第8节 机械能守恒定律
理解领悟
机械能守恒定律是普遍的能量守恒定律在机械运动范围内的具体体现，是能量守恒的特殊形式，机械能守恒定律是中学物理教学中的重点。要理解机械能守恒定律的内容与适用条件，会应用机械能守恒定律解决实际问题。
基础级
?动能与势能的相互转化
教材开头的“做一做”栏目提供了这样的小实验：将小球用细线悬挂起来后在竖直平面内来回摆动，用直尺挡住细线，可以发现小球仍能摆到原先的高度。这个小实验表明，在只有重力做功的情况下，小球在运动过程中发生动能与重力势能的相互转化，而机械能的总量则保持不变。
在现实生活中，动能与势能相互转化的例子是很多的。物体自由下落的运动，石子的竖直上抛、平抛或斜抛运动，物体沿光滑斜面或曲面的运动，压缩后的弹簧将物体弹出等过程中，都存在着动能与势能的相互转化。
仔细分析动能与势能转化的实例，可以发现：在物体运动状态发生变化的过程中，势能增大（减少）的过程，就是动能减少（增大）的过程。势能的变化是由于重力或弹力做功引起的。如果重力或弹力作为外力，又可以改变物体的动能。如果重力或弹力做正功，重力势能或弹性势能减少，动能增加，意味着重力势能或弹性势能转化为动能；反之，如果重力或弹力做负功，重力势能或弹性势能增加，动能减少，意味着动能转化为重力势能或弹性势能。可见，通过重力或弹力做功，机械能可以从一种形式转化为另一种形式。
?只有重力做功时系统的机械能
只有重力做功时，根据动能定理，有
WG=Ek2－Ek1，
根据重力做功与重力势能变化的关系，有
WG=Ep1－Ep2，
由以上两式可得 Ep1－Ep2=Ek2－Ek1，
即 Ek2+ Ep2= Ek1+ Ep1。
这就是说，在只有重力做功的物体系统内，动能与重力势能可以相互转化，而总的机械能保持不变。
?只有弹力做功时系统的机械能
只有弹力做功时，根据动能定理，有
WN=Ek2－Ek1，
根据重力做功与重力势能变化的关系，有
???WN=Ep1’－Ep2’，
由以上两式可得 Ep1’－Ep2’=Ek2－Ek1，
即 Ek2+ Ep2’= Ek1+ Ep1’。
这就是说，在只有弹力做功的物体系统内，动能与弹性势能可以相互转化，而总的机械能保持不变。
?机械能守恒定律的内容及其表达式
综上所述，在只有重力和弹力做功的物体系统内，动能与势能可以相互转化，而总的机械能保持不变。这就是机械能守恒定律。其数学表达式为
??Ek2+ Ep2+ Ep2’= Ek1+ Ep1+ Ep1’.
若以E1、E2分别表示系统初、末状态的总的机械能，则机械能守恒定律可以更简洁地表示为 E2= E1。
?对机械能守恒定律的深入理解
对机械能守恒定律，可从以下几方面加深理解：
机械能守恒是能量守恒的特例 自然界存在各种不同形式的能量——机械能、内能、电能、化学能、光能、核能等。机械能包括动能和势能，势能包括重力势能和弹性势能。各种不同形式的能量可以相互转化，转化中总能量守恒，机械能守恒只是能量守恒的一种特殊情况。
机械能守恒定律更为一般的叙述 一个物体系统，如果只有系统内部的重力和弹力做功，其他内力和外力都不做功，那么系统的动能和势能可以相互转化，而总的机械能保持不变。
机械能守恒定律的研究对象 机械能守恒定律研究的对象是物体系统，是指系统的总机械能守恒，不是指某一个物体，单个物体无所谓机械能守恒。我们平时常说某物体的机械能守恒，只是一种习惯的说法，实际上应包括地球在内，因为物体的重力势能是物体与地球所共有的，而不是物体单独拥有的。系统的机械能是否守恒，选择研究对象很重要。例如：球从高处自由落下，碰到弹簧又弹起，以单个球为研究对象，无所谓机械能守恒。若以球和地球为一系统，球在下落至碰到弹簧前，只有重力做功，系统机械能守恒；但碰到弹簧又弹起的过程中，弹簧的弹力是系统的外力，弹力做功是外力做功，系统的机械能就不守恒。如果选取球、弹簧与地球三者组成的系统来研究，则系统的机械能守恒。
机械能与其他形式的能的转化 机械运动中的动能和势能之间的转换和守恒，是更普遍的能量转化和守恒的特殊情况。当系统除重力和弹力做功外还有其他外力做功时，系统的机械能就不守恒。这时，必然有机械能和其他形式的能之间的转化，但它们的机械能和其他形式的能的总和仍保持不变。
?判断机械能守恒的方法
判断系统的机械能是否守恒，通常可采用下列三种不同的方法：
1、做功条件分析法 应用系统机械能守恒的条件进行分析。若物体系统内只有重力和弹力做功，其他力均不做功，则系统的机械能守恒。
能量转化分析法 从能量转化的角度进行分析。若只有系统内物体间动能和重力势能及弹性势能的相互转化，系统跟外界没有发生机械能的传递，机械能也没有转变成其他形式的能（如没有内能增加），则系统的机械能守恒。
增减情况分析法 直接从机械能各种形式能量的增减情况进行分析。若系统的动能与势能均增加或均减少，则系统的机械能不守恒；若系统的动能或势能不变，而势能或动能却发生了变化，则系统的机械能不守恒；若系统内各个物体的机械能均增加或均减少，则系统的机械能也不守恒。当然，这种方法只能判断系统的机械能明显不守恒的情况，对于另一些情况（如系统的动能增加而势能减少）则无法做出定性的判断。
?应用机械能守恒定律解题的一般步骤及表达方式
应用机械能守恒定律解题的一般步骤是：
选取系统对象，确定研究过程；
进行受力分析，考察守恒条件；
选取零势能平面，确定初、末态机械能；
运用守恒定律，列出方程求解。
根据机械能守恒定律，求解具体问题时可从以下不同的角度列出方程：
从守恒的角度 系统的初、末两状态机械能守恒，即
E2=E1；
从转化的角度 系统动能的增加等于势能的减少，即
???△Ek=－△Ep；
从转移的角度 系统中一部分物体机械能的增加等于另一部分物体机械能的减少，即 △EA=－△EB。
?对“例题”的说明
本节教材的例题已知小球摆动的最大偏角，计算它的最大速度。该题以小球为研究对象，在小球从最高点摆到最低点的过程中，应用机械能守恒定律求解。在小球运动过程中，绳子的拉力在不断变化。该题的求解显示，一些难以用牛顿运动定律解决的问题，应用机械能守恒定律则易于解决。
?对“思考与讨论”栏目问题的提示
一个小球在真空中自由下落，另一个同样的小球在粘滞性较大的液体中由静止开始下落，下落高度相同，重力做的功相等，重力势能的变化相等，而动能的变化不等。前者减少的重力势能全部转化为动能，后者减少的重力势能一部分转化为动能，另一部分转化为内能。
发展级
关于机械能守恒定律的不同叙述
关于机械能守恒定律的叙述，各书不尽相同。下面对几种不同的叙述稍作说明：
①?“如果没有摩擦力和介质的阻力，在任一物体的势能与动能相互转化的过程中，物体的总的机械能保持不变”。
②?“在只有重力和弹力做功的物体系统内，动能和势能（重力势能、弹性势能）可以相互转化，而总的机械能保持不变”。
③?“在只有重力做功的情况下，物体的动能和重力势能发生相互转化，但总的机械能保持不变”。
④?“一个物体，如果只受到重力和弹力的作用，在发生动能和势能相互转化时，机械能的总量保持不变”。
比较上述四种叙述，可以看出，它们中间有以下一些主要问题：
第一，①④两种叙述中，只讲力或力的作用，而没有提及力做功；
第二，①的叙述中，只讲没有什么力，而没讲有什么力；
第三，③的叙述中，只提“只有重力做功”而未提及弹力做功，因而势能也只涉及重力势能而为涉及弹性势能。
①③的叙述不够全面是很明显的，这里不再多述。下面就第一方面的问题作一分析。
