2.2 充分条件、必要条件、充要条件 学案 2025-2026学年高一数学苏教版（2029）必修第一册

2．2　充分条件、必要条件、充要条件
2.2.1　充分条件、必要条件、充要条件(1)
1. 通过对典型数学命题的梳理，理解充分条件的意义，理解判定定理与充分条件的关系．
2. 通过对典型数学命题的梳理，理解必要条件的意义，理解性质定理与必要条件的关系．
3. 通过对典型数学命题的梳理，理解充要条件的意义，理解数学定义与充要条件的关系．
活动一 符号“ ”与“ ”的含义
前面我们讨论了“若p，则q”形式的命题，其中有的命题为真命题，有的命题为假命题．
思考1
若x＝y，能推出x2＝y2吗？若x＞1，能推出x2＞1吗？
思考2
若x2＝y2，能推出x＝y吗？若x2＞1，能推出x＞1吗？
一般地，当命题“若p，则q”为真命题时，我们就说“由p可以推出q成立”，记作“p q”，读作“p推出q”；如果命题“若p，则q”为假命题，就说“由p不能推出q成立”，记作“p q”，读作“p不能推出q”．
活动二　理解充分条件、必要条件的概念　
思考3
如果“p q”，那么p，q之间有怎样的关系？
充分条件与必要条件：
如果“p q”，那么称p是q的充分条件，也称q是p的必要条件．
例1　下列所给的各组p，q中，p是q的充分条件的有哪些？
(1) p：x＝2，q：x2－x－2＝0；
(2) p：四边形的对角线相等，q：四边形是正方形；
(3) p：同位角相等，q：两条直线平行；
(4) p：四边形是平行四边形，q：四边形的对角线互相平分．
下列各组命题中，p是q的充分条件吗？
(1) p：数a能被6整除，q：数a能被3整除；
(2) p：△ABC中有两个角相等，q：△ABC是等腰三角形；
(3) p：x＞1，q：x＞3.
例2　下列所给的各组p，q中，p是q的必要条件的有哪些？
(1) p：|x|＝1，q：x＝1；
(2) p：两个直角三角形全等，q：两个直角三角形的斜边相等；
(3) p：同位角相等，q：两条直线平行；
(4) p：四边形是平行四边形，q：四边形的对角线互相平分．
下列各组命题中，p是q的必要条件吗？
(1) p：数a能被6整除，q：数a能被3整除；
(2) p：△ABC中有两个角相等，q：△ABC是等腰三角形；
(3) p：x＞1，q：x＞3.
思考4
什么情形下称p是q的充分且必要条件？即称p是q的充要条件．
思考5
什么情形下称p是q的充分且不必要条件，必要且不充分条件，既不充分又不必要条件？
如果p是q的充要条件，就记作p q，称为“p与q等价”或“p等价于q”．
“ ”和“ ”都具有传递性，即如果p q，q s，那么p s；如果p q，q s，那么p s.
活动三　掌握充分条件、必要条件的判断　
例3　指出下列命题中，p是q的什么条件：
(1) p：两个三角形全等，q：两个三角形的对应角相等；
(2) p：三角形的三边相等，q：三角形是等边三角形；
(3) p：a2＝b2，q：a＝b；
(4) p：x＞y，q：x2＞y2.
由上述定义可以看出，要证明p是q的充分条件，只要证明“p q”为真命题．
命题真假 “若p，则q”是真命题 “若p，则q”是假命题
推出关系 p q p q
条件关系 p是q的充分条件，q是p的必要条件 p不是q的充分条件，q不是p的必要条件
性质定理是指某类对象具有的具体特征．例如，性质定理“平行四边形的对角线互相平分”表明：“平行四边形”具有“对角线互相平分”的特征，当然还有其他的特征，如“对角相等”“对边相等”“对边平行”等．
性质定理具有“必要性”，“对角线互相平分”是“四边形是平行四边形”的必要条件．下图中条件2，3，4…都是“四边形是平行四边形”的必要条件．
判定定理是指对象只要具有某具体的特征，就一定有该对象的所有特征．例如，判定定理“对角线互相平分的四边形是平行四边形”表明，只要四边形具有“对角线互相平分”这个特征，就一定具有“平行四边形”的所有特征1，2，3，4，….
