1.1 空间向量及其运算
【知识点1】空间向量 1
【知识点2】空间向量的线性运算 3
【知识点3】向量共面 4
【知识点4】空间向量的数量积 5
【知识点5】投影向量 7
【小试牛刀】 9
1.知道空间向量的概念(重点)。
2.掌握空间向量的线性运算、向量共面问题 (重难点)。
3.掌握空间向量的数量积及投影向量(重点)。
【知识点1】空间向量
(1)空间向量：在空间中，具有大小和方向的量叫做空间向量，其大小叫做向量的模或长度．
(2)单位向量：长度或模为1的向量．
(3)零向量：长度为0的向量．
(4)相等向量：方向相同且模相等的向量．
(5)相反向量：方向相反而模相等的向量．
(6)共线向量：如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，则这些向量叫作共线向量或平行向量．
(7)共面向量：平行于同一个平面的向量．
【例1】（2024春 华池县校级期中）下列命题是真命题的是（ ）
A．空间向量就是空间中的一条有向线段
B．不相等的两个空间向量的模必不相等
C．任一向量与它的相反向量不相等
D．向量与向量的长度相等
【例2】（2024秋 和林格尔县校级期中）给出下列命题：
①零向量的方向是任意的；
②若两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同；
③若空间向量，满足，则；
④空间中任意两个单位向量必相等．
其中正确命题的个数为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【例3】（多选）（2024秋 永州期中）以下关于向量的说法正确的有（ ）
A．若，则||＝||
B．若将所有空间单位向量的起点放在同一点，则终点围成一个圆
C．若且，则
D．若与共线，与共线，则与共线
【例4】（多选）（2024 柴桑区校级开学）下列说法，错误的为（ ）
A．若两个空间向量相等，则表示它们有向线段的起点相同，终点也相同
B．若向量满足，且与同向，则
C．若两个非零向量与满足，则为相反向量
D．的充要条件是A与C重合，B与D重合
【知识点2】空间向量的线性运算
(1)加法交换律：a＋b＝b + a．
(2)加法交换律：a＋b＝b + a．
(3)数乘分配律：λ(a＋b)＝λa+λb．
(4)数乘结合律：λ(μa)＝(λμ) a.(λ∈R，μ∈R)．
(5)空间向量的线性运算：设a，b是空间任意两向量，若，P∈OC，则，，．
例1：
【例5】（2024秋 海南州期中）在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，（ ）
A． B． C． D．
【例6】（2024秋 曲阜市校级期末）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，（ ）
A． B． C． D．
【例7】（多选）（2024秋 赣州期中）如图，在四面体ABCD中，点E，F分别为BC，CD的中点，则（ ）
A． B．
C． D．
【例8】（2024秋 长寿区期末）如图，在三棱锥P﹣ABC中，N为BC的中点，M为PA的中点，设，则用表示为 ．
【知识点3】向量共面
1．证明空间四点共面的方法
(1)．
(2)对空间任一点O，．
(3)对空间任一点O，．
(4)∥(或∥或∥)．
2．证明空间三点共线的方法
(1)．
(2)对空间任一点O，．
(3)对空间任一点O，．
例1：
【例1】（2025 德惠市二模）在电影《哪吒之魔童闹海》中，哪吒的声音被很多人模仿，大家模仿的是声音的（ ）
A．音色 B．音调 C．响度 D．音速
【例2】（2025 思明区模拟）“琴瑟击鼓，以御田祖”出自《诗经》，琴、瑟、鼓是中国古代乐器，听众能分辨出琴、瑟、鼓发出的声音，主要是依据声音的（ ）
A．响度 B．振幅 C．音调 D．音色
【例3】（2025 玉林一模）用钢琴和二胡来进行演奏，它们演奏出来的乐曲不可能有具有相同的（ ）
A．音调 B．响度 C．音色 D．频率
【例4】（2024秋 滨湖区期中）小明利用手机录音功能记录自己的朗读声，再播放出来，他感觉和自己的声音并不相同。其主要原因是（ ）
A．声音的传播介质不同，导致音色变化
B．声音的传播介质不同，导致响度变大
C．声音的声源不同，导致音调变化
D．声音的声源不同，导致响度变大
【例5】（2024秋 怀宁县期中）如图所示，用同样的力分别拨动外形完全相同且伸出桌面的长度也相同的钢尺和塑料尺子时，听到声音的 不同。
【知识点4】空间向量的数量积
(1) a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．
(2)求夹角：设向量a，b所成的角为θ，则cosθ＝，进而可求两异面直线所成的角．
(3)求长度：运用公式|a|2＝a·a，可使线段长度的计算问题转化为向量数量积的计算问题．
(4)解决垂直问题：利用a⊥b a·b＝0(a≠0，b≠0)，可将垂直问题转化为向量数量积的计算问题．
例1：
【例13】（2024秋 内江期末）如图，已知三棱锥A﹣BCD的每条棱长都为2，则（ ）
A．2 B． C．2 D．0
