第7节 动能和动能定理
理解领悟
本节课在上节探究功与物体速度变化关系的基础上，进一步从理论上探究动能的表达式，以及做功与物体动能变化间的关系。要着重理解动能的概念，会用动能定理解决相关的物理问题。
基础级
?对三个具体问题的分析
在本章第１节“追寻守恒量”中，我们已经知道物体由于运动而具有的能量叫做动能。上一节又探究了功与物体速度变化的关系，物体的动能一定与物体的运动速度的二次方成正比。那么，动能还与哪些因素有关呢？为了探究动能的表达式，让我们来分析三个具体问题：
①?如图5—40所示，在光滑的水平面上，一质量为m、初速度为v1的物体在水平拉力F的作用下，发生的位移为l，试求该物体的末速度v2。
解：由牛顿第二定律有 ?F=ma，
由匀变速直线运动公式有 ??? ??v22－v12=2al,
解得 ?????。
②?如图5—41所示，将质量为m的小球从离地h高处以初速度v1竖直向下抛出，所受空气阻力恒为F，求小球落地时的速度v2。
解：由牛顿第二定律有 ???mg－F=ma，
由匀变速直线运动公式有? v22－v12=2ah,
解得 ???。
③?如图5—42所示，用一水平力F将质量为m的物块推上倾角为θ的光滑斜面。物块的初速度为v1，位移为l，求物块的末速度v2。
?解：由牛顿第二定律有 Fcosθ－mgsinθ=ma，
?由匀变速直线运动公式有? ?v22－v12=2al,
解得 。
?动能表达式的确立
将上述三个具体问题所得的结论适当变换，可依次得到如下的表达式：
① ；
② ；
③ 。
仔细研究上述三个表达式，可以发现它们有着相同的特点：
第一，式中的与v相关，因而与动能Ek相关，且与v2成正比也与前面的探究相一致；
第二，始末两态的之差与力的功W相等，因而与前面重力势能、弹性势能的研究相一致，即功是它的变化的量度。
可见，就是我们寻找的动能的表达式。至此，我们可以定义质量为m的物体，以速度v运动时的动能为 Ek=。
?对动能的深入理解
关于动能，可从以下四方面来加深理解：
动能具有相对性，参考系不同，速度就不同，所以动能也不等。一般都以地面为参考系描述物体的动能。
动能是状态量，是表征物体运动状态的物理量。物体的运动状态一旦确定，物体的动能就唯一地被确定了。
物体的动能对应于某一时刻运动的能量，它仅与速度的大小有关，而与速度的方向无关。动能是标量，且恒为正值。
由动能的表达式可知，动能的单位与功的单位相同，因为
?1kg·(m/s)2=1(kg·m/s2)·m=1N·m=1J。
?动能定理及其表达式
在上述三个具体问题所得结论的变换式中，我们可以看到，式子左边均为合力对物体所做的功，式子右边均为物体动能的变化。这就是说，力（合力）在一个过程中对物体所做的功，等于物体在这个过程中动能的变化。这就是动能定理，其数学表达式为
?W=Ek2－Ek1。
?关于合力的功
通常，动能定理数学表达式中的W有两种表述：一是每个力单独对物体做功的代数和，二是合力对物体所做的功。这样，动能定理亦相应地有两种不同的表述：
外力对物体所做功的代数和等于物体动能的变化。
合外力对物体所做的功等于物体动能的变化。
我们在本章第2节“做一做”栏目的学习中，已经证明了“几个力对一个物体做功的代数和，等于这几个力的合力对这个物体所做功的和”。所以，当几个力同时对物体做功时，可以先求出物体所受的合力，再求出合力的功；也可以先求出各个力的功，再求出功的代数和，这两者是相同的。然而，当几个力对物体做功有先后时，那就只能先求出各个力的功，再求出功的代数和。
?关于动能的变化
动能只有正值，没有负值，但动能的变化却有正有负。“变化”是指末状态的物理量减去初状态的物理量，而不一定是大的减小的，有些书上称之为“增量”。动能的变化量为正值，表示物体的动能增加了，对应于合力对物体做正功；物体的变化量为负值，表示物体的动能减小了，对应于合力对物体做负功，或者说物体克服合力做功。
??动能定理的适用范围
动能定理是从牛顿第二定律F=ma和匀变速直线运动公式?v22－v12=2al推导而得的，虽然它是在受恒力作用、物体做直线运动的特殊条件下得到的，但是，当物体受变力作用或做曲线运动时，我们可把过程分解成许多小段，认为物体在每小段受恒力作用、做直线运动。因此，无论作用在物体上的合力的大小和方向是否改变，物体是沿直线运动还是沿曲线运动，结论仍然成立。也就是说，动能定理适用于直线运动，也适用于曲线运动；适用于恒力做功，也适用于变力做功。力可以是各种性质的力，既可以同时作用，也可以分段作用。只要求出和确定各力做功的多少和正负即可。
值得注意的是，在推导动能定理的过程中应用了只能在惯性参考系中成立的牛顿第二定律，因而动能定理也只适用于惯性参考系。而对于不同的惯性参考系，虽然力对物体做的功、物体的动能、动能的变化都不相同，但动能定理作为一个力学规律在不同的参考系中仍然成立。动能定理适用于在惯性参考系中运动的任何物体。
动能定理中涉及的物理量有F、l、m、v、W、Ek等，在处理含有上述物理量的力学问题时，可以考虑使用动能定理。由于只需从力在各段位移内的功和这段位移始末两状态动能变化去研究，无需注意其中运动状态变化的细节，又由于功和动能都是标量，无方向性，无论是对直线运动或曲线运动，计算都会特别方便。当题给条件涉及力的位移效应，而不涉及加速度和时间时，用动能定理求解一般比用牛顿第二定律和运动学公式求解简便。用动能定理还能解决一些用牛顿第二定律和运动学公式难以求解的问题，如变力作用过程、曲线运动等问题。
?应用动能定理解题的一般步骤及注意点
应用动能定理解题的一般步骤是：
选取研究对象，确定研究过程；
分析问题受力，明确做功情况；
根据初、末状态，确定初、末动能；
应用动能定理，列出方程求解。
应用动能定理解题应注意以下几点：
正确分析物体受力，要考虑物体所受的所有外力，包括重力。
有些力在物体运动全过程中不是始终存在的，若物体运动过程中包含几个物理过程，物体运动状态、受力等情况均发生变化，则在考虑外力做功时，必须根据不同情况分别对待。
若物体运动过程中包含几个不同的物理过程，解题时可以分段考虑也可视全过程为一整体，用动能定理解题，后者往往更为简捷。
?对教材两道例题的提示
教材中的两道例题，分别以飞机起飞和汽车滑行为背景，应用动能定理求出了飞机的牵引力及汽车受到的阻力。两题均可应用牛顿运动定律结合运动学公式求解，而应用动能定理求解比较方便。在题后的“思考与讨论”栏目中提出“阻力做功，汽车的动能到哪里去了”？事实上，汽车的动能转化成了内能。
发展级
关于系统的动能定理
教材中得到的动能定理?W=Ek2－Ek1是以一个物体为研究对象的，式中?W为所有外力（包括重力、弹力）所做的功。这一定理可推广到由几个物体构成的物体系中去，但定理的形式应做相应的变动。因为对一个物体系来说，在状态变化的过程中，不仅有外力做功，还可能有内力做功，内力做功也会改变系统的总动能。例如，系统内的爆炸力做功（如手榴弹爆炸），可使整个系统的动能增加；系统内的摩擦力做功，又可使整个系统的动能减少。若以、分别表示外力和内力对系统所做的功，则有
。
即外力与内力对系统所做的总功，等于系统在这个过程中动能的变化。这就是系统的动能定理。
对功能关系的深入理解
功的概念起源于早期工业革命的需要。当时的工程师们需要一个比较蒸汽机效益的办法。在实践中大家逐渐同意用机器举起的物体的重量与高度之积来量度机器的输出，并称之为功。19世纪初，法国科学家科里奥利明确地把作用力和受力点沿力的方向的位移的乘积叫做“运动的功”。当功和能量这两个概念在具体的物理过程中“汇合”之时，人们才进了一大步，认识到“功的重要意义在于它可以决定能量的变化，因而为研究能量转化过程奠定了定量分析的基础”。这是今天的物理学总把“功”和“能”捆绑在一起的原因。
关于功和能的关系，我们可以从下面两方面加以理解：
做功的过程是能量转化的过程 能量有机械能、电能、内能、光能、化学能、核能等多种形式，各种形式的能可以相互转化，在转化过程中满足总能量守恒。在电灯通电时，电流做功，电能转化为内能和光能；当汽车发动机工作时，把化学能转化为机械能；在核反应过程中，核力做功，把核能转化为内能。要使能量的形式发生变化，必须通过做功过程才能实现。这一点和初中学过的热传递有着本质的区别。在热传递中过程，能量的形式并不发生变化。
功是能量转化的量度 在做功使能量的形式发生变化时，做了多少功，就有多少的能量从一种形式转化为另一种形式。例如，电阻丝通电时，若电流做了100J的功，就有100J的电能转化为内能。从这个意义上讲，功好像是一把尺子，可以用它来量度能量转化的大小。我们在推导重力势能、弹性势能和动能的表达式时，正是从这一原理入手的。
应用链接
本节知识的应用主要涉及对动能概念的正确理解，以及动能定理的分析与计算。
基础级
例1 新疆达坂城风口的风速约为v=20m/s，设该地空气的密度为ρ=1.4kg/m3，若把通过横截面积S=20m2的风的电能的50%转化为电能，使推导利用上述已知量计算电功率的公式，并求出发电机电功率的大小。
提示 本题所求电功率的意义是指单位时间内转化成的电能。由
?
