1.1集合的概念与表示 学案（含答案） 2025-2026学年高一数学苏教版（2019）必修第一册

1．1　集合的概念与表示
1. 通过实例，了解集合的含义，理解元素与集合的属于关系，知道常用的数集及其相应的记法．
2. 在具体情景中，理解两个集合相等的含义；初步了解有限集、无限集、空集的意义．
3. 初步掌握集合的两种表示方法——列举法和描述法，并能正确地表示一些简单的集合．
活动一 探究集合的概念
“集合”是日常生活中的一个常用词，现代汉语解释为“许多的人或物聚在一起”．
在初中数学的学习中，我们曾做过以下的练习：
练习
把下列各数填入它所属于的集合的圈内．
15，－，－5，，－，0.1，－5.32，－80，123，2.333.
正数集合　 　负数集合 整数集合 　分数集合
在这里，“正数集合”“负数集合”“整数集合”“分数集合”涉及的是数的分类，为此，我们将学习一个新的概念——集合．
思考1
在初中，我们还学过哪些集合？用集合描述过哪些知识？
思考2
数学中的“集合”一词与我们日常生活中的哪些词语的意义相近？
思考3
通过以上讨论，如何用数学语言表示集合？
1. 集合与元素的表示：
通常用大写拉丁字母A，B，C，…表示集合，用小写拉丁字母a，b，c，…表示集合中的元素．
2. 元素与集合的关系：
(1) “属于”：如果a是集合A的元素，那么就记作a∈A，读作“a属于A”．
(2) “不属于”：如果a不是集合A的元素，那么就记作a A或a?A，读作“a不属于A”．
3. 几个常用数集及其记法：
非负整数集(或自然数集)记作N；正整数集记作N*或N＋；整数集记作Z；有理数集记作Q；实数集记作R.
活动二 探究集合中元素的特征
例1　请判断下列各组对象能否构成集合，并说明理由．
(1) 不超过5的自然数；
(2) 很小的实数；
(3) 高一(1)班里个子高的学生；
(4) 接近于0的所有数．
在“①著名的数学家；②所有的正三角形；③方程x2－2＝0的实数解”中，能够构成集合的是(　　)
A. ②　　　B. ③
C. ②③ D. ①②③
例2　已知集合A含有三个元素a－2，2a2＋5a和10，若－3∈A，求实数a的值．
　　
1. 集合元素特性中的互异性，指的是一个集合中不能有两个相同的元素，利用其可以解决一些实际问题，如三角形中的边长问题及元素能否组成集合的问题．
2. 求解字母的取值范围：当一个集合中的元素含有字母，求解字母的取值范围时，一般可先利用集合中元素的确定性解出集合中字母的所有可能的值或范围，再根据集合元素的互异性进行检验．
已知集合A含有两个元素a和a2，若1∈A，则实数a的值为________．
判断一组对象能否组成集合的方法及其关注点：
(1) 方法
判断一组对象能否组成集合，关键是看这些元素是否满足确定性、互异性、无序性，如果满足上述条件，那么就可以确定这些元素可以组成集合，否则不能组成集合．
(2) 关注点
利用集合的含义判断一组对象能否组成一个集合，应注意集合中元素的特性，即确定性、互异性、无序性．
活动三　探究集合与元素的关系与表达　
1. 列举法：将集合的元素一一列举出来，并置于花括号“{　}”内．
例3　请用列举法表示下列集合：
(1) 小于6的所有自然数组成的集合；
(2) 方程x2－4x＋4＝0的根的集合．
请用列举法表示下列集合：
(1) 平方后仍等于原数的数组成的集合；
(2) 由1～20以内的所有质数组成的集合．
2. 描述法：将集合的所有元素都具有的性质(满足的条件)表示出来，写成{x|p(x)}的形式．
例4　请用描述法表示下列集合：
(1) 大于等于3的实数构成的集合；
(2) 所有正偶数构成的集合；
(3) 不等式3x＋5>2的解集．
选择适当的方法表示下列集合：
(1) 二次函数y＝－x2＋2x＋4的函数值组成的集合；
(2) 二次函数y＝－x2＋2x＋4图象上的点组成的集合．
思考4
例3与例4的集合中，元素的个数有什么特征？
有限集：一般地，含有有限个元素的集合称为有限集．
无限集：一般地，含有无限个元素的集合称为无限集．
规定：我们把不含任何元素的集合称为空集，记作 .