【例14】（多选）（2024秋 湛江期末）如图，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝AD＝AA1＝2，，E，F分别为C1D1，A1D1的中点，则（ ）
A． B．
C． D．
【例15】（2024秋 运河区期末）在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1＝AD＝AB＝1，∠A1AD＝∠A1AB＝∠BAD＝60°，M为B1D1的中点，则 ．
【例16】（2024秋 金山区期末）如图，在空间四边形OABC中，点D为BC的中点，，设．
（1）试用向量表示向量；
（2）若OA＝OB＝OC＝2，∠AOC＝∠BOC＝∠AOB＝90°，求的值．
【知识点5】投影向量
(1)投影向量：向量在上的投影是．
(2)投影长度：投影的长度为．
例1：
【例17】（2025春 泸县期中）已知向量满足，且向量的夹角为，则在方向上的投影向量是（ ）
A． B． C． D．
【例18】（2024秋 龙马潭区校级期末）已知，空间向量为单位向量，，则空间向量在向量方向上的投影向量的模长为（ ）
A．2 B．﹣2 C． D．
【例19】（2025春 雨花区校级月考）已知空间向量，，且与夹角的余弦值为，则在上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
【例20】（2024秋 仓山区校级期中）已知向量与的夹角为，则在方向上的投影向量的模长为 ．
1.1 空间向量及其运算
一．选择题（共16小题）
1．（2024秋 广东校级月考）下列关于空间向量的说法中正确的是（ ）
A．方向相反的两个向量是相反向量
B．空间中任意两个单位向量必相等
C．若向量满足，则
D．相等向量其方向必相同
2．（2025春 盐城月考）空间四边形ABCD中，M、G分别是BC、CD的中点，则等于（ ）
A． B．3 C．3 D．2
3．（2024秋 东西湖区校级期中）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，运算的结果为（ ）
A． B． C． D．
4．（2024秋 浙江期中）在斜三棱柱ABC﹣A1B1C1中，（ ）
A． B． C． D．
5．（2024秋 松原期中）如图，在四面体ABCD中，E是棱AB上一点，且AEAB，F是棱CD的中点，则（ ）
A． B．
C． D．
6．（2025春 江苏校级期中）如图，三棱锥O﹣ABC中，，，，且，，则（ ）
A． B．
C． D．
7．（2024秋 芜湖校级期末）空间四边形OABC中，，，，且，，则（ ）
A． B．
C． D．
8．（2024秋 东坡区校级期末）如图，平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AC与BD的交点为点M，设，，，则下列向量中与相等的向量是（ ）
A． B． C． D．
9．（2024秋 颍州区校级期末）如图所示，若P为平行四边形ABCD所在平面外一点，H为PC上的点，且，点G在AH上，且．若G，B，P，D四点共面，则m为（ ）
A． B． C． D．
10．（2024秋 大庆校级期末）已知向量不共面，则使向量共面的实数x的值是（ ）
A．﹣4 B．﹣3 C．﹣2 D．4
11．（2024秋 自贡校级期末）在四面体O﹣ABC中，空间的一点M满足，若M、A、B、C四点共面，则λ＝（ ）
A． B． C． D．
12．（2024秋 南通期末）已知A，B，C三点不共线，点O在平面ABC外，点P满足，则当点P，A，B，C共面时，实数x＝（ ）
A． B． C． D．
13．（2024秋 天津期末）如图，已知三棱锥A﹣BCD的每条棱的长度都等于1，点E，F，G分别是AB，AD，CD的中点，则（ ）
A． B． C． D．1
14．（2024秋 乐山期末）已知正四面体ABCD的所有棱长都等于2，E，F分别是AB，AD的中点．则（ ）
A．2 B． C．3 D．
15．（2025春 兰州期中）设正四面体ABCD的棱长为a，E，F分别是BC，AD的中点，则 的值为（ ）
A． B． C．a2 D．a2
16．（2024秋 徐州期末）已知点Q在△ABC所在平面内，若对于空间中任意一点P都有，则m＝（ ）
A．2 B．1 C．0 D．﹣1
二．多选题（共5小题）
17．（2024 腾冲市校级开学）下列关于空间向量的命题中，不正确的是（ ）
A．长度相等、方向相同的两个向量是相等向量
B．平行且模相等的两个向量是相等向量
C．若，则
D．两个向量相等，则它们的起点与终点相同
18．（2024 江油市校级开学）下列说法正确的是（ ）
A．空间向量与的长度相等
B．平行于同一个平面的向量叫做共面向量
C．若将所有空间单位向量的起点放在同一点，则终点围成一个圆
D．空间任意三个向量都可以构成空间的一个基底
19．（2025春 苏州校级月考）下列说法中不正确的是（ ）
A．方向相反的两个非零向量一定共线
B．零向量是最小的向量
C．若，则A，B，C一定为一个三角形的三个顶点
D．单位向量都相等
20．（2025春 武功县校级期中）已知A，B，C是不重合的三点，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．与共线的单位向量是