我们知道，一个物体的机械能是否发生变化的充要条件，不是力的作用，而是力对它做功。如果没有力对它做功，机械能的两种形式（动能和势能）是不可能发生相互转化的，它的机械能也不会发生变化。所以，如果只讲受力作用，而不讲做功，是不能正确反映机械能守恒定律的实质的。
这里还应注意，“守恒”和“不变”是两个不同的概念。“守恒”是指转化时的总量不变，而“不变”不仅指导下不变，还指形式也不变。例如，圆锥摆（让用细线拴住的小球在水平面内做匀速圆周运动，就成了圆锥摆）在运动过程中，如果不计空气阻力，小球虽守重力、绳的拉力（弹力）作用，但这两个力都不做功，此时只能说其机械能“不变”，而不能说机械能“守恒”。
由此可见，上面四种叙述中②的说法是全面而正确的，这就是我们教科书中的说法。
??动能定理、功能原理与机械能守恒定律
教材中指出动能定理的内容是，合力所做的功等于物体动能的变化，这里所说的物体，实际上可以看作是质点。对于两个以上相互作用的物体所构成的系统（即质点系），要考虑怎样在各个质点上的所有的力做功的总和。我们可以把这个总和分为两部分：一部分是一切外力所做的功的和，另一部分是一切内力所做的功的和。在考虑内力作用的时候，应该注意作用力与反作用力总是大小相等且方向相反，所以质点系内力的矢量和为0，但作用力与反作用力的功却不一定是等值反号的。例如，我们把汽车和车厢内装载的物体看成一个系统，当汽车紧急刹车时，物体在车厢内滑行一段位移。在这个过程中，物体和车厢底板之间的一对摩擦力等值反号，但是这两个摩擦力所做的功虽然反号却不等值。所以，由两个以上物体构成的系统的动能的变化应等于一切外力所做的功与一切内力所做的功的代数和，此即系统的动能定理。用公式表示就是 。
由于内力包括保守力（做功与路径无关的力）与非保守力（做功与路径有关的力），上式可改写成 。
因为一切内保守力所做的功等于势能变化的负值，即
?，
由此可得 ，
即 ?。
上式表明系统的机械能的变化等于一切外力和一切非保守内力所做功的代数和，这就是功能原理。
在处理功和能的实际问题时，可以用动能定理，也可以用功能原理，得出的结论是一致的。动能定理和功能原理的差别在于：前者研究的是动能的变化，要考虑内保守力所做的功；后者研究的是机械能的变化，不考虑内保守力所做的功。这是由于内保守力能引起动能的变化，却不会引起机械能的变化。
由功能原理可以看出，对于一个孤立系统，即与外界没有能量交换的系统，。这时，只有当，即内非保守力不做功时，系统的机械能才是守恒的。也就是说，一个物体系统，如果只有系统内部的保守力（如重力和弹力）做功，其他内力和外力都不做功，那么物体系统的动能和势能可以相互转化，而总的机械能保持不变，这就是机械能守恒定律。
应用机械能守恒定律与动能定理解题的异同
应用机械能守恒定律和应用动能定理解题有以下异同点：
思想方法相同 机械能守恒定律和动能定理都是从做功和能量转化的角度，来研究物体在力的作用下状态的变化，表达这两个规律的方程都是标量式。
适用条件不同 机械能守恒定律适用于只有重力和弹力做功的情形；而动能定理则没有条件限制，它不但允许重力和弹力做功，还允许其他力做功。
分析思路不同 用机械能守恒定律解题只有分析研究对象的初、末状态的动能和势能；而用动能定理解题，不但要分析研究对象的初、末状态的动能，还要分析所有外力（及内力）所做的功，并求出这些外力（及内力）所做的总功。
书写方式不同 在解题的书写表达上，机械能守恒定律的等号两边都是动能与势能的和；而用动能定理解题时，等号左边一定是外力（及内力）的总功，右边则是动能的变化。
mgh、的意义不同 在机械能守恒定律中mgh、分别是重力势能和弹性势能，出现在等号的两边，如果某一边没有，说明在那个状态的重力势能或弹性势能为0；在动能定理中分别是重力和弹力所做的功，写在等号的左边。不管用什么规律，等号两边决不能既有重力或弹力做功，又有重力势能或弹性势能。
应用链接
本节知识的应用主要涉及机械能守恒条件的分析，对机械能守恒定律的理解，以及机械能守恒定律的分析和计算。
基础级
例1 下列叙述中正确的是（ ）
A. 做匀速直线运动的物体的机械能一定守恒
B. 做匀速直线运动的物体的机械能可能守恒
C. 外力对物体做功为0 ，物体的机械能一定守恒
D. 系统内只有重力和弹力做功时，系统的机械能一定守恒
提示 系统机械能是否守恒，可根据机械能守恒的条件来判断。
解析 做匀速直线运动的物体所受合力为0 ，重力以外的其它力的合力是重力的平衡力，只有当物体做水平方向的匀速直线运动时，这些力才对物体不做功，物体（严格地讲，应是物体与地球组成的系统，下同）的机械能才守恒。当物体沿除水平直线以外的任意直线运动时，重力以外的其它力的合力对物体做功，物体的机械能不再守恒。
做匀速直线运动的物体，若只有重力对它做功时，机械能守恒，如自由落体、竖直上抛、竖直下抛、平抛、斜抛等运动中，物体的机械能守恒；若重力以外的其它外力对物体做功的代数和不为0，则物体的机械能不守恒。
外力对物体做功为0时，有两种情况：若重力不做功，则其它力对物体做功的代数和也必为0，此时物体的机械能守恒（如小球在水平面内做匀速圆周运动）；若重力做功，其它外力做功的代数和必不为0，此时机械能不守恒。
可见，正确选项为B、D。
点悟 所谓只有重力和弹力做功，是指：
物体只受系统内的重力和弹力，不受其它力；
除了系统内的重力和弹力外，物体还受其它的力，但其它力不做功；
除了系统内的重力和弹力外，物体还受其它的力，但其它力做功的代数和为0。
本题也可采用本节“理解领悟”7中的方法②③作出判断，请同学们试着进行分析。
例2 如图5—48所示，一轻质弹簧固定于O点，另一端系一小球，将小球从与O点在同一水平面且弹簧保持原长的A点无初速地释放，让它自由摆下，不计空气阻力。在小球由A点摆向最低点B的过程中（ ）
A. 小球的重力势能减少 B. 小球的重力势能增大
C. 小球的机械能不变 D. 小球的机械能减少
提示 注意研究对象——系统的选取。
解析 小球从A点释放后，在从A点向B点运动的过程中，小球的重力势能逐渐减少，动能逐渐增大，弹簧逐渐被拉长，弹性势能逐渐增大。所以，小球减少的重力势能一部分转化为弹簧的弹性势能。对物体、弹簧和地球组成的系统而言，机械能守恒；但对小球（还包括地球）而言，机械能减少。正确选项为A、D。
点悟 机械能守恒定律的研究对象是系统。应用机械能守恒定律时，要注意对哪一系统机械能是守恒的，对哪一部分机械能是不守恒的。
例3 以20m/s的速度将一物体竖直上抛，若忽略空气阻力，g取10m/s2，试求：
(1)?物体上升的最大高度；
(2)?以水平地面为参考平面，物体在上升过程中重力势能和动能相等的位置。
提示 忽略空气阻力，物体在空中只受重力作用，只有重力做功，满足机械能守恒的条件。
解析 (1)?设物体上升的最大高度为H，在物体整个上升过程中应用机械能守恒定律，有，
解得m=20m。
(2)?设物体重力势能和动能相等的位置距地面的高度为h，此时物体的速度为v，则有
。
在物体被抛出到运动至该位置的过程中应用机械能守恒定律，有
。
由以上两式解得m=10m。
点悟 应用机械能守恒定律时，正确选取研究对象和研究过程，明确初、末状态的动能和势能，是解决问题的关键。本题第（２）问也可在物体从重力势能与动能相等的位置运动至最高点的过程中应用机械能守恒定律，由
?，，
解得 ?m=10m。
例4 如图5—49所示，总长为L的光滑匀质铁链跨过一个光滑的轻小滑轮，开始时下端A、B相平齐，当略有扰动时其一端下落，则当铁链刚脱离滑轮的瞬间，铁链的速度为多大?
