3.2 整式的加减 2025-2026学年数学北师大版（2024）七年级上册

课时1 合并同类项
3.2 整式的加减
1. 在具体情境中感受合并同类项的必要性，理解合并同类项法则所依据的运算律。
2. 了解合并同类项的法则，能进行同类项的合并。
1.表示数与字母 的代数式叫作单项式。单独一个数或一个字母也是单项式。单项式中的 叫作这个单项式的系数。_______________ 叫作这个单项式的次数．
乘积
数字因数
所有字母的指数和
3. 和 统称整式．
多项式
2.多项式?????????????＋?????????????是______次_____项式.
?
单项式
三
二
复习回顾
左图中的长方形由两个小长方形组成。
（1）利用左图化简8n＋5n，并用运算律解释你的化简结果。
所以8n＋5n＝(8＋5)n＝13n
方法一：S大长方形＝S①＋S②＝8n＋5n
方法二：S大长方形＝长×宽＝(8＋5)n＝13n
由图象得，长方形的面积如下：
可以先将它们的
系数相加,再乘
n就可以了。
也可以利用乘法对加法的分配律。
（2）你能用类似的方法化简2xy＋3xy及－7a2b＋2a2b吗？
2xy＋3xy＝ ，
－7a2b＋2a2b＝ 。
(2＋3)xy＝5xy，
(－7＋2)a2b＝－5a2b
字母可以和数一样进行运算。
观察8n和5n、－7a2b和2a2b有什么相同点？
①所含字母相同；
②相同字母的指数也相同.
所含字母相同,并且相同字母的指数也相同的项叫作同类项。
注意：所有的常数项都是同类项。
同类项与系数无关。
x与y
a2b与ab2
－3qp与3pq
abc与ac
a2和a3
所含字母的指数不相同
所含字母不相同
所含字母的指数不相同
所含字母不相同
所含字母相同，且所含字母的指数也相同
x与y、a2b与ab2、－3qp与3qp、abc与ac、a2与a3是不是同类项？
注意：同类项与所含字母的排列顺序无关。
思考
例1 下列各组中的两个式子是同类项的是(　　)
A．2x2y与3xy2　　B．10ax与6bx
C．a4与x4 D．π与－3
例2 如果2a2bn+1与-4amb3是同类项，则m＝ ,n＝ .
2
2
D
π属于常数。所有的常数项都是同类项。
同类项的“两相同”和“两无关”：
两相同
一是所含字母要完全相同，
二是相同字母的指数要分别相同，二者缺一不可
两无关
一是与系数的大小无关，
二是与所含字母的排列顺序无关
新知小结
把同类项合并成一项叫作合并同类项。
例如：8n＋5n＝13n，2xy＋3xy＝5xy，－7a2b＋2a2b＝－5a2b。
思考 观察上述式子，你能从中得出什么规律？
合并同类项法则：
合并同类项时，把同类项的系数相加，字母和字母的指数不变.
（2）7a＋3a2＋2a－a2＋3
＝(7a＋2a)＋(3a2－a2)＋3
＝(7＋2)a＋(3－1)a2＋3
＝9a＋2a2＋3.
括号分组
正确合并
（系数相加减）
根据乘法对加法的分配律合并同类项：
（1）－xy2＋3xy2； （2）7a＋3a2＋2a－a2＋3；
解：（1）－xy2＋3xy2
＝(－1＋3)xy2；
＝2xy2；
下列各题的结果是否正确？指出错误的地方。
(1)3x＋3y＝6xy
(2)7x－5x＝2x2
(3)－y2－y2＝0
(4)19a2b－9ab2＝10
错，不是同类项不能合并
错，合并时，字母和字母的指数不变
错，要等于－2y2
错，不是同类项不能合并
思考
合并同类项的步骤:
(1)一找:找出多项式中的同类项，不同类的同类项用不同的标记标出(画标记时要连同该项前面的符号一起标记).
(2)二移：利用加法的交换律，将不同类的同类项集中到不同的括号内；
(3)三合并:根据合并同类项法则将同一括号内的同类项进行合并，只将同类项的系数相加，字母与字母的指数不变.