C．若，则A，B，C共线
D．若，则
21．（2024秋 新乡期末）如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1＝AD＝AB＝1，∠A1AD＝∠A1AB＝∠BAD＝60°，M为B1D1的中点，则（ ）
A． B．
C． D．
三．填空题（共6小题）
22．（2024秋 四川期末）已知，，不共面，若，，x，y∈R，且，则x+y＝ ．
23．（2024秋 浦东新区校级期末）在四面体O﹣ABC中，空间的一点M满足，若M、A、B、C四点共面，则λ＝ ．
24．（2024秋 顺义区期末）如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，设，，，点P为A1C的中点，则 ．
25．（2024秋 长宁区校级期末）在空间四边形OABC中，M为OA中点，N为BC的中点，若，则使G、M、N三点共线的x的值是 ．
26．（2025春 资中县校级月考）已知t∈R，A、B、C三点不共线，O为平面ABC外任意一点．若，且A、B、C、P四点共面，则t＝ ．
27．（2025春 龙岩期中）如图，在三棱锥P﹣ABC中，G为△ABC的重心，，，若PG交平面DEF于点M，且，则λ+μ的最小值为 ．
四．解答题（共3小题）
28．（2024春 海州区校级月考）如图所示，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，设，，，M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点，试用，，表示以下向量：
（1）；
（2）；
（3）．
29．（2025春 高邮市期中）如图，在空间四边形OABC中，D为棱BC上一点，且满足DC＝3BD，E为线段AD的中点，设．
（1）试用向量表示向量；
（2）若OA＝OB＝4，OC＝3，∠AOB＝∠AOC＝∠BOC＝60°，求．
30．（2024秋 临高县校级期末）已知正四面体ABCD的棱长为1，E，F分别为棱BC，CD的中点，点G为线段AF的中点．
（1）用，，表示；
（2）求 的值．
第1页 共1页1.1 空间向量及其运算
【知识点1】空间向量 1
【知识点2】空间向量的线性运算 4
【知识点3】向量共面 6
【知识点4】空间向量的数量积 9
【知识点5】投影向量 13
【小试牛刀】 15
1.知道空间向量的概念(重点)。
2.掌握空间向量的线性运算、向量共面问题 (重难点)。
3.掌握空间向量的数量积及投影向量(重点)。
【知识点1】空间向量
(1)空间向量：在空间中，具有大小和方向的量叫做空间向量，其大小叫做向量的模或长度．
(2)单位向量：长度或模为1的向量．
(3)零向量：长度为0的向量．
(4)相等向量：方向相同且模相等的向量．
(5)相反向量：方向相反而模相等的向量．
(6)共线向量：如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，则这些向量叫作共线向量或平行向量．
(7)共面向量：平行于同一个平面的向量．
【例1】（2024春 华池县校级期中）下列命题是真命题的是（ ）
A．空间向量就是空间中的一条有向线段
B．不相等的两个空间向量的模必不相等
C．任一向量与它的相反向量不相等
D．向量与向量的长度相等
【答案】D
【分析】根据空间向量的相关概念逐一判断即可．
【解答】解：对于A，有向线段是空间向量的一种表示形式，但不能把二者完全等同起来，故A错误；
对于B，不相等的两个空间向量的模也可以相等，只要它们的方向不相同即可，故B错误；
对于C，零向量的相反向量与零向量是相等的，故C错误；
对于D，与是相反向量，由定义可知它们的长度是相等的，故D正确．
故选：D．
【例2】（2024秋 和林格尔县校级期中）给出下列命题：
①零向量的方向是任意的；
②若两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同；
③若空间向量，满足，则；
④空间中任意两个单位向量必相等．
其中正确命题的个数为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】D
【分析】直接利用向量的相关概念求出结果．
【解答】解：对于①零向量的方向是任意的；正确
②若两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同；错误；
③若空间向量，满足，则，错误；
④空间中任意两个单位向量必相等，应该为模相等，错误．
故选：D．
【例3】（多选）（2024秋 永州期中）以下关于向量的说法正确的有（ ）
A．若，则||＝||
B．若将所有空间单位向量的起点放在同一点，则终点围成一个圆
C．若且，则
D．若与共线，与共线，则与共线
【答案】AC
【分析】A．利用向量相等、模的定义即可判断出正误；
B．将所有空间单位向量的起点放在同一点，终点围成一个球，即可判断出正误；
C．利用向量相等即可判断出正误；
D．若取时，与不一定共线．即可判断出正误．