判定定理具有“充分性”，“四边形对角线互相平分”是“四边形是平行四边形”的充分条件．下图中条件2，3，4…都是“四边形是平行四边形”的充分条件．
我们发现，“四边形对角线互相平分”是“四边形是平行四边形”的充要条件，即“四边形对角线互相平分”与“四边形是平行四边形”等价，这与平行四边形的定义“两组对边分别平行的四边形”也等价．因此，“对角线互相平分的四边形”也可以作为“平行四边形”的定义．同样地，下列三个命题：
(1) 两组对边分别平行的四边形是平行四边形；
(2) 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；
(3) 两组对边分别相等的四边形是平行四边形．
其中的任何一个命题都可以作为平行四边形的定义．
指出下列定理是判定定理还是性质定理：
(1) 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；
(2) 有两个角互余的三角形是直角三角形；
(3) 菱形的对角线互相垂直；
(4) 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；
(5) 三边对应成比例的两个三角形相似；
(6) 相似三角形的面积比等于相似比的平方．
1. (2024上海松江期末)已知α：整数n能被2整除，β：整数n能被6整除，则α是β的(　　)
A. 充分且不必要条件 B. 必要且不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件
2. (2024广州月考)“x>－1”是“x>1”的(　　)
A. 充分且不必要条件 B. 充要条件
C. 必要且不充分条件 D. 既不充分又不必要条件
3. (多选)已知p，q都是r的充分条件，s是r的必要条件，q是s的必要条件，则下列说法中正确的是(　　)
A. p是q的充分条件 B. p是s的必要条件
C. r是q的必要且不充分条件 D. s是q的充要条件
4. (2024安徽县中联盟月考)在△ABC中，“A＋B>90°”是“△ABC为锐角三角形”的________条件. (填“充分且不必要”“必要且不充分”“充要”或“既不充分又不必要”)
5. 指出下列各组命题中，p是q的什么条件．
(1) 在△ABC中，p：A>B，q：BC>AC；
(2) p：a＝3，q：(a＋2)(a－3)＝0；
(3) p：a2．2.2　充分条件、必要条件、充要条件(2)
1. 进一步理解充分条件、必要条件与充要条件的意义．
2. 掌握充分条件、必要条件与充要条件的判断与证明方法．
3. 提高辩证思维的能力，体会常用逻辑用语在表述数学内容和论证数学结论中的作用，提高交流的严谨性和准确性．
活动一 巩固充分条件、必要条件与充要条件的概念
例1　(1) “x＝3”是“x－3＝”的__________条件；
(2) “x＜2”是“x＜0”的________________条件；
(3) “|x－3|≤3”是“－2≤x≤4”的__________条件；
(4) “两个三角形全等”是“两个三角形的面积相等”的________________条件．
活动二 用集合观点理解充分条件、必要条件、充要条件
思考
在活动一的例1中，对于(1)而言，若设A＝{x|x＝3}，B＝{x|x－3＝}，此时集合A与B之间有怎样的关系？
对于(2)而言，若设A＝{x|x＜2}，B＝{x|x<0}，此时集合A与B之间有怎样的关系？
对于(3)而言，若设A＝{x|0≤x≤6}，B＝{x|－2≤x≤4}，此时集合A与B之间有怎样的关系？
一般而言，若设非空集合A＝{x|x∈p}，B＝{x|x∈q}，则“p q” “A B”；“q p” “B A”；“p q” “A＝B”．
例2　用“充分且不必要条件”“必要且不充分条件”“充要条件”“既不充分又不必要条件”填空．
(1) “|x－1|≤3”是“2≤x≤4”的_________；
(2) “x>－1”是“x2>1”的___________．
例3　(1) 集合A＝{x|－1(2) 若“x＜－2或x≥8”是“x＜m”的必要且不充分条件，则m的取值范围是________．
(1) 若“x>2”是“x>a”的必要且不充分条件，则a的取值范围为________；
(2) 若“x>2”是“x>a”的必要条件，则a的取值范围为________；
(3) 若“x>2”是“x>a”的充分且不必要条件，则a的取值范围为________．
活动三 充要条件的证明
例4　求证：“一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根”的充要条件是“ac<0”．
