第8节 机械能守恒定律
人教版教参补充题目
1.如图7-8-33所示，分别用恒力和先后将质量为m的物体从静止开始沿着同一个粗糙的固定斜面由底端推到顶端，第一次力的方向沿斜面向上，第二次力的方向水平向右，两次所用的时间相同，在这两个过程中（ ）
和所做的功相同
B.物体机械能变化量相等
C.第二次物体所受的合力做功较多
D.物体动能的变化量相同
解析：两次物体的位移和运动时间都相等，故两次推物体时物体的运动情况相同，所以末速度相同，物体机械能变化量相等，物体动能的变化量相同，合力做功相等，选项B、D正确，选项C错误；物体在作用下，摩擦力大，产生的内能多，故做的功多，选项C错误。
答案：BD
2.如图7-8-34所示，一根很长的、不可伸长的柔软轻绳跨过光滑定滑轮，绳两端各系一小球a和b，a球质量为m，静置于地面，b球质量为3m，用手托住，离地高度为h，此时轻绳刚好拉紧，从静止开始释放b后，a可能达到的最大高度为（ ）
A.h B.1.5h
C.2h D.2.5h
解析：在b球落地前，a、b两球组成的系统机械能守恒，且a、b两球速度大小相等，根据机械能守恒定律可得：3mgh=mgh＋（m＋，则v=。b球落地时，a球高度为h，之后a球向上做竖直上抛运动，在这个过程中，a球机械能守恒，则＋mgh=mgH，解得H=+h=1.5h，选项B正确。
答案：B
3.如图7-8-35所示，小球自a点由静止自由下落，到b点时与弹簧接触，到c点时弹簧被压缩到最短。若不计弹簧质量和空气阻力，在小球由a→b→c的运动过程中，下列说法正确的是（ ）
A.小球、弹簧和地球构成的系统总机械能守恒
B.小球的重力势能随时间先减少后增加
C.小球在b点时动能最大
D.b到c点过程中小球动能的减少量等于弹簧弹性势能的增加量
解析：小球、弹簧和地球构成的系统，只有重力和弹簧弹力做功，故系统机械能守恒，选项A正确；小球由a→b→c的运动过程中，小球的重力势能始终减小，选项B错误；小球运动到b点时受两个力作用，一个是向下的重力，一个是向上的弹簧弹力，但重力比弹力大，所以小球还在加速，故b点速度不是最大，动能也不是最大，选项C错误；从b到c的过程中，小球的动能、重力势能转化成弹簧的弹性势能，故小球动能的减少量小于弹簧弹性势能的增加量，选项D错误。
答案：A
4.如图7-8-36所示，长度相同的三根轻杆构成一个正三角形支架，在A处固定质量为2m的小球，B处固定质量为m的小球，支架悬挂在O点，可绕过O点并与支架所在平面相垂直的固定轴转动。开始时OB与地面相垂直，放手后开始运动，在不计任何阻力的情况下，下列说法正确的是（ ）
A.A球到达最低点时速度为0
B.A球机械能减少量等于B球机械能增加量
C.B球向左摆动所能达到的最高位置应高于A球开始运动的高度
D.当支架从左向右回摆时，A球一定能回到起始高度
解析：因A处小球质量大，所处的位置高，题图中三角形框架处于不稳定状态，释放后支架就会向左摆动，摆动过程中只有小球受的重力做功，故系统的机械能守恒，选项B、D正确；当A球到达最低点时，设支架边长是L，A球下落的高度是L，B球上升的高度是L，根据机械能守恒定律有
2mg -mg =，解得v= ，所以，A球到达最低点时速度不为0，系统还要继续向左摆，B球继续上升，所以B球向左摆动所能达到的最高位置应高于A球开始运动的高度，选项A错误，选项C正确。
答案：BCD
5.如图7-8-37所示，位于竖直平面内的光滑轨道，由一段斜的直轨道和与之相切的圆形轨道连接而成，圆形轨道的半径为R。一质量为m的小物块从斜轨道上某处由静止开始下滑，然后沿圆形轨道运动，要求物块能通过圆形轨道最高点，且在该最高点与轨道的压力不能超过5mg（g为重力加速度)。求物块初始位置相对圆形轨道底部的高度h的取值范围。
解析：设物块在圆形轨道最高点的速度为v，由机械能守恒定律得mgh=2mgR＋①
物块在最高点受的力为重力mg、轨道的压力N，重力与压力的合力提供向心力，有：mg＋N=m②
物块能通过最高点的条件是：N≥0③
由②③式得：v≥④
由①④式得：h≥2.5R⑤
按题目需求，N≤5mg，由②式得：v＜⑥
由①⑥式得：h≤5R⑦
h的取值范围是：2.5R≤h≤5R
答案：2.5R≤h≤5R
6.一轻质弹簧固定在水平地面上，一质量为m的小球自距地面高为处自由下落到弹簧上端，并将弹簧压缩，设速度达到最大的位置离地面的高度，最大速度为。若让该小球从距地面高度为处自由下落，速度达到最大时的位置距离地面的高度为，最大速度为。已知＞，则（ ）
， ＞，＞
＜， ，＜
解析：小球速度最大时加速度等于0，根据牛顿第二定律，mg=kx，即弹簧的压缩量为x=，因此，小球速度达到最大时，弹簧压缩量相等，则小球的位置离地面的高度相等，弹簧具有的弹性势能相等，由于小球、弹簧和地球组成的系统机械能守恒，小球从离地高度高的地方自由落下时，小球的最大速度大，即＜，选项C正确。
答案：C
