第5节 探究弹性势能的表达式备课参考
理解领悟
探究是通过自己的探索活动，变未知为已知的学习过程。探究的目的是开发创造潜能，启发思维，使自己参与到教与学的活动中去。在自己思考的前提下，设计自己的探究方案，这个方案可以包含实验，也可以不包含实验。本节“探究弹性势能的表达式”就是一个不包含实验的探究。
什么是弹性势能？
发生弹性形变的物体的各部分之间，由于有弹力的相互作用，也具有势能，这种势能叫做弹性势能。可见，物体具有弹性势能的条件是发生了弹性形变。卷紧的发条、拉长或压缩的弹簧、拉开的弓、正在击球的网球拍、撑杆运动员手中弯曲的杆，等等，都发生了弹性形变，都具有弹性势能。
研究弹性势能的出发点
弹性势能与重力势能都是物体凭借其位置而具有的能。在讨论重力势能的时候，我们从重力做功的分析入手。同样，在讨论弹性势能的时候，则要从弹力做功的分析入手。弹力做功应是我们研究弹性势能的出发点。
弹性势能表达式中相关物理量的猜测
弹性势能的表达式可能与哪些物理量有关呢？
①?可能与弹簧被拉伸（或压缩）的长度有关。这是因为，与重力势能相类比，重力势能与物体被举起（或下降）的高度有关，所以弹性势能很可能与弹簧被拉伸（或压缩）的长度有关。重力势能与高度成正比，但是弹性势能与弹簧被拉伸（或压缩）的长度则不一定成正比，在地球表面附近可认为重力不随高度变化，而弹力在弹簧形变过程中则是变力。
②?可能与弹簧的劲度系数有关。这是因为，不同弹簧的“软硬”程度不同，即劲度系数不同，使弹簧发生相同长度的形变所需做的功也不相同。
弹性势能与拉力做功的关系
当弹簧的长度为原长时，我们设它的弹性势能为0，弹簧被拉长或缩短后就具有了弹性势能。我们研究弹簧被拉长的情况，那么弹簧的弹性势能应该与拉力所做的功相等。可见，研究弹性势能的表达式，只需研究拉力做功的表达式。
如何计算拉力所做的功？
在拉伸弹簧的过程中，拉力是随弹簧的形变量的变化而变化的，拉力还因弹簧的不同而不同。因此，拉力做功不能直接用功的公式W=Flcosα。那么，如何求出拉力的功呢？与研究匀变速直线运动的位移方法类似，就是将弹簧的形变过程分成很多小段，每一小段中近似认为拉力是不变的。所以，每一小段的功分别为
?W1=F1△l1，W2=F2△l2，W3=F3△l3，……
拉力在整个过程中所做的功为
?W=W1+W2+W3+……=F1△l1+ F2△l2+ F3△l3+……
如何计算求和式？
要直接计算上述各小段功的求和式是较困难的。与匀变速直线运动中利用v—?t图象求位移x相似，我们可以画出F—?l，如图1所示。每段拉力的功就可用图中细窄的矩形面积表示，对这些矩形面积求和，就得到了由F和?l围成的三角形的面积，这块三角形面积就表示拉力在整个过程中所做的功。
弹力做功与弹性势能变化的关系
弹力做功与弹性势能变化的关系，跟重力做功与重力势能变化的关系及其相似。重力做正功，重力势能减少；重力做负功（物体克服重力做功），重力势能增加。同样，弹力做正功，弹性势能减少；弹力做负功（物体克服弹力做功），弹性势能增加。
弹性势能也具有相对性
在本节的“说一说”栏目中，提出了“能不能规定弹簧某一任意长度时的势能为0势能”的问题。这个问题可与重力势能参考平面的选取相比较。如果我们规定了弹簧某一任意长度时的势能为0势能，在弹簧从0势能位置拉至某一位置的过程中，拉力所做的功就等于弹簧处于该位置的弹性势能。显然，这与规定自然长度为0势能时，从从0势能位置拉至该位置的功是不同的。所以，弹簧在某一位置时的弹性势能是与0势能位置的规定有关的，弹性势能也具有相对性。
典型例题解析
本节课的应用主要涉及对弹性势能概念的理解，以及对弹性势能表达式探究过程的分析和研究方法的迁移。作为“发展级”的应用，也涉及弹性势能表达式的计算。
例1 关于弹性势能，下列说法中正确的是（ ）
A. 任何发生弹性形变的物体，都具有弹性势能