提示 铁链在运动过程中，只有重力做功，机械能守恒。
解析 这里提供两种解法。
解法一（利用E2=E1求解）：设铁链单位长度的质量为ρ，且选取初始位置铁链的下端A、B所在的水平面为参考平面，则铁链初态的机械能为
?,
末态的机械能为 ??。
根据机械能守恒定律有 ?E2=E1，
即 ，
解得铁链刚脱离滑轮时的速度 。
解法二（利用△Ek=－△Ep求解）：如图5—50所示，铁链刚离开滑轮时，相当于原来的BB’部分移到了AA’的位置。重力势能的减少量
?，
动能的增加量 。
根据机械能守恒定律有 ?△Ek=－△Ep，
即 ，
解得铁链刚脱离滑轮时的速度 。
点悟 对于绳索、链条之类的物体，由于发生形变，其重心位置相对物体来说并不是固定不变的，能否确定重心的位置，常是解决该类问题的关键。可以采用分段法求出每段的重力势能，然后求和即为整体的重力势能；也可采用等效法求出重力势能的改变量。再有，利用△Ek=－△Ep列方程时，不需要选取参考平面，且便于分析计算。
发展级
例5 如图5—51所示，跨过同一高度处的光滑轻小定滑轮的细线连接着质量相同的物体A和B，A套在光滑水平杆上，定滑轮离水平杆的高度h=0.2m，开始时让连接A的细线与水平杆的夹角θ=53°。由静止释放A，在以后的运动过程中，A所能获得的最大速度为多少？（sin53°=0.8，cos53°=0.6，g取10m/s2，且B不会与水平杆相碰。）
提示 物体A受到细线的拉力方向一直在背后，所以物体A受到的力是变力，很难用牛顿运动定律和运动学公式求解。但由于物体A和B以及地球组成的系统内只有重力做功，所以系统的机械能守恒。在物体A被拉至左侧定滑轮的正下方之前，细线的拉力使其加速；在物体A被拉至左侧定滑轮的正下方之后，细线的拉力使其减速。可见，物体A被拉至左侧定滑轮的正下方时，其速度最大。
解析 物体A被拉至左侧定滑轮的正下方时获得最大速度，此时物体B的瞬时速度为0。以物体A所在水平面为参考平面，在从物体A刚被释放到物体A运动至左侧定滑轮正下方的过程中，对系统应用机械能守恒定律，有
，
解得A所能获得的最大速度为
???m/s=1m/s。
点悟 求解本题的关键是正确选取研究对象，而且要能判断出获得最大速度时所处的位置。分析时还可从系统何时具有最小重力势能着手，即只有当物体A被拉至左侧定滑轮的正下方时，物体B的位置最低，此时系统有最小重力势能，也就有最大动能，又此时物体B的瞬时速度为0，故物体A具有最大动能，则具有最大速度。
例6 如图5—52所示，一固定的楔形木块，其斜面的倾角θ=30°，另一边与水平地面垂直，顶上有一个定滑轮，跨过定滑轮的细线两端分别与物块A和B连接，A的质量为4m，B的质量为m。开始时，将B按在地面上不动，然后放开手，让A沿斜面下滑而B上升，所有摩擦均忽略不计。当A沿斜面下滑距离s后，细线突然断了。求物块B上升的最大高度H。（设B不会与定滑轮相碰）
提示 注意分阶段选取不同的系统为研究对象。
解析 设细线断裂前一瞬间A和B速度的大小为v，A沿斜面下滑s的过程中，A的高度降低了ssinθ，B的高度升高了s。对A和B以及地球组成的系统，机械能守恒，有物块A机械能的减少量等于物块B机械能的增加量，即
?。
细线断后，物块B做竖直上抛运动，物块B与地球组成的系统机械能守恒，设物块B继续上升的高度为h，有 。
由以上两式联立解得 ，
故物块B上升的最大高度为 ?。
点悟 在细线断裂之前，A和B以及地球组成的系统机械能守恒。两个物体用同一根细线跨过定滑轮相连由于细线不可伸长，两个物体速度的大小总是相等的。细线断裂后，B做竖直上抛运动，由于只有重力做功，B与地球组成的系统机械能守恒。在处理实际问题时，要根据问题的特点和求解的需要，选取不同的研究对象和运动过程进行分析。
课本习题解读
[p.25问题与练习]
1. ?(1)?小球在从A点下落到B点的过程中，根据动能定理，有
，
即小球在B点的动能比在A点时大。
(2)?把以上方程变形，可得
。
等式左边表示物体在B点时的机械能，等式右边表示物体在A点时的机械能。等式表示小球从A点运动到B点的过程中，机械能守恒。
2. A. 飞船升空的阶段，动力对飞船做功，返回舱的机械能增加。
B. 飞船在椭圆轨道上绕地球运行的阶段，只有引力对飞船做功，返回舱的机械能守恒。
C. 飞船在空中减速后，返回舱与轨道舱分离，然后在大气层以外向着地球做无动力飞行的过程中，只有引力做功，返回舱的机械能守恒。
D. 进入大气层并运动一段时间后，降落伞张开，返回舱下降的过程中，空气阻力做功，返回舱的机械能减少。
3. (1)?石块从抛出到落地的过程中，只有重力做功，机械能守恒。以水平地面为参考平面，根据机械能守恒定律，有 ，
解得石块落地时的速度大小为
?m/s=15m/s。
根据动能定理，有 ??，
同样可解得石块落地时的速度大小为
?m/s=15m/s。
(2)?由可知，石块落地时速度的大小与石块初速度的大小和石块抛出时的高度有关，与石块的质量和石块初速度的仰角无关。
4. 根据题意，切断电动机电源的列车，假定在运动中机械能守恒，要“冲”到站台上，列车在坡下A点时的动能Ek至少要等于在站台上的重力势能Ep。
列车在站台上的重力势能 ?Ep=mgh= m×10×2 m2/s2=20 m?m2/s2，
列车在坡下A点时的动能
?Ekm2/s2=24.5 m?m2/s2。
可见，Ek＞Ep，列车能“冲”到站台上。
设列车到达站台上的速度为v’，根据机械能守恒定律，有
?，
解得 ?m/s=3m/s。
5. (1)?从状态甲到状态丙的过程中，弹簧的弹性势能逐渐减少，小球的动能和重力势能逐渐增大。当弹簧对小球向上的弹力与重力大小相等时，小球的动能达到最大。之后，弹簧的弹性势能和小球的动能逐渐减少，小球的重力势能逐渐增大。当弹簧恢复到自然长度时，弹簧的弹性势能为０。之后，小球的重力势能仍占据增大，动能逐渐减少。到达C点时，小球的动能减少到０，重力势能达到最大。