【解答】解：A．若，则||＝||，正确；
B．将所有空间单位向量的起点放在同一点，则终点围成一个球，不正确；
C．由且，则，正确；
D.与共线，与共线，则与共线，不正确，例如取时，与不一定共线．
故选：AC．
【例4】（多选）（2024 柴桑区校级开学）下列说法，错误的为（ ）
A．若两个空间向量相等，则表示它们有向线段的起点相同，终点也相同
B．若向量满足，且与同向，则
C．若两个非零向量与满足，则为相反向量
D．的充要条件是A与C重合，B与D重合
【答案】ABD
【分析】利用向量与有向线段的区别判断出A、D两项的正误，根据向量的定义与性质判断出B项的正误，利用相反向量的定义判断出C项的正误，从而可得本题答案．
【解答】解：向量是具有方向和大小的量，向量可自由平移，
而表示向量的有向线段是起点、方向、终点都确定的，
故相等向量的起点和终点不一定相同，
表示它们的有向线段也不一定起点相同且终点也相同，故A、D两项错误；
两个向量的模长可比大小，但是两个向量本身不可以比较大小，故B项错误；
根据相反向量的定义，可知：若两个非零向量与满足，则为相反向量，故C项正确．
故选：ABD．
【知识点2】空间向量的线性运算
(1)加法交换律：a＋b＝b + a．
(2)加法交换律：a＋b＝b + a．
(3)数乘分配律：λ(a＋b)＝λa+λb．
(4)数乘结合律：λ(μa)＝(λμ) a.(λ∈R，μ∈R)．
(5)空间向量的线性运算：设a，b是空间任意两向量，若，P∈OC，则，，．
例1：
【例5】（2024秋 海南州期中）在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据空间向量的线性运算求解即可．
【解答】解：在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，，
则．
故选：C．
【例6】（2024秋 曲阜市校级期末）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题意，画出图形，结合图形，利用空间向量的加法运算即可得出结论．
【解答】解：如图所示，
长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，
（）．
故选：D．
【例7】（多选）（2024秋 赣州期中）如图，在四面体ABCD中，点E，F分别为BC，CD的中点，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【分析】根据空间向量的加法、减法及数乘运算化简即可逐项判断得解．
【解答】解：因为E，F分别为BC，CD的中点，所以由，故A正确；
若可得，由图可知不共线，矛盾，故B错误；
因为，故C正确；
E为BC的中点，故，则，故D正确．
故选：ACD．
【例8】（2024秋 长寿区期末）如图，在三棱锥P﹣ABC中，N为BC的中点，M为PA的中点，设，则用表示为 ．
【答案】．
【分析】直接利用向量的线性运算求出结果．
【解答】解：在三棱锥P﹣ABC中，N为BC的中点，M为PA的中点，
设，
则，N为BC的中点，M为PA的中点，继续运算，
，
整理得到．
故答案为：．
【知识点3】向量共面
1．证明空间四点共面的方法
(1)．
(2)对空间任一点O，．
(3)对空间任一点O，．
(4)∥(或∥或∥)．
2．证明空间三点共线的方法
(1)．
(2)对空间任一点O，．
(3)对空间任一点O，．
例1：
【例1】（2025 德惠市二模）在电影《哪吒之魔童闹海》中，哪吒的声音被很多人模仿，大家模仿的是声音的（ ）
A．音色 B．音调 C．响度 D．音速
【答案】A
【分析】音色是发声体的声音品质，由发声体本身的特征决定，是区别声音的重要标志。
【解答】解：在电影《哪吒之魔童闹海》中，哪吒的声音被很多人模仿，大家模仿的是声音的音色，因为音色是发声体的声音品质，由发声体本身的特征决定，是区别声音的重要标志，故A符合题意，BCD不符合题意。
故选：A。
【点评】本题考查了音色，比较简单。
【例2】（2025 思明区模拟）“琴瑟击鼓，以御田祖”出自《诗经》，琴、瑟、鼓是中国古代乐器，听众能分辨出琴、瑟、鼓发出的声音，主要是依据声音的（ ）
A．响度 B．振幅 C．音调 D．音色
【答案】D
【分析】音色是发声体的声音品质，由发声体本身的特征决定，是区别声音的重要标志。
【解答】解：听众能分辨出琴、瑟、鼓发出的声音，主要是依据声音的音色，因为音色是发声体的声音品质，由发声体本身的特征决定，是区别声音的重要标志，故D符合题意，ABC不符合题意。
故选：D。
【点评】音色是发声体的声音品质，由发声体本身的特征决定，是区别声音的重要标志。
【例3】（2025 玉林一模）用钢琴和二胡来进行演奏，它们演奏出来的乐曲不可能有具有相同的（ ）
A．音调 B．响度 C．音色 D．频率
【答案】C
【分析】音色跟发声体的材料和结构有关。
【解答】解：不同乐器、不同发声体的材料和结构不同，发出声音的音色不同，我们是靠音色来辨别乐器的种类。所以用钢琴和二胡来进行演奏，它们演奏出来的乐曲不可能具有相同的音色。故C符合题意，ABD不符合题意。
故选：C。
【点评】本题考查了声音的特性知识点，属于识记性内容，比较基础。