可知，只要能求出单位时间内通过截面的空气的动能△E，即可求出P。
解析 首先建立风的“柱体模型”，如图5—43所示，设经过时间t通过截面S的空气的质量为m，则有
??m=ρV=ρSl=ρSvt。
这部分空气的动能为?。
因为风的动能只有50%转化为电能，所以其电功率的表达式为
。
代入数据得 ?W=5.6×104W。
点悟 求解本题的关键有：在理解功和能的关系的基础上建立风能（流动空气的动能）转化为电能的关系；正确建立风的柱体模型。
例2 在h高处，以初速度v0向水平方向抛出一个小球，不计空气阻力，小球着地时速度大小为（ ）
A. B. C. D.
提示 小球在下落过程中重力做功，可由动能定理计算。
解析 在小球下落的整个过程中，对小球应用动能定理，有
???，
解得小球着地时速度的大小为 ?。
正确选项为C。
点悟 动能定理不仅适用于直线运动，同样也适用于曲线运动。值得注意的是，应用动能定理只能求出小球着地时速度的大小，而无法求出速度的方向。若要求小球着地时速度的方向，还得应用平抛运动的相关规律，我们将在下一章进一步学习。
例3 一质量为?m的小球，用长为l的轻绳悬挂于O点。小球在水平拉力F作用下，从平衡位置P点很缓慢地移动到Q点，如图5—44所示，则拉力F所做的功为（ ）
A. mglcosθ B. mgl(1－cosθ) C. Flcosθ D. Flθ
提示 将小球从位置P很缓慢地拉到位置Q的过程中，球在任一位置均可看作处于平衡状态。由平衡条件可得F=mgtanθ，可见，随着θ角的增大，F也在增大。而变力的功是不能用W= Flcosθ求解的，应从功和能关系的角度来求解。
解析 小球受重力、水平拉力和绳子拉力的作用，其中绳子拉力对小球不做功，水平拉力对小球做功设为W，小球克服重力做功mgl(1－cosθ)。小球很缓慢移动时可认为动能始终为0，由动能定理 W－mgl(1－cosθ)=0，
可得 ?W= mgl(1－cosθ)。
正确选项为B。
点悟 我们应用动能定理，由合力的功与物体动能变化的关系求得了变力所做的功。可见，动能定理在求解变力做功问题中发挥着重要作用。
例4 将质量m=2kg的一块石头从离地面H=2m高处由静止开始释放，落入泥潭并陷入泥中h=5cm深处，不计空气阻力，求泥对石头的平均阻力。（g取10m/s2）
提示 石头的整个下落过程分为两段，如图5—45所示，第一段是空中的自由下落运动，只受重力作用；第二段是在泥潭中的运动，受重力和泥的阻力。两阶段的联系是，前一段的末速度等于后一段的初速度。考虑用牛顿第二定律与运动学公式求解，或者由动能定理求解。
解析 这里提供三种解法。
解法一（应用牛顿第二定律与运动学公式求解）：
石头在空中做自由落体运动，落地速度
?。
在泥潭中的运动阶段，设石头做减速运动的加速度的大小为a，则有
?v2=2ah，
解得 ?。
由牛顿第二定律 ?，
所以泥对石头的平均阻力
N=820N。
解法二（应用动能定理分段求解）：
设石头着地时的速度为v，对石头在空中运动阶段应用动能定理，有
?；
对石头在泥潭中运动阶段应用动能定理，有
。
由以上两式解得泥对石头的平均阻力
N=820N。
解法三（应用动能定理整体求解）：
对石头在整个运动阶段应用动能定理，有
。
所以，泥对石头的平均阻力
N=820N。
点悟 从本例提供的三种解法可以看出，应用动能定理求解，要比应用牛顿第二定律与运动学求解简单得多；而在物体运动的全过程应用动能定理，则往往要比分段应用动能定理显得更为简捷。
发展级
例5 质量为m的子弹以水平速度v1射入以速度v2沿同一方向运动的木块中，木块质量为M。当子弹进入木块中深度为d时，子弹和木块的速度分别v1’为和v2’。若木块和子弹的相互作用力为F，木块与水平面间的摩擦不计，试求这一过程中子弹和木块组成的系统动能的损失。（用F和d表示）
提示 应用动能定理时，注意子弹与木块发生的位移并不相同。
解析 如图5—46所示，设子弹进入木块深度为d的过程中，木块的位移为l，则子弹的位移为（l+d）。分别对木块和子弹应用动能定理，有
? ，。
由以上两式可得系统动能的损失
。
点悟 本题中，子弹和木块组成的系统损失的动能转化成了系统的内能。一般说来，作用于系统的滑动摩擦力F与系统内物体间相对滑动的位移d的乘积，在数值上等于因摩擦而转化成的内能，即“摩擦生热”Q=Fd。另外，静摩擦力即使对物体做功，由于相对位移d为0，也不可能生热。
本题也可采用系统的动能定理求解：由
，
式中 ?，
木块和子弹的相互作用力对木块做正功Fl，对子弹做负功－F(l+d)，即
?，
可得子弹和木块组成的系统动能的损失为
。
例6 总质量为M的列车沿水平直线轨道匀速前进，其末节车厢的质量为m，中途脱节。司机发现时，机车已行驶了距离l，于是立即关闭油门，除去牵引力。设列车运动的阻力与质量成正比，机车的牵引力是恒定的。当列车的两部分都停止时，它们间的距离是多少？
提示 对车头部分与末节车厢分别应用动能定理。
解析 设阻力与质量的比例系数为k，机车脱钩前的速度为v0。对车头部分，研究脱钩前后的全过程，根据动能定理有
。
对末节车厢，研究脱钩后的过程，根据动能定理有
。
由于原先列车匀速运动，所以 ?F=kMg。
由以上三式联立解得，列车的两部分都停止时，它们间的距离是
?。
点悟 本题也可应用牛顿第二定律结合运动学公式求解，请同学们不妨一试，但用动能定理求解的简便之处是显而易见的。
本题还可以用功能补偿的思路来解，求解过程更简单：假设中途脱节时，司机立即发觉，并立即关闭油门，则车厢和机车会停在同一地点。但因行驶了距离l 后才发现而关闭油门，在此过程中，牵引力做功kMgl，这部分功可用来补偿机车多行驶一段距离而克服阻力所做的功k(M－m)g·△s，即 kMgl= k(M－m)g·△s，
由此解得 。
课本习题解读
[p.21问题与练习]
1. 由动能的表达式可知：
a. 质量不变，速度增大到原来的2倍，动能是原来的4倍；
b. 速度不变，质量增大到原来的2倍，动能是原来的2倍；
c. 质量减半，速度增大到原来的4倍，动能是原来的8倍；
d. 速度减半，质量增大到原来的4倍，动能不变。
2. 由动能定理 ?