从状态甲到状态丙的过程中，弹簧、小球和地球组成的系统机械能守恒，故在状态甲中弹簧的弹性势能
?J=0.6J。
(2)?从状态乙到状态丙的过程中，小球的动能逐渐减少，重力势能逐渐增大。
从状态乙到状态丙的过程中，小球和地球组成的系统机械能守恒，故在状态乙中小球的动能 ????J=0.4J。
练习巩固（5—8）
基础级
1. 物体在下列运动中机械能一定守恒的是（ 0
A. 自由落体运动 B. 在竖直方向上做匀加速直线运动
C. 在竖直方向上做匀速直线运动 D. 在水平方向上做匀加速直线运动
2. 质量为m的小球从桌面等高处竖直上抛，桌面离地面的高度为h，小球能达到的最大高度离地面为H。若以桌面为参考平面，不计空气阻力，则小球落地时的机械能为（ ）
A. mgH B. mgh C. mg(H+h) ?D. mg(H－h)
3. 两个物体的质量之比为1︰3，它们距地面的高度之比也为1︰3。让它们自由落下，则它们落地时的动能之比为（ ）
A. 1︰3 B. 3︰1 ?C. 1︰9 D. 9︰1
4. 一个人站在高处地面h处，抛出一个质量为m的物体，物体落地时速率为v，空气阻力不计，则人对物体所做的功为（ ）
A. mgh ?B.
C. D.
5. 从离地高H处的A点水平抛出一质量为m的物体，抛出的初速度为v0，物体下落到离抛出点竖直距离为h的B点，如图5—53所示。试用动能定理推证物体在B点的机械能等于在A点的机械能。
6. 如图5—54所示，翻滚过山车轨道顶端A点距地面的高度H=72m，圆形轨道最高处的B点距地面的高度h=37m。不计摩擦阻力，试计算翻滚过山车从A点由静止开始下滑运动到B点时的速度。（g取10m/s2）
7. 如图5—55所示，均匀铁链长为L，平放在距地面为h=2L的光滑水平桌面上，其长度的悬垂于桌面下，从静止开始释放铁链，由于光滑挡板的限制，铁链只能竖直下落。求铁链的下端刚要触及地面时的速度。
发展级
8. 如图5—56所示，重10N的滑块在倾角为30°的斜面上，从a点由静止开始下滑，到b点接触到一个轻弹簧，滑块压缩弹簧到c点开始弹回，返回b点离开弹簧，最后又回到a点。已知ab=1m，bc=0.2m，那么（ ）
A. 整个过程中滑块动能的最大值为6J
B. 整个过程中弹簧弹性势能的最大值为6J
C. 从c到b弹簧的弹力对滑块做功6J ?
D. 整个过程中弹簧、滑块与地球组成的系统机械能守恒
9. 如图5—57所示，一艘快艇发动机的冷却水箱离水面高度为0.8m，现用导管与箱底连通到水中，要使水流进水箱，快艇的航行速度至少应达到多大？（不考虑导管对水的阻力，g取10m/s2）
10. 如图5—58所示，质量均为m的物体A和B，通过跨过定滑轮的轻绳相连。斜面光滑，不计绳子与滑轮之间的摩擦，开始时物体A离地面的高度为h，物体B位于斜面的底端，用手按住物体A，物体A和B静止。撤去手后，问：
(1) 物体A将要落地时的速度多大？
(2) 物体A落地后，物体B由于惯性将继续沿斜面上升，则物体B在斜面上的最高点离地面的高度多大？
练习巩固（5—8）
1.??A 2. D 3. C 4. C
5. 设物体在B点时的速度大小为v，在物体从A点到B点的运动过程中，对物体应用动能定理，有 ?。
以水平地面为参考平面，物体在A点的机械能为
?；
物体在B点的机械能为
，
将由动能定理得出的表达式代入上式，可得
??。
所以EB=EA，即物体在B点的机械能等于在A点的机械能。
6. 取水平地面为参考平面，在过山车从A点运动到B点的过程中，对过山车与地球组成的系统应用机械能守恒定律，有，
可得过山车运动到B点时的速度为
???m/s≈26.5m/s。
7. 取水平地面围参考平面，在铁链从静止开始释放到运动至下端刚要接触地面的过程中，对铁链与地球组成的系统应用机械能守恒定律，有
，
解得铁链下端刚要触及地面时的速度为。
8. BCD 滑块由a点释放最后又回到a点，说明斜面光滑，弹簧、滑块与地球组成的系统机械能守恒。到c点时弹簧压缩到最短，弹性势能最大，根据机械能守恒定律可知，弹簧的弹性势能等于滑块由a到c重力势能的减少量，即
???Epm=mg(ab+bc)sin30°=10×(1+0.2)×0.5J=6J。
滑块运动到b和c之间某个位置时动能最大，此时弹簧已有弹性势能，所以滑块的最大动能大于5J而小于6J。从c到b弹簧弹力对滑块做的功等于弹簧弹性势能的减少量，即等于6J。
9. 以快艇为参考系，对水由 ，
可得要使水流进水箱，快艇的航行速度至少应达到
?m/s=4.0m/s。
10. (1)?开始时，A、B两物体同时运动，并且速率相等。由于只有两物体的重力做功，故由两物体与地球组成的系统机械能守恒。设物体A将要落地时的速度大小为v，根据机械能守恒定律，有 ，
解得 。
(2)?当物体A落地后，物体B继续上升。此时绳子松了，对物体B而言，只有重力做功，故物体B与地球组成的系统机械能守恒。设物体B沿斜面上升到的最高点离地面的高度为H，根据机械能守恒定律，有 ，
解得 ?。
教学后感想
课时 总课时
总课题
机械能守恒定律
总课时
第24 课时
课题
机械能守恒定律
课型
新授课
教
学
目
标
知识与技能
1．知道什么是机械能，知道物体的动能和势能可以相互转化．
2．会正确推导物体在光滑曲面上运动过程中的机械能守恒，理解机械能守恒定律的内容，知道它的含义和适用条件．
3．在具体问题中，能判定机械能是否守恒，并能列出机械能守恒的方程式。
过程与方法
学会在具体的问题中判定物体的机械能是否守恒．
情感、态度与价值观
通过能量守恒的教学，使学生树立科学观点，应用机械能守恒定律解决具体问题．
教学
重点
1．掌握机械能守恒定律的推导、建立过程，理解机械能守恒定律的内容．
2．在具体的问题中能判定机械能是否守恒，并能列出定律的数学表达式．
教学
难点
1．从能的转化和功能关系出发理解机械能守恒的条件．
2．能正确判断研究对象在所经历的过程中机械能是否守恒，能正确分析物体系统所具有
学法
指导
自主阅读、合作探究、精讲精练、
教学
准备
教学
设想
预习导学→引导点拨→突出重点，突破难点→典型例题分析→巩固知识→达标提升
教 学 过 程
师 生 互 动
补充内容或错题订正
任务一 预习导学
复习：重力势能、动能表达式是什么？动能定理表达式什么？
一、动能和势能的相互转化
演示：如图，试分析：
1、小球受哪些力的作用？
2、哪些力对小球做功？
3、能量如何转化？
你还能举出动能和势能的相互转化的例子吗?
