广东省深圳市2025年初中学业水平考试模拟数学试卷
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的）
1．（2025·深圳模拟） 如图，数轴上点A表示的数的绝对值是（ ）
A． B． C．3 D．
2．（2025·深圳模拟） 下列倡导环保的图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2025·深圳模拟） 十二地支是中国传统文化中的一个重要概念，与天干共同构成了干支纪年系统，它们也与十二生肖对应，分别是：子（鼠），丑（牛），寅（虎），卯（兔），辰（龙），巳（蛇），午（马），未（羊），申（猴），酉（鸡），戌（狗），亥（猪）．小东购买了一套十二生肖邮票，从中任选一张邮票送给小深，则恰好选中邮票“蛇”的概率是（ ）
A． B． C． D．
4．（2025·深圳模拟） 下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2025·深圳模拟） 课堂上，老师出示了这样一个问题：如图①，已知，请利用尺规作．如图②是甲、乙两位同学的作法，其中正确的是（ ）
A．甲、乙均正确 B．甲正确，乙错误
C．乙正确，甲错误 D．甲、乙均错误
6．（2025·深圳模拟） 在古代建筑中，榫（）卯（）结构至关重要，它通过凸出的榫头和凹进的榫眼精密配合连接，使得建筑物连接牢固且难以松动．工匠们制作一种特定的榫卯组合，每个榫头需要耗费的木材比每个榫眼需要耗费的木材多千克．已知用30千克木材制作榫头的数量与用25千克木材制作榫眼的数量相同．设制作1个榫头需要耗费的木材为x千克，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
7．（2025·深圳模拟） 如图是某壁挂台灯的侧面示意图，已知台灯底部离桌面距离，支架长，灯长，当支架与墙壁的夹角、灯罩AB与水平面的夹角均为时，阅读时光照效果最佳，此时点A与桌面的距离约为（图中所有点均在同一平面内，参考数据）（ ）
A． B． C． D．
8．（2025·深圳模拟） 如图，四边形是的内接四边形，是的直径，D为劣弧AC的中点，过点D作的切线DE交BA的延长线于点E，连接BD．若BE=4AE=4，则的半径为（ ）
A．5 B． C．2 D．1
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
9．（2025·深圳模拟）分解因式 ．
10．（2025·深圳模拟） 如图，光源位于焦点处，光线经反光镜反射后平行地面射出，已知，，则的度数为 ．
11．（2025·深圳模拟） 不等式组的解集为 ．
12．（2025·深圳模拟） 如图，A是反比例函数的图象上的一个动点，作点A关于原点的对称点B，以为斜边作等腰直角三角形，若点C的坐标为，则 ．
13．（2025·深圳模拟） 如图，在中，，，将绕着点B逆时针旋转得到，连接交于点F，连接交于点G；若F为的中点，则 ．
三、解答题（本题共7小题，其中第14题5分，第15题7分，第16题8分，第17题8分，第18题9分，第19题12分，第20题12分，共61分）
14．（2025·深圳模拟） 计算：．
15．（2025·深圳模拟）先化简，再求值：，其中．
16．（2025·深圳模拟） 为落实健康中国和健康广东行动，进一步倡导和推进文明健康生活方式，有效遏制超重和肥胖上升趋势，广东省卫生健康委员会等16部门联合制定了《广东省“体重管理年”活动实施方案》，力争通过三年左右时间，建立完善有助于促进体重管理的支持性环境，增强专业技术支撑能力和服务水平，提升居民体重管理意识和相关技能，普及健康生活方式，营造全民参与、人人受益的体重管理良好局面，改善部分人群体重异常状况．
某单位为了解员工的体重管理情况，对员工进行不记名调查问卷，并将结果绘制成如图所示的统计图（表）．
员工健康情况的调查问卷 亲爱的员工，为给大家提供更贴心的健康支持，现开展匿名健康情况调查，期待您的积极参与！ （1）您的身高是 ，体重是 ．请根据公式体重（）÷身高计算您的为 （结果保留1位小数）； （2）如果您的大于等于24.0，请您回答以下问题． 您有计划通过 来控制体重（填写序号，可多选）． ①加强锻炼 ②调整饮食 ③医疗干预 ④其他
员工体重指数（）频数分布表
类别 体重指数（）范围（） 频数 频率
体重过低 14 0.07
体重正常 96 0.48
超重 64 m
肥胖 n 0.13
根据以上信息，回答下列问题：
（1） ， ；
（2）本次调查中，该公司员工体重指数（BMI）的中位数所在范围是 （从上表中的范围中选填）；
（3）试估计该公司1800名员工中，体重指数为超重或肥胖的员工中采取调整饮食来控制体重的人数；
（4）请对该公司员工体重管理情况作出评价，并提出合理化建议．
17．（2025·深圳模拟） 根据素材，完成任务：
创意饰品的制作方案