可知，在题目所述的两种情况下, (v22－v12)较大的，需要做的功较多。
速度由10km/h加速到20km/h的情况下：
v22－v12=202(km/h)2－102(km/h)2=300(km/h)2；
速度由50km/h加速到60km/h的情况下：
?v22－v12=602(km/h)2－502(km/h)2=1?100(km/h)2。
可见，后一种情况所做的功较多。
3. 设平均阻力为，根据动能定理有
?，
解得 ??N=1.6×103N。
子弹在木板中运动5cm时，所受木板的阻力各处不同，题目所说的平均阻力是对这5cm说的。
4. 人在下滑过程中，着力和阻力做功，设人受到的阻力为F，根据动能定理有
?，
解得人滑至底端时的速度为
??m/sm/s≈5.66m/s。
可见，用动能定理求解本题，要比用牛顿第二定律结合运动学公式求解来得简捷。
5. 设人将足球踢出的过程中，人对球做的功为W；从人踢球到球上升至最大高度的过程中，重力做功为WG。在从人踢球到球上升至最大高度的过程中对球应用动能定理，有
，
即 ?，
故 ?JJ=150J。
练习巩固（5—7）
基础级
1. 某物体在恒力作用下，从静止开始做直线运动，若t表示时间，l表示位移，则物体的动能（ ）
A. 与t成正比 B. 与t2成正比 C. 与l成正比 D. 与l2成正比
2. 一物体在水平方向的两个平衡力（均为恒力）作用下，沿水平方向做匀速直线运动。若撤去一个水平力，且保持另一个水平力不变，则有（ ）
A. 物体的动能可能减少 B. 物体的动能可能不变
C. 物体的动能可能增加 D. 余下的那个力一定对物体作正功
3. 甲、乙两个滑块以相同的初动能在同一水平面上滑行，若甲的质量大于乙的质量，两滑块与水平面间的动摩擦因数相同，则最后当它们均静止时滑行的距离（ ）
A. 相等 B. 甲大 C. 乙大 D. 无法比较
4. 某运动员臂长l，将质量为m的铅球推出。铅球出手时的速度大小为v0，方向与水平方向成30°角，则运动员对铅球做了多少功？
5. 人从高h处将一质量为m的小球水平抛出，不计空气阻力，测得球落地时速度的大小为v，则人抛球时对球做了多少功？
6. 质量为1kg的铁球，由离泥浆地面3m高处自由落下，陷入泥浆中30cm后静止，则重力对铁球所做的功是多少？铁球克服泥浆阻力所做的功是多少？（g取10m/s2）
7. 一架小型喷气式飞机的质量为5×103kg，在跑道上从静止开始滑行时受到的发动机的牵引力为1.8×104N，设飞机在运动中的阻力是它所受重力的0.2倍，飞机离开跑道的起飞速度为60m/s，求飞机在跑道上滑行的距离。（g取10m/s2）
发展级
8. 如图5—47所示，在摩擦可忽略的水平面上停着一辆小车，小车的左端放着一只箱子。在水平恒力F作用下，把箱子从小车的左端拉至右端卸下。如果一次小车被制动，另一次小车未被制动，小车可沿地面运动，在这两种情况下有（ ）
A. 箱子与车面之间的摩擦力一样大 ?B. 水平恒力F所做的功一样大
C. 箱子获得的加速度一样大 ?D. 箱子获得的动能一样大
9. 自行车上坡，坡高5.0m，坡长100m，车与人共重9.8×102N，人蹬车的牵引力为78N，车在坡底的速度为5.0m/s，到坡顶时速度为3.0m/s。问：
(1)?上坡过程中，自行车克服摩擦力做了多少功？
(2)?如果人不用力蹬车，车在坡底速度仍为5.0m/s，自行车能上行多远？
10. 质量为3×106kg的列车，在恒定的额定功率下由静止出发，运行中受到一个恒定不变的阻力作用，经过103s，行程1.2×104m后达到最大速度20m/s。求列车的额定功率和它所受到的阻力。
练习巩固（5—7）
1. BC 2. AC 3. C
4. 对铅球在被推出的过程中应用动能定理，有
?，
可得运动员对铅球所做的功为
。
5. 在从人开始抛球到小球落地的过程中，对小球应用动能定理，有
???，
故人抛球时对小球做的功为 ? ??。
6. 重力所做的功为 WG=mg(H+h)=1×10×(3+0.3)J=33J。
设泥浆对铁球所做的功为WF，在铁球下落的整个过程中，对铁球应用动能定理，有
WG+WF=0－0，WF=－WG=－33J，
即铁球克服泥浆所做的功为33J。
7. 对飞机在滑行过程中应用动能定理，有
，
故飞机在跑道上滑行的距离为
??m=1125m。
8. AC 设箱子的质量为m，箱子与车面间的动摩擦因数为μ。不管小车是否被制动，箱子与车面之间的摩擦力均为 ?Ff=μmg。
设小车的长度为l，忽略箱子的宽度，在把箱子从小车的左端拉至右端的过程中，若小车被制动，则水平恒力F所做的功为 ??W1=Fl；
若小车未被制动，设小车移动了距离s，则水平恒力F所做的功为
W2=F(l+s)≠W1。
不管小车是否被制动，箱子获得的加速度均为
。
对箱子应用动能定理，若小车被制动，有
；
若小车未被制动，有 ?≠。
9.（1）当人用力蹬车时，对自行车上坡应用动能定理，有
?，
故自行车克服摩擦力做功
=78×100JJJ=3700J。
(2?)?自行车上坡时所受的阻力为
N=37N。
当人不用力蹬车时，对自行车上坡应用动能定理，有
??。
所以，自行车能上行的距离为
m≈14.5m。
10. 对列车在运行过程中应用动能定理，有
?????；
当列车速度达到最大时，有 ?P=Ff?vm。
由以上两式可得，列车所受到的阻力
?N=7.5×104N；
列车的额定功率 ?P=Ff?vm=7.5×104×20W=1.5×106N。
教学后感想
七、动能和动能定理
【要点导学】
1、物体由于________而具有的能叫做动能，计算公式为___________,式中速度v为物体的对_______运动速度，根据公式可知，动能恒大于或等于零。
2、物体的动能变化是由______________________决定的，反映这一规律的定理叫_______，其表达式为___________________。当__________对物体做正功时，物体的动能将增加，说明_________是物体运动的动力；当___________对物体做负功时，物体的动能将减小，说明____________是物体运动的动力；如果___________对物体不做功（例如匀速圆周运动的向心力），物体的________就不变化。动能定理指出了物体动能变化的决定因素，因此计算物体的动能变化时，必须从________做功的角度来思考，尤其是在计算变力做功时，一般都选用__________处理。
3、动能定理是无条件适用的，它是力学中的重要定理，应用动能定理的一般步骤为：
①确定研究对象，明确它的运动过程；