【例4】（2024秋 滨湖区期中）小明利用手机录音功能记录自己的朗读声，再播放出来，他感觉和自己的声音并不相同。其主要原因是（ ）
A．声音的传播介质不同，导致音色变化
B．声音的传播介质不同，导致响度变大
C．声音的声源不同，导致音调变化
D．声音的声源不同，导致响度变大
【答案】A
【分析】音色的决定因素：发声体的材料、结构。
【解答】解：小明利用手机录音功能记录自己的朗读声，再播放出来，他感觉和自己的声音并不相同。其主要原因是声音的传播介质不同（一个是空气，一个是自己头部骨骼），导致音色变化了，故A符合题意，BCD不符合题意。
故选：A。
【点评】记忆性知识，牢记即可。
【例5】（2024秋 怀宁县期中）如图所示，用同样的力分别拨动外形完全相同且伸出桌面的长度也相同的钢尺和塑料尺子时，听到声音的 不同。
【答案】音色。
【分析】音色跟发声体的材料和结构有关。
【解答】解：如图所示，用同样的力分别拨动外形完全相同且伸出桌面的长度也相同的钢尺和塑料尺子时，听到声音的音色不同；因为钢尺和塑料尺材质不同，则发出的声音的音色不同，所以听到声音的音色不同。
故答案为：音色。
【点评】本题考查了音色，属于基础题。
【知识点4】空间向量的数量积
(1) a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．
(2)求夹角：设向量a，b所成的角为θ，则cosθ＝，进而可求两异面直线所成的角．
(3)求长度：运用公式|a|2＝a·a，可使线段长度的计算问题转化为向量数量积的计算问题．
(4)解决垂直问题：利用a⊥b a·b＝0(a≠0，b≠0)，可将垂直问题转化为向量数量积的计算问题．
例1：
【例13】（2024秋 内江期末）如图，已知三棱锥A﹣BCD的每条棱长都为2，则（ ）
A．2 B． C．2 D．0
【答案】D
【分析】直接利用向量的线性运算和数量积运算求出结果．
【解答】解：．
故选：D．
【例14】（多选）（2024秋 湛江期末）如图，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝AD＝AA1＝2，，E，F分别为C1D1，A1D1的中点，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【分析】根据直四棱柱的几何性质，结合空间向量的线性运算以及数量积的运算律，可得答案．
【解答】解：在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝AD＝AA1＝2，，
E，F分别为C1D1，A1D1的中点，
对于A，由E为C1D1的中点，则，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，所以，故A正确；
对于B，由F为A1D1的中点，则，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，易知，，故B错误；
对于C，由题意可得与的夹角为，且，则，故C正确；
对于D，＝﹣5，故D正确．
故选：ACD．
【例15】（2024秋 运河区期末）在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1＝AD＝AB＝1，∠A1AD＝∠A1AB＝∠BAD＝60°，M为B1D1的中点，则 ．
【答案】．
【分析】由向量的加减运算及数量积的运算可得的值．
【解答】解：在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1＝AD＝AB＝1，∠A1AD＝∠A1AB＝∠BAD＝60°，M为B1D1的中点，
则（） [（）] [（）] 2 ，
因为 || ||cos60°＝1×1， || ||cos60°＝1×1，
所以12．
故答案为：．
【例16】（2024秋 金山区期末）如图，在空间四边形OABC中，点D为BC的中点，，设．
（1）试用向量表示向量；
（2）若OA＝OB＝OC＝2，∠AOC＝∠BOC＝∠AOB＝90°，求的值．
【答案】（1）；
（2）．
【分析】（1）利用平行四边形法则与三角形法则即可求得结果；
（2）利用三角形法则得，又由（1）的结论，两个向量求数量积即可．
【解答】解：（1）空间四边形OABC中，点D为BC的中点，，
设，
根据平行四边形法则，可知，
根据平行四边形法则，可知；
（2）根据题意可知，OA＝OC＝2，OB＝2，∠AOC＝∠BOC＝∠AOB＝90°，
∴，
利用三角形法则，得，
∴
．
【知识点5】投影向量
(1)投影向量：向量在上的投影是．
(2)投影长度：投影的长度为．
例1：
【例17】（2025春 泸县期中）已知向量满足，且向量的夹角为，则在方向上的投影向量是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先计算，再利用公式计算即可．
【解答】解：因为，且向量的夹角为，
所以，
所以在方向上的投影向量是．
故选：D．
【例18】（2024秋 龙马潭区校级期末）已知，空间向量为单位向量，，则空间向量在向量方向上的投影向量的模长为（ ）