新知小结
解：原式
＝(－3－0.5＋3.5)x2y＋5x－2
＝5x－2。
求多项式－3x2y＋5x－0.5x2y＋3.5x2y－2的值，其中x＝15，y＝7。
?
当x＝15，y＝7时，原式＝5×15－2＝－1。
?
通过合并同类项进行化简
一般情况下，先化简再代入求值.
尝试·交流
多项式化简求值的“三步法”：
一化
二代
三计算
化简所给的多项式，使其不再含有同类项
将所给的数值代入化简后的式子
计算求值
新知小结
1.下列各组式子中是同类项的是（ ）
A．－2a与a2 B．2a2b与3ab2
C．5ab2c与－b2ac D．－ab2和4ab2c
2．计算3a2－a2的结果是(　　)
A．4a2 B．3a2 C．2a2 D．3
3．下列各式运算正确的是(　　)
A．2(a－1)＝2a－1 B．a2b－ab2＝0
C．2a3－3a3＝a3 D．a2＋a2＝2a2
C
D
C
4.若多项式x2＋2kxy－5y2－2x－6xy＋8中不含xy项，则k＝____。
3
5.合并同类项
(1)????????????+????????????????＋18－3????????????＋4????????－3；
?
(2)????????????????????－????????????????－0.4????????????＋????????????????????－3。
?
解:???????????? +????????????????+18 -3????????????+4????????-3
?
＝(???????????? +????????????)+(????????????????-3????????????)+(18-3)
?
＝???????????? -????????????+15
?
解:???????????? ?????????????????-0.4????????????+????????????????????-3
?
＝???????????????????? ?????.?????????????????????????????????+????????????????????-3
?
＝(???????????????????? ?????????????????????)+(?????????????????+????????????????????)-3
?
＝???????????????????????? ?????????????????????-3
?
同类项
整式的加减
（合并同类项）
两相同两无关
法则：合并同类项时，把同类项的系数相加，字母和字母的指数不变。(“一找二移三合并”)
合并同类项
化简并求值
一般情况下，先化简再求值。
把同类项合并成一项，叫合并同类项。
课时2 去括号
3.2 整式的加减
1. 会用数学的眼光观察世界，强化学生符号意识与抽象能力.
2. 会用数学的思维思考问题，通过类比数的乘法分配律得到去括号法则，发展推理能力。
在上一节用小棒拼摆正方形时，我们得到了几个不同的代数式：
它们都表示拼摆x个正方形所需小棒的根数，因此应该相等。
x+x+(x+1),4+3(x-1),4x-(x-1),3x+1
思考：对此，你能用运算律加以解释吗?与同伴进行交流。
探索一:去括号法则
4x-(x-1)
=4x+(-1)(x-1)
=4x+(-1)x+(-1)×(-1)
=4x-x+1=3x+1
利用乘法对加法的分配律去括号，可得
x+x+(x+1)
=x+x+x+1
=3x+1
4+3(x-1)
=4+3x-3
=3x+1
三个代数式都可化为3x+1的形式，因此，这四个代数式是相等的。

利用乘法分配律将下列各式去括号。去括号前后，括号里各项的符号有什么变化？与同伴进行交流。
（1）????+(????+????) （2）?????(?????????)
（3）????+(?????????) （4）?????(?????????)
?
解：（1）????+(?????+?????)=??????+??????+?????
?
（2）?????(????+????)=???????????????????
?
（3）????+(???????????)=??????+????????????
?
（4）?????(?????????)=?????????????+?????
?
尝试·交流
去括号法则
括号前是“+”号，把括号和它前面的“+”号去掉后，原括号里各项的符号都不改变；
括号前是“?”号，把括号和它前面的“?”号去掉后，原括号里各项的符号都要改变。
?
简记：正去不变，负去全变
归纳总结
下列各等式正确吗？若不正确，请改正.
?????(????)?(????????+????)=?????????+?????????????????(??????)
?(????)+(????+????)=??????????????????????????????(??????)
(????)?(?????????????)=????????+????????????????????(?????)
?
?
?
+
?
?
?