7.如图7-8-38所示，小车上有固定支架，支架上用细线拴一个小球，线长为l（小球可看做质点），小车与小球一起以速度沿水平方向向左匀速运动。当小车突然碰到矮墙后小车立即停止运动，此后小球升高的最大高度可能是（线未被拉断）（ ）
A.大于 B.小于
C.等于 D.等于2l
解析：如果小球做的圆周运动小于圆周，由机械能守恒可得，=mgh，所以小球升高的最大高度是h=，所以选项C正确。如果小球做完整的圆周运动，则h=2l，且在最高点的速度v≠0，根据机械能守恒得=mgh+，所以h=-＜，选项B、D正确；如果小球做的圆周运动大于圆周，但不做完整的圆周运动，则h＜2l，且小球到达最高点的速度v≠0，根据机械能守恒得=mgh+，所以h=-＜，选项A错误。
答案：BCD
8.将一个力传感器连接到计算机上，我们就可以测量快速变化的力。某一小球用一条不可伸长的轻绳连接，绳的另一端固定在悬点上。当小球在竖直面内来回摆动时（如图7-8-39甲），用力传感器测得绳子对悬点的拉力随时间变化的曲线如图乙所示，重力加速度g取10 ，求绳子的最大偏角θ= 。
解析：设小球的质量为m，绳子的长度为L，绳子拉力的最小值和最大值各为和，小球摆至最高点时，绳子拉力最小：=mgcos θ
小球摆至最低点时，绳子拉力最大：-mg=m
摆动过程小球机械能守恒：mgL（1-cos θ)=
由以上各式得：cos θ=0.5，所以θ=60°。
答案：60°
9.跳台滑雪是冬奥会的比赛项目之一，如图7-8-40所示为一简化后的跳台滑雪的雪道示意图。助滑坡由AB和BC组成，AB是倾角为θ=37°的斜坡，BC是半径为R=10 m的圆弧面，圆弧面和斜面相切于B，与水平面相切于C，AB竖直高度差=35 m，竖直跳台CD高度差为=5 m，跳台底端与倾角为θ=37°的斜坡DE相连。运动员连同滑雪装备总质量为80 kg，从A点由静止滑下，通过C点水平飞出，飞行一段时间落到着陆坡上，测得坡上落点E到D点距离为125 m（不计空气阻力，sin 37°=0.6，cos 37°=0.8，g取10 ）。求：
（1）运动员到达C点的速度大小；
（2）运动员由A滑到C克服雪坡阻力做了多少功？
解析：（1）运动员从C点水平飞出做平抛运动，水平位移x=DEcos θ=100 m
竖直位移+DEsin θ=80 m
根据平抛运动的规律得：x=vt
y=
代入数值解得,运动员到达C点的速度大小
v=25 m/s；
（2）运动员由A滑到C，根据动能定理得：+mgR（1-cos θ)-W=-0
代入数值解得,运动员由A滑到C克服雪坡阻力做的功W=4 600 J。
答案：（1）25 m/s （2）4 600 J
其他版本的题目
广东教育版
1.忽略空气阻力，下列物体运动过程中满足机械能守恒定律的是（ ）
A.电梯匀速下降
B.物体自由下落
C.物体由光滑斜面顶端滑到底端
D.物体沿着斜面匀速下滑
E.铅球运动员抛出的铅球从抛出到落地前
答案：BCE
2.将质量为m的物体以初速度=10 m/s竖直向上抛出，忽略空气阻力，g取10 ，则：
（1）物体上升的最大高度是多少？
（2）上升过程中，在何处重力势能与动能相等？
解析：物体在空中运动时，只有重力做功，故机械能守恒。（1）以地面为零势能参考平面，则初状态的机械能：=
在最高点动能为零，则末状态的机械能：=mgh
由得：=mgh，所以物体上升的最大高度h== m=5 m；
（2）以地面为零势能参考平面，则初状态的机械能：=，
末状态在高处，（如图7-8-41），则末状态的机械能：+
根据机械能守恒定律得
== m=2.5 m。
即距地面2.5 m处重力势能与动能相等。
答案：（1）5 m （2）距地面2.5 m
3.将一个质量为2.0 kg的小球从离地面15 m高的地方水平抛出，抛出时小球的速度为10 m/s，忽略空气阻力，g取10 ，求：
（1）小球落地时速度的大小；（2）小球从抛出到落地时重力势能的减少量。
解析：（1）设初速度为，落地速度为v，根据机械能守恒定律得=+mgh
代入数值解得小球落地时速度v=20 m/s。
（2）重力势能的减少量等于重力做的功即-Δ=mgh=300 J。
答案：（1）20 m/s （2）300 J
4.质量为1 kg的物体从倾角为30°，长2 m的光滑斜面顶端由静止开始下滑，若选初始位置为零势能参考平面，那么当物体滑到斜面中点时具有的机械能和动能分别是（ ）
A.10 J，5 J B.10 J，15 J
C.0 J，5 J D.20 J，10 J
解析：物体沿斜面下滑过程中，只有重力做功，机械能守恒，且物体的机械能=0，所以到达中点时机械能仍然为0。物体在斜面中点时的重力势能=-mgh=-1×10×0.5 J=-5 J，所以物体的动能=5 J，选项C正确。
答案：C
5.一物体以初速度沿光滑斜面上升，试求:
（1)物体能上升的最大高度。（2)在上升过程中,当物体的速度减小到时，它上升的高度是多少?