素材一 某工坊计划制作A，B两款创意饰品，已知A，B两款饰品都需要用到大、小两种珠子，且制作1个A饰品和1个B饰品共需要6颗大珠子和42颗小珠子．制作一个A饰品需要的大小珠子数量比为，制作一个B饰品需要的大小珠子数量比为．
素材二 已知大珠子的售价是小珠子的2倍，该工坊花费320元购得大珠子的数量比花200元购得小珠子的数量少80颗．
素材三 该工坊有600元预算，欲采购若干大小珠子，全部用来制作A，B饰品（材料无剩余，且经费刚好用完）．
问题解决
任务一 求制作一个A，B创意饰品分别需要大小珠子各多少颗；
任务二 求大小珠子的单价；
任务三 若A，B两款饰品都需要制作，且A饰品的数量最多，请设计满足需求的制作方案．
18．（2025·深圳模拟） 如图，内接于，是的直径，与交于点E，于点F，且平分．
（1）求证：；
（2）若，垂足为G，且，请补全图形，并求出的长．
19．（2025·深圳模拟） 体育课上小林同学（抽象为一点）进行蛙跳训练，每一个完整的动作路线都可以近似地看作是抛物线的一部分．如图①是小林连续两次蛙跳的运动示意图，规定小林距离地面的竖直高度为y（m），距离起跳点的水平距离为x（m），建立如图所示的平面直角坐标系．第一个蛙跳的起跳点为原点，并在点处达到最高点，在点A处落地，落地后立即起跳进行下一个蛙跳，路线为抛物线，其开口大小和方向均与第一个蛙跳的路线抛物线相同．
（1）求小林第一个蛙跳的路线抛物线的函数解析式；
（2）若小林第二个蛙跳从时开始总处于下降状态；
①求k的值；
②在处，有一根长0.12m的海绵条垂直放置在地面，则小林在第二跳中是否会触碰到海绵条？说明理由．
（3）如图②，为提高训练效果，老师指导小林在可调节坡度的斜坡（近似看作直线）上进行训练，P为斜坡与的交点，在点Q处设置可调节支撑杆，且轴．当，且抛物线与抛物线的顶点的纵坐标恰好相等时，直接写出h的取值范围．
20．（2025·深圳模拟） 定义：如果四边形的某条对角线平分一组对角，那么这个四边形叫做“等分对角四边形”，这条对角线叫做这个四边形的“等分线”．
（1）如图①，在四边形中，，，试判断四边形的否为“等分对角四边形”，并说明理由；
（2）如图②，四边形是“等分对角四边形”，是“等分线”，，交于点O，E是下方一点，且，延长交于点F，猜想与的数量关系，并说明理由；
（3）如图③，在（2）的条件下，连接，若四边形是“等分对角四边形”，是“等分线”，当四边形的一组对边平行时，记的面积为，四边形面积为，求的值．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】有理数在数轴上的表示；绝对值的概念与意义
【解析】【解答】解：点A表示的数是-3，而|-3|=3.
故答案为：C.
【分析】直接由A表示的数求出绝对值即可.
2．【答案】C
【知识点】轴对称图形；中心对称图形
【解析】【解答】解：A选项，既不是轴对称也不是中心对称图形，故A不符合题意；
B选项，既不是轴对称也不是中心对称图形，故B不符合题意；
C选项，是轴对称也是中心对称图形，故C符合题意；
D选项，是轴对称图形，但不是中心对称图形，故D不符合题意；
故答案为：C.
【分析】直接观察各图并结合中心对称图形绕一点旋转180°与原图形重合和轴对称图形沿某直线折叠与的性质判断即可.
3．【答案】B
【知识点】简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：由题意小东从十二生肖邮票中抽一张有12种可能性，而选中蛇的情况有1种，故概率P= .
故答案为：B.
【分析】直接根据总数与抽中蛇的数量，可得概率.
4．【答案】C
【知识点】整式的加减运算；同底数幂的乘法；整式的混合运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A选项，，故A错误；
B选项，，故B错误；
C选项， ，故C正确；
D选项，，故D错误.
故答案为：C.
【分析】分别根据同底数幂的乘法、乘方、合并同类项、平方差公式判断各选项即可得结果.
5．【答案】A
【知识点】尺规作图-平行线
【解析】【解答】解：由作图痕迹知甲过点P作与∠PAB相等的角，有∠CPA=135°；
而乙画了菱形，由菱形的性质知∠CPA=180°-∠PAB=180°-45°=135°
故甲、乙均正确.
故答案为：A.
【分析】由作图痕迹知甲画了45°度知∠CPA=135°，而乙作了菱形，知∠CPA=135°，故甲乙都正确.
6．【答案】A
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：由题意知每个榫眼需要耗费木材为x-0.5千克， 30千克木材制作榫头的数量为， 25千克木材制作榫眼的数量为，于是可列方程.
故答案为：A.
【分析】由题意分别表示 榫头和 榫眼的数量、，即可列出方程.
7．【答案】B
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解：如图，过点B作BE⊥CD于点E，过点A作AF⊥BE于点F，
在△BCE中，cos30°=，即有CE=BCcos30°=15cm.