②正确的________是应用动能定理的前提，由于涉及合外力做功，必须正确进行________，如果出现少力或力方向错误等，则整个问题的解答已经错误；
③正确判断各个力的_______情况，什么力做功？什么力不做？什么力做正功？什么力做负功？
④正确的状态分析，由于动能定理中需要物体初末状态的动能值，因此必须正确分析清楚处末状态的运动情况；
⑤根据W总=mv22/2－mv12/2列方程求解；
⑥写好答案（必要时对答案进行讨论）。
［范例精析］
例1 如图所示，在光滑的平台上有一质量为6kg的物体，开始处于静止状态，当人拉紧绳子以5m/s的速度匀速从B点运动到A点。已知OB=3m，AB=4m。求此过程中人对物体所做的功。
解析 ①确定研究对象为水平面上的物体；
②物体受到重力、平台的支持力、绳子的拉力；
③重力和平台的支持力都不对物体做功，绳子拉力对物体做正功（但绳子拉力大小未知）；
④物体的速度由零增加到5m/s；
⑤根据W总=mv22/2－mv12/2列方程为
W总= W拉＝mv22/2－mv12/2＝6×（5×4/5）2/2－0=48J
答：此过程中人对物体所做的功为48J。
拓展 本题中绳子的拉力应为变力（可以根据速度分解原理自行证明，物体将做变速运动），通常情况下，计算变力做功时，一般多是用动能定理求。
例如：一质量为2kg的铅球从离地面2m高处自由下落，陷入砂坑中2cm深处，求砂子对铅球的平均阻力。[提示：直接对全过程应用动能定理：mg(H+h)-fh=0-0]
例2 一列车的质量是5×105kg，在平直的轨道上以额定功率3000kW加速行驶，当速度由10m/s加速到可能达到的最大速率30m/s时，共用了3min，则在这段时间内列车前进的距离是多少？（假设地面及空气给汽车的阻力为恒力）
解析 ①确定研究对象为水平面上的汽车；
②汽车受到重力、地面的支持力、地面给的牵引力（静摩擦力）；地面滚动摩擦力及空气给的滑动摩擦阻力总计为f（如图所示）；
③地面给的牵引力对汽车做正功（但为变力做功）；阻力f对汽车做负功，其余力均不做功；
④汽车的速度由10m/s增加到30m/s；
⑤根据W总=mv22/2－mv12/2列方程为Pt-fs=m(v22-v12)/2┄┄①
当列车达到最大速率时以vm匀速行驶，f =P/ vm=1×105N┄┄②,
代入数据得s=3400m┄┄③
拓展 涉及机车功率问题时，首先要区别是牵引力不变还是牵引力做功的功率不变，即要确定机车的运动模式，不同的模式，其运动规律是不同的，本例中由于列车功率不变，列车在做变加速度运动，因此不满足匀变速运动规律。本题的常见错误是认为列车的牵引力是恒力，从而应用牛顿第二定律求出加速度，在根据运动学公式求出列车运动的位移。或利用平均速度公式来计算位移。
例3质量为m的物体在水平地面上以一定的初速度滑行，若物体与地面之间的动摩擦因数为μ，在开始阶段受到与初速同方向的水平推力F1作用前进S1位移，接着以同方向的水平推力F2作用进S2位移，然后撤除外力，物体再前进S3位移后停止。求物体的初速度v0。
解析 本题有三个物理过程，考虑到物体的受力情况，力的做功情况很清晰，可以用全过程的动能定理一次性处理。F1和F2均为动力做功，滑动摩擦力μmg为阻力做负功，各力做功的代数和等于物体动能的变化
F1S1+F2S2-μmg(S1+S2)=0-mv02/2┄┄①,
解得:
拓展 本题涉及的三个运动过程中，物体受到的合外力都是恒力，当然可以用牛顿运动来处理，但是应分成三个物理过程分段解答，至少应解六步才可得解，显然比较烦琐。而动能定理可以将全过程当作一个过程来处理，充分体现出它的优越性，学习过程中要善于选择合适的过程来处理问题。
例如：一钢球质量为m，自高度H处静止下落至一钢板上，与钢板碰撞后弹起，碰撞过程中无能量损失，若所受的空气阻力F的大小不变，求：①小球第一次下落至钢板时（尚未碰撞）的速度；②小球从开始下落到完全静止所通过的总路程。
【能力训练】
1、下列说法中，正确的是（BD）
A．物体的动能不变，则其速度一定也不变
B．物体的速度不变，则其动能也不变
C．物体的动能不变，说明物体的运动状态没有改变
D．物体的动能不变，说明物体所受的合外力一定为零
2、一物体在水平方向的两个平衡力(均为恒力)作用下沿水平方向做匀速直线运动，若撤去一个水平力，则有（AC）
A．物体的动能可能减少 B．物体的动能可能不变
C．物体的动能可能增加 D．余下的一个力一定对物体做正功
3、在离地面一定高度处，以相同的动能，向各个方向抛出多个质量相同的小球，这些小球到达地面时，有相同的（AC）
A．动能 B．速度 C．速率 D．位移
4、．在光滑水平面上．质量为2kg的物体以2m／s的速度向东运动，当对它施加一向西的力使它停下来，则该外力对物体做的功是（C）
A．16J B．8J． C．4J D．0
5、甲、乙、丙三个物体具有相同的动能，甲的质量最大，丙的最小，要使它们在相同的距离内停止，若作用在物体上的合力为恒力，则合力（C）
A．甲的最大 B．丙的最大
C．都一样大 D．取决于它们的速度
6、把一根弹簧平放在光滑水平面上，使一端固定．把一个质量为1kg的滑块放在弹簧另一端，用力水平推动滑块使弹簧压缩．当把滑块由静止释放后，经过0.5s弹簧把滑块以10m/s的速度水平弹出去，在这段时间内弹簧对滑块做功的平均功率等于（C）
A、20W B、200W C、100W D、25W
7、一个质量为2kg的物体，以4m/s的速度在光滑水平面上向右滑行，从某个时刻起，在物体上作用一个向左的水平力，经过一段时间，物体的速度方向变为向左，大小仍然是4m/s，在这段时间内水平力对物体做的功为（A）
A、0 B、8J C、16J D、32J
8、速度为v的子弹，恰可穿透一固定着的木板，如果子弹速度为2v，子弹穿透木板的阻力视为不变，则可穿透同样的木板（C）
A、2块 B、3块 C、4块 D、1块
9、两辆汽车在同一平直路面上行驶，它们的质量之比m1：m2=1：2，速度之比v1：v2=2：1．当两车急刹车后，甲车滑行的最大距离为s1，乙车滑行的最大距离为s2．设两车与路面的动摩擦因数相等，不计空气的阻力，则（D）
A、s1：s2=1：2 B、s1：s2=1：1 C、s1：s2=2：1 D、s1：s2=4：1
10、如图所示，一个质量为m的物体在高为h的斜面上刚好匀速下滑，现用平行于斜面的力缓慢地将物体沿斜面从底端拉到顶端，拉力所做的功为________．2mgh