A．2 B．﹣2 C． D．
【答案】A
【分析】由空间向量在向量方向上的投影数量为，运算即可得解．
【解答】解：已知，，，
则空间向量在向量方向上的投影数量为．
故所求投影向量的模长为2．
故选：A．
【例19】（2025春 雨花区校级月考）已知空间向量，，且与夹角的余弦值为，则在上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题意和投影向量的概念计算即可求解．
【解答】解：在上的投影向量为．
故选：D．
【例20】（2024秋 仓山区校级期中）已知向量与的夹角为，则在方向上的投影向量的模长为 ．
【答案】1
【分析】根据投影向量的定义求解．
【解答】解：，
在方向上的投影向量的模长为：
1．
故答案为：1．
1.1 空间向量及其运算
一．选择题（共16小题）
1．（2024秋 广东校级月考）下列关于空间向量的说法中正确的是（ ）
A．方向相反的两个向量是相反向量
B．空间中任意两个单位向量必相等
C．若向量满足，则
D．相等向量其方向必相同
2．（2025春 盐城月考）空间四边形ABCD中，M、G分别是BC、CD的中点，则等于（ ）
A． B．3 C．3 D．2
3．（2024秋 东西湖区校级期中）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，运算的结果为（ ）
A． B． C． D．
4．（2024秋 浙江期中）在斜三棱柱ABC﹣A1B1C1中，（ ）
A． B． C． D．
5．（2024秋 松原期中）如图，在四面体ABCD中，E是棱AB上一点，且AEAB，F是棱CD的中点，则（ ）
A． B．
C． D．
6．（2025春 江苏校级期中）如图，三棱锥O﹣ABC中，，，，且，，则（ ）
A． B．
C． D．
7．（2024秋 芜湖校级期末）空间四边形OABC中，，，，且，，则（ ）
A． B．
C． D．
8．（2024秋 东坡区校级期末）如图，平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AC与BD的交点为点M，设，，，则下列向量中与相等的向量是（ ）
A． B． C． D．
9．（2024秋 颍州区校级期末）如图所示，若P为平行四边形ABCD所在平面外一点，H为PC上的点，且，点G在AH上，且．若G，B，P，D四点共面，则m为（ ）
A． B． C． D．
10．（2024秋 大庆校级期末）已知向量不共面，则使向量共面的实数x的值是（ ）
A．﹣4 B．﹣3 C．﹣2 D．4
11．（2024秋 自贡校级期末）在四面体O﹣ABC中，空间的一点M满足，若M、A、B、C四点共面，则λ＝（ ）
A． B． C． D．
12．（2024秋 南通期末）已知A，B，C三点不共线，点O在平面ABC外，点P满足，则当点P，A，B，C共面时，实数x＝（ ）
A． B． C． D．
13．（2024秋 天津期末）如图，已知三棱锥A﹣BCD的每条棱的长度都等于1，点E，F，G分别是AB，AD，CD的中点，则（ ）
A． B． C． D．1
14．（2024秋 乐山期末）已知正四面体ABCD的所有棱长都等于2，E，F分别是AB，AD的中点．则（ ）
A．2 B． C．3 D．
15．（2025春 兰州期中）设正四面体ABCD的棱长为a，E，F分别是BC，AD的中点，则 的值为（ ）
A． B． C．a2 D．a2
16．（2024秋 徐州期末）已知点Q在△ABC所在平面内，若对于空间中任意一点P都有，则m＝（ ）
A．2 B．1 C．0 D．﹣1
二．多选题（共5小题）
17．（2024 腾冲市校级开学）下列关于空间向量的命题中，不正确的是（ ）
A．长度相等、方向相同的两个向量是相等向量
B．平行且模相等的两个向量是相等向量
C．若，则
D．两个向量相等，则它们的起点与终点相同
18．（2024 江油市校级开学）下列说法正确的是（ ）
A．空间向量与的长度相等
B．平行于同一个平面的向量叫做共面向量
C．若将所有空间单位向量的起点放在同一点，则终点围成一个圆
D．空间任意三个向量都可以构成空间的一个基底
19．（2025春 苏州校级月考）下列说法中不正确的是（ ）
A．方向相反的两个非零向量一定共线
B．零向量是最小的向量
C．若，则A，B，C一定为一个三角形的三个顶点
D．单位向量都相等
20．（2025春 武功县校级期中）已知A，B，C是不重合的三点，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．与共线的单位向量是
C．若，则A，B，C共线
D．若，则
21．（2024秋 新乡期末）如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1＝AD＝AB＝1，∠A1AD＝∠A1AB＝∠BAD＝60°，M为B1D1的中点，则（ ）
A． B．
C． D．
三．填空题（共6小题）
22．（2024秋 四川期末）已知，，不共面，若，，x，y∈R，且，则x+y＝ ．
23．（2024秋 浦东新区校级期末）在四面体O﹣ABC中，空间的一点M满足，若M、A、B、C四点共面，则λ＝ ．