在△ABF中，sin30°=，即得AF=8cm，
故点A到桌面的距离d=AF+CE+CD=12.975+8+20=40.975cm≈41cm
故答案为：B.
【分析】作BE⊥CD，AF⊥BE，构造直角三角形，利用特殊角的正弦余弦值，求出AF和CE的长度，即可得A到桌面的距离.
8．【答案】B
【知识点】圆内接四边形的性质；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：过点D作DF⊥BC于点F
∵D为劣弧AC的中点
∴DA=DC，∠DBA=∠DBC
∵DE⊥BA，DF⊥BC
∴DE=DF
在Rt△ADE和Rt△CDF中
∴△ADE≌△CDF(HL)
∴CF=AE
在Rt△BDF和Rt△BDE中
∴△BDF≌△BDE
∴BF=BE
∵BE=4AE=4
∴AE=1，BF=4
∴BC=BF+CF=5
故圆的半径为
故答案为：B.
【分析】作DF⊥BC于点F，由D为中点知线段关系DA=DC和角度关系∠DBE=∠DBC，证明两组全等三角形可得BC的长，即可得半径.
9．【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】
故答案为： ．
【分析】先提取公因式，再利用平方差公式即可求解．
10．【答案】
【知识点】两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：如图
由平行线的性质知∠4=∠3
又∠4=∠1+∠2
故∠2=∠4-∠1=56°-20°=36°
即°2=36°
故答案为：36°.
【分析】结合平行线的性质和三角形外角的性质可得∠2的度数.
11．【答案】
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：
由①，x-3<1得x<4，
由②3x-x≥-6+2，2x≥-4，得x≥-2
故-2≤x<4.
故答案为：
【分析】分别解两个不等式即可得不等式解集.
12．【答案】-12
【知识点】反比例函数图象上点的坐标特征；三角形全等的判定-AAS；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：连接OC，过点A作AE⊥x轴于点E，作CD⊥x轴于点D
∵O为AB的中点，△ABC为等腰直角三角形
∴CO⊥AB，CO=AO
∴∠AOE+∠COD=90°，∠AOE+∠OAE=90°
∴∠COD=∠OAE
∴△AOE≌△OCD
∴OE=CD，AE=OD
∵C(m，n)
∴A(-n，m)
点A在反比例函数图象上，故-mn=12，得mn=-12
故答案为：-12.
【分析】连接OC，过点A、C作x轴的垂线，结合等腰直角三角形的性质知△AOE≌△OCD，由此可得点A的坐标，即可得mn的值.
13．【答案】
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：设CD与AE的交点为H，连接BH，
设AC=3，则BC=4
由旋转知△ABC≌△EBD
∴∠ABC=∠EBD
∴∠ABC+∠ABD=∠EBD+∠ABD即∠CBD=∠ABE
又∵BC=BD，BA=BE
∴∠BAE=∠BEA=∠BCD=∠BDC
∴CD||BE，BC||AE
∴BCHE为平行四边形
∴EH=BC=4
∵BD=HE
∴∠HEB=∠DBE
∴BG=EG
∴BD-BG=HE-EG
∴GH=GD
又∵BGH=EGD
∴△BGH≌△EGD
∴∠BHG=∠EDG=90°
∴ACBH为矩形
∴AH=BC=4
设GH=m，则BG=EG=4-m
由勾股定理得，解得m=
于是EG=4-=，AG=AH+GH=4+=
故
故答案为：.
【分析】连接BH由折叠的性质知BCHE为平行四边形，ACBH为矩形，利用勾股定理求出GH的长，即可得比值.
14．【答案】解：原式=2--2+1+2
=2--+1+2
=3
【知识点】零指数幂；求特殊角的三角函数值；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】依次去绝对值，求出特殊角正弦值、零次幂，化简二次根式，再合并即可得结果.
15．【答案】解：原式=()
=
=
代入得：原式=
【知识点】分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】通分后再计算分式乘法，化简得结果，再将a的值代入即可.
16．【答案】（1）0.32；26
（2）
（3）解：由统计表知超重与肥胖的员人为64+26=90人，所占比例为
1800人
人
（4）解： 近50%的人体重正常，45%的人超重
【知识点】统计表；条形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】(1)由题意知超重人数为64人，总人数为140.07=200人，故m=
n=2000.13=26人；
故答案为：0.32；26.
(2)题意知体重过低与体重正常的人数之和为110人，故中位数在；
故答案为：
【分析】(1)根据统计表中数据得总人数为200人，通过频数与频率的关系可得m、n的值；
(2)直接从统计表中观察即可得结论；
(3)通过调查中的超重和肥胖的比例即可估算此公司需控制体重的人数；
(4)直接根据BMI的人数提出建议即可.