练一练
例1：化简下列各式
(1)4a－(a－3b)； (2)a＋(5a－3b)－(a－2b)；
(3)3(2xy－y)－2xy； (4)5x－y－2(x－y).
解：(1)4a－(a－3b)
＝4a－a＋3b
＝3a＋3b.
(2)a＋(5a－3b)－(a－2b)＝a＋5a－3b－a＋2b
＝5a－b.
归纳 括号前只含“+”“-”的式子只需按去括号法则去括号化简即可。
探索二:利用去括号化简求值
解 (3)3(2xy－y)－2xy
＝6xy－3y－2xy
＝4xy－3y.
(4)5x－y－2(x－y)
＝5x－y－(2x－2y)
＝5x－y－2x＋2＝3x＋y。
例1：化简下列各式
(1)4a－(a－3b)； (2)a＋(5a－3b)－(a－2b)；
(3)3(2xy－y)－2xy； (4)5x－y－2(x－y)
归纳 当括号前含系数的式子化简时，应利用乘法对加法的分配律先将该数与括号内的各项分别相乘再去括号。
思考：你认为去括号时要注意什么？与同伴进行交流。
归纳：
1.去括号时，不仅要去掉括号，还要连同括号前面的符号一起去掉。
2.去括号时，首先要弄清括号前是“＋”号还是“－”号。
3.注意法则中的“都”字，变号时，各项都变号；不变号时，
各项都不变号。
4.当括号前有系数时，应运用乘法分配律运算，切勿漏乘。
5.出现多层括号时，一般是由里向外逐层去括号。
例2:先化简，再求值：3x2＋(2x2－3x)－(－x＋5x2)，
其中x＝314.
解：原式＝3x2＋2x2－3x＋x－5x2
＝－2x.
当x＝314时，原式＝－2×314＝－628.
例3：两船从同一港口同时出发反向而行，甲船顺水，乙船逆水，两船在静水中的速度都是???????? km/h，水流速度是???? km/h．
（1）???? h后两船相距多远？
?
解：顺水航速 = 船速 + 水速 =（????????+????）km/h.
逆水航速 = 船速 ? 水速 =（?????????????）km/h.
?
探究三：去括号的简单应用
（1）由????(????????＋????)＋????(?????????????)＝????????????＋????????＋?????????????????????＝????????????
可知，???? h后两船相距???????????? km.
?
例3：两船从同一港口同时出发反向而行，甲船顺水，乙船逆水，两船在静水中的速度都是???????? km/h，水流速度是???? km/h．
（2）???? h后甲船比乙船多航行多少千米？
?
解：顺水航速 = 船速 + 水速 =（????????+????）km/h.
逆水航速 = 船速 ? 水速 =（?????????????）km/h.
?
（2）由????(????????＋????)?????(?????????????)＝????????????＋?????????????????????＋????????＝????????
可知，???? h后甲船比乙船多航行 ???????? km.
?
C
1.下列各式化简正确的是(　　)
A．－(????????－????＋????)＝－????????－????－????
B．－(????????－????＋????)＝????????－????－????
C．－(????????－????＋????)＝－????????＋????－????
D．－(????????－????＋????)＝????????＋????－????
?
B
2.下列各式，与????－????－????的值不相等的是(　　)
A．????－(????＋????)? B．????－(????－????)
C．(????－????)＋(－????) D．(－????)－(????－????)
?
3.化简下列各式：
(1) ?????????(??????????????)=_________________;
(2) (?????????????)?(?????????????)=__________________;
(3)?(?????????+????)??(??????????????)=_________________;
(4) ????????+?????????(?????????)=___________________.
?
????????????+????
?
?????????????
?
????+????
?
?????????????
?
4.先化简，再求值：?(?????????????????????????＋????)?(??????????????????＋????????????)，其中????＝????.
?
解：?(?????????????????????????＋????)?(??????????????????＋????????????)
?
＝?????＋?????????
?
＝?????????????＋?????????????????＋????＋?????????????????????????
?
＝?????????＋?????????????.
?
当????＝????时，原式＝?????????＋?????????????
?
＝?????.
?