24．（2024秋 顺义区期末）如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，设，，，点P为A1C的中点，则 ．
25．（2024秋 长宁区校级期末）在空间四边形OABC中，M为OA中点，N为BC的中点，若，则使G、M、N三点共线的x的值是 ．
26．（2025春 资中县校级月考）已知t∈R，A、B、C三点不共线，O为平面ABC外任意一点．若，且A、B、C、P四点共面，则t＝ ．
27．（2025春 龙岩期中）如图，在三棱锥P﹣ABC中，G为△ABC的重心，，，若PG交平面DEF于点M，且，则λ+μ的最小值为 ．
四．解答题（共3小题）
28．（2024春 海州区校级月考）如图所示，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，设，，，M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点，试用，，表示以下向量：
（1）；
（2）；
（3）．
29．（2025春 高邮市期中）如图，在空间四边形OABC中，D为棱BC上一点，且满足DC＝3BD，E为线段AD的中点，设．
（1）试用向量表示向量；
（2）若OA＝OB＝4，OC＝3，∠AOB＝∠AOC＝∠BOC＝60°，求．
30．（2024秋 临高县校级期末）已知正四面体ABCD的棱长为1，E，F分别为棱BC，CD的中点，点G为线段AF的中点．
（1）用，，表示；
（2）求 的值．
参考答案
一．选择题（共16小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 D B C C D B D C C A D
题号 12 13 14 15 16
答案 A A B A A
二．多选题（共5小题）
题号 17 18 19 20 21
答案 BCD AB BCD ACD ACD
一．选择题（共16小题）
1．【答案】D
【分析】方向相反且大小相等的两个向量是相反向量，故选项A错误；空间中任意两个单位向量的模必相等，但方向不一定相同，故选项B错误；向量不能比较大小，故选项C错误．
【解答】解：方向相反且大小相等的两个向量是相反向量，故选项A错误；
空间中任意两个单位向量的模必相等，但方向不一定相同，故选项B错误；
向量不能比较大小，故选项C错误；
相等向量其方向必相同，故选项D正确；
故选：D．
2．【答案】B
【分析】作图，从而化简（）（﹣2）＝3．
【解答】解：如图，
（） （﹣2）＝3，
故选：B．
3．【答案】C
【分析】根据空间向量对应线段的位置关系，结合向量加减法的几何意义求结果．
【解答】解：．
故选：C．
4．【答案】C
【分析】应用空间向量的线性运算即可解．
【解答】解：．
故选：C．
5．【答案】D
【分析】根据向量的加法，减法法则化简计算即可．
【解答】解：E是棱AB上一点，且AEAB，F是棱CD的中点，
，，
．
故选：D．
6．【答案】B
【分析】利用空间向量的运算法则求解即可．
【解答】解：三棱锥O﹣ABC中，，，，且，，
则
．
故选：B．
7．【答案】D
【分析】利用空间向量的线性运算法则求解．
【解答】解：∵，∴N为BC的中点，∴，
∴．
故选：D．
8．【答案】C
【分析】根据空间向量的线性表示与运算法则，把用、、表示即可．
【解答】解：由题意知，
（）
．
故选：C．
9．【答案】C
【分析】以为基底，表示向量，由x+y+z＝1可求m的值．
【解答】解：因为．
由G，B，P，D四点共面，所以，
整理得：．
故选：C．
10．【答案】A
【分析】利用向量共面得到线性表示，再化简求值即可．
【解答】解：因为共面，
所以存在实数s，t，使得，所以，解得，
即x＝﹣4．
故选：A．
11．【答案】D
【分析】根据给定条件，利用空间向量的共面向量定理的推论列式计算即得．
【解答】解：在四面体O﹣ABC中，不共面，可以作为向量的基底，而，则，整理得：λ，
解得．
故选：D．
12．【答案】A
【分析】由向量减法，可得，再根据题设及空间向量的共面定理即可求解．
【解答】解：由，得，
即，
当点P，A，B，C共面时，有，解得．
故选：A．
13．【答案】A
【分析】根据线面垂直的性质可得BD⊥AC，再利用向量的加法法则和共线定理，结合数量积的运算律即可求得．
【解答】解：因为E，F，G分别为AB，AD，CD的中点，
则，
由已知三棱锥A﹣BCD为正三棱锥，取BD中点为O，连接OA，OC，
由已知△ABD和△CBD为正三角形，则AO⊥BD，CO⊥BD，
又AO∩CO＝O，且AO，CO 平面AOC，则BD⊥平面AOC，
又AC 平面AOC，则BD⊥AC，即，而BD＝1，
则 （） （）2 ．
故选：A．
14．【答案】B
【分析】根据条件可得出，然后进行数量积的运算即可．
【解答】解：根据题意知：∠BCA＝∠ACD＝∠BCD＝60°，，，
∴
．
故选：B．
15．【答案】A
【分析】如图所示，，．代入 ，利用数量积运算性质即可得出．
【解答】解：如图所示，
，．
∴ （a2cos60°+a2cos60°）a2．
故选：A．
16．【答案】A
【分析】根据空间四点共面的充要条件即可得解．