17．【答案】解：任务一：设A饰品需要大珠子数量为a，则小珠子为6a，制作B饰品需要大珠子b，小珠子8b，则由题意得，解得
所以制作一个A饰品需要的大珠子数量为3，小珠子数量为18，制作一个B饰品需要的大珠子数量为3，小珠子数量为24；
任务二：设小珠子价格为x元，则大珠子价格为2x元，由题意得
解得x=0.5，经检验x=0.5为方程的解.
故小珠子的售价是元，则大珠子的售价是1元；
任务三：设600购买的珠子刚好可制作A饰品m个，B饰品n个，由题意得
(3m+3n)+0.5(18m+24n)=600整理得，当n=4时，m取最大值45，
故采购大珠子147颗，小珠子906颗，制作A两款饰品45个，B两款饰品4个
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题；分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】任务1：设A、B两款饰品需要的小珠子数量分别为a、b，由题意列出二元一次方程组，求解方程组即可；
任务2：设小珠子价格为x，则大珠子价格为2x，由题意列出分式方程，求解方程即可得价格；
任务3：设A、B两款饰品分别制作m、n个，由题意列出不定方程，得m、n的数量关系，即可得m的最大值.
18．【答案】（1）证明：连接CD
∵BD为直径
∴∠BCD=90°
∴∠CBE+∠BDC=90°，
∵AC平分∠BAF
∴∠ABC=∠CAF
又∵∠BAC=∠BDC
∴∠BDC=∠CAF
∵AF⊥BD
∴∠AEF+∠CAF=90°
∴∠AEF=∠CBD
∵∠AEF=∠BEC
∴∠CBE=∠BEC
∴BC=CE
（2）解：连接AD
如图，GE=OG+OE=1+1=2，
由(1)知BC=CE，而CG⊥BE，得BG=GE=2，故OB=BG+OB=2+1=3，得BD=2OB=6
OD=3，DE=OD-OE=3-1=2
∵∠CAD=∠CBD，∠AEF=∠CBE
∴∠AEF=∠CAD
AD=DE=2
在△ABD中，由勾股定理得AB=
即
【知识点】勾股定理；圆周角定理的推论
【解析】【分析】(1)连接CD，知∠BAC=∠BDC，再结合角平分线概念和互余关系可得∠CBE=∠BEC，即可得证；
(2)由等腰三角形的性质知BG=2，结合角度关系可得AD=DE，利用勾股定理即可得AB的长.
19．【答案】（1）解：由题意知抛物线的顶点为(1，0.4)，且过原点(0，0)
设解析式为，将(0，0)代入得
a+0.4=0，得a=-0.4
故抛物线的解析式为
（2）解：①由(1)，令y=0，则x=0或x=2，即知A(2，0)
由题意知中a=-0.4且过点(2，0)
得，将(2，0)代入得
同时x>2.6时总处于下降状态，故h=2.6，代入上式得
解得；
②L2：，令x=3，则y==0.08<0.12
故小林会碰到海绵条
（3）解：由题意知L2的顶点坐标为(h，0.4)，故
当m=时，联立解得或(舍去)，故点P()
将点P代入L2解析式得解得h=1(舍)或h=
当m=时，联立解得或(舍去)，故点P()
将点P代入L2解析式得解得h=1(舍)或h=2
故
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；两二次函数的图象共存判断；二次函数的实际应用-行程问题
【解析】【分析】(1)由题意知抛物线的顶点，设顶点式，再代入(0，0)，可得解析式；
(2)两抛物线形状相同，再结合抛物线的顶点和对称轴，即可得k的值；令x=3，求出y值可知是否会碰到海绵条；
(3)分别讨论当m=和m=时的P点坐标，代入L2解析式，即可得h的值，即得h的范围.
20．【答案】（1）解：ABCD是等分对角四边形
证明：连接AC
∵AB=AD，CB=CD，AC=AC
∴△ABC≌△ADC(SSS)
∴∠DAC=∠BAC，∠ACD=∠ACB
∴ABCD为等分对角四边形
（2）结论：CF=EF
证明：∵
∴∠EAC=∠BAD
∵ABCD为等分对角四边形
∴∠DAC=∠BAC
∴∠EAB=∠CAB
∵AB=AD
∴AC=AE
∴CF=EF
（3）解：BFCO为等分对角四边形，BC是等分线，故BO=BF
当AD||CE时，
∵AC=AE
∴AF⊥EC
∵AD||CE
∴∠BAD=∠AFC=90°
∵AB=AD
∴△ABD为等腰直角三角形
∴∠CAF=45°
∴△ACF为等腰直角三角形
∴AC=AF
∵∠OAF=∠CAB
∴△ABC~△AOF
∴，
而
故
当CD||AE时，连接DF并延长交AE延长线于点G，
∵EF=FC，∠CFD=∠EFG，∠DCF=∠FEG
∴△CDF≌△EGF
∴DF=GF
于是
综上所述， 的值为或
【知识点】四边形的综合；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【分析】(1)连接AC，直接可证明△ABC≌△ADC即要得结论；
(2)由相似三角形和等分对角四边形的性质、结合等腰三角形的性质可得EF=CF；
(3)分别讨论AD||CE时，ABD、ACF、AEF都为等腰直角三角形；CD||AE时的面积可得面积等量关系，即可得面积比值.