11、在距地面12m高处以12m/s的速度抛出一个质量为2kg的物体，物体落到地面时的速度是19m/s，那么人在抛物的过程中对物体做的功是____ J，物体下落过程中克服阻力做的功是____ J．144，23
12、均匀直木板长为L=40cm，质量为2.0kg，与桌面间动摩擦因数为0.2．若在木板左端用一水平推力F将其推下桌子，水平推力至少做功___________J．(取g=10m/s2)．0.8J
13、一人在雪橇上，从静止开始沿着高度为15m的斜坡滑下，到达底部时的速度为10m/s，人和雪橇的总质量为60kg，下滑过程中克服阻力做的功等于______J．（取g=10m/s2）．6.0×103
14、如图所示，BD为一水平面，AC是斜面，一物体从A点由静止开始沿AC滑下，滑至D点时速度刚好为零，如果斜面改为AE（φ＞θ），让该物体从A点由静止开始沿AE滑下，最终物体静止于水平面上的F点（图中未画出）．试推证F点在D的左边、右边、还是与D点重合．（已知物体与接触面之间的动摩擦因数处处相同，不计物体通过E或C点时的能量损失）F点与D点重合
15、质量为m的滑块与倾角为θ的斜面间的动摩擦因数为μ，μ(1)停在斜面底端 (2) (v02+2gh)/2μgcosθ
§7.7 动能和动能定理（课时一）
【教学目标】
知识与技能
1、掌握动能的表达式。
2、掌握动能定理的表达式。
3、理解动能定理的确切含义，应用动能定理解决实际问题。
【教学重点】
动能定理及其应用。
【教学难点】
对动能定理的理解和应用。
【教学课时】
2课时
【探究学习】
（一）引入新课
教师活动：通过上节课的探究，我们已经知道了力对物体所做的功与速度变化的关系，那么物体的动能应该怎样表达？力对物体所做的功与物体的动能之间又有什么关系呢？这节课我们就来研究这些问题。
（二）进行新课
1、动能表达式
教师活动：我们在学习重力势能时，是从哪里开始入手进行分析的？这对我们讨论动能有何启示？
学生活动：思考后回答
学习重力势能时，是从重力做功开始入手分析的。讨论动能应该从力对物体做的功入手分析。
点评：通过知识的迁移，找到探究规律的思想方法，形成良好的思维习惯。
教师活动：投影：在以下简化的情景下求出力对物体做功的表达式。
设物体的质量为m，在与运动方向相同的恒定外力F的作用下发生一段位移l，速度由v1增加到v2，如图所示。试用牛顿运动定律和运动学公式，推导出力F对物体做功的表达式。
学生活动：在练习本上独立推导，求出力对物体做功的表达式。
教师活动：投影学生的推导过程。
功的表达式为：
提出问题，教材上说“”很可能是一个具有特殊意义的物理量，为什么这样说？通过上节课的探究，是否也印证了你的观点？
教师活动：听取学生汇报，帮助总结。
质量为m的物体，以速度v运动时的动能为
提出问题：动能是矢量还是标量？国际单位制中，动能的单位是什么？1970年我国发射的第一颗人造地球卫星，质量为173kg，运动速度为7.2km/s，它的动能是多大？
学生活动：回答问题，并计算卫星的动能。
点评：通过计算卫星的动能，增强学生的感性认识。同时让学生感受到动能这个概念在生活、科研中的实际应用。促进学生对物理学的学习兴趣。
2、动能定理
教师活动：直接给出动能定理的表达式：
有了动能的表达式后，前面我们推出的，就可以写成
其中表示一个过程的末动能，表示一个过程的初动能。
上式表明，力在一个过程中对物体所作的功，等于物体在这个过程中动能的变化。这个结论，叫做动能定理。
提出问题：（1）如果物体受到几个力的作用，动能定理中的W表示什么意义？结合生活实际，举例说明。（2）动能定理，我们实在物体受恒力作用且作直线运动的情况下推出的。动能定理是否可以应用于变力作功或物体作曲线运动的情况，该怎样理解？
学生活动：阅读教材，思考问题，列举实例；选出代表发表自己的见解。
点评：通过学生阅读，培养学生的阅读理解能力；通过学生讨论，明确动能定理的应用范围。
教师活动：投影例题1和例题2，引导学生一起分析、解决。
学生活动：学生在实物投影仪上讲解自己的解答，并相互讨论；教师帮助学生总结用动能定理解题的要点、步骤，体会应用动能定理解题的优越性。
1、动能定理不涉及运动过程中的加速度和时间，用它来处理问题要比牛顿定律方便.
2、用动能定理解题，必须明确初末动能，要分析受力及外力做的总功.
3、要注意：当合力对物体做正功时，末动能大于初动能，动能增加；当合力对物体做负功时，末动能小于初动能，动能减小。
点评：通过分析实例，培养学生进行情景分析，加深对规律的理解能力，加强物理与生活实践的联系。
（三）课堂总结、点评
教师活动：让学生概括总结本节的内容。请一个同学到黑板上总结，其他同学在笔记本上总结，然后请同学评价黑板上的小结内容。
学生活动：认真总结概括本节内容，并把自己这节课的体会写下来、比较黑板上的小结和自己的小结，看谁的更好，好在什么地方。
点评：总结课堂内容，培养学生概括总结能力。
教师要放开，让学生自己总结所学内容，允许内容的顺序不同，从而构建他们自己的知识框架。
（四）实例探究
对动能定理的应用
［例］如图所示，质量为m的钢珠从高出地面h处由静止自由下落，落到地面进入沙坑h/10停止，则
（1）钢珠在沙坑中受到的平均阻力是重力的多少倍？
（2）若让钢珠进入沙坑h/8，则钢珠在h处的动能应为多少？设钢珠在沙坑中所受平均阻力大小不随深度改变。
解析：（1）取钢珠为研究对象，对它的整个运动过程，由动能定理得W=WF+WG=△EK =0。取钢珠停止处所在水平面为重力势能的零参考平面，则重力的功WG=mgh，阻力的功WF= Ff h， 代入得mghFf h=0，故有Ff /mg=11。即所求倍数为11。
（2）设钢珠在h处的动能为EK，则对钢珠的整个运动过程，由动能定理得W=WF+WG=△EK =0，进一步展开为9mgh/8—Ff h/8= —EK，得EK=mgh/4。
点评：对第（2）问，有的学生这样做，h/8—h/10= h/40，在h/40中阻力所做的功为
Ff h/40=11mgh/40，因而钢珠在h处的动能EK =11mgh/40。这样做对吗？请思考。
课件70张PPT。高中物理新人教版必修２系列课件7.7《动能和动能定理》教学目标１、掌握用动能定理还能解决一些用牛顿第二定律和运动学公式难以求解的问题，如变力作用过程、曲线运动等问题。
２、掌握用动能定理处理含有涉及的物理量中的F、l、m、v、W、Ek等物理量的力学问题。 第一课时一. 动能1.物体由于运动而具有的能叫动能．2.动能的大小：3.动能是标量．4.动能是状态量，也是相对量．因为Ｖ为瞬时速度，且与参考系的选择有关,公式中的速度一般指相对于地面的速度 ．5.动能的单位与功的单位相同-----焦耳.
