2.1 命题、定理、定义 学案（含答案） 2025-2026学年高一数学苏教版（2029）必修第一册

2．1　命题、定理、定义
1. 了解命题、定理、定义的概念．
2. 熟悉命题的结构，分析命题的条件和结论，能够判断命题的真假．
3. 能够用“如果p，那么q”或“若p，则q”的形式对命题进行改写.
活动一 命题的概念
问题　下列语句能否判断真假，它们是命题吗？
(1) 如果两条平行直线被第三条直线所截，那么同位角相等；
(2) 有一个内角是60°的等腰三角形是正三角形；
(3) 如果两个三角形的面积相等，那么这两个三角形全等；
(4) 对顶角相等；
(5) 若x2＝1，则x＝1；
(6) 若一个三角形是直角三角形，则这个三角形的两个锐角互余．
在数学中，我们将可判断真假的陈述句叫作命题．
活动二 命题的结构
思考1
观察上述命题中的(1)(3)(5)(6)，这些命题具有怎样的表示形式？
例1　指出下列命题中的条件p和结论q：
(1) 若ab＝0，则a＝0；
(2) 若a＜0，则|a|＞0；
(3) 如果二次函数y＝x2＋k的图象经过坐标原点，那么k＝0；
(4) 如果两个三角形的三边分别对应相等，那么这两个三角形全等．
写出下列命题的条件和结论：
(1) 如果两个三角形全等，那么这两个三角形的三边分别对应相等；
(2) 如果一个三角形是锐角三角形，那么这个三角形的三个内角都是锐角；
(3) 若a＝b，则a2＝ab；
(4) 若A＝30°，则sin A＝.
活动三　命题的改写　
思考2
能将活动一问题中的命题(2)(4)改写成“若p，则q”的形式吗？
例2　将下列命题改写成“若p，则q”(或“如果p，那么q”)的形式：
(1) 平行四边形的对角线互相平分；
(2) 对角线互相平分的四边形是平行四边形；
(3) 等腰三角形的底角相等；
(4) 两个有理数的和是有理数．
将下列命题改写成“若p，则q”的形式：
(1) 各位数字之和能被9整除的整数，可以被9整除；
(2) 同弧所对的圆周角相等．
要将一个命题写成“若p，则q”的形式，关键是要分清命题的条件和结论，然后写成“若条件，则结论”的形式，有一些命题虽然不是“若p，则q”的形式，但是把它们的表述作适当的改变，也能写成“若p，则q”的形式，但要注意语言的流畅性．
活动四 命题真假的判断　　
思考3
判断命题为真，需要进行证明. 判断命题为假，该怎样做？
例3　判断下列命题的真假：
(1) 若a＝b，则a2＝b2；
(2) 若a2＝b2，则a＝b；
(3) 全等三角形的面积相等；
(4) 面积相等的三角形全等．
将下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断命题的真假．
(1) 函数y＝2x＋1是一次函数；
(2) 当abc＝0时，a＝0且b＝0且c＝0.
1. 由命题的概念可知，一个命题要么是真的，要么是假的，不存在模棱两可的情况．
2. 要判断命题为真，需要依据条件进行严格的推理论证，而要判断命题为假，只要举出反例即可．
思考4
在数学中，有些命题为定理，请问什么是定理，什么是定义呢？
1. 下列语句中，是命题的为(　　)
A. 3是偶数吗？ B. 三角形的内角和等于180°
C. 这山里的景色真美啊！ D. x>2
2. 关于x的方程x2＋ax＋b＝0，有下列四个命题：甲：x＝1是该方程的根；乙：x＝3是该方程的根；丙：该方程两根之和为2；丁：该方程两根异号．若只有一个假命题，则该命题是(　　)
A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁
3. (多选)下列命题中，是真命题的为(　　)
A. 所有平行四边形的对角线互相平分
B. 若x，y是无理数，则xy一定是有理数
C. 若m<1，则关于x的方程x2＋2x＋m＝0有两个负根
D. 两个相似三角形的周长之比等于它们对应的边长之比
4. 已知命题：弦的垂直平分线经过圆心并且平分弦所对的弧．若将上述命题改为“若p，则q”的形式，则p是________________________________，q是________________________________．
5. 判断下列命题是真命题还是假命题，并说明理由．
(1) 一个钝角与一个锐角的差是锐角；
(2) 若a，b是奇数，则ab是奇数．
2．1　命题、定理、定义
【活动方案】
问题：语句(1)(2)(4)(6)判断为真，语句(3)(5)判断为假．它们都是命题．
思考1：观察上述命题中的(1)(3)(5)(6)，可以发现，这些命题都具有“如果p，那么q”或“若p，则q”的形式，
命题(1)中：p是“两条平行直线被第三条直线所截”，q是“同位角相等”；
命题(3)中：p是“两个三角形的面积相等”，q是“这两个三角形全等”；
命题(5)中：p是“x2＝1”，q是“x＝1”；
命题(6)中：p是“一个三角形是直角三角形”，q是“这个三角形的两个锐角互余”．
数学中，许多命题可表示为“如果p，那么q”或“若p，则q”的形式，其中p叫作命题的条件，q叫作命题的结论．
例1　(1) p：ab＝0，q：a＝0.