1 / 1广东省深圳市2025年初中学业水平考试模拟数学试卷
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的）
1．（2025·深圳模拟） 如图，数轴上点A表示的数的绝对值是（ ）
A． B． C．3 D．
【答案】C
【知识点】有理数在数轴上的表示；绝对值的概念与意义
【解析】【解答】解：点A表示的数是-3，而|-3|=3.
故答案为：C.
【分析】直接由A表示的数求出绝对值即可.
2．（2025·深圳模拟） 下列倡导环保的图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】轴对称图形；中心对称图形
【解析】【解答】解：A选项，既不是轴对称也不是中心对称图形，故A不符合题意；
B选项，既不是轴对称也不是中心对称图形，故B不符合题意；
C选项，是轴对称也是中心对称图形，故C符合题意；
D选项，是轴对称图形，但不是中心对称图形，故D不符合题意；
故答案为：C.
【分析】直接观察各图并结合中心对称图形绕一点旋转180°与原图形重合和轴对称图形沿某直线折叠与的性质判断即可.
3．（2025·深圳模拟） 十二地支是中国传统文化中的一个重要概念，与天干共同构成了干支纪年系统，它们也与十二生肖对应，分别是：子（鼠），丑（牛），寅（虎），卯（兔），辰（龙），巳（蛇），午（马），未（羊），申（猴），酉（鸡），戌（狗），亥（猪）．小东购买了一套十二生肖邮票，从中任选一张邮票送给小深，则恰好选中邮票“蛇”的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：由题意小东从十二生肖邮票中抽一张有12种可能性，而选中蛇的情况有1种，故概率P= .
故答案为：B.
【分析】直接根据总数与抽中蛇的数量，可得概率.
4．（2025·深圳模拟） 下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】整式的加减运算；同底数幂的乘法；整式的混合运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A选项，，故A错误；
B选项，，故B错误；
C选项， ，故C正确；
D选项，，故D错误.
故答案为：C.
【分析】分别根据同底数幂的乘法、乘方、合并同类项、平方差公式判断各选项即可得结果.
5．（2025·深圳模拟） 课堂上，老师出示了这样一个问题：如图①，已知，请利用尺规作．如图②是甲、乙两位同学的作法，其中正确的是（ ）
A．甲、乙均正确 B．甲正确，乙错误
C．乙正确，甲错误 D．甲、乙均错误
【答案】A
【知识点】尺规作图-平行线
【解析】【解答】解：由作图痕迹知甲过点P作与∠PAB相等的角，有∠CPA=135°；
而乙画了菱形，由菱形的性质知∠CPA=180°-∠PAB=180°-45°=135°
故甲、乙均正确.
故答案为：A.
【分析】由作图痕迹知甲画了45°度知∠CPA=135°，而乙作了菱形，知∠CPA=135°，故甲乙都正确.
6．（2025·深圳模拟） 在古代建筑中，榫（）卯（）结构至关重要，它通过凸出的榫头和凹进的榫眼精密配合连接，使得建筑物连接牢固且难以松动．工匠们制作一种特定的榫卯组合，每个榫头需要耗费的木材比每个榫眼需要耗费的木材多千克．已知用30千克木材制作榫头的数量与用25千克木材制作榫眼的数量相同．设制作1个榫头需要耗费的木材为x千克，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：由题意知每个榫眼需要耗费木材为x-0.5千克， 30千克木材制作榫头的数量为， 25千克木材制作榫眼的数量为，于是可列方程.
故答案为：A.
【分析】由题意分别表示 榫头和 榫眼的数量、，即可列出方程.
7．（2025·深圳模拟） 如图是某壁挂台灯的侧面示意图，已知台灯底部离桌面距离，支架长，灯长，当支架与墙壁的夹角、灯罩AB与水平面的夹角均为时，阅读时光照效果最佳，此时点A与桌面的距离约为（图中所有点均在同一平面内，参考数据）（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解：如图，过点B作BE⊥CD于点E，过点A作AF⊥BE于点F，
在△BCE中，cos30°=，即有CE=BCcos30°=15cm.
在△ABF中，sin30°=，即得AF=8cm，
故点A到桌面的距离d=AF+CE+CD=12.975+8+20=40.975cm≈41cm
故答案为：B.
【分析】作BE⊥CD，AF⊥BE，构造直角三角形，利用特殊角的正弦余弦值，求出AF和CE的长度，即可得A到桌面的距离.
8．（2025·深圳模拟） 如图，四边形是的内接四边形，是的直径，D为劣弧AC的中点，过点D作的切线DE交BA的延长线于点E，连接BD．若BE=4AE=4，则的半径为（ ）
A．5 B． C．2 D．1
【答案】B
【知识点】圆内接四边形的性质；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：过点D作DF⊥BC于点F
∵D为劣弧AC的中点
∴DA=DC，∠DBA=∠DBC
∵DE⊥BA，DF⊥BC
∴DE=DF
在Rt△ADE和Rt△CDF中
∴△ADE≌△CDF(HL)
∴CF=AE
在Rt△BDF和Rt△BDE中
∴△BDF≌△BDE
∴BF=BE
∵BE=4AE=4
∴AE=1，BF=4
∴BC=BF+CF=5
故圆的半径为
故答案为：B.