B. 任何具有弹性势能的物体，一定发生了弹性形变
C. 物体只要发生形变，就一定具有弹性势能
D. 弹簧的弹性势能只跟弹簧被拉伸或压缩的长度有关
提示 由弹性势能的定义和相关因素进行判断。
解析 发生弹性形变的物体的各部分之间，由于弹力作用而具有的势能，叫做弹性势能。所以，任何发生弹性形变的物体都具有弹性势能，任何具有弹性势能的物体一定发生了弹性形变。物体发生了形变，若是非弹性形变，无弹力作用，则物体就不具有弹性势能。弹簧的弹性势能除了跟弹簧被拉伸或压缩的长度有关外，还跟弹簧劲度系数的大小有关。正确选项为A、B。
点悟 发生形变的物体不一定具有弹性势能，只有发生弹性形变的物体才具有弹性势能。对此，必须有清醒的认识。
例2 在本节课的探究活动中，我们多次采用了类比的研究方法，试举例说明。
提示 认真阅读课本，再给出解答。
解析 在本节课的探究活动中，采用类比研究方法的地方主要有：
①?研究弹性势能的出发点，将重力势能与弹性势能类比。讨论重力势能从分析重力做功入手，讨论弹性势能则从分析弹力做功入手。
②?弹性势能表达式中相关物理量的猜测，将重力势能与弹性势能、重力与弹力类比。重力势能与物体被举起的高度有关，所以弹性势能很可能与弹簧被拉伸的长度有关。弹力与重力的变化规律不一样，弹性势能与重力势能的表达式很可能也不一样。
③?计算拉力所做的功，与计算匀变速直线运动的位移类比。计算匀变速直线运动的位移时，将位移分成很多小段，每一小段的速度可近似认为相等，物体在整个过程中的位移等于各小段位移之和。计算拉力所做的功，可将弹簧的形变过程分成很多小段，每一小段的拉力可近似认为是不变的，拉力在整个过程中的功等于各小段功之和。
④?计算各小段功的求和式，将由v—?t图象求位移与由F—l图象求功类比。v—?t图象下的相关面积表示位移，F—l图象下的相关面积则表示功。
点悟 类比，就是将同类型的事物或问题进行对比，从中找出规律性的东西。类比的方法，是物理学中一种重要的研究方法。
例3 教材中说：“在探究弹性势能的表达式时，可以参考对重力势能的讨论。”当物体处于参考平面时，重力势能为0；在参考平面上方，重力势能为正；在参考平面下方，重力势能为负。当弹簧的长度为原长时，弹簧的弹性势能为0；弹簧拉伸时，弹性势能为正；那么，弹簧压缩时弹性势能也为负值吗？为什么？
提示 注意弹力做功与重力做功的差异。
解析 弹力做功与重力做功有所不同。当物体从参考平面向下运动时，重力做正功，重力势能减少。所以，在参考平面下方，重力势能为负。若规定弹簧的长度为原长时，弹簧的弹性势能为0，当弹簧压缩时弹力并不是做正功而是做负功，弹性势能并不是减少而是增加。所以，弹簧压缩时弹性势能不是负值而是正值。
点悟 类比是一种常用的科学研究方法。但是，类比不是机械地等同。在运用类比方法时，既要注意相关事物或问题间的共同点，也要注意它们的差异，注意研究事物或问题本身的特点。
例4 弹簧原长为l0，劲度系数为k。用力把它拉到伸长量为l，拉力所做的功为W1；继续拉弹簧，使弹簧在弹性限度内再伸长l，拉力在继续拉伸的过程中所做的功为W2。试求W1与W2的比值。
?提示 利用F—l图象分析。
解析 拉力F与弹簧的伸长量l成正比，故在F—l图象中是一条倾斜直线，如图2所示，直线下的相关面积表示功的大小。其中，线段OA下的三角形面积表示第一个过程中拉力所做的功W1，线段AB下的梯形面积表示第二个过程中拉力所做的功W2。显然，两块面积之比为1︰3，即W1︰W2=1︰3。
点悟 上述解法采用了教材探究弹性势能表达式的研究方法，即应用F—l图象直观地进行分析。若记得弹性势能的表达式，也可由弹性势能的表达式进行计算。由于拉力做功增加了弹簧的弹性势能，故有
?，。
所以，W1与W2的比值 ?W1︰W2=︰=1︰3。
例5 如图3所示，劲度系数为k的轻质弹簧一端固定，另一端与物块拴接，物块放在光滑水平面上。现用外力缓慢拉动物块，若外力所做的功为W，则物块移动了多大的距离？