二、机械能守恒定律
(参阅课本70页图7．8—3的问题，学生自主推导)
物体沿光滑曲面滑下，只有重力对物体做功．用我们学过的动能定理以及重力的功和重力势能的关系，推导出物体在A处的机械能和B处的机械能相等．
引导1：请写出推导过程：
引导2：根据推导的结果用文字叙述应该是什么?
引导3：这个结论的前提是什么?
任务二 典型例题分析：
例1：分析下列情况下机械能是否守恒？
A．跳伞运动员从空中匀速下落过程
B．物体以8m/s2在空中下落过程
C．物体作平抛运动过程
D．物体以不变的速率在竖直平面内做曲线运动
练习：关于机械能是否守恒的叙述，正确的是( )
A．作匀速直线运动的物体的机械能一定守恒。
B．作匀变速运动的物体机械能可能守恒。
C．外力对物体做功为零时，机械能一定守恒。
D．只有只受重力时，物体机械能才守恒
(学生尝试独立解决例题1，在解决问题中体会用机械能守恒定律解决问题的思路)
例题2、把一个小球用细线悬挂起来，就成为一个摆，摆长为L，最大倾角为θ．小球到达最底端的速度是多大?
引导1：请写出解答过程：
引导2：请你总结一下用机械能守恒定律解决问题的思路：
任务三 达标提升
1．下列关于机械能守恒的说法中，正确的是 ( )
A．做匀速直线运动的物体的机械能一定守恒
B．做匀变速运动的物体的机械能不可能守恒
C．如果没有摩擦力和介质阻力，运动物体的机械能一定守恒
D．物体只发生动能和势能的相互转换时，物体的机械能守恒
2．下列关于物体机械能守恒的说法中，正确的是 ( )
A．运动的物体，若受合外力为零，则其机械能一定守恒
B．运动的物体，若受合外力不为零，则其机械能一定不守恒
C．合外力对物体不做功，物体的机械能一定守恒
D．运动的物体，若受合外力不为零，其机械能有可能守恒
3．如图所示，某人以拉力F将物体沿斜面拉下，拉力大小等于摩擦力，则下列说法中正确的是 ( )
A．物体做匀速运动 B．合外力对物体做功等于零
C．物体的机械能保持不变 D．物体机械能减小
4．当物体克服重力做功时，物体的 ( )
A．重力势能一定减少，机械能可能不变
B．重力势能一定增加，机械能一定增加
C．重力势能一定增加，动能可能不变
D．重力势能一定减少，动能可能减少
5．下列说法中，正确的是( )
A．机械能守恒时，物体一定不受阻力。
B．机械能守恒时，物体一定只受重力和弹力作用。
C．物体处于平衡状态时，机械能必守恒。
D．物体所受的外力不等于零，其机械能也可以守恒。
6、如图所示，两个质量相同的物体A和B，在同一高度处，A物体自由落下，B物体沿光滑斜面下滑，则它们到达地面时(空气阻力不计)( )
A．速率相同，动能相同。
B．B物体的速率大，动能也大。
C．A、B两物体在运动过程中机械能都守恒。
D．B物体重力所做的功比A物体重力所做的功多。
7、如图所示，物体沿光滑半圆形凹面从A点滑至B点的过程中，物体受 力和 力的作用，其中只有 力做功，重力势能 ，动能 ，但两者之和 ．
8．质量为0．5kg的物体以加速度g／2竖直下落5m时，物体的动能为_________J，重力势能减少_________J，在此过程中，物体的机械能__________(填：守恒或不守恒)。
9、质量为m的物体以速度v0竖直上抛，若以抛出点为参考平面，则上升的最大高度H为多少?当物体的动能和重力势能相等时物体距地面的高度h又为多少?
10、一物体从高1m，长2m光滑斜面顶端滑下。不计空气阻力，
求物体滑到斜面底端速度的大小？
8 机械能守恒定律
整体设计
本课教学从动能和势能的复习入手，引导学生观察生活现象，思考动能和势能的变化之间的关系.机械能守恒定律是本章教学的重点内容，重点是使学生掌握物体系统机械能守恒的条件；能够正确分析物体系统所具有的机械能；能够应用机械能守恒定律解决有关问题.进而利用动能定理推导出机械能守恒定律的表达式.
分析物体系统所具有的机械能，尤其是分析、判断物体所具有的重力势能，是本节学习的难点之一.在教学中应让学生认识到，物体重力势能大小与所选取的参考平面(零势面)有关；而重力势能的变化量是与所选取的参考平面无关的.在讨论物体系统的机械能时，应先确定参考平面.要启发学生注意，势能的变化是由于重力或弹力做功而引起的.如果重力作为外力对物体做正功，重力势能减少，动能增加，意味着重力势能转化为动能；反之，如果重力做负功，重力势能增加，动能减少，意味着动能转化为重力势能.这样可以帮助学生理解教材中所说的“通过重力或弹力做功，机械能可以从一种形式转化为另一种形式”.
能否正确运用机械能守恒定律解决问题是本节学习的另一难点.通过本节学习应让学生认识到，从功和能的角度分析、解决问题是物理学的重要方法之一；同时进一步明确，在对问题作具体分析的条件下，要能够正确选用适当的物理规律分析、处理问题.
教学重点
1.机械能守恒的条件.
2.在具体的问题中能判定机械能是否守恒,并能列出数学表达式.
教学难点
1.判断机械能是否守恒.
2.灵活运用机械能守恒定律解决问题.
课时安排
1课时
三维目标
知识与技能
1.理解动能与势能的相互转化.
2.掌握机械能守恒定律的表达式.
过程与方法
经过机械能守恒定律的实际应用，进一步理解机械能守恒的条件.
情感态度与价值观
培养理论联系实际的思想，通过规律、理论的学习，培养学以致用的思想.
课前准备
1.自制课件、学案.
2.麦克斯韦滚摆、单摆、弹簧振子.
教学过程
导入新课
影片导入
课件展示翻滚过山车的精彩片断，激发学生学习的兴趣，引出本节课的学习内容.
在学生观看过山车的同时,教师提醒学生分析过山车在运行过程中动能和势能的变化情况.
游戏导入
教师利用事先准备好的演示器材，请两个同学配合，指导他们完成一个小游戏，让同学们认真观察并思考游戏里面的科学道理.
器材：细线、小钢球、铁架台.
演示过程：将小钢球机固定在细线的一端，细线的另一端系在铁架台上，使小球与细线形成一个摆.让一个同学靠近铁架台，头稍低，另一同学把小球由该同学的鼻子处释放，小球摆动过程中能否碰到该同学的鼻子，提醒注意安全，并思考里面的科学道理.如左下图.
实验导入
如右上图所示，悬挂单摆的铁架台上增加一个横杆P和一把水平放置的尺子AB，实验时①调整横杆P的高度,观察小球摆动的情况；②调整水平尺子的高度使小球从不同位置摆动，观察小球摆动的情况.将各次实验现象进行概括，思考这些现象说明什么问题.也可以将单摆悬挂在小黑板上，然后在小黑板上画上若干条水平横线，手持短尺替代横杆.
推进新课
一、动能与势能的相互转化
前面我们学习了动能、势能和机械能的知识.在初中学习时我们就了解到，在一定条件下，物体的动能与势能(包括重力势能和弹性势能)可以相互转化，动能与势能相互转化的例子在生活中非常多，请同学们举出生活中的例子来说明动能与势能的相互转化.