【分析】作DF⊥BC于点F，由D为中点知线段关系DA=DC和角度关系∠DBE=∠DBC，证明两组全等三角形可得BC的长，即可得半径.
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
9．（2025·深圳模拟）分解因式 ．
【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】
故答案为： ．
【分析】先提取公因式，再利用平方差公式即可求解．
10．（2025·深圳模拟） 如图，光源位于焦点处，光线经反光镜反射后平行地面射出，已知，，则的度数为 ．
【答案】
【知识点】两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：如图
由平行线的性质知∠4=∠3
又∠4=∠1+∠2
故∠2=∠4-∠1=56°-20°=36°
即°2=36°
故答案为：36°.
【分析】结合平行线的性质和三角形外角的性质可得∠2的度数.
11．（2025·深圳模拟） 不等式组的解集为 ．
【答案】
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：
由①，x-3<1得x<4，
由②3x-x≥-6+2，2x≥-4，得x≥-2
故-2≤x<4.
故答案为：
【分析】分别解两个不等式即可得不等式解集.
12．（2025·深圳模拟） 如图，A是反比例函数的图象上的一个动点，作点A关于原点的对称点B，以为斜边作等腰直角三角形，若点C的坐标为，则 ．
【答案】-12
【知识点】反比例函数图象上点的坐标特征；三角形全等的判定-AAS；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：连接OC，过点A作AE⊥x轴于点E，作CD⊥x轴于点D
∵O为AB的中点，△ABC为等腰直角三角形
∴CO⊥AB，CO=AO
∴∠AOE+∠COD=90°，∠AOE+∠OAE=90°
∴∠COD=∠OAE
∴△AOE≌△OCD
∴OE=CD，AE=OD
∵C(m，n)
∴A(-n，m)
点A在反比例函数图象上，故-mn=12，得mn=-12
故答案为：-12.
【分析】连接OC，过点A、C作x轴的垂线，结合等腰直角三角形的性质知△AOE≌△OCD，由此可得点A的坐标，即可得mn的值.
13．（2025·深圳模拟） 如图，在中，，，将绕着点B逆时针旋转得到，连接交于点F，连接交于点G；若F为的中点，则 ．
【答案】
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：设CD与AE的交点为H，连接BH，
设AC=3，则BC=4
由旋转知△ABC≌△EBD
∴∠ABC=∠EBD
∴∠ABC+∠ABD=∠EBD+∠ABD即∠CBD=∠ABE
又∵BC=BD，BA=BE
∴∠BAE=∠BEA=∠BCD=∠BDC
∴CD||BE，BC||AE
∴BCHE为平行四边形
∴EH=BC=4
∵BD=HE
∴∠HEB=∠DBE
∴BG=EG
∴BD-BG=HE-EG
∴GH=GD
又∵BGH=EGD
∴△BGH≌△EGD
∴∠BHG=∠EDG=90°
∴ACBH为矩形
∴AH=BC=4
设GH=m，则BG=EG=4-m
由勾股定理得，解得m=
于是EG=4-=，AG=AH+GH=4+=
故
故答案为：.
【分析】连接BH由折叠的性质知BCHE为平行四边形，ACBH为矩形，利用勾股定理求出GH的长，即可得比值.
三、解答题（本题共7小题，其中第14题5分，第15题7分，第16题8分，第17题8分，第18题9分，第19题12分，第20题12分，共61分）
14．（2025·深圳模拟） 计算：．
【答案】解：原式=2--2+1+2
=2--+1+2
=3
【知识点】零指数幂；求特殊角的三角函数值；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】依次去绝对值，求出特殊角正弦值、零次幂，化简二次根式，再合并即可得结果.
15．（2025·深圳模拟）先化简，再求值：，其中．
【答案】解：原式=()
=
=
代入得：原式=
【知识点】分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】通分后再计算分式乘法，化简得结果，再将a的值代入即可.