解析：（1）物体沿光滑斜面上升的过程中，只有重力做功，满足机械能守恒。根据机械能守恒定律得:
mgh=
所以物体能上升的最大高度h=。
（2）当v=时，根据机械能守恒定律得：
mgh′+=，所以物体上升的高度h′=。
答案：（1） （2）
6.在距离地面某高处，将一个小球以速度沿水平方向抛出，抛出时小球的动能等于重力势能。设小球在空中飞行达到某一位置A时的位移与水平方向的夹角为α（不计空气阻力，设小球在A点的重力势能为零），则小球在A点的速度大小为 ，小球从抛出点到达A点飞行时间为 。
解析：小球以速度沿水平方向抛出，做平抛运动，根据平抛运动的规律，得
t，y=
根据题意=mgy，联立以上各式解得t=，
从抛出到小球运动到A点，根据机械能守恒定律，得
+mgy=，所以小球在A点的速度大小v=。
答案：
山东科技版
1.质量为m的滑块沿着高为h，长为l的粗糙斜面恰能匀速下滑，在滑块从斜面顶端到底端的过程中（ ）
A.重力对滑块所做的功为mgh
B.滑块克服阻力所做的功为mgh
C.滑块的机械能守恒
D.合力对滑块所做的功不确定
答案：AB
2.跳台滑雪起源于挪威，又称跳雪。1860年，挪威德拉门地区的两位农民在奥斯陆举行的首届全国滑雪比赛上表演了跳台飞跃动作，后逐渐成为一个独立项目并得到推广。跳台滑雪在1924年被列为首届冬奥会比赛项目。如图7-8-42所示，假设运动员从雪道的最高点A由静止开始滑下，不借助其他器械，沿光滑的雪道到达跳台的B点时速度为多大?当他落到离B点竖直高度为10 m的雪地C点时，速度又是多少?（设这一过程中运动员没有做其他动作，忽略摩擦和空气阻力，g取10 )
解析：运动员在滑雪的过程中，由于忽略摩擦和空气阻力，所以运动员和地球组成的系统机械能守恒，根据机械能守恒定律便可解答。选跳台处的重力势能为零，则根据机械能守恒定律可得：=，所以=4 m/s；但运动员再滑到C点时，又根据机械能守恒定律可得：mgh=mgh′，代入数据得：=2 m/s。
答案：4 m/s 2 m/s
3.如图7-8-43所示，质量为m的物体A，从弧形面的低端以初速度向上滑行，达到某一高度后，又沿原路返回，且继续沿水平面滑行至P点而停止。求在整个过程中摩擦力对物体A所做的功。
解析：物体先上升再返回最后停在P点，整个过程中，重力做的功为0，支持力不做功，只有摩擦力做功，由动能定理可得，W=0-
在整个过程中摩擦力对物体A所做的功
W=-
答案：-
4.如图7-8-44所示，一木块放在光滑水平面上，一子弹水平射入木块中，子弹受到的平均阻力为f，射入深度为d，此过程中木块的位移为x，则（ ）
A.子弹损失的动能为fx
B.木块增加的动能为f（x＋d)
C.子弹动能的减小等于木块增加的动能
D.子弹、木块系统总机械能的损失为fd
解析：设子弹射入木块前的速度为，射入深度为d时木块和子弹的共同速度为v，对子弹根据动能定理-f（x＋d)=-，所以子弹损失的动能-=f（x＋d)；
对于木块根据动能定理fx=-0，所以木块增加的动能=fx，选项A、B、C错误；系统损失的机械能为--=f（x＋d)-fx=fd，选项D正确。
答案：D
5.如图7-8-45所示，某人乘雪橇从雪坡经A点滑到B点，接着沿水平路面滑至C点停止。人与雪橇的总质量为70 kg。表中记录了沿坡滑下过程中的有关数据，请根据表中的数据解决下列问题:（g取10 ）
（1）人与雪橇从A到B的过程中，损失的机械能为多少？
（2）设人与雪橇在BC段所受阻力恒定，求阻力的大小。
位置
A
B
C
速度/（ ）
2.0
12.0
0
时刻/s
0
4.0
10.0
解析：（1）从A到B的过程中，人与雪橇损失的机械能为ΔE=mgh+- J。
（2）人与雪橇在BC段做减速运动的加速度大小a==2 ，
根据牛顿第二定律有 N。
答案： J N
6.如图7-8-46所示，轻质弹簧一端与墙相连，质量为m=4 kg的木块沿光滑的水平面以=5 m/s的初速度向左运动，求：（1）当木块压缩弹簧后速度减为v=3 m/s时弹簧的弹性势能；（2）弹簧在被压缩的过程中的最大弹性势能。
解析：对于木块和弹簧构成的系统机械能守恒。
（1）当木块的速度为v=3 m/s时，弹簧的弹性势能为，由机械能守恒定律得，
+=
所以=-=32 J。
（2）当弹簧的弹性势能最大时，木块的动能为零。由机械能守恒定律得，弹簧的最大弹性势能为==50 J。