求证：“一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象过原点(0，0)”的充要条件是“b＝0”．
1. 设A，B，C是三个集合，则“A∩B＝A∩C”是“B＝C”的(　　)
A. 充分且不必要条件 B. 必要且不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件
2. 已知集合A＝{x}，B＝{x2}，则“x＝1”是“A＝B”的(　　)
A. 充分且不必要条件 B. 必要且不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件
3. (多选)(2024徐州三十七中期中)“|x|<1”的充分条件可以是(　　)
A. x<1 B. 04. 已知条件p：x2＋x－6＝0，条件q：mx＋1＝0(m≠0)，且q是p的充分且不必要条件，则实数m的值为________．
5. 已知集合A＝{x|－1(1) 若“x∈A”是“x∈B”的一个充分且不必要条件，求实数m的取值范围；
(2) 若“x∈A”是“x∈B”的充要条件，求实数m的值．
2．2.1　充分条件、必要条件、充要条件(1)
【活动方案】
思考1：两个都能．
思考2：两个都不能．
思考3：“p q”的含义是：一旦p成立，q一定也成立，即p对q的成立是充分的．也可以这样说：如果q不成立，那么p一定不成立，即q对p的成立是必要的．
例1　(1) 因为p q，所以p是q的充分条件．
(2) 因为p q，所以p不是q的充分条件．
(3) 因为p q，所以p是q的充分条件．
(4) 因为p q，所以p是q的充分条件．
跟踪训练　(1) 因为能被6整除的数一定能被3整除，所以p q，所以p是q的充分条件．
(2) 因为三角形中若有两个角相等，则一定是等腰三角形，所以p q，所以p是q的充分条件．
(3) 取x＝2，满足x＞1，但不满足x＞3，所以p q，所以p不是q的充分条件．
例2　(1) 因为q p，所以p是q的必要条件．
(2) 因为q p，所以p不是q的必要条件．
(3) 因为q p，所以p是q的必要条件．
(4) 因为q p，所以p是q的必要条件．
跟踪训练　(1) 因为能被3整除的数不一定能被6整除，如9，所以q p，所以p不是q的必要条件．
(2) 因为等腰三角形的两个底角相等，所以q p，所以p是q的必要条件．
(3) 因为x＞3，所以x＞1，即q p，所以p是q的必要条件．
思考4：如果p q，且q p，那么称p是q的充分且必要条件，简称为p是q的充要条件．
思考5：如果p q，且q p，那么称p是q的充分且不必要条件；
如果p q，且q p，那么称p是q的必要且不充分条件；
如果p q，且q p，那么称p是q的既不充分又不必要条件．
例3　(1) 根据三角形全等的性质，得出两个三角形的对应角相等，所以p q.反过来，由两个三角形的对应角相等，不能得出两个三角形全等．例如，两个等腰直角三角形，它们对应的角相等，但对应边不相等，这两个三角形就不全等，所以q p，所以p是q的充分且不必要条件．
(2) 根据等边三角形的定义，可知三边相等的三角形是等边三角形，所以p q.反过来，根据等边三角形的定义，可知等边三角形的三边相等，所以q p.因此，p q，即p是q的充要条件．
(3) 因为a2＝b2 a2－b2＝0 (a－b)(a＋b)＝0 a－b＝0或a＋b＝0 a＝－b或a＝b，所以 p q.反过来，a＝b a－b＝0 (a－b)(a＋b)＝0 a2－b2＝0 a2＝b2，所以q p.因此，q p，但p q，即p是q的必要且不充分条件．
(4) 取x＝1，y＝－2，此时，x＞y，但x2＜y2，所以p q.反过来，取x＝－2，y＝－1，此时，x2＞y2，但x＜y，所以q / p．因此，p是q的既不充分又不必要条件．
跟踪训练　(2)(4)(5)是判定定理；(1)(3)(6)是性质定理．
【检测反馈】
1. B　充分性：因为α：整数n能被2整除，所以设此数为2k1(k1∈Z)，则＝不一定为整数，即n不一定能被6整除，故充分性不成立；必要性：因为β：整数n能被6整除，所以设此数为6k2(k2∈Z)，则＝3k2一定为整数，即n一定能被2整除，故必要性成立．综上，α是β的必要且不充分条件．
2. C　由x>－1不能推出x>1，所以充分性不成立；由x>1能推出x>－1，所以必要性成立，所以“x>－1”是“x>1”的必要且不充分条件．
3. AD　由题意，可得p r，q r，r s，s q.对于A，由p q，得p是q的充分条件，故A正确；对于B，由p s，得p是s的充分条件，故B错误；对于C，由r q，得r是q的充要条件，故C错误；对于D，由s q，得s是q的充要条件，故D正确．故选AD.
