系数是????????
C．3ab2的系数是3a D.－????????????????????的系数是－????????
?
2.下列式子中不是多项式的是(　　)
A．2x＋3 B.????????－????????
C．5－???????? D．3x2－2x＋2
?
D
C
3.已知一个单项式的系数是2，次数是3，则这个单项式可以
是(　　)
A．－2xy2 B．3x2
C．2xy3 D．2x3
4.多项式－3x2＋2x的二次项系数、一次项系数和常数项分别
为(　　)
A．3，2，1 B．－3，2，0
C．－3，2，1 D．3，2，0
D
B
5.若关于x的多项式－5x3－mx2＋(n－1)x－1不含二次项和一次项，求m、n的值。
解:∵关于x的多项式－5x3－mx2＋(n－1)x－1
不含二次项和一次项，∴m＝0，n－1＝0，则m＝0，n＝1。
?归纳 多项式不含哪一项，则哪一项的系数为0。
单项式
整式
系数：单项式中的数字因数。
次数:所有字母的指数的和。
多项式
项：式中的每个单项式叫多项式的项。（其中不含字母的项叫作常数项）
次数：多项式中次数最高的项的次数。