答案：（1）32 J （2）50 J
教育科学版
1.一个人站在阳台上，以相同速率分别把三个球竖直向上抛出、竖直向下抛出、水平抛出，不计空气阻力，则三球落地时（ ）
A.上抛球的速率最大 B.下抛球的速率最大
C.平抛球的速率最大 D.三球的速率一样大
答案：D
2.质量为30 kg的小孩荡秋千，运动过程中偏离竖直线的最大角度为60°，绳子承受的最大拉力为多少？（不计空气阻力）
解析：小孩从最高点摆到最低点的过程中，机械能守恒，以过最低点水平面为零势能参考平面，假设绳子长L，有：mg（L-Lcos 60°）=
故v=①
在最低点，重力和绳子拉力的合力提供向心力,如图7-8-47所示，由牛顿第二定律得F-mg=m②
由①②两式得到，F=2mg；
根据牛顿第三定律，绳子受到的拉力等于绳子对小孩的拉力，故绳子承受的最大拉力为2mg。
答案：2mg
3.“蹦极”是一种很有挑战性的运动。如图7-8-48所示，某人身系弹性绳从高空P处自由下落，做蹦极运动，图中a是弹性绳原长的位置，c是人所能到达的最低点，b是静止地悬着时的平衡位置，不计空气阻力，则人到达 点时动能最大，人到达 点时弹性绳的弹性势能最大。
解析：弹性绳绷紧后，开始阶段，拉力小于重力，游戏者向下做加速运动，当拉力大于重力后，游戏者做减速运动，即速度先增大后减小。当拉力等于重力时，速度最大，动能最大。即人到达b点时动能最大；人到达c点时，弹性绳伸长最长，弹性绳的弹性势能最大。
答案：b c
4.某同学身高1.80 m，在运动会上他参加跳高比赛，起跳后身体横着越过了1.80 m高的横杆。据此可估算他起跳时竖直向上的速度大约为（ ）
A.2 m/s B.4 m/s
C.6 m/s D.8 m/s
解析：运动员越过横杆，其重心约升高h=0.9 m，根据机械能守恒定律mgh=，所以运动员起跳时的速度v==4.2 m/s，选项B正确。
答案：B
5.伽利略在研究运动和力的关系时，曾经考虑了一个无摩擦的理想实验：如图7-8-49所示，在A点处悬挂一个摆球，将摆球拉到B点处放手，摆球将摆到与B等高的C处，假若在A点正下方的E处钉一个钉子，摆球的运动路径将发生改变，但仍将升到与开始等高的D处。如果图中的摆线长为l，初始时刻摆线与竖直线之间的夹角为60°，则钉子E与A点的距离至少多大，摆球摆下后能在竖直面内做圆周运动？
解析：设摆球做圆周运动的最低点为M，最高点为N，圆周运动半径为r，小球由B点运动到M点，有：mg（l-lcos 60°）=,所以=，
摆球在竖直面内完成圆周运动的最小临界值条件是最高点N处重力充当向心力，
mg=m,=（最小值）
小球由M点运动到N点，根据机械能守恒定律得：-=-mg2r
所以r=0.2l
所以=l-r=0.8l，即A点距E点的距离至少为0.8l。
答案：0.8l
补充材料
一、机械能守恒定律的几种表达形式及其应用
1.守恒观点
（1)表达式：＋＋或；
（2)意义：系统初状态的机械能等于末状态的机械能；
（3)注意问题：要先选取零势能参考平面，并且在整个过程中必须选取同一个零势能参考平面。若初、末状态的高度已知，整个系统除地球外只有一个物体时，运用这种形式比较简单。
2.转化观点
（1)表达式：Δ=-Δ（-Δ=Δ）；
（2)意义：系统（或物体)的机械能守恒时，系统增加（或减少)的动能等于系统减少（或增加)的势能；
（3)注意问题：运用这种形式时，一般针对初、末状态的高度未知，但高度变化已知的情况。运用的关键在于弄清重力势能的增加（或减少)量，可不选取参考平面而直接计算初、末状态的势能差。
3.转移观点
（1)表达式：Δ=-Δ（-Δ=Δ）；
（2)意义：若系统由A、B两部分组成，当系统的机械能守恒时，则A部分物体机械能的增加（或减少）等于B部分物体机械能的减少（或增加）；
（3)注意问题：若系统由A、B两部分组成，常利用转移的观点列方程。A部分机械能的增加量等于A末状态的机械能减去初状态的机械能，而B部分机械能的减少量等于B初状态的机械能减去末状态的机械能。
例1如图7-8-50所示，在一长为2l的不可伸长的轻杆的两端，各固定一个质量为2m与m的A、B两小球，系统可绕过杆的中点O且垂直纸面的固定转轴转动，初始时轻杆处于水平状态，无初速度释放后，轻杆转动，当轻杆转至竖直位置时，小球A的速率多大？