(2) p：a＜0，q：|a|＞0.
(3) p：二次函数y＝x2＋k的图象经过坐标原点，q：k＝0.
(4) p：两个三角形的三边分别对应相等，q：这两个三角形全等．
跟踪训练　(1) 条件：两个三角形全等，结论：这两个三角形的三边分别对应相等．
(2) 条件：一个三角形是锐角三角形，结论：这个三角形的三个内角都是锐角．
(3) 条件：a＝b，结论：a2＝ab.
(4) 条件：A＝30°，结论：sin A＝.
思考2：(2) 若一个等腰三角形有一个内角是60°，则这个三角形是正三角形．
(4) 若两个角是对顶角，则这两个角相等．
例2　(1) 若一个四边形是平行四边形，则这个四边形的对角线互相平分．
(2) 若一个四边形的对角线互相平分，则这个四边形是平行四边形．
(3) 如果一个三角形是等腰三角形，那么这个三角形的底角相等．
(4) 如果两个数都是有理数，那么这两个数的和是有理数．
跟踪训练　(1) 若一个整数的各位数字之和能被9整除，则这个整数可以被9整除．
(2) 若两个角为同弧所对的圆周角，则这两个角相等．
思考3：判断一个命题为假命题，只要举出一个反例即可．
例3　(1) 当a＝b时，一定有a2＝b2，所以原命题为真．
(2) 当a＝1，b＝－1时，a2＝b2＝1，此时a≠b，所以原命题为假．
(3) 由全等三角形的定义可知，当两个三角形全等时，这两个三角形的面积一定相等，所以原命题为真．
(4) 如图，直角三角形ABC与等腰三角形A′BC同底等高，这两个三角形的面积相等，但这两个三角形不全等，所以原命题为假．
跟踪训练　(1) 若函数的解析式为y＝2x＋1，则这个函数是一次函数．(真命题)
(2) 若abc＝0，则a＝0且b＝0且c＝0.(假命题)
思考4：有些已经被证明为真的命题可以作为推理的依据而直接使用，一般称之为定理．
定义是对某些对象标明符号、指明称谓，或者揭示所研究问题中对象的内涵．例如“两组对边分别平行的四边形叫作平行四边形”．定义的特点是用已知的对象及关系来解释、刻画陌生的对象，并加以区别，如“平行四边形”就是通过“四边形”与两组“对边”分别“平行”来描述的．
【检测反馈】
1. B　对于A，命题是陈述句不是疑问句，故A错误；对于B，这是陈述句，同时对事件作出判断，是命题，故B正确；对于C，这是感叹句，不是命题，故C错误；对于D，这是一个数学不等式，没有作出判断，故D错误．
2. A　若甲是假命题，则乙丙丁是真命题，则关于x的方程x2＋ax＋b＝0的一根为3，由于两根之和为2，则该方程的另一根为－1，两根异号，合乎题意；若乙是假命题，则甲丙丁是真命题，则x＝1是方程x2＋ax＋b＝0的一根，由于两根之和为2，则另一根也为1，两根同号，不合乎题意；若丙是假命题，则甲乙丁是真命题，则关于x的方程x2＋ax＋b＝0的两根为1和3，两根同号，不合乎题意；若丁是假命题，则甲乙丙是真命题，则关于x的方程x2＋ax＋b＝0的两根为1和3，两根之和为4，不合乎题意．综上所述，甲命题为假命题．
3. AD　对于A，所有平行四边形的对角线互相平分，故A正确；对于B，当x＝，y＝时，xy＝是无理数，故B错误；对于C，由关于x的方程x2＋2x＋m＝0有两个负根，得解得04. 一条直线是弦的垂直平分线　这条直线经过圆心且平分弦所对的弧
5. (1) 假命题．理由如下：当一个钝角是160°，一个锐角是20°时，它们的差为140°，是钝角，而不是一个锐角．
(2) 真命题．理由如下：记m，n均为整数．
令a＝2m＋1，b＝2n＋1，则a，b均为奇数，
所以ab＝(2m＋1)(2n＋1)＝(4mn＋2m＋2n)＋1.
因为4mn＋2m＋2n为偶数，
所以(4mn＋2m＋2n)＋1为奇数，即ab为奇数，
所以若a，b为奇数，则ab是奇数．