16．（2025·深圳模拟） 为落实健康中国和健康广东行动，进一步倡导和推进文明健康生活方式，有效遏制超重和肥胖上升趋势，广东省卫生健康委员会等16部门联合制定了《广东省“体重管理年”活动实施方案》，力争通过三年左右时间，建立完善有助于促进体重管理的支持性环境，增强专业技术支撑能力和服务水平，提升居民体重管理意识和相关技能，普及健康生活方式，营造全民参与、人人受益的体重管理良好局面，改善部分人群体重异常状况．
某单位为了解员工的体重管理情况，对员工进行不记名调查问卷，并将结果绘制成如图所示的统计图（表）．
员工健康情况的调查问卷 亲爱的员工，为给大家提供更贴心的健康支持，现开展匿名健康情况调查，期待您的积极参与！ （1）您的身高是 ，体重是 ．请根据公式体重（）÷身高计算您的为 （结果保留1位小数）； （2）如果您的大于等于24.0，请您回答以下问题． 您有计划通过 来控制体重（填写序号，可多选）． ①加强锻炼 ②调整饮食 ③医疗干预 ④其他
员工体重指数（）频数分布表
类别 体重指数（）范围（） 频数 频率
体重过低 14 0.07
体重正常 96 0.48
超重 64 m
肥胖 n 0.13
根据以上信息，回答下列问题：
（1） ， ；
（2）本次调查中，该公司员工体重指数（BMI）的中位数所在范围是 （从上表中的范围中选填）；
（3）试估计该公司1800名员工中，体重指数为超重或肥胖的员工中采取调整饮食来控制体重的人数；
（4）请对该公司员工体重管理情况作出评价，并提出合理化建议．
【答案】（1）0.32；26
（2）
（3）解：由统计表知超重与肥胖的员人为64+26=90人，所占比例为
1800人
人
（4）解： 近50%的人体重正常，45%的人超重
【知识点】统计表；条形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】(1)由题意知超重人数为64人，总人数为140.07=200人，故m=
n=2000.13=26人；
故答案为：0.32；26.
(2)题意知体重过低与体重正常的人数之和为110人，故中位数在；
故答案为：
【分析】(1)根据统计表中数据得总人数为200人，通过频数与频率的关系可得m、n的值；
(2)直接从统计表中观察即可得结论；
(3)通过调查中的超重和肥胖的比例即可估算此公司需控制体重的人数；
(4)直接根据BMI的人数提出建议即可.
17．（2025·深圳模拟） 根据素材，完成任务：
创意饰品的制作方案
素材一 某工坊计划制作A，B两款创意饰品，已知A，B两款饰品都需要用到大、小两种珠子，且制作1个A饰品和1个B饰品共需要6颗大珠子和42颗小珠子．制作一个A饰品需要的大小珠子数量比为，制作一个B饰品需要的大小珠子数量比为．
素材二 已知大珠子的售价是小珠子的2倍，该工坊花费320元购得大珠子的数量比花200元购得小珠子的数量少80颗．
素材三 该工坊有600元预算，欲采购若干大小珠子，全部用来制作A，B饰品（材料无剩余，且经费刚好用完）．
问题解决
任务一 求制作一个A，B创意饰品分别需要大小珠子各多少颗；
任务二 求大小珠子的单价；
任务三 若A，B两款饰品都需要制作，且A饰品的数量最多，请设计满足需求的制作方案．
【答案】解：任务一：设A饰品需要大珠子数量为a，则小珠子为6a，制作B饰品需要大珠子b，小珠子8b，则由题意得，解得
所以制作一个A饰品需要的大珠子数量为3，小珠子数量为18，制作一个B饰品需要的大珠子数量为3，小珠子数量为24；
任务二：设小珠子价格为x元，则大珠子价格为2x元，由题意得
解得x=0.5，经检验x=0.5为方程的解.
故小珠子的售价是元，则大珠子的售价是1元；
任务三：设600购买的珠子刚好可制作A饰品m个，B饰品n个，由题意得
(3m+3n)+0.5(18m+24n)=600整理得，当n=4时，m取最大值45，
故采购大珠子147颗，小珠子906颗，制作A两款饰品45个，B两款饰品4个
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题；分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】任务1：设A、B两款饰品需要的小珠子数量分别为a、b，由题意列出二元一次方程组，求解方程组即可；
任务2：设小珠子价格为x，则大珠子价格为2x，由题意列出分式方程，求解方程即可得价格；
任务3：设A、B两款饰品分别制作m、n个，由题意列出不定方程，得m、n的数量关系，即可得m的最大值.
18．（2025·深圳模拟） 如图，内接于，是的直径，与交于点E，于点F，且平分．
（1）求证：；
（2）若，垂足为G，且，请补全图形，并求出的长．
【答案】（1）证明：连接CD
∵BD为直径
∴∠BCD=90°
∴∠CBE+∠BDC=90°，
∵AC平分∠BAF
∴∠ABC=∠CAF
又∵∠BAC=∠BDC
∴∠BDC=∠CAF
∵AF⊥BD
∴∠AEF+∠CAF=90°
∴∠AEF=∠CBD
∵∠AEF=∠BEC
∴∠CBE=∠BEC
∴BC=CE
（2）解：连接AD
如图，GE=OG+OE=1+1=2，
由(1)知BC=CE，而CG⊥BE，得BG=GE=2，故OB=BG+OB=2+1=3，得BD=2OB=6
OD=3，DE=OD-OE=3-1=2
∵∠CAD=∠CBD，∠AEF=∠CBE
∴∠AEF=∠CAD
AD=DE=2
在△ABD中，由勾股定理得AB=
即
【知识点】勾股定理；圆周角定理的推论
【解析】【分析】(1)连接CD，知∠BAC=∠BDC，再结合角平分线概念和互余关系可得∠CBE=∠BEC，即可得证；
(2)由等腰三角形的性质知BG=2，结合角度关系可得AD=DE，利用勾股定理即可得AB的长.