【解答】解：∵Q，A，B，C四点共面，且，
∴m﹣2+1＝1，解得m＝2．
故选：A．
二．多选题（共5小题）
17．【答案】BCD
【分析】根据题意，利用向量、相等向量的定义依次分析选项，综合可得答案．
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于A：由相等向量的定义，长度相等、方向相同的两个向量是相等向量，A正确；
对于B：平行且模相等的两个向量也可能是相反向量，B错误；
对于C：若两个向量不相等，但模长仍可能相等，例如不共线的单位向量，C错误；
对于D：相等向量只要求长度相等、方向相同，而表示两个向量的有向线段的起点不要求相同，D错误．
故选：BCD．
18．【答案】AB
【分析】根据空间向量的基本概念即可一一判断．
【解答】解：对于A，由向量模的定义，可得两向量长度相等，正确；
对于B能平移到同一个平面上的三个向量叫共面向量，平行于同一个平面的向量显然可以平移到同一平面，正确；
对于C，在空间中，起点相同的所有单位向量，终点会在一个球面上，错误；
对于D，根据基底定义，不共面的三个向量才能作为空间向量的一组基底，错误．
综上，AB正确．
故选：AB．
19．【答案】BCD
【分析】根据共线向量，零向量，单位向量的定义即可求解．
【解答】解：方向相反的向量一定共线，A正确，
向量没有大小，零向量是模长最小的向量，故B错误，
，则A，B，C可能共线，此时无法构成三角形，即A，B，C不一定为一个三角形的三个顶点，故C错误，
由单位向量的定义可知，单位向量是长度为1的向量，但方向不一定相同，故D错误．
故选：BCD．
20．【答案】ACD
【分析】A根据相反向量的定义判断；B利用向量的单位化可判断；C由共线定理可判断；D利用向量的减法运算可得即可判断．
【解答】解：由相反向量的定义可知，，故A正确；
与共线的单位向量是，故B错误；
由向量共线定理可知，共线，又有公共点A，则A，B，C共线，则C正确；
由可得，所以，D正确．
故选：ACD．
21．【答案】ACD
【分析】根据空间向量线性运算判断A、B，根据数量积的定义及运算律判断C、D．
【解答】解：在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1＝AD＝AB＝1，∠A1AD＝∠A1AB＝∠BAD＝60°，M为B1D1的中点，依题意可得，同理，，故C正确；
连接DB，
则，故A正确；
，故B错误；
；故D正确．
故选：ACD．
三．填空题（共6小题）
22．【答案】6．
【分析】直接利用向量的共线的充要条件求出结果．
【解答】解：由于已知，，不共面，若，，x，y∈R，且，则，解得x＝2，y＝4，
故x+y＝6．
故答案为：6．
23．【答案】．
【分析】直接利用向量的线性运算和共面向量基本定理求出结果．
【解答】解：空间的一点M满足，
整理得，
即，化简得，
由于M、A、B、C四点共面，故，解得．
故答案为：．
24．【答案】．
【分析】由点P为A1C的中点，可得（），再由向量的加法，可得的表达式．
【解答】解：设，，，点P为A1C的中点，
所以（）（）．
故答案为：．
25．【答案】．
【分析】根据已知条件，结合向量的线性运算，以及向量共线的性质，即可求解．
【解答】解：∵M为OA中点，N为BC的中点，
∴，，
∵，∴，
∵G、M、N三点共线，∴，解得x．
故答案为：．
26．【答案】．
【分析】根据空间共面定理得到若A，B，C，P四点共面，则，且x+y+z＝1，从而得到方程，解得即可．
【解答】解：已知：，
整理得，即，
因为A，B，C，P四点共面，所以，解得．
故答案为：．
27．【答案】．
【分析】利用空间向量的四点共面的定理，得出系数的关系，再借助基本不等式求出最小值．
【解答】解：在三棱锥P﹣ABC中，G为△ABC的重心，，
因为
，所以，
因为，，，所以，
因为M，D，E，F四点共面，所以，所以，
因为，当且仅当λ＝μ＝1时等号成立，
所以λ+μ的最小值为．
故答案为：．
四．解答题（共3小题）
28．【答案】（1）；
（2）；
（3）．
【分析】（1）（2）根据向量加法的三角形法则表示即可；
（3）根据空间向量的线性表示，用，和分别表示出和，求和即可．
【解答】解：（1）因为P是C1D1的中点，所以；
（2）因为N是BC的中点，所以；
（3）因为M是AA1的中点，
所以（），
又，
所以（）+（）．
29．【答案】（1）；
（2）．
【分析】（1）根据空间向量的线性运算即可求解；
（2）由空间向量的数量积运算即可求解．
【解答】解：（1）由题意，DC＝3BD，E为线段AD的中点，
则
；
（2）由题意，OA＝OB＝4，OC＝3，∠AOB＝∠AOC＝∠BOC＝60°，
因为，
所以
．
30．【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）直接利用向量的线性运算求出结果；
（2）利用向量的数量积运算和向量的夹角运算求出结果．
【解答】解：（1）如图所示：
所以，，由于点G为AF的中点，
故，
故．
（2）由（1）得：，
所以．
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