提示 外力所做的功等于弹簧弹性势能的增加。
解析 若以Ep表示弹簧最终的弹性势能，则外力所做的功
?。
所以，弹簧的伸长量亦即物块移动的距离。
点悟 教材附注指出：“学习这节时，要着重体会探究的过程和所用的方法，不要求掌握探究的结论，更不要求用弹性势能的表达式解题。”这里涉及弹性势能表达式的应用问题，只是作为“发展级”要求提出的，仅供学有余力的同学参考。
例6 如图3所示，质量为m物体静止在地面上，物体上面连着一个直立的轻质弹簧，弹簧的劲度系数为k。现用手拉住弹簧上端，使弹簧上端缓慢提升高度h，此时物体已经离开地面，求拉力所做的功。
提示 从拉力做功的效果出发进行分析。
解析 拉力做功，增加了物体的重力势能和弹簧的弹性势能。
物体离开地面后，弹簧的伸长量为
??。
可见，物体上升的高度为 ?。
从而，物体重力势能的增加量为
?。
弹簧的弹性势能为
?。
所以，拉力所做的功为
?。
点悟 在上提的整个过程中，拉力F是个变力，因此求拉力的功不能直接用功的公式W=Flcosα进行计算。本题的求解提供了计算变力功的另一种思路，即从做功的效果出发进行分析，或者说从功与能的关系出发进行分析。
巩固练习
1. 关于弹性势能，以下说法中正确的是（ ）
A. 发生弹性形变的物体一定具有弹性势能
B. 发生弹性形变的物体不一定具有弹性势能
C. 发生形变的物体一定具有弹性势能
D. 发生形变的物体不一定具有弹性势能
讨论弹性势能，要从下述问题的分析入手的是（ ）
A. 重力做功 B. 弹力做功 C. 弹簧的劲度系数 D. 弹簧的形变量
弹簧的一端固定，原处于自然长度。现对弹簧的另一端施加一个拉力，关于拉力做功（或弹簧克服拉力做功）与弹性势能变化的关系，以下说法中正确的是（ ）
拉力对弹簧做正功，弹簧的弹性势能增加
拉力对弹簧做正功，弹簧的弹性势能减少
弹簧克服拉力做功。弹簧的弹性势能增加
弹簧克服拉力做功，弹簧的弹性势能减少
4. 弹性势能的表达式可能与哪些物理量有关？并说说你猜测的理由。
用拉力将弹簧拉伸长度l，如何计算拉力所做的功？
如何计算上问中各小段拉力做功的求和式？
7. 如图4所示，劲度系数为k的轻质弹簧一端固定，另一端与物块拴接，物块放在光滑水平面上。现用外力缓慢推动物块，将弹簧压缩了长度l，试用图象法求在此过程中外力所做的功。
8. 两弹簧的劲度系数之比为1︰2，在弹性限度内的形变量之比为2︰1，则它们的弹性势能之比为（ ）
A. 1︰2 ? B. 2︰1 ? C. 1︰4 ? D. 4︰1
9. 如图5所示，轻质弹簧直立在水平地面上，将质量为m的物块轻轻地放在弹簧上，达到稳定状态时弹簧被压缩了l，则此时弹簧具有的弹性势能为多大？
10. 如图6所示，轻质弹簧一端固定，另一端与物块拴接，物块放在光滑水平面上。现用外力缓慢拉动物块，使物块移动了距离l，在此过程中外力所做的功为W，则弹簧的劲度系数为多大？
参考答案
1. AD 2. B 3. AC
4. 参阅本节“理解领悟”3。
5. 参阅本节“理解领悟”5。
6. 参阅本节“理解领悟”6。
7. 外力F与弹簧的压缩量l成正比，故在F—l图象中是一条倾斜直线，如图7所示，直线下的三角形面积表示外力F所做功W的大小，故
?。
多媒体教学设计
导入新课
打开“7.5 探究弹性势能?的表达式.ppt”课件，屏幕切换到第二屏如图:
先给出问题，让学生思考后回答，然后总结给出相应的结论.
把屏幕切换到第三屏，如图：
根据屏幕内容出现的顺序，引导学生分析得出结论，从而得到弹性势能的概念.
演示几个发生弹性形变的物体
让学生们体会发生形变的物体都具有弹性势能，并再举几个例子，如：
a.卷紧的发条
b.被拉伸或压缩的弹簧
c.击球的网球拍
问题：弹性势能的大小与哪些因素有关？弹性势能的表达式应该是怎样的？这节课我们就来探究这些问题.