参考:1.从树上掉下的苹果（势能向动能转化）；
2.自行车猛蹬几下自由冲上斜坡（动能向势能转化）；
3.拉弓射箭（势能向动能转化）
4.运动会上撑竿跳高运动员在跳起的过程中（人的动能转化为杆的弹性势能,后杆的弹性势能转化为人的重力势能）.
……
实验演示：依次演示麦克斯韦滚摆、单摆和弹簧振子，提醒学生注意观察物体运动中动能、势能的变化情况，即转化过程中物理量的具体变化.
通过观察演示实验，学生回答物体运动中动能、势能变化情况.
教师小结：物体运动过程中，随着动能的增大，物体的势能减小；反之，随着动能的减小，物体的势能增大.
学生通过实例感受、实验演示，切实感受到机械能的两种形式（动能与势能）之间可以相互转化.而且，转化过程中有力做功.
重力做功：动能←→重力势能
弹力做功：动能←→弹性势能.
二、机械能守恒定律
问题：动能和势能的相互转化是否存在某种定量的关系呢？上述各运动过程中，物体的机械能是否变化呢？
引导学生通过具体的实例进行理论推导分析.先考虑只有重力对物体做功的理想情况.
情境设置：质量为m的物体自由下落过程中，经过高度h1处速度为v1，下落至高度h2处速度为v2，不计空气阻力，分析由h1下落到h2过程中机械能的变化(引导学生思考分析).
分析：根据动能定理，有:=WG
下落过程中重力对物体做功，重力做功在数值上等于物体重力势能的变化量.取地面为参考平面，有WG=mgh1-mgh2
由以上两式可以得到=mgh1-mgh2
移项得+mgh2=g+mgh1
引导学生分析讨论上面表达式的物理意义：等号的左侧表示末态的机械能，等号的右侧表示初态的机械能，表达式表明初态跟末态的机械能相等.即在小球下落的过程中，重力势能减小，动能增加，减小的重力势能转化为动能.
问题：此表达式具有普遍意义吗？还是仅在只受重力的自由落体运动中成立？引导学生自己推导竖直上抛、平抛的过程是否成立.
引导学生关注在上述过程中物体的受力情况.可以证明，在只有重力做功的情况下，物体动能和势能可以相互转化，而机械能总量保持不变.
思维拓展
在只有弹力做功的牨体系统内呢？
课件展示：展示弹簧振子（由于弹簧振子概念学生还没有接触，教师可以不提弹簧振子的概念）的运动情况，分析物理过程.
教师设疑：在只有重力做功的情况下，机械能是守恒的；同样作为机械能组成部分的势能，是否在只有弹力做功的情况下，机械能也能守恒呢？
学生在推导过程中可能会存在一定的困难，教师适当加以辅助推导.对弹簧与小球的运动过程简要分析，得到动能与势能的转化关系，并明确：在只有弹力对物体做功时物体的机械能守恒.
通过上面只有重力做功与只有弹力做功两个部分的推导，师生总结机械能守恒定律的内容：
在只有重力或弹力做功的物体系统内，动能与势能可以相互转化，而总的机械能保持不变.
表达式：Ek2+Ep2=Ep1+Ek1
教师引导学生理解表达式中各量的物理意义，并回顾机械能守恒定律推导过程，加深认识.
三、机械能守恒定律的条件
思维拓展
通过以上内容的学习，我们理解了机械能守恒定律的表达式，但真正应用到解题过程还是有限制的.
大屏幕投影机械能守恒定律的内容，并用不同颜色展示“在只有重力或弹力做功的物体系统内”，突出强调守恒的受力前提.引导学生自己总结守恒的条件.
有的学生认为守恒条件应该是只受重力或弹力;
有的学生认为守恒条件应该是只有重力或弹力做功.
在肯定两位学生认真思考的基础上，教师质疑两位学生的意见，激发他们思考的积极性：两位同学说的有什么不同吗？
学生讨论：只有重力或弹力做功，还包含这样的意思：可能还受其他力，但其他力不做功.
思维追踪：机械能守恒定律的条件应该怎样表述呢？举例说明.
学生总结：机械能守恒定律的条件可以表述为:
1.只受重力（弹力），不受其他力.如自由落体的物体.
2.除重力（弹力）以外还有其他力，但其他力都不做功.如做单摆运动的物体.
例题 在距离地面20 m高处,以15 m/s的初速度水平抛出一小球，不计空气阻力，取g=10 m/s2，求小球落地速度大小.
引导学生思考分析，提出问题：
1.前面学习过应用运动合成与分解的方法处理平抛运动，现在能否应用机械能守恒定律解决这类问题？
2.小球抛出后至落地之前的运动过程中，是否满足机械能守恒的条件？如何应用机械能守恒定律解决问题？
3.归纳学生分析的结果，明确：小球下落过程中，只有重力对小球做功，满足机械能守恒条件，可以用机械能守恒定律求解；应用机械能守恒定律时，应明确所选取的运动过程，明确初、末状态小球所具有的机械能.
取地面为参考平面，抛出时小球具有的重力势能Ep1=mgh，动能为Ek1=mv02.落地时,小球的重力势能Ep2=0,动能为Ek2=mv2.
根据机械能守恒定律,有E1=E2,即mgh+=mv2
落地时小球的速度大小为v=m/s=25 m/s.
课堂训练
1.如图所示，下列四个选项的图中，木块均在固定的斜面上运动，其中图A、B、C中的斜面是光滑的，图D中的斜面是粗糙的，图A、B中的F为木块所受的外力，方向如图中箭头所示，图A、B、D中的木块向下运动，图C中的木块向上运动.在这四个图所示的运动过程中机械能守恒的是（ ）
2.长为L的均匀链条放在光滑的水平桌面上，且使其长度的1/4垂在桌边，如图所示.松手后链条从静止开始沿桌边下滑，则链条滑至刚刚离开桌边时的速度大小为多大？
参考答案
1.解析：机械能守恒的条件是：物体只受重力或弹力的作用，或者还受其他力作用，但其他力不做功，那么在动能和势能的相互转化过程中，物体的机械能守恒?.依照此条件分析,A、B、D三项均错.?
答案：C
2.解析：链条下滑时，因桌面光滑，没有摩擦力做功.整根链条总的机械能守恒，可用机械能守恒定律求解.设整根链条质量为m，则单位长度质量（质量线密度）为m/L.
设桌面重力势能为零，由机械能守恒定律得
解得v=.
点拨：求解这类题目时，一是注意零势点的选取，应尽可能使表达式简化，该题如选链条全部滑下时的最低点为零势能点，则初始势能就比较麻烦.二是灵活选取各部分的重心，该题开始时的势能应取两部分（桌面上和桌面下）势能总和，整根链条的总重心便不好确定，最后刚好滑出桌面时的势能就没有必要再分，可对整根链条求出重力势能.
课堂小结
1.在只有重力或弹力做功的物体系统内，物体的机械能总量不变.
2.应用机械能守恒定律的解题步骤
(1)确定研究对象;
(2)对研究对象进行正确的受力分析;
(3)判断各个力是否做功，并分析是否符合机械能守恒的条件;
(4)视解题方便选取零势能参考平面，并确定研究对象在始、末状态时的机械能;
(5)根据机械能守恒定律列出方程，或再辅之以其他方程，进行求解.
布置作业
1.教材“问题与练习”第1、3、4题.
2.观察记录生活中其他的物理情景，判断其是否符合机械能守恒定律.