6.动能与动量大小的关系：一个物体的动量发生变化，它的动能不一定变化一个物体的动能发生变化，它的动量一定变化二、动能定理1.合外力所做的功等于物体动能的变化,这个结论叫做动能定理.2.动能定理的理解及应用要点:(1)等式的左边为各个力做功的代数和，正值代表正功，负值代表负功。等式右边动能的变化，指末动能EK2=1/2mv22与初能EK1=1/2mv12之差.(2)“增量”是末动能减初动能．ΔEK＞0表示动能增加，ΔEK＜0表示动能减小．(3)在动能定理中,总功指各外力对物体做功的代数和．这里我们所说的外力包括重力、弹力、摩擦力、电场力或其他的力等．(4)动能定理适用单个物体，对于物体系统尤其是具有相对运动的物体系统不能盲目的应用动能定理．由于此时内力的功也可引起物体动能向其他形式能（比如内能）的转化．(5)各力位移相同时，可求合外力做的功，各力位移不同时，分别求力做功，然后求代数和．(6)有些力在物体运动全过程中不是始终存在的，若物体运动过程中包含几个物理过程，物体运动状态、受力等情况均发生变化，因而在考虑外力做功时，必须根据不同情况分别对待.(7)动能定理中的位移和速度必须是相对于同一个参考系.一般以地面为参考系.(8)若物体运动过程中包含几个不同的物理过程，解题时可以分段考虑. 若有能力，可视全过程为一整体，用动能定理解题.?(9)动能定理中涉及的物理量有Ｆ、Ｓ、ｍ、ｖ、Ｗ、ＥＫ等，在处理含有上述物理量的力学问题时，可以考虑使用动能定理。由于只需从力在整个位移内的功和这段位移始末两状态动能变化去考察，无需注意其中运动状态变化的细节，又由于动能和功都是标量，无方向性，无论是直线运动或曲线运动，计算都有会特别方便。 总之，无论做何种运动，只要不涉及加速度和时间，就可考虑应用动能定理解决动力学问题。例1、 钢球从高处向下落，最后陷入泥中，如果空气阻力可忽略不计，陷入泥中的阻力为重力的n 倍，
求：钢珠在空中下落的高度H与陷入泥中的深度h 的比值 H∶h =? ??解: 画出示意图并分析受力如图示： 由动能定理，选全过程mg(H+h)－nmgh=0?????H + h = n h??? ∴H : h = n - 1练习1、放在光滑水平面上的某物体，在水平恒力F的作用下，由静止开始运动，在其速度由0增加到v和由v增加到2v的两个阶段中，F对物体所做的功之比为 ( )
A.1∶1
B.1∶2
C.1∶3
D.1∶4C 例2．如右图所示，水平传送带保持 1m/s 的速度运动。一质量为1kg的物体与传送带间的动摩擦因数为0.2。现将该物体无初速地放到传送带上的A点，然后运动到了距A点1m 的B点，则皮带对该物体做的功为 （? ? ）
A. 0.5J? ?B. 2J????
C. 2.5J?? D. 5J??解: 设工件向右运动距离S 时，速度达到传送带的速度v，由动能定理可知 μmgS=1/2mv2解得 S=0.25m，说明工件未到达B点时，速度已达到v，所以工件动能的增量为?????
△EK = 1/2 mv2 = 0.5×1×1= 0.5J ?A练习2、两辆汽车在同一平直路面上行驶，它们的质量之比m1∶m2=1∶2，速度之比v1∶v2=2∶1，两车急刹车后甲车滑行的最大距离为s1，乙车滑行的最大距离为s2，设两车与路面间的动摩擦因数相等，不计空气阻力，则( )
A.s1∶s2=1∶2
B.s1∶s2=1∶1
C.s1∶s2=2∶1
D.s1∶s2=4∶1D 如下图所示，一个质量为m的小球从A点由静止开始滑到B点，并从B点抛出，若在从A到B的过程中，机械能损失为E，小球自B点抛出的水平分速度为v，则小球抛出后到达最高点时与A点的竖直距离是
。例3、解: 小球自B点抛出后做斜上抛运动,水平方向做匀速直线运动,到最高点C的速度仍为v ,设AC的高度差为h由动能定理, A→B →Cmgh – E=1/2×mv2 ∴h=v2/2g+E/mgv2/2g+E/mg 练习3、下列关于运动物体所受的合外力、合外力做功和动能变化的关系，正确的是 [ ]
A．如果物体所受的合外力为零，那么，合外力对
物体做的功一定为零
B．如果合外力对物体所做的功为零，则合外力一
定为零
C．物体在合外力作用下作变速运动，动能一定变
化
D．物体的动能不变，所受的合外力必定为零
A 质量为m的跳水运动员从高为H的跳台上以速率v1 起跳，落水时的速率为v2 ，运动中遇有空气阻力，那么运动员起跳后在空中运动克服空气阻力所做的功是多少？解：对象—运动员过程---从起跳到落水受力分析---如图示由动能定理合例4.练习4、一质量为1kg的物体被人用手由静止向上提升1m，这时物体的速度2 m/s，则下列说法正确的是 ( )A．手对物体做功 12J
B．合外力对物体做功 12J
C．合外力对物体做功 2J
D．物体克服重力做功 10 JA C D 例5.如图所示，质量为m的物块从高h的斜面顶端O由静止开始滑下，最后停止在水平面上B点。若物块从斜面顶端以初速度v0沿斜面滑下，则停止在水平面的上C点，已知，AB=BC , 则物块在斜面上克服阻力做的功为 。（设物块经过斜面与水平面交接点处无能量损失）解：设物块在斜面上克服阻力做的功为W1，
在AB或BC段克服阻力做的功W2由动能定理 O→Bmgh -W1 –W2= 0O→Cmgh -W1 –2W2= 0 - 1 /2 mv02 ∴W1 =mgh－1 /2 mv02 mgh－1 /2 mv02 练习5．某人在高h处抛出一个质量为m的物体．不计空气阻力，物体落地时的速度为v，这人对物体所做的功为：( )
A．mgh
B．mv2/2
C．mgh+mv2/2
D．mv2/2- mghD 例6. 斜面倾角为α，长为L， AB段光滑，BC段粗糙，AB =L/3, 质量为m的木块从斜面顶端无初速下滑，到达C端时速度刚好为零。求物体和BC段间的动摩擦因数μ。分析：以木块为对象，下滑全过程用动能定理：重力做的功为摩擦力做功为 支持力不做功,初、末动能均为零。由动能定理 mgLsin α-2/3 μmgLcos α=0可解得点评：用动能定理比用牛顿定律和运动学方程解题方便得多。 ?练习6.竖直上抛一球，球又落回原处，已知空气阻力的大小正比于球的速度( )
（A）?上升过程中克服重力做的功大于下降过程中重 力做的功
（B）?上升过程中克服重力做的功等于下降过程中重力做的功
（C）?上升过程中克服重力做功的平均功率大于下降 过程中重力做功的平均功率
（D） 上升过程中克服重力做功的平均功率等于下降过程中重力做功的平均功率B 、C例7.将小球以初速度v0竖直上抛，在不计空气阻力的理想状况下，小球将上升到某一最大高度。由于有空气阻力，小球实际上升的最大高度只有该理想高度的80%。设空气阻力大小恒定，求小球落回抛出点时的速度大小v?解：有空气阻力和无空气阻力两种情况下分别在上升过程对小球用动能定理：
和可得H=v02/2g， 再以小球为对象，在有空气阻力的情况下对上升和下落的全过程用动能定理。全过程重力做的功为零，所以有：解得 例8.地面上有一钢板水平放置，它上方3m处有一钢球质量 m=1kg，以向下的初速度v0=2m/s竖直向下运动，假定小球运动时受到一个大小不变的空气阻力 f=2N，小球与钢板相撞时无机械能损失，小球最终停止运动时，它所经历的路程S 等于 多少？ ( g=10m/s2 )解：对象 — 小球过程 —从开始到结束受力分析---如图示由动能定理 例9.在光滑水平面上有一静止的物体，现以水平恒力甲推这一物体，作用一段时间后，换成相反方向的恒力乙推这一物体，当恒力乙作用时间与恒力甲作用时间相同时，物体恰好回到原处，此时物体的动能为32 J,则在整个过程中，恒力甲做的功等于 焦耳，恒力乙做的功等于 焦耳.解：画出运动示意图如图示：由牛顿定律和运动学公式 A→BS=1/2a1 t2 =F1 t2 /2mv=at=F1 t/mB→C→A- S=vt - 1/2 a2 t2 = F1 t 2/m - F2 t2 /2m∴F2 =3 F1A→B→C→A 由动能定理 F1S+F2S=32∴W1= F1S=8J