推进新课
把屏幕切换到第五屏,如图：
先给出猜测的问题让学生思考，然后进行总结得出图中的两个主要因素.
问题：重力做功，重力势能发生变化，重力做功在数值上等于重力势能的变化量.那么，弹力做功与弹性势能的变化之间关系是怎样的？
屏幕切换到第六屏，提出探讨问题.
让学生针对上述问题展开思考，学生代表发言.教师听取学生汇报，点评，解答学生可能提出的问题，并结合下面几屏的内容引导学生分析得出弹性势能的表达式.
先给出解决此问题的一个重要思想——微分思想.
对于上述问题，可以利用类比的方法，如在处理匀变速直线运动的位移时，曾利用v-t图象下梯形的面积来代表位移，如图：
所以，可以利用F-l图象下的面积来代表弹力做的功，从而得到弹性势能的表达式.
如图,
此种方法可以很好地培养学生知识的迁移能力.
屏幕切换到第十屏，展示对弹性势能的强调说明.
实例探究
屏幕切换到第十二屏，给出本节的例题，如图:
先让学生分析回答自己的结论，然后给出参考解答.
然后给出两个练习题让学生加深对知识的理解.
课堂小结
让学生认真总结概括本节内容，并把自己这节课的体会写下来.然后请一个同学到黑板上总结，其他同学在笔记本上总结，最后请同学比较黑板上的小结和自己的小结，看谁的更好，好在什么地方,从而构建他们自己的知识框架.
参考如图
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课件24张PPT。5 探究弹性势能的表达式1．知道探究弹性势能表达式的思路．
2．理解弹性势能的概念，会分析决定弹性势能大小的相关因素．
3．体会探究过程中的猜想、分析和转化的方法．
4．领悟求弹力做功时通过细分过程化变力为恒力的思想方法．一、弹性势能
1．定义：发生 的物体的各部分之间，由于有 的相互作用，也具有势能，这种势能叫做弹性势能．
2．当弹簧的长度为原长时，它的弹性势能为 ，弹簧被 或被 后，就具有了弹性势能．弹性形变弹力零拉长压缩二、决定弹性势能大小相关因素的猜想
1．猜想依据：弹性势能和重力势能同属 ，重力势能大小与物体的 和 有关，弹簧弹力与其 和 有关．
2．猜想结论：弹性势能与弹簧的 和
有关，在弹簧的形变量l 相同时，弹簧的劲度系数k 越大，弹簧的弹性势能 ，在弹簧劲度系数k相同时，弹簧形变量越大，弹簧弹性势能 ．势能重力高度劲度系数形变量劲度系数形变量越大越大三、弹性势能(变化)大小探究
1．弹力做功特点：随弹簧 的变化而变化，还因 的不同而不同．
2．弹力做功与弹性势能的关系
弹力做功与弹性势能的关系同重力做功与重力势能的关系相似．弹力做正功时，弹性势能 ， 的弹性势能等于弹力做的功；弹力做负功时，弹性势能 ， 的弹性势能 克服弹力做的功．形变量劲度系数减少减少增加增加等于3．“化变为恒”求拉力功：W总＝F1Δl1＋F2Δl2＋…＋FnΔln.