板书设计
8 机械能守恒定律
一、动能与势能的相互转化
重力做功：动能←→重力势能
弹力做功：动能←→弹性势能
二、机械能守恒定律
在只有重力或弹力做功的物体系统内，动能和势能可以相互转化，而总的机械能保持不变.
三、机械能守恒定律的条件
1.只受重力（弹力），不受其他力.如自由落体的物体.
2.除重力（弹力）以外还有其他力，但其他力都不做功.如做单摆运动的物体.
活动与探究
课题：从能量的角度探究机械能守恒定律的条件
目的：进行课堂拓展，让学生自主设置情景，自主探究，重温机械能守恒定律条件发现的过程，加深对课本内容的理解.
方法：指导学生自主设置情景，从能量的角度判断机械能守恒.
参考情境:
1.瀑布是水流从高处落下形成的美丽自然景观，水流在下落过程中的能量转化过程.（不计一切阻力）
2.流星从高空向地球坠落的过程中，在进入大气层之前，可以看作只受地球的引力作用，流星这一过程能量的转化.
3.射箭的时候，运动员先把弓弦拉满，然后放手释放弹性势能.分析放手后，箭和弓组成的系统中，能量如何转化.
习题详解
1.解答：（1）小球在从A点下落至B点的过程中，根据动能定理W=ΔEk，mg(h1-h2)=.
（2）由mg(h1-h2)=，得mgh1+=mgh2+.
等式左边表示物体在A点时的机械能，等式右边表示物体在B点时的机械能，小球从A点运动到B点的过程中，机械能守恒.
2.答案：BC
飞船升空的阶段，动力对飞船做功，飞船的机械能增加.
飞船在椭圆轨道上绕地球运行的阶段，只有引力对飞船做功，机械能守恒.
飞船在空中减速后，返回舱与轨道分离，然后在大气层以外向着地球做无动力飞行的过程中，只有引力做功，机械能守恒.
进入大气层并运动一段时间后，降落伞张开，返回舱下降的过程中，空气阻力做功，机械能减少.
3.解答：（1）石块从抛出到落地的过程中，只有重力做功，所以机械能守恒.设地面为零势能面，根据机械能守恒定律：+mgh=，得
vt=m/s=15 m/s
根据动能定理：W=Ekt-Ek0
即mgh=
vt==15 m/s.
（2）由vt=知，石块落地时速度大小与石块初速度大小和石块抛出时的高度有关，与石块的质量和石块初速度的仰角无关.
4.解答：根据题意，切断电动机电源的列车，假定在运动中机械能守恒，要列车冲上站台，此时列车的动能Ek至少要等于列车在站台上的重力势能Ep.
列车冲上站台时的重力势能：Ep=mgh=20m m2/s2
列车在A点时的动能：Ek=mv2×m×72 m2/s2=24.5m m2/s2
可见Ek＞Ep，所以列车能冲上站台.
设列车冲上站台后的速度为v1,根据机械能守恒定律，有
Ek=Ep+
=Ek-Ep=24.5m m2/s2-20m m2/s2=4.5m m2/s2
可得v1=3 m/s.
设计点评
本节课通过教师给出撑竿跳、滑雪、过山车等材料，给学生感性认识，让学生对能的转化以初步认识，然后对动能和势能的转化关系进行猜想，为定量探究打下基础.引导学生通过具体情境的设置来推导机械能守恒定律的表达式，探究过程中，激发、鼓励学生大胆思考，开发学生的创造潜能，启发学生思维，使学生参与到教与学的活动中去.对守恒条件的教学，本教学设计采用了逐步引导的方法，引导学生向守恒条件步步靠拢，最后师生共同总结，具体展示了守恒定律的发现过程，有助于探究过程方法的学习.教学设计最后通过具体的例题讲解与课堂训练，对本节内容进行巩固加深，收到良好效果.
课件43张PPT。第七章新知预习·巧设计名师课堂
·一点通要点一要点二第8节创新演练
·大冲关随堂检测归纳小结课下作业综合提升1．知道什么是机械能，能够分析物体的动能和势能之
间的相互转化问题。
2．能够根据动能定理和重力做功与重力势能变化间的
关系，推导出机械能守恒定律。理解机械能守恒定律的内容，知道它的含义和适用条件。
3．会根据机械能守恒的条件判断机械能是否守恒，并
能运用机械能守恒定律解决有关问题。[读教材·填要点] 1．动能和势能的相互转化
(1)动能与重力势能间的转化：
①物体自由下落或沿光滑斜面下落时，重力对物体做
功，物体的重力势能 ，动能 ，物体原来具有的重力势能转化为 。
②原来具有一定速度的物体，由于惯性在空中竖直上升或沿光滑斜面向上运动时，重力对物体做 功，物体原来具有的
转化为 。减少增加正动能负动能重力势能 (2)被压缩的弹簧具有 能，当弹簧恢复原状时，把跟它接触的物体弹出去。这一过程中，弹力做 功，弹簧的 能减少，转化为物体的 能。
(3)动能和势能统称为 。通过重力或弹力做功， 可以从一种形式转化为另一种形式。弹性势弹性势机械能机械能正动2．机械能守恒定律
(1)推导：
①建立情景：自由落体运动或抛体运动或沿光滑曲面下滑。
②推导依据：
动能定理：W＝ 。
重力做功与重力势能的变化：WG＝ 。
③推导结论：
Ek2－Ek1＝ 或Ek2＋Ep2＝ 。Ep1－Ep2Ep1－Ep2Ek1＋Ep1Ek2－Ek1 (2)内容：在只有重力或弹力做功的物体系统内， 与
可以互相转化，而总的 保持不变。
(3)守恒定律表达式：
①Ek2－Ek1＝
即ΔEk增＝ 。
②Ek2＋Ep2＝ 。
即E2＝ 。
(4)守恒条件：只有重力(或弹力)做功。动能势能机械能Ep1－Ep2ΔEp减Ek1＋Ep1E1[试身手·夯基础]1．高台滑雪运动员腾空跃下，如果不考虑空气阻力，则下落
过程中该运动员机械能的转换关系是 ( )
A．动能减少，重力势能减少
B．动能减少，重力势能增加
C．动能增加，重力势能减少
D．动能增加，重力势能增加
解析：运动员腾空跃下，不考虑空气阻力，只受重力作用，故机械能守恒。下落过程中高度减小，重力势能减少，速度增大，动能增加。选项C正确。
答案：C2．物体在平衡力作用下的运动中
A．物体的机械能一定不变
B．如果物体的重力势能有变化，则它的机械能一定有变化
C．物体的动能可能变化，但机械能一定不变
D．物体的重力势能可能变化，但它的机械能一定不变
解析：由动能定理知，平衡力作用下物体的动能一定不变，C错，若物体的重力势能不变则机械能不变，若重力势能变化，则机械能一定有变化，B对，A、D错。
答案：B3．忽略空气阻力，下列几种运动中满足机械能守恒的是( )
A．电梯匀速下降
B．物体沿斜面匀速下滑
C．子弹射穿木块的运动
D．物体自由下落的运动
解析：电梯匀速下降，物体沿斜面匀速下滑时，动能不变，势能减少，故电梯和物体的机械能均不守恒；子弹射穿木块的过程中，有一部分机械能转化为内能，机械能也不守恒；物体自由下落时，只有重力做功，机械能守恒，故选D。
答案：D 1．对机械能守恒条件的理解
机械能守恒的条件是只有重力或弹力做功。可分如下三层理解：