19．（2025·深圳模拟） 体育课上小林同学（抽象为一点）进行蛙跳训练，每一个完整的动作路线都可以近似地看作是抛物线的一部分．如图①是小林连续两次蛙跳的运动示意图，规定小林距离地面的竖直高度为y（m），距离起跳点的水平距离为x（m），建立如图所示的平面直角坐标系．第一个蛙跳的起跳点为原点，并在点处达到最高点，在点A处落地，落地后立即起跳进行下一个蛙跳，路线为抛物线，其开口大小和方向均与第一个蛙跳的路线抛物线相同．
（1）求小林第一个蛙跳的路线抛物线的函数解析式；
（2）若小林第二个蛙跳从时开始总处于下降状态；
①求k的值；
②在处，有一根长0.12m的海绵条垂直放置在地面，则小林在第二跳中是否会触碰到海绵条？说明理由．
（3）如图②，为提高训练效果，老师指导小林在可调节坡度的斜坡（近似看作直线）上进行训练，P为斜坡与的交点，在点Q处设置可调节支撑杆，且轴．当，且抛物线与抛物线的顶点的纵坐标恰好相等时，直接写出h的取值范围．
【答案】（1）解：由题意知抛物线的顶点为(1，0.4)，且过原点(0，0)
设解析式为，将(0，0)代入得
a+0.4=0，得a=-0.4
故抛物线的解析式为
（2）解：①由(1)，令y=0，则x=0或x=2，即知A(2，0)
由题意知中a=-0.4且过点(2，0)
得，将(2，0)代入得
同时x>2.6时总处于下降状态，故h=2.6，代入上式得
解得；
②L2：，令x=3，则y==0.08<0.12
故小林会碰到海绵条
（3）解：由题意知L2的顶点坐标为(h，0.4)，故
当m=时，联立解得或(舍去)，故点P()
将点P代入L2解析式得解得h=1(舍)或h=
当m=时，联立解得或(舍去)，故点P()
将点P代入L2解析式得解得h=1(舍)或h=2
故
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；两二次函数的图象共存判断；二次函数的实际应用-行程问题
【解析】【分析】(1)由题意知抛物线的顶点，设顶点式，再代入(0，0)，可得解析式；
(2)两抛物线形状相同，再结合抛物线的顶点和对称轴，即可得k的值；令x=3，求出y值可知是否会碰到海绵条；
(3)分别讨论当m=和m=时的P点坐标，代入L2解析式，即可得h的值，即得h的范围.
20．（2025·深圳模拟） 定义：如果四边形的某条对角线平分一组对角，那么这个四边形叫做“等分对角四边形”，这条对角线叫做这个四边形的“等分线”．
（1）如图①，在四边形中，，，试判断四边形的否为“等分对角四边形”，并说明理由；
（2）如图②，四边形是“等分对角四边形”，是“等分线”，，交于点O，E是下方一点，且，延长交于点F，猜想与的数量关系，并说明理由；
（3）如图③，在（2）的条件下，连接，若四边形是“等分对角四边形”，是“等分线”，当四边形的一组对边平行时，记的面积为，四边形面积为，求的值．
【答案】（1）解：ABCD是等分对角四边形
证明：连接AC
∵AB=AD，CB=CD，AC=AC
∴△ABC≌△ADC(SSS)
∴∠DAC=∠BAC，∠ACD=∠ACB
∴ABCD为等分对角四边形
（2）结论：CF=EF
证明：∵
∴∠EAC=∠BAD
∵ABCD为等分对角四边形
∴∠DAC=∠BAC
∴∠EAB=∠CAB
∵AB=AD
∴AC=AE
∴CF=EF
（3）解：BFCO为等分对角四边形，BC是等分线，故BO=BF
当AD||CE时，
∵AC=AE
∴AF⊥EC
∵AD||CE
∴∠BAD=∠AFC=90°
∵AB=AD
∴△ABD为等腰直角三角形
∴∠CAF=45°
∴△ACF为等腰直角三角形
∴AC=AF
∵∠OAF=∠CAB
∴△ABC~△AOF
∴，
而
故
当CD||AE时，连接DF并延长交AE延长线于点G，
∵EF=FC，∠CFD=∠EFG，∠DCF=∠FEG
∴△CDF≌△EGF
∴DF=GF
于是
综上所述， 的值为或
【知识点】四边形的综合；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【分析】(1)连接AC，直接可证明△ABC≌△ADC即要得结论；
(2)由相似三角形和等分对角四边形的性质、结合等腰三角形的性质可得EF=CF；
(3)分别讨论AD||CE时，ABD、ACF、AEF都为等腰直角三角形；CD||AE时的面积可得面积等量关系，即可得面积比值.
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