解析：对于A、B组成的系统，在转动过程中只有重力做功，系统机械能守恒。轻杆转至竖直位置时，小球A、B的速率相等，设为v。
方法1.利用列方程，选O点所在的水平面为零势能参考平面，则
0=mgl-2mgl+，
解得v= 。
方法2.利用Δ=-Δ列方程，则
=2mgl-mgl，解得v= 。
方法3.利用-Δ=Δ列方程，则
2mgl-=mgl+
解得v= 。
答案：
例2如图7-8-51所示，A、B两球质量分别为4m和5m，其间用轻绳连接，跨放在光滑的半圆柱体上（半圆柱体的半径为R)。两球从水平直径的两端由静止释放。已知重力加速度为g，圆周率用π表示。当球A到达最高点C时，求：球A的速度大小。
解析：对于A、B组成的系统，在运动过程中只有重力做功，系统机械能守恒。球A到达最高点C时，A、B两球的速度大小为v。
方法1.利用列方程，选初始时刻A、B两球所在的水平面为零势能参考平面，则
0=4mgR-5mg·+，
解得v=。
方法2.利用Δ=-Δ列方程，则
（4m＋=5mg·-4mgR,
解得v=。
方法3.利用Δ=-Δ列方程，则 4mgR＋·=5mg·-·,解得v= 。
答案：
二、链条类问题的分析方法
对于绳索、链条之类的物体，由于发生形变，其重心位置相对物体来说并不是固定不变的，确定重心的位置，常是解决该类问题的关键。可以采用分段法求出每段的重力势能，然后求和即为整体的重力势能；也可采用等效法求出重力势能的改变量。利用Δ=-Δ列方程时，不需要选取零势能参考平面，且便于分析计算。
例3如图7-8-52所示，在光滑的水平桌面上，放置一根长为l的链条，链条沿桌边挂在桌外的长度为a，链条由静止开始释放，求链条全部离开桌面时的速度是多少?
解析：以整个链条作为研究对象，从图中位置到刚刚全部离开桌面过程中机械能守恒，链条重力势能的减少量等于整个链条动能的增加量。桌面上的部分其重心下降的高度为，挂在桌外长度为a的部分其重心下降的高度为（l-a)，设链条单位长度质量为m。
方法一、利用Δ=-Δ列方程，则
=m（l-a)g+mag（l-a)，
解得v= 。
方法二、选桌面为零势能参考平面，利用列方程，则
-amg=-lmg，
解得v=。
答案：
7.8《机械能守恒定律》导学案
【学习目标】
1．知道机械能的概念，知道物体的动能和势能可以相互转化。
2．理解机械能守恒定律的内容。
3．在具体问题中，能判定机械能是否守恒，并能列出机械能守恒的方程式
【重点难点】
机械能守恒定律的理解和应用
【学法指导】
认真阅读教材，体会机械能的概念，体会机械能守恒的含义。
【知识链接】
1．重力势能：物体的重力与其所处_________的乘积叫重力势能能。定义式_________，是标量，具有相对性，只与位置有关，是状态量。
2．重力做功和重力势能变化的关系：WG=___________，WG是过程量，决定于始末位置，与路径_________。
3．弹性势能：发生弹性形变的物体由弹力决定的势能叫________，是标量，是状态量。弹力做功和弹性势能变化的关系：W弹=___________，弹力做正功，弹性势能减少，数值对应相等。
4．动能：物体由于__________而具有的能量叫动能。_________，动能是标量，是状态量，也有相对性。
5．动能定理：外力对物体做的_________等于物体动能的变化。W总=_________________
思维要点：__________________。（1）明确对象和研究过程，找出____、______状态的速度。（2）_________分析（包括重力、弹力等），明确各力做功的________。（3）注意运动的_______性，明确各阶段外力做功的情况
【学习过程】
一、动能与势能的相互转化
1．阅读教材75页，列举重力势能和动能相互转化的实例，课上交流
2．阅读教材75页，列举弹性势能和动能相互转化的实例，课上交流
3．什么是机械能？物体的_______、___________、_____________统称为机械能。
结论：以上实例表明，通过______做功或________做功，机械能可以从一种形式转化成另一种形式。
【尝试应用1】做平抛运动的小球，在运动过程中__________能转化为________能。如图，物体在光滑的水平面上滑行，碰到弹簧上，在弹簧被压缩的过程中，物体的—________能转化为______________能，当物体速度为_____时，弹簧压缩量最大，此时弹簧的弹性势能达到__________，之后弹簧把物体弹回，弹簧的___________向物体的_______转化。