(1)只受重力作用：如在不考虑空气阻力的情况下的各种抛体运动(自由落体、竖直上抛、平抛、斜抛等)。
(2)受其他力，但其他力不做功，只有重力或弹力做功，例如：
①物体沿光滑的曲面下滑，受重力、曲面的支持力的作用，但曲面的支持力对物体不做功。
②在光滑水平面上的小球运动中碰到弹簧，把弹簧压缩后又被弹簧弹回来。 (3)除重力和弹力之外，还有其他力做功，但其他力做功的总和为零，系统机械能没有转化为其他形式的能，物体的机械能不变，这不是真正的守恒，但也可以当作守恒来处理。 2．机械能守恒的判断
(1)用做功来判断：分析物体或物体受力情况(包括内力和外力)，明确各力做功的情况，若对物体或系统只有重力或弹力做功，没有其他力做功或其他力做功的代数和为零，则机械能守恒。
(2)用能量转化来判定：若系统中只有动能和势能的相互转化，无机械能与其他形式的能的转化，则系统机械能守恒。 [名师点睛]
(1)机械能守恒的研究对象一定是系统，至少包括地球在内。
(2)“只有重力做功”不等于“只受重力作用”。 1．如图7－8－1所示，下列关于机械能是否守恒的判断正确的是 ( )图7－8－1 A．甲图中，物体A将弹簧压缩的过程中，A机械能守恒
B．乙图中，物体B在大小等于摩擦力的拉力作用下沿斜面下滑时，B机械能守恒
C．丙图中，不计任何阻力时，A加速下落，B加速上升的过程中，A、B组成的系统机械能守恒
D．丁图中，小球沿水平面做均匀圆锥摆运动时，小球机械能守恒
[思路点拨] 解答本题时应注意以下两点：
(1)机械能守恒的条件。
(2)判断机械能守恒的研究对象。 [解析] 甲图中重力和弹力做功，物体A和弹簧组成的系统机械能守恒，但A机械能不守恒，A错误；乙图中物体B除受重力外，还受支持力、拉力、摩擦力，但当拉力与摩擦力相等时，除重力之外的三个力做功的代数和为0，故B机械能守恒，B正确；丙图中绳子的张力对A做负功，对B做正功，两者代数和为0，又不计任何阻力，故A、B机械能守恒，C正确；丁图中小球的动能不变，势能不变，故机械能守恒，D正确。
[答案] BCD 机械能守恒的条件不是合外力的功等于零，也不是合外力等于零。当研究对象(除地球外)只有一个物体时，往往根据是否“只有重力做功”来判断机械能是否守恒；当研究对象(除地球外)由多个物体组成时，往往根据是否“没有摩擦和介质阻力”来判断机械能是否守恒。 1．机械能守恒定律不同的表达形式和用法
(1)Ek＋Ep＝Ek′＋Ep′，这是从能量守恒的角度来表达，表示系统初状态机械能的总和与末状态机械能的总和相等。运用这种表达式时，应选好重力势能的零势能面，且初、末状态必须用同一零势能面计算势能。
(2)ΔEk＝ΔEp，这是从能量转化的角度来表达，表示系统(或物体)机械能守恒时，系统减少(或增加)的重力势能等于系统增加(或减少)的动能。应用时，关键在于分清重力势能的增加量或减少量，可不选零势能面而直接计算初、末状态的势能差。 (3)ΔEA增＝ΔEB减，这是从能量转移的角度来表达，表示若系统由A、B两部分组成，则A部分机械能的增加量与B部分机械能的减少量相等，关键在于分析A、B两部分机械能的改变量。 2．应用机械能守恒定律解题的一般步骤
(1)确定研究对象，就是要明确以哪几个物体组成的系统为研究对象。
(2)正确分析研究对象内各物体所受的力。分析时应注意：重力、弹力、摩擦力都是成对出现的，分清哪几个力是内力，哪几个力是外力。
(3)分析各力做功情况，明确守恒条件。
(4)选择零势能面，确定初、末状态的机械能(初、末状态必须用同一零势能面计算势能)。
(5)按机械能守恒定律列出方程并求解。3．机械能守恒定律与动能定理的对比 2．如图7－8－2所示，质量为m的木块
放在光滑的水平桌面上，用轻绳绕过桌边的
定滑轮与质量为M的砝码相连。已知M＝2m，
让绳拉直后使砝码从静止开始下降h(此时竖
直绳长小于桌高)的距离，木块仍在桌面上，则此时砝码的速度为多大？图7－8－2 [思路点拨] 对木块和砝码组成的系统，因只有砝码重力做功，系统的机械能守恒。 对于多个物体组成的系统，研究对象的选取是解题的关键环节，若选单个物体为研究对象时，机械能可能不守恒，但选此物体与其他几个物体组成的系统为研究对象时，机械能却是守恒的。1．(对应要点一)游乐场中的一种滑梯如
图7－8－3所示，小朋友从轨道顶端
由静止开始下滑，沿水平轨道滑动了
一段距离后停下来，则 ( )
A．下滑过程中支持力对小朋友做功
B．下滑过程中小朋友的重力势能增加
C．整个运动过程中小朋友的机械能守恒
D．在水平面滑动过程中摩擦力对小朋友做负功图7－8－3解析：下滑过程中滑梯对小朋友的支持力与速度方向垂直，支持力不做功，A错误；重力对小朋友做正功，重力势能减少，B错误；因摩擦力始终对小朋友做负功，整个过程中，小朋友的机械能减少，故C错误，D正确。
答案：D2．(对应要点一)如图7－8－4所示，一轻质弹
簧一端固定于O点，另一端系一重物，将
重物从与悬点O在同一水平面且弹簧保持
原长的A点无初速度地释放，让它自由摆
下，不计空气阻力。在重物从A点摆向最低点B的过程中，下列说法中正确的是 ( )
A．重物的重力势能减小
B．重物的重力势能增大
C．重物的机械能不变
D．重物的机械能减小图7－8－4解析：重物从A点释放后，在从A点向B点运动的过程中，重物的重力势能逐渐减小，动能逐渐增大，弹簧逐渐被拉长，即弹簧的弹性势能逐渐增大。所以，重物减小的重力势能一部分转化为重物的动能，另一部分转化为弹簧的弹性势能。对重物来说，它的机械能减小。
答案：AD3．(对应要点二)如图7－8－5所示，质量
为m的小球以速度v0离开桌面，若以桌
面为零势能面，则它经过A点时所具有
的机械能是(不计空气阻力) ( )图7－8－5答案：C4．(对应要点二)(2012·福建高考) 表面光滑
的固定斜面顶端安装一定滑轮，小物块
A、B用轻绳连接并跨过滑轮(不计滑轮
的质量和摩擦)。初始时刻，A、B处于同一高度并恰好处于静止状态。剪断轻绳后A下落、B沿斜面下滑，则从剪断轻绳到物块着地，两物块 ( )
A．速率的变化量不同
B．机械能的变化量不同
C．重力势能的变化量相同
D．重力做功的平均功率相同图7－8－6答案：D (1)机械能守恒的条件是物体系统内只有重力或弹力做功。系统内若有弹簧弹力做功，则只有把弹簧也纳入这个系统中，系统的机械能才能守恒。
(2)机械能守恒的表达式有三种：
①守恒角度：E1＝E2。
②转化角度：ΔEk＝－ΔEp。
③转移角度：ΔEA＝－ΔEB。
(3)机械能守恒定律是有条件的，应用机械能守恒定律解题时，应注意选取零势面；动能定理是无条件的，列方程式时也不用选取零势能面。