4. 必要且不充分　若A＋B>90°，则A，B可能有一个大于90°，故充分性不成立；若△ABC为锐角三角形，则任意两内角和必大于90°，故必要性成立，所以“A＋B>90°”是“△ABC为锐角三角形”的必要且不充分条件．
5. (1) 由大角对大边，且A>B，知BC>AC，反之也正确，所以p是q的充要条件．
(2) 若a＝3，则(a＋2)(a－3)＝0，但(a＋2)(a－3)＝0不一定有a＝3，所以p是q的充分且不必要条件．
(3) 若a2．2.2　充分条件、必要条件、充要条件(2)
【活动方案】
例1　(1) 充要　(2) 必要且不充分　(3) 既不充分又不必要　(4) 充分且不必要
解析：(1) 当x＝3时，x－3＝＝0；当x－3＝时，可得x＝3，所以“x＝3”是“x－3＝”的充要条件．
(2) 取x＝1，满足x＜2，但不满足x＜0；若x＜0，则必有x＜2，所以“x<2”是“x<0”的必要且不充分条件．
(3) 由|x－3|≤3，得0≤x≤6，推不出－2≤x≤4；由－2≤x≤4也推不出|x－3|≤3，所以“|x－3|≤3”是“－2≤x≤4”的既不充分又不必要条件．
(4) 根据三角形全等的性质，得出两个全等三角形的面积相等，反过来，由两个三角形的面积相等，不能得出两个三角形全等．例如，如图，直角三角形ABC与等腰三角形A′BC同底等高，这两个三角形的面积相等，但这两个三角形不全等．故“两个三角形全等”是“两个三角形的面积相等”的充分且不必要条件．
思考：对于(1)而言A＝B；
对于(2)而言B?A；
对于(3)而言A B，B A.
例2　(1) 必要且不充分条件
(2) 既不充分又不必要条件
例3　(1) (－2，2)　因为A∩B≠ ，所以a>0，则由B＝{x||x－b|(2) (－∞，－2]　由题意知(－∞，m)是(－∞，－2)∪[8，＋∞)的真子集，故有m≤－2，即m的取值范围是(－∞，－2].
跟踪训练　(1) (2，＋∞)　(2) [2，＋∞)
(3) (－∞，2)
解析：(1) 由题意，得{x|x>a}是{x|x>2}的真子集，故a>2.
(2) 由题意，得{x|x>a}是{x|x>2}的子集，故a≥2.
(3) 由题意，得{x|x>2}是{x|x>a}的真子集，故a<2.
例4　必要性：因为方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根，所以Δ＝b2－4ac＞0，＜0，所以 ac<0.
充分性：由ac<0可推得Δ＝b2－4ac>0及<0，所以方程ax2＋bx＋c＝0有两个相异实根，且两根异号，即方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根．
综上，“一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根”的充要条件是“ac<0”．
跟踪训练　充分性：如果b＝0，那么y＝kx.
当x＝0时，y＝0，
所以一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象过原点(0，0).
必要性：因为一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象过原点(0，0)，
所以0＝0＋b，所以b＝0.
综上，“一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象过原点(0，0)”的充要条件是“b＝0”．
【检测反馈】
1. B　由A∩B＝A∩C，不一定有B＝C，反过来，由B＝C，一定可得A∩B＝A∩C，所以“A∩B＝A∩C”是“B＝C”的必要且不充分条件．
2. A　由A＝B可得x＝x2，解得x＝0或x＝1，所以“x＝1”是“A＝B”的充分且不必要条件．
3. BD　由|x|<1，得－14. －或　因为条件p：{x|x＝2或x＝－3}，q是p的充分且不必要条件，所以m≠0且－＝2或－＝－3.当－＝2时，m＝－，此时满足题意；当－＝－3时，m＝，此时也满足题意．故实数m的值为－或.
5. (1) 由题意，得 A 是B的真子集，
所以m＋1>3，即m>2，
所以实数m的取值范围是(2，＋∞).
(2) 由题意，得A＝B，
所以m＋1＝3，解得m＝2，
所以实数m的值为2.