二、机械能守恒定律
1．机械能守恒定律的导出
取地面为参考平面，则质量为m的物体在A处的重力势能为EP1= ，在B处的重力势能为EP2=
物体从A到B重力做的功W= （根据功定义式写）①
若物体在A处的速度为v1 ，在B处的速度为v2，根据动能定理可得
合力（即重力）的功W= ②
则由①②可得到：
移项后可得
结论：在只有重力做功的物体系统内， 与 相互转化，而总的机械能保持不变。
同理，在只有弹簧的弹力做功的物体系统内， 与 相互转化，而总的机械能保持不变。
2．机械能守恒定律
（1）定律内容：在只有_______或________做功的物体系统内，动能和势能相互转化，但机械能的总量保持不变。（2）表达式： 或 ______
（3）判断机械能守恒的方法：①根据定律，是否只有 或 做功。②除动能和势能外，看是否有其他形式的能参与转化。
【尝试应用2】下列运动中机械能守恒的是 （ ）
A．降落伞在空中匀速下降 B．抛出去的铅球（不计空气阻力）
C．流星划过天空发出明亮的光 D．光滑曲面上自由下滑的物体
【合作探究】以物体沿光滑斜面下滑为例，推导机械能守恒定律的表达式，自己设出需要的物理量。 推导：
3．例题（课本76页）
讨论：应用机械能守恒定律解题，与直接用牛顿定律解题相比，具有哪些优点和不足？
【训练测试】
1． 以下说法正确的是( )
A．物体做匀速运动，它的机械能一定守恒
B．物体所受合力的功为零，它的机械能一定守恒
C．物体所受的合力不等于零，它的机械能可能守恒
D．物体所受的合力等于零，它的机械能一定守恒
2． 游乐场中的一种滑梯如图所示．小朋友从轨道顶端由静止开始下滑，沿水平轨道滑动了一段距离后停下来，则( )
A．下滑过程中支持力对小朋友不做功
B．下滑过程中小朋友的重力势能增加
C．整个运动过程中小朋友的机械能守恒
D．在水平面滑动过程中摩擦力对小朋友做负功
3． 北京残奥会的开幕式上，三届残奥会冠军侯斌依靠双手牵引使自己和轮椅升至高空，点燃了残奥会主火炬，其超越极限、克服万难的形象震撼了大家的心灵．假设侯斌和轮椅是匀速上升的，则在上升过程中侯斌和轮椅的( )
A．动能增加 B．重力势能增加
C．机械能减少 D．机械能不变
4．如图是为了检验某种防护罩承受冲击能力的装置，M为半径R＝1.0m，固定于竖直平面内的光滑圆弧轨道，轨道上端切线水平，N为待检验的固定曲面，该曲面在竖直面内的截面为半径r＝m的圆弧，圆弧下端切线水平且圆心恰好位于M轨道的上端点．M的下端相切处置放竖直向上的弹簧枪，可发射速度不同的质量m＝0.01kg的小钢珠，假设某次发射的钢珠沿轨道恰好能过M的上端点，水平飞出后落到N的某一点上．取g＝10m/s2，求：
(1)发射该钢珠前，弹簧的弹性势能EP多大？
(2)钢珠落到圆弧N上时的速度大小vN是多少？
【参考答案】
1．答案：C
2．答案：AD
解析：下滑过程中支持力的方向总与速度方向垂直，所以支持力不做功，A正确；越往下滑动重力势能越小，B错误；摩擦力的方向与速度方向相反，所以摩擦力做负功，机械能减少，D正确，C错误．
3．答案：B
解析：匀速上升过程中动能不变，重力势能增加，机械能增加，所以只有B项正确．
4．答案：(1)0.15J (2)4m/s
解析：(1)设钢珠在M轨道最高点的速度为v，
mg＝m①
从发射前到最高点，由机械能守恒定律得：
EP＝mgR＋mv2②
联立①、②解出EP＝0.15J
(2)钢珠从最高点飞出后，做平抛运动x＝vt③
y＝gt2④
由几何关系x2＋y2＝r2⑤
从飞出M到打在N的圆弧面上，由机械能守恒定律：
mgy＋mv2＝mv⑥
联立①、③、④、⑤、⑥解出所求vN＝4m/s
【学习反思】
机械能守恒定律的表达式有哪些？应用机械能守恒定律求解问题的一般步骤是怎样的？
第8节机械能守恒定律
新课教学
一、动能与势能的相互转化
前面我们学习了动能、势能和机械能的知识.在初中学习时我们就了解到，在一定条件下，物体的动能与势能(包括重力势能和弹性势能)可以相互转化，动能与势能相互转化的例子在生活中非常多，请同学们举出生活中的例子来说明动能与势能的相互转化.