注意：1.去括号时，不仅要去掉括号，还要连同括号前面的符号一起去掉。
2.去括号时，首先要弄清括号前是“+”号还是“?”号。
3.注意法则中的“都”字，变号时，各项都变号；不变号时，各项都不变号。
4.当括号前有系数时，应运用乘法分配律运算，切勿漏乘。
5.出现多层括号时，一般是由里向外逐层去括号。
?
法则： 括号前是“+”号，把括号和它前面的“+”号去掉后，原括号里各项的符号都不改变；
括号前是“?”号，把括号和它前面的“?”号去掉后，原括号里各项的符号都要改变。
?
去括号
课时3 整式的加减运算
3.2 整式的加减
1.会进行整式的加减运算，并能说明其中的道理；
2.经历整式的加减运算的过程，体会数学计算的准确性；
3.培养学生严谨的学习态度，提高学生的计算能力。
（1）任意写一个两位数;
（2）交换这个两位数的十位数字和个位数字，又得到一个数;
（3）求这两个数的和。
问题1：再写几个两位数重复上面的过程。这些和有什么规律？
按照下面的步骤做一做：
探究一:整式的加减
规律：这些和都是11的倍数。
{7DF18680-E054-41AD-8BC1-D1AEF772440D}
数 值
原数
34
72
68
93
新数
43
27
86
39
和
77
99
154
132
问题2：这个规律对任意一个两位数都成立吗？
{7DF18680-E054-41AD-8BC1-D1AEF772440D}十位数字
个位数字
用字母表示两位数


????
?
????
?
????
?
????????????+????
?
????????????+????
?
这两个数相加：(????????????+????)+(?????????????+????)
=????????????+????+?????????????+?????
=????????????+????????????
?
这些和都是11的倍数对于任意一个两位数都成立。
问题2：这个规律对任意一个两位数都成立吗？
任意写一个三位数
交换它的百位数字与个位数字，又得到一个数
两个数相减
问题1：两个数相减后的结果有什么规律？
尝试·思考
{7DF18680-E054-41AD-8BC1-D1AEF772440D}
数 值
原数
827
351
463
936
新数
728
153
364
639
差
99
198
99
297
规律：这些差都是99的倍数。
问题2：这个规律对任意一个三位数都成立吗？
{7DF18680-E054-41AD-8BC1-D1AEF772440D}百位数字
十位数字
个位数字
用字母表示三位数



问题2：这个规律对任意一个三位数都成立吗？
????????????????+????????????+????
?
????????????????+????????????+????
?
????
?
????
?
????
?
这两个数相减：(????????????????+????????????+????)?(?????????????????+????????????+????)
=????????????????+????????????+????????????????????????????????????????
=?????????????????????????
?
原三位数与交换后的三位数之差是99的倍数。
这个规律对任意一个三位数都成立。
在上面的两个问题中，分别涉及了整式的什么运算？说说你是如何运算的，并与同伴进行交流。
?(????????????+????)+(?????????????+????)
=?????????????+????+?????????????+?????
=????????????+????????????
?
?(????????????????+????????????+????)－(?????????????????+????????????+????)
=?????????????????+????????????+????－????????????????－????????????－????
=????????????－????????????
?
进行整式加减运算时，如果遇到括号要先去括号，再合并同类项。
思考·交流
解：(1)原式＝(?????????????????????＋????)+(?????????????＋?????????????)
＝?????????????????????＋?????????????????＋?????????????
＝??????????????????????????????????＋????????＋?????????
＝?????????＋?????????????.?
?
例1:计算
(1)??????????????????????+??????????????????????+?????????????的和;
?

通常我们把一个多项式的各项按照某个字母的指数从大到小(降幂)或者从小到大(升幂)的顺序排列。
与
例1:计算
（2）?????????+???????????????????????????????????????????????????+?????????????????????????????的差。
?
解：（2）原式=(?????????+?????????????????????????????)?(?????????????????+?????????????????????????????)
?
=?????????+?????????????????????????????+?????????????????????????????+????????????????
?
=?????????+????????????????+??????????????????????????????????????????+????????????????
?
=??????????????????????????+????????