W2= F2S=24J8J24J 例10.总质量为M的列车，沿水平直线轨道匀速前进，其末节车厢质量为m，中途脱节．司机发觉时，机车已行驶L的距离，于是立即关闭发动机滑行．设运动的阻力与质量成正比，机车的牵引力恒定，当列车的两部分都停止时，它们的距离是多少？对末节车厢应用动能定理，有说明 本题所求距离为两个物体的位移之差，需分别对各个物体应用动能定理．求解时也可假设中途脱节时，司机若立即关闭发动机，则列车两部分将停在同一地点．现实际上是行驶了距离L后才关闭发动机，此过程中牵引力做的功，可看作用来补续前部分列车多行驶一段距离而才停止,则两者距离?s=s1-s2.对前面部分的列车应用动能定理,有 练习8.质量为m的飞机以水平v0飞离跑道后逐渐上升,若飞机在此过程中水平速度保持不变,同时受到重力和竖直向上的恒定升力(该升力由其他力的合力提供,不含重力).今测得当飞机在水平方向的位移为L时,它的上升高度为h,求(1)飞机受到的升力大小?(2)从起飞到上升至h高度的过程中升力所做的功及在高度h处飞机的动能?解析(1)飞机水平速度不变,L= v0t,竖直方向的加速度恒定,h=?at2,消去t即得由牛顿第二定律得:F=mg＋ma=(2)升力做功W=Fh=在h处,vt=at=例11．如图示，光滑水平桌面上开一个小孔，穿一根细绳，绳一端系一个小球，另一端用力F 向下拉，维持小球在水平面上做半径为r 的匀速圆周运动．现缓缓地增大拉力，使圆周半径逐渐减小．当拉力变为8F 时，小球运动半径变为r/2，则在此过程中拉力对小球所做的功是： [ ]
A．0 B．7Fr/2
C．4Fr D．3Fr/2解：D 练习9.某人造地球卫星因受高空稀薄空气的阻气作用，绕地球运转的轨道会慢慢改变，每次测量中卫星的运动可近似看作圆周运动。某次测量卫星的轨道半径为r1，后来变为r2 。以Ek1、 E k2表示卫星在这两个轨道上的动能， T1 、 T2表示卫星在这两上轨道上绕地运动的周期，则 ( )（A）E k2 ＜ Ek1 T2 ＜ T1
（B） E k2 ＜ Ek1 T2 ＞ T1
（C） E k2 ＞ Ek1 T2 ＜ T1
（D） E k2 ＞ Ek1 T2 ＞ T1 C 质量为m的物体放在小车一端受水平恒力F作用被拉到另一端(如图所示)。假如第一次将小车固定；第二次小车可以在光滑水平面上运动。比较这两次过程中拉力F所作的功W1和W2、产生的热量Q1和Q2、物体的末动能Ek1和Ek2，应有W1____W2；Q1____Q2；Ek1_ ___Ek2。(用“>”或“<”或“=”填)例12.解：画出受力分析图和运动示意图如图示：S1＜S2∴ W1 ＜ W2Q=fΔS∴ Q1 = Q2 对物体,由动能定理
EK =（F-f）S ∴ EK1 ＜ EK2＜＝＜练习10．如图所示，一木块放在光滑水平面上，一子弹水平射入木块中，射入深度为d，平均阻力为f．设木块离原点S远时开始匀速前进，下列判断正确的是 B D Sd木块在台面上滑行阶段对木块用动能定理，设木块离开台面时的速度为v2，有： 例13.质量为M的木块放在水平台面上，台面比水平地面高出h=0.20m，木块离台的右端L=1.7m。质量为m=0.10M的子弹以v0=180m/s的速度水平射向木块，并以v=90m/s的速度水平射出，木块落到水平地面时的落地点到台面右端的水平距离为s=1.6m，求木块与台面间的动摩擦因数为μ。解：本题的物理过程可以分为三个阶段，在其中两个阶段中有机械能损失：子弹射穿木块阶段和木块在台面上滑行阶段。所以本题必须分三个阶段列方程：子弹射穿木块阶段，对系统用动量守恒，设木块末速度为v1，mv0= mv+Mv1……①……②木块离开台面后的平抛阶段，……③由①、②、③可得μ=0.50 从本题应引起注意的是：凡是有机械能损失的过程，都应该分段处理。 从本题还应引起注意的是：不要对系统用动能定理。在子弹穿过木块阶段，子弹和木块间的一对摩擦力做的总功为负功。如果对系统在全过程用动能定理，就会把这个负功漏掉。练习11、 如图所示长木板A放在光滑的水平地面上，物体B以水平速度冲上A后，由于摩擦力作用，最后停止在木板A上，则从B冲到木板A上到相对板A静止的过程中，下述说法中正确是 （ )
?(A) 物体B动能的减少量等于B克服摩擦力做的功
(B) 物体B克服摩擦力做的功等于系统内能的增加量
(C) 物体B损失的机械能等于木板A获得的动能与系
统损失的机械能之和
(D)摩擦力对物体B做的功和对木板A做的功的总和
等于系统内能的增加量 A C D例14.两个人要将质量M＝1000 kg的小车沿一小型铁轨推上长L＝5 m,高h＝1 m的斜坡顶端．已知车在任何情况下所受的摩擦阻力恒为车重的0.12倍，两人能发挥的最大推力各为800 N.水平轨道足够长，在不允许使用别的工具的情况下，两人能否将车刚好推到坡顶？如果能应如何办？（要求写出分析和计算过程）（g取10 m/s 2）解析:小车在轨道上运动时所受摩擦力ff＝μMg＝0.12×1000×10N=1200 N两人的最大推力F＝2×800 N＝1600 NF＞f,人可在水平轨道上推动小车加速运动，但小车在斜坡上时f＋Mgsinθ＝1200 N＋10000·1/5N＝3200 N＞F=1600 N可见两人不可能将小车直接由静止沿坡底推至坡顶． 若两人先让小车在水平轨道上加速运动，再冲上斜坡减速运动，小车在水平轨道上运动最小距离为s（F一f）s十FL一fL一Mgh=0
练习12.某地强风的风速约为v=20m/s,设空气密度ρ=1.3kg/m3,如果把通过横截面积=20m2风的动能全部转化为电能,则利用上述已知量计算电功率的公式应为P=_________,大小约为_____W(取一位有效数字)
Ek=P=例15.如图所示质量为1kg的小物块以5m/s的初速度滑上一块原来静止在水平面上的木板，木板质量为4kg，木板与水平面间动摩擦因数是0.02，经过2S以后，木块从木板另一端以1m/s相对于地的速度滑出，g取10m／s，求这一过程中木板的位移．解析：设木块与木板间摩擦力大小为f1，木板与地面间摩擦力大小为f2．对木块：一f1t=mvt一mv0，得f1=2 N对木板：（fl－f2）t＝Mv,f2＝μ（m＋ M）g得v＝0．5m/s 对木板：（fl－f2）s=?Mv2，得 S=0·5 m练习13.动量大小相等的两个物体，其质量之比为2：3，则其动能之比为（ ）
A．2：3； B．3：2； C．4：9； D．9：4B解析：由Ek= 可知，动量大小相等的物体，其动能与它们的质量成反比，因此动能的比应为3：2． 例16.质量为m的小球被系在轻绳一端，在竖直平面内做半径为R的圆周运动，运动过程中小球受到空气阻力的作用．设某一时刻小球通过轨道的最低点，此时绳子的张力为7mg,此后小球继续做圆周运动，经过半个圆周恰能通过最高点，则在此过程中小球克服空气阻力所做的功为（ ）
A.mgR/4 B. mgR/3 C. mgR/2 D.mgR解析:小球在圆周运动最低点时,设速度为v1,则