参考:1.从树上掉下的苹果（势能向动能转化）；
2.自行车猛蹬几下自由冲上斜坡（动能向势能转化）；
3.拉弓射箭（势能向动能转化）
4.运动会上撑竿跳高运动员在跳起的过程中（人的动能转化为杆的弹性势能,后杆的弹性势能转化为人的重力势能）.
……
实验演示：依次演示麦克斯韦滚摆、单摆和弹簧振子，提醒学生注意观察物体运动中动能、势能的变化情况，即转化过程中物理量的具体变化.
通过观察演示实验，学生回答物体运动中动能、势能变化情况.
教师小结：物体运动过程中，随着动能的增大，物体的势能减小；反之，随着动能的减小，物体的势能增大.
学生通过实例感受、实验演示，切实感受到机械能的两种形式（动能与势能）之间可以相互转化.而且，转化过程中有力做功.
重力做功：动能←→重力势能
弹力做功：动能←→弹性势能.
二、机械能守恒定律
问题：动能和势能的相互转化是否存在某种定量的关系呢？上述各运动过程中，物体的机械能是否变化呢？
引导学生通过具体的实例进行理论推导分析.先考虑只有重力对物体做功的理想情况.
设物体自由下落过程中经过高度h1的A点速度v1，高度h2的B点时速度为v2，
由同学用学习过的知识（牛顿定律或动能定理），分析下
落过程中A、B两位置的机械能之间的数量关系。
A点到B点，WG=mv22-mv12= EK2-EK1
由重力做功和重力势能变化的关系有
WG=mgh1-mgh2=EP1-EP2
得到 EK2-EK1=EP1-EP2 ①
移项后，得EP1+EK1=EP2+EK2 ②
即 E1=E2
引导学生讨论式①的含义是什么？式②的含义又是什么？
在表达式①中左边是物体动能的增加量，右边是物体重力势能减少量，该表达式说明：物体在下落过程中，重力做了多少正功，物体的重力势能就减小多少，同时物体的动能就增加多少。在表达式②中，左边是物体在末位置时的机械能，右边是物体在初位置时的机械能，该式表示：动能和势能之和即总的机械能保持不变。
⑵只有重力做功分析
上述结论是在运动过程只受重力作用的时候得到的，如果物体是沿光滑斜面下滑，上述
结论成立吗？（由同学推导，分析）
沿光滑斜面下滑过程中，斜面的弹力不做功，由动能定理分析，通过重力做功，使重力
势能转化为动能，总的机械能保持不变。
如果物体沿光滑曲面滑下，怎么分析？
由学生通过重力势能的分析中将曲面看成无数个小斜面的处理方法，得出结论。
小结：在只有重力做功的情形下，不论物体做直线运动还是曲线运动，总的机械能保持
不变。
进一步分析实验2，摆球摆动过程受重力与细线拉力，两拉力方向始终与运动方向垂直，不
做功，则上式推导过程及结论都相同。
⑶分析守恒条件
分析讨论：泡沫球实验和黑板倾斜后球不能摆到等高处的原因。
泡沫球受到的阻力不能忽略，前面的推导过程中W=WG+Wf，EP1+EK1≠EP2+EK2，
从能量转化角度看，有机械能转化为热能，所以机械能将不断减少。
通过实验和理论推导的证明：只有重力做功时，物体系统内的机械能守恒。
（此处应说明：重力势能是物体和地球组成的系统具有的）
⑷只有弹力做功分析
提出问题：势能包括重力势能和弹性势能，只有弹力做功时，机械能与守恒吗？
实验4：气垫导轨上的水平弹簧振子，观察振动过程。
由同学讨论振动过程的能量转化和实验结论，结合前
面已经探究过的弹力做功与弹性势能的关系，类比重力做
功，进行分析。
WF= EK2-EK1
又 WF= EP1-EP2=EK2-EK1
则EP1+EK1=EP2+EK2
结论：只有弹力做功时，系统机械能守恒
⑸系统内只有重力和弹力做功分析
实验5：竖直弹簧振子的振动，观察现象，作出分析。
共同分析，得出结论（板书）：
⑹分析守恒条件，归纳结论
在只有重力和弹力做功的物体系统内，动能和势能可以互相转化，而总的机械能保持不变
⑺引导学生分析结论，加深理解：
“在只有重力和弹力做功的物体系统内”是机械能守恒的条件
“而总的机械能保持不变”是结论
“动能和势能可以互相转化”是系统内重力或弹力做功的结果。从能量转化角度看，机械能守恒定律是普遍的能量守恒定律的一种特殊情况。
条件：系统内只有重力（或弹力）做功。
公式：EP1+EK1=EP2+EK2 （E1=E2）（板书）
⑻共同分析书本中的思考与讨论：
一小球在真空中下落，有一质量相同的小球在粘滞性较大的液体中匀速下落，它们都
因高度为h1的地方下落到h2的地方，在两种情况下，重力所做的功相等吗？重力势能各转化为什么形式的能？机械能守恒吗？
课堂小结
1.在只有重力或弹力做功的物体系统内，物体的机械能总量不变.