?
与
要点归纳：
（1）整式加减的一般步骤是：①先去括号；②再合并同类项。
（2）几个整式相加减，通常用括号把每一个整式括起来，再用加、减连接，然后进行运算。
（3）整式加减的最后结果的要求：
①不能含有同类项，即要合并到不能再合并为止；
②一般按照某一字母的降幂或升幂排列；
③不能出现带分数，带分数要化成假分数。
求整式?????????????????+????????与?????????+?????????????????的和。
?
解：
(?????????????????+????????)+(?????????+?????????????????)
=?????????????????+?????????????????+?????????????????
=(?????????????+????????????)+(?????????????????)+(?????????)
=????????????+????+????
?
练一练
例2：做大、小两个长方体纸盒，尺寸如下表所示。
{7DF18680-E054-41AD-8BC1-D1AEF772440D}类型
长/cm
宽/cm
高/cm
小纸盒
大纸盒
（1）做这两个纸盒共用纸多少平方厘米？
（2）做大纸盒比做小纸盒多用纸多少平方厘米？
探究二:整式加减的应用
例2：做大、小两个长方体纸盒，尺寸如下表所示。
{7DF18680-E054-41AD-8BC1-D1AEF772440D}类型
长/cm
宽/cm
高/cm
小纸盒
大纸盒
（1）做这两个纸盒共用纸多少平方厘米？
????
?
????
?
????
?
????.????????
?
????????
?
????????
?
解：小纸盒的表面积是（????????????+????????????+????????????）cm2
大纸盒的表面积是（????????????+????????????+????????????）cm2
（1）由 (????????????+????????????+????????????)+?(????????????+????????????+????????????)
=????????????+????????????+????????????+????????????+????????????+????????????
=????????????+????????????????+????????????
?
可知，做这两个纸盒共用纸（????????????+????????????????+????????????）cm2。
?
例2：做大、小两个长方体纸盒，尺寸如下表所示。
{7DF18680-E054-41AD-8BC1-D1AEF772440D}类型
长/cm
宽/cm
高/cm
小纸盒
大纸盒
（2）做大纸盒比做小纸盒多用纸多少平方厘米？
????
?
????
?
????
?
????.????????
?
????????
?
????????
?
解：小纸盒的表面积是（????????????+????????????+????????????）cm2
大纸盒的表面积是（????????????+????????????+????????????）cm2
（2）由(????????????+????????????+????????????)??(????????????+????????????+????????????)
=????????????+????????????+???????????????????????????????????????????????????
=????????????+????????????+????????????
?
可知，做大纸盒比做小纸盒多用纸（????????????+????????????+????????????）cm2。
?
1.长方形的一边长等于????????+????????,另一边比它大?????????,那么这个长方形的周长是（ ）
A.????????????+???????? B.????????+???????? 　 C.????????????+????????????　 D.????????????+????????
?
A
2.若关于????，????的多项式 ????????+????????????+?????(??????????????????????????)不含二次项，则?????????????=___________。
?
?????
?
3. 已知????＝??????????????????????+????，????＝?????????????????????+????，则?????????????????等于多少？
?
解：????(?????????????????????+????)?????(?????????????????????+????)
＝(?????????????????????+????)?(?????????????????????????+????)
＝?????????????????????+?????????????????????+?????????????
＝??????????????????????????????????????+????????+?????????
＝?????????????+?????????????
?
4.已知????＝??????????????????????????，????＝?????????????????????＋????，试比较????与????的大小关系。
?
解：?????????＝(??????????????????????????)?(?????????????????????＋????)
?????????????????????＝???????????????????????????????????????＋?????????????
?????????????????????＝???????????????????
因为????????≥????
所以?????????????????? 所以????????? 所以?????
注意：
（1）几个整式相加减，通常用括号把每一个整式括起来，再用加、减连接，然后进行运算。
（2）整式加减的最后结果的要求：
①不能含有同类项，即要合并到不能再合并为止；
②一般按照某一字母的降幂或升幂排列；
③不能出现带分数，带分数要化成假分数。
一般步骤： ①先去括号；②再合并同类项。
整式的加减