7mg－mg=mv12/R……①设小球恰能过最高点的速度为v2,则mg=mv22/R……②设设过半个圆周的过程中小球克服空气阻力所做的功为W,由动能定理得:
－mg2R－W=?mv22－?mv12……③C由以上三式解得W=mgR/2说明：
(1)该题中空气阻力一般是变化的，又不知其大小关系，故只能根据动能定理求功，而应用动能定理时初、末两个状态的动能又要根据圆周运动求得不能直接套用，这往往是该类题目的特点．(2)用动能定理求变力做功，在某些问题中由于力F的大小的变化或方向变化，所以不能直接由W=Fscosα求出变力做功的值．此时可由其做功的结果——动能的变化来求变为F所做的功．例17.在水平面上沿一条直线放两个完全相同的小物体A和B，它们相距s，在B右侧距B2s处有一深坑，如图所示，现对A施以瞬间冲量，使物体A沿A、B连线以速度v0开始向B运动．为使A与B能发生碰撞，且碰撞之后又不会落入右侧深坑中，物体A、B与水平面间的动摩擦因数应满足什么条件？设A,B碰撞时间很短，A、B碰撞后不再分离．解析:A与B相碰，则A和B碰前速度v1，A与B碰后共同速度v2. mv1=2mv2,AB不落入坑中,解得综上，μ应满足条件练习14.如图所示，在光滑的水平面内有两个滑块A和B，其质量mA＝6kg，mB=3kg，它们之间用一根轻细绳相连．开始时绳子完全松弛，两滑块靠在一起，现用了3N的水平恒力拉A，使A先起动，当绳被瞬间绷直后，再拖动B一起运动，在A块前进了0．75 m时，两滑块共同前进的速度v=2/3m／s，求连接两滑块的绳长．解析：本题的关键在于“绳子瞬间绷直”时其张力可看成远大于外力F，所以可认为A、B组成的系统动量守恒．此过程相当于完全非弹性碰撞，系统的机械能有损失．根据题意，设绳长为L，以绳子绷直前的滑块A为对象，由动能定理得FL=?mAv12--------①绳绷直的瞬间，可以认为T＞＞F，因此系统的动量守恒，mAv1＝（mA十mB）v2-------②
对于绳绷直后，A、B组成的系统（看成一个整体）的共同运动过程，由动能定理F（0．75－L）＝?（mA十mB ）v12
－?（mA十mB）v22……③由式①一③解得L＝0．25m例18.如图所示，两个完全相同的质量为m的木板A、B置于水平地面上它们的间距s =2.88m．质量为2m 、大小可忽略的物块C置于A板的左端． C与A之间的动摩擦因数为μ1=0.22， A、B与水平地面的动摩擦因数为μ2=0.10， 最大静摩擦力可认为等于滑动摩擦力． 开始时， 三个物体处于静止状态．现给C施加一个水平向右，大小为2mg/5的恒力F， 假定木板A、B碰撞时间极短且碰撞后粘连在一起．要使C最终不脱离木板，每块木板的长度至少应为多少?
分析：这题重点是分析运动过程，我们必须看到A、B碰撞前A、C是相对静止的，A、B碰撞后A、B速度相同，且作加速运动，而C的速度比A、B大，作减速运动，最终A、B、C达到相同的速度，此过程中当C恰好从A的左端运动到B的右端的时候，两块木板的总长度最短。【解答】：设l为A或B板的长度，A、C之间的滑动摩擦力大小为f1，A与水平面的滑动摩擦力大小为f2∵μ1=0.22。 μ2=0.10∴……① 且…②一开始A和C保持相对静止,在F的作用下向右加速运动.有…③ A、B两木板的碰撞瞬间，内力的冲量远大于外力的冲量。由动量守恒定律得mv1=(m+m)v2 …④ 碰撞结束后到三个物体达到共同速度的相互作用过程中，设木板向前移动的位移为s1.
选三个物体构成的整体为研究对象，外力之和为零，则…⑤设A、B系统与水乎地面之间的滑动摩擦力大小为f3。对A、B系统，由动能定理
… ⑥…⑦对C物体，由动能定理……… ⑧由以上各式，再代人数据可得l=0.3(m) 例19.质量为500t的列车，以恒定功率沿平直轨道行驶，在3min内行驶速度由45km/h增加到最大速度54km/h，求机车的功率.(g=10m/s2)【解析】由整个过程中列车所受的牵引力不是恒力，因此加速度不是恒量，运动学中匀变速直线运动公式不能用，由动能定理得W牵+W阻=1/2mv2m-1/2mv2……①Pt-fs=1/2mv2m-1/2mv2……②又因达到最大速度时F=f故vm=P/f……③联立解得：P=600kW.练习15、一列火车在机车牵引下沿水平轨道行驶,经过时间t,其速度由0增大到v.已知列车总质量为M,机车功率P保持不变,列车所受阻力f为恒力.求：这段时间内列车通过的路程.解：根据动能定理：P·t－f·s = 1/2× mv2提示: 由动能定理 Pt – fs =1/2m(vm2 - v02 )
f=F=P/vm 联列解之 A C D例20.一传送带装置示意如图，其中传送带经过AB区域时是水平的，经过BC区域时变为圆弧形（圆弧由光滑模板形成，未画出），经过CD区域时是倾斜的，AB和CD都与BC相切。现将大量的质量均为m的小箱一个一个在A处放到传送带上，放置时初速为零，经传送带运送到D处，D和A的高度差为h。稳定工作时传送带速度不变，CD段上各箱等距排列，相邻两箱的距离为L。每个箱子在A处投上后，在到达B之前已经相对于传送带静止，且以后也不再滑动（忽略经BC段时的微小滑动）。己知在一段相当长的时间T内，共运送小货箱的数目为N，这装置由电动机带动，传送带与轮子间无相对滑动，不计轮轴处的摩擦。求电动机的平均输出功率P。【解析】以地面为参考（下同），设传送带的运动速度为v0，在水平段运输的过程中，小货箱先在滑动摩擦力作用下做匀加速运动，设这段路程为S，所用时间为t，加速度为a，则对小箱有：S＝?at2……①v0＝at………②在这段时间内，传送带运动的路程为：S0= v0t……③，由以上可得S0＝2S……④ 用f表示小箱与传送带之间的滑动摩擦力，则传送带对小箱做功为： W1=fS=?mv02……⑤传送带克服小箱对它的摩擦力做功：
W0=Fs0=2·?mv02……⑥两者之差就是克服摩擦力做功发出的热量：
Q=?mv02……⑦ 可见，在小箱加速运动过程中，小箱获得的动能与发热量相等。T时间内，电动机输出的功为：W=PT……⑧此功用于增加小箱的动能、势能以及克服摩擦力发热,即W=?Nmv02十Nmgh＋NQ……⑨已知相邻两小箱的距离为L，所以：v0T＝NL……⑩联立⑦⑧⑨⑩得第二课时 动能 动能定理 习题课 （第二课时）(2)物理意义：动能定理指出了外力对物体所做的总功与物体动能变化之间的关系，即外力对物体做的总功，对应着物体动能的变化，变化的大小由做功的多少来量度.(3)动能定理的理解及应用要点
①动能定理的计算式为标量式，v为相对同一参考系的速度． ②动能定理中“外力”指作用在物体上包含重力在内的所有外力．如弹力、摩擦力、电场力、磁场力、万有引力． ③动能定理的对象是单一物体，或者可以看成单一物体的物体系． ④动能定理适用于物体的直线运动，也适用于曲线运动；适用于恒力做功，也适用于变力做功，力可以是各种性质的力，既可以同时作用，也可以分段作用．只要求出在作用过程中各力做功的多少和正负即可．这些正是动能定理解题的优越性所在． ⑤若物体在运动过程中包含几个不同过程，应用动能定理时，可以分段考虑，也可以把全过程作为一个整体来处理．课堂小结：应用动能定理解题的基本步骤1.选取研究对象，明确它的运动过程?2.分析研究对象的受力情况和各个力的做功情况：受哪些力?每个力是否做功，做正功还是做负功?做多少功?然后求各个力做功的代数和.3.明确物体在过程的始未状态的动能EK1和EK24.列出动能的方程W外=EK2-EK1，及其他必要辅助方程，进行求解.?再见