2.应用机械能守恒定律的解题步骤
(1)确定研究对象;
(2)对研究对象进行正确的受力分析;
(3)判断各个力是否做功，并分析是否符合机械能守恒的条件;
(4)视解题方便选取零势能参考平面，并确定研究对象在始、末状态时的机械能;
(5)根据机械能守恒定律列出方程，或再辅之以其他方程，进行求解.
布置作业
1.教材"问题与练习"第1、3、4题.
2.观察记录生活中其他的物理情景，判断其是否符合机械能守恒定律.
板书设计
8 机械能守恒定律
一、动能与势能的相互转化
重力做功：动能←→重力势能
弹力做功：动能←→弹性势能
二、机械能守恒定律
在只有重力或弹力做功的物体系统内，动能和势能可以相互转化，而总的机械能保持不变.
三、机械能守恒定律的条件
1.只受重力（弹力），不受其他力.如自由落体的物体.
2.除重力（弹力）以外还有其他力，但其他力都不做功.如做单摆运动的物体.
活动与探究
课题：从能量的角度探究机械能守恒定律的条件
目的：进行课堂拓展，让学生自主设置情景，自主探究，重温机械能守恒定律条件发现的过程，加深对课本内容的理解.
方法：指导学生自主设置情景，从能量的角度判断机械能守恒.
课件58张PPT。第七章 机械能守恒定律第八节 机械能守恒定律1.能够分析动能和势能之间的相互转化问题．
2．明确机械能的概念，明确机械能守恒定律的含义和适用条件．
3．能准确判断系统在作用过程中机械能是否守恒．
4．能熟练应用机械能守恒定律解决有关问题，并领会运用机械能守恒定律解决问题的优越性.3．机械能守恒定律的各种表达方式
当系统满足机械能守恒的条件以后，常见的守恒表达式有以下几种：
①Ek1＋Ep1＝Ek2＋Ep2，即初状态的动能与势能之和等于末状态的动能与势能之和．②ΔEk＝－ΔEp或ΔEp＝－ΔEk，即动能(或势能)的增加量等于势能(或动能)的减少量．
③ΔEA＝－ΔEB，即A物体机械能的增加量等于B物体机械能的减少量．4．机械能守恒条件的理解
①从能量转化的角度看，只有系统内动能和势能相互转化，无其他形式能量之间(如内能)转化．
②从系统做功的角度看，只有重力和系统内的弹力做功，具体表现在：
a．只有重力做功的物体，如：所有做抛体运动的物体(不计空气阻力)，机械能守恒．
b．只有重力和系统内的弹力做功．例如：图(a)、(b)、(c)．图(a)中小球在摆动过程中线的拉力不做功，如不计空气阻力，只有重力做功，小球的机械能守恒．图(b)中A、B间，B与地面间摩擦不计，A自B上自由下滑过程中，只有重力和A、B间的弹力做功，A、B组成系统的机械能守恒．但对B来说，A对B的弹力做功，但这个力对B来说是外力，B的机械能不守恒．图(c)中不计空气阻力，球在摆动过程中，只有重力和弹簧与球间的弹力做功，球与弹簧组成的系统机械能守恒，但对球来说，机械能不守恒．5．应用机械能守恒定律解题的步骤
(1)根据题意选取研究对象(物体或系统)．
(2)明确研究对象的运动过程，分析对象在过程中的受力情况，弄清各力做功的情况，判断机械能是否守恒．
(3)恰当地选取零势能面，确定研究对象在过程中的始态和末态的机械能．
(4)根据机械能守恒定律的不同表达式列方程，并求解结果．6．如何判断机械能是否守恒
(1)对某一物体，若只有重力做功，其他力不做功，则该物体的机械能守恒．
(2)对某一系统，物体间只有动能和势能的转化，系统跟外界没有发生机械能的传递，也没有转化成其他形式的能(如内能)，则系统的机械能守恒．对于某个物体系统包括外力和内力，只有重力或弹簧的弹力做功，其他力不做功或者其他力做功的代数和等于零，则该系统的机械能守恒，也就是说重力做功或弹簧弹力做功不能引起机械能与其他形式的能的转化，只能使系统内的动能和势能相互转化．(3)机械能守恒的条件绝不是合外力的功等于零，更不是合外力等于零，例如水平飞来的子弹打入静止在光滑水平面上的木块内的过程中，合外力的功及合外力都是零，但系统在克服内部阻力做功，将部分机械能转化为内能，因而机械能的总量在减少．
(4)一些绳子突然绷紧，物体间碰撞后合在一起等，除非题目特别说明，机械能必定不守恒．