3. 图示法：为了直观地表示集合，我们常画一条封闭的曲线，用它的内部来表示一个集合，称为Venn图．
如例3中小于6的所有自然数的集合可表示为，方程x2－4x＋4＝0根的集合可表示为．
活动四 集合相等的含义
例5　(1) 集合{(x，y)|y＝x2＋1}与集合{y|y＝x2＋1}是同一个集合吗？
(2) 集合{x|y＝x2＋1}与集合{y|y＝x2＋1}是同一个集合吗？
(3) 集合{x|y＝x2＋1}与集合{t|y＝t2＋1}是同一个集合吗？
两个集合相等的含义：如果两个集合所含的元素完全相同(即A中的元素都是B的元素，B中的元素也都是A的元素)，那么称这两个集合相等．
1. (2024邵阳期中)下列关系中，正确的是(　　)
A. ∈Q B. R C. 0∈N* D. π∈Z
2. (2024广东领航高中联盟联考)集合{x∈Z||x|<3}中的元素个数为(　　)
A. 2 B. 3 C. 5 D. 7
3. (多选)(2024重庆七校月考)下列说法中，正确的有(　　)
A. 方程x2－2x＋1＝0的解集是{1，1}
B. 由1，2，3组成的集合可表示为{1，2，3}或{2，3，1}
C. 9以内的素数组成的集合是{0，2，3，5，7}
D. 若集合M＝{a，b，c}中的元素是△ABC的三边长，则△ABC一定不是等腰三角形
4. 已知a∈R，b∈R，若集合＝，则a2 024＋b2 025的值为________．
5. 已知集合A＝{x|ax2＋2x＋1＝0，a∈R}．
(1) 若1∈A，求实数a的值；
(2) 若集合A中只有一个元素，求实数a组成的集合；
(3) 若集合A中含有两个元素，求实数a组成的集合．
1．1　集合的概念与表示
【活动方案】
练习　正数集合：；
负数集合：；
整数集合：{15，－5，－80，123}；
分数集合：.
思考1：在初中代数里学习一元一次不等式时，说它的所有解为不等式的解集；在初中几何里学习圆时，说圆是到定点的距离等于定长的点的集合，几何图形都可以看成点的集合．
思考2：数学中的“集合”与我们日常生活中“全体”“一类”“一群”“所有”“整体”等意义相近．
思考3：一般地，一定范围内某些确定的、不同的对象的全体组成一个集合．集合中的每一个对象称为该集合的元素，简称元．
例1　(1) 能，因为集合中元素为0，1，2，3，4，5.
(2) 不能，元素不确定．
(3) 不能，元素不确定．
(4) 不能，元素不确定．
跟踪训练　C　著名的数学家的标准不确定，因而构不成集合；正三角形标准明确，能构成集合；方程x2－2＝0的实数解也是确定的，能构成集合，故选C.
例2　因为－3∈A，
所以a－2＝－3或2a2＋5a＝－3，
当a－2＝－3时，a＝－1，此时2a2＋5a＝－3，与集合元素的互异性矛盾，舍去；
当2a2＋5a＝－3时，a＝－1(舍去)或a＝－，
当a＝－时，a－2＝－，满足条件．
综上可知，实数a的值为－.
跟踪训练　－1　若1∈A，则a＝1或a2＝1，即 a＝－1 或a＝1.①当a＝1时，集合A的元素是1和1，不符合集合元素的互异性，故a≠1；②当a＝－1时，集合A含有两个元素1和－1，符合集合元素的互异性，故a＝－1.
例3　(1) {0，1，2，3，4，5}　(2) {2}
跟踪训练　(1) {0，1}　(2) {2，3，5，7，11，13，17，19}
例4　(1) {x|x≥3，x∈R}　(2) {x|x＝2k，k∈N*}
(3) {x|x>－1，x∈R}　
跟踪训练　(1) 二次函数y＝－x2＋2x＋4的函数值有无数个，用描述法表示为{y|y＝－x2＋2x＋4}．
(2) 二次函数y＝－x2＋2x＋4图象上有无数个点，用描述法表示为{(x，y)|y＝－x2＋2x＋4}．
思考4：例3中的各集合的元素都有有限个，例4中各集合的元素都有无限个．
例5　(1) 不是　(2) 不是　(3) 是
【检测反馈】
1. A　为有理数，即∈Q，故A正确；∈R，故B错误；0不是正整数，即0 N*，故C错误；π不是整数，即π Z，故D错误．
2. C　由题意，得{x∈Z||x|<3}＝{－2，－1，0，1，2}，所以该集合中的元素个数为5.
3. BD　对于A，方程的解集是{1}，故A错误；对于B，由集合中元素的无序性可得B正确；对于C，9以内的素数组成的集合是{2，3，5，7}，故C错误；对于D，由集合中元素的互异性可得a，b，c均不相等，故D正确．故选BD.
4. 1　因为＝{a2，a＋b，0}，显然a≠0，所以＝0，即b＝0，所以{a，0，1}＝{a2，a，0}．根据集合中元素的互异性得a≠1，所以a2＝1，即a＝－1，所以a2 024＋b2 025＝(－1)2 024＋02 025＝1.
5. (1) 因为1∈A，所以a×12＋2×1＋1＝0，解得a＝－3.
(2) 当a＝0时，则A＝{x|2x＋1＝0}，即A＝，符合题意；
当a≠0时，方程ax2＋2x＋1＝0有两个相等的实根，
即Δ＝22－4a＝0，解得a＝1.
故当集合A中只有一个元素时，实数a组成的集合是{0，1}．
(3) 由集合A中含有两个元素知，方程ax2＋2x＋1＝0有两个不相等的实根，即a≠0，且Δ＝22－4a>0，解得a≠0，且a<1，故当集合A中含有两个元素时，实数a组成的集合是{a|a<1，且a≠0}．