4．F-l图象的物理意义
在弹簧弹力与伸长量的关系图象Fl中，图象与l轴所围的图形的 表示弹力做的功．面积?弹性势能与弹力做功的关系
如图7-5-1所示，O为弹簧的原长处
图7-5-1(1)弹力做负功时：如物体由O向A运动(压缩)或者由O向A′运动(伸长)时，弹性势能增大，其他形式的能转化为弹性势能．
(2)弹力做正功时：如物体由A向O运动，或者由A′向O运动时，弹性势能减小，弹性势能转化为其他形式的能．
(3)弹力做功与弹性势能变化的关系为W弹＝－ΔEp.弹性势能表达式的探究
重力做功可用WG＝Gh来计算，而拉力做功不能用W＝FL来计算，其中F为所用的拉力，L为弹簧的伸长量，因为这里的F随L的变化而变化，是一个变力(F＝kL)，但我们可以利用计算匀变速直线运动位移的方法相类比地解决(无限分割、逐渐逼近的方法)弹力做功问题．图7-5-2如图7-5-2所示，把轻质弹簧从A拉伸到B，设弹簧的劲度系数为k，伸长量为ΔL，作出拉力F与弹簧伸长量ΔL的关系图象，如图7-5-3所示，
图7-5-3甲图中，设想把总伸长量ΔL分成很多小段，它们的长度分别为ΔL1、ΔL2、ΔL3……在各个小段上，拉力可以近似认为是不变的，从一个小段长度到下一个小段长度，力跳跃性地增加，它们分别为F1、F2、F3……在每一小段长度上，拉力做的功可用恒力做功的公式计算，即W1＝F1ΔL1、W2＝F2ΔL2、W3＝F3ΔL3……每一小段上做的功在数值上等于折线下方画有斜线部分的面积．当每一小段的长度分割得足够小时，折线趋近于直线OP，拉力在各小段上做的功之和也就代表了拉力在整个过程中所做的功，斜线部分的面积也就趋近于整个三角形的面积， 二、弹性势能与重力势能的比较比较内容 物理量【典例1】 关于弹性势能，下列说法中正确的是 ( )．
A．任何发生弹性形变的物体，都具有弹性势能
B．任何具有弹性势能的物体，一定发生了弹性形变
C．物体只要发生形变，就一定具有弹性势能
D．弹簧的弹性势能只跟弹簧被拉伸或压缩的长度有关弹性势能的理解 解析 发生弹性形变的物体的各部分之间，由于弹力作用而具有的势能，叫做弹性势能．所以，任何发生弹性形变的物体都具有弹性势能，任何具有弹性势能的物体一定发生了弹性形变．物体的弹性势能除了跟弹簧被拉伸或压缩的长度有关外，还跟弹簧劲度系数的大小有关．正确选项为A、B.
答案 AB
借题发挥 产生弹性势能的原因是物体发生了弹性形变，物体各部分之间存在弹力作用．【变式1】
关于弹性势能，下列说法正确的是 ( )．
A．发生弹性形变的物体都具有弹性势能
B．只有弹簧在发生弹性形变时才具有弹性势能
C．弹性势能可以与其他形式的能相互转化
D．弹性势能在国际单位制中的单位是焦耳
解析 发生弹性形变的物体的各部分之间，由于弹力的相互作用，都具有弹性势能，A正确．其他物体在发生弹性形变时也具有弹性势能，故B错；弹性势能跟重力势能一样，可以与其他形式的能相互转化，故C正确．所有能的单位跟功的单位相同，在国际单位制中的单位都是焦耳，故D正确．
答案 ACD【典例2】 如图7-5-4所示，一个物体以速度v0冲向与竖直墙壁相连的轻质弹簧，墙壁和物体间的弹簧被物体压缩，在此过程中以下说法正确的是
( )．
A．物体对弹簧做的功与弹簧的压缩量成正比
B．物体向墙壁运动相同的位移，弹力做的功不相等
C．弹力做正功，弹簧的弹性势能减小
D．弹簧的弹力做负功，弹性势能增加弹力做功与弹性势能变化的关系 图7-5-4解析 本题考查了弹力功与弹性势能的变化关系．由功的计算公式W＝Flcos θ知，恒力做功时，做功的多少与物体的位移成正比，而弹簧对物体的弹力是一个变力F＝kx，所以A不正确．弹簧开始被压缩时弹力较小，物体移动一定距离时弹力做的功也少，弹簧的压缩量变大时，物体移动相同的距离做的功多，故B正确．物体压缩弹簧的过程中，弹簧的弹力与弹力作用点的位移方向相反，所以弹力做负功，弹簧的压缩量增大，弹性势能增大，故C错误、D正确．
答案 BD
借题发挥 弹力做正功，弹性势能减少，弹力做负功弹性势能增加，弹性势能的增加量总等于弹力做功的负值，即ΔEp＝－W弹．【变式2】
如图7-5-5所示，一轻弹簧一端固定于O点，另一端系一重物，将重物从与悬点O在同一水平面且弹簧保持原长的A点无初速地释放，让它自由摆下，不计空气阻力，在重物由A点摆向最低点B的过程中 ( )．
A．重力做正功，弹力不做功
B．重力做正功，弹力做负功，弹性势能增加
C．若用与弹簧原长相等的细绳代替弹簧后，
重力做正功，弹力不做功
D．若用与弹簧原长相等的细绳代替弹簧
后，重力做功不变，弹力不做功图7-5-5解析 用细绳拴住小球向下摆动时重力做正功，弹力不做功，C对．用弹簧拴住小球下摆时，弹簧要伸长，小球轨迹不是圆弧，弹力做负功，弹性势能增加，重力做正功，且做功多，所以A、D错，B对．
答案 BC
