1.3 空间向量及其运算的坐标表示
【知识点1】空间向量的坐标运算 1
【知识点2】模长 3
【知识点3】共线与共面问题 5
【知识点4】向量垂直 8
【知识点5】向量的夹角 10
【跟踪训练】 14
1.会建立空间直角坐标系(重点)。
2.掌握空间向量的应用(重难点)。
3.掌握空间向量的坐标运算(重点)。
【知识点1】空间向量的坐标运算
1．求空间向量的坐标
(1)设i、j、k为两两垂直的单位向量．
(2)如果，则叫做向量的坐标．
2．空间向量的坐标运算
(1)向量和：a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)．
(2)向量差：a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)．
(3)数量积：a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3．
(4)共线：a∥b a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)．
(5)垂直：a⊥b a1b1＋a2b2＋a3b3＝0．
(6)夹角：cos〈a,b〉＝
例1：
【例1】（2024秋 安康期末）已知空间向量，则（ ）
A．（5，9，1） B．（﹣3，6，5） C．（﹣2，﹣9，5） D．（2，﹣9，﹣5）
【例2】（2024秋 杭州校级期末）空间一点P在xOy平面上的射影为M（2，4，0），在xOz平面上的射影为N（2，0，7），则P在yOz平面上的射影Q的坐标为（ ）
A．（2，4，7） B．（0，0，7） C．（0，4，7） D．（0，2，7）
【例3】（多选）（2025 景洪市校级开学）已知向量，，若，则x的值为（ ）
A．4 B．3 C．0 D．﹣1
【例4】（2025春 张掖校级期中）已知向量，，则 ．
【知识点2】模长
求向量的模
(1) |a|＝．
(2)若a＝(x，y，z)，则|a|＝．
例1：
【例5】（2024秋 福建期末）已知点B（﹣2，1，1）关于z轴的对称点为A，则等于（ ）
A． B． C．2 D．2
【例6】（多选）（2024秋 深圳期末）在空间直角坐标系O﹣xyz中，已知A（1，2，﹣1），B（0，1，1），下列结论正确的有（ ）
A．
B．
C．若，且，则t＝3
D．若且，则k＝2
【例7】（2025春 河南月考）已知m∈R，向量，若，则 ．
【例8】（2024秋 郑州月考）已知空间三点A（0，2，3），B（﹣2，1，6），C（1，﹣1，5）．
（1）求AB；
（2）求△ABC的面积．
【知识点3】共线与共面问题
1．向量共线
a∥b a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)．
2．向量共面
如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb．
【例9】（2024秋 焦作期末）已知向量，，且，则x+y＝（ ）
A．1 B．0 C．﹣1 D．﹣2
【例10】（2024春 西青区校级期末）已知空间向量（1，﹣1．﹣2），（0，1，x），（2，0，0），若，，共面，则实数x等于（ ）
A．2 B．﹣2 C．2或﹣2 D．2或0
【例11】（多选）（2024秋 思明区校级期中）已知空间向量，，，则（ ）
A． B．
C． D．是共面向量
【例12】（2024秋 湛江期末）已知是空间的一组基底，其中，，．若A，B，C，D四点共面，则λ＝ ．
【知识点4】向量垂直
空间向量垂直
a⊥b a1b1＋a2b2＋a3b3＝0
例1：
【例13】（2025春 启东市校级月考）已知向量（2，﹣1，3），（﹣4，x，1），且，则x＝（ ）
A．5 B．11 C．﹣5 D．﹣11
【例14】（多选）（2024秋 三明期末）设x，y∈R，向量，，，且，，则下列正确的（ ）
A．x＝2 B．y＝4
C．6 D．
【例15】（2024秋 济南期末）已知空间向量（a，3，﹣1），（4，1，﹣3），若⊥（），则实数a的值为 ．
【例16】（2024秋 朝阳区校级期中）已知向量．
（1）若向量与垂直，求实数k的值；
（2）若向量和是共面向量，求实数x的值．
【知识点5】向量的夹角
1．空间向量的夹角
cos〈a，b〉＝．
2．向量法求异面直线所成角的步骤
(1)建立空间直角坐标系．
(2)用坐标表示两异面直线的方向向量．
(3)利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值．
(4)注意两异面直线所成角的范围是，即两异面直线所成角的余弦值等于两向量夹角的余弦值的绝对值
例1：
【例17】（2024春 湘西州期末）已知空间问量，若与的夹角是钝角，则m的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，﹣6）∪（﹣6，3） B．（﹣∞，3）
C．（3，6）∪（6，﹣∞） D．（3，+∞）
【例18】（2024秋 惠州期末）在空间直角坐标系中，已知向量和向量，如果，则向量的坐标可以是： ．（注：写出一个具体的坐标即可）
【例19】（2025春 广陵区校级月考）已知空间向量（2，4，﹣2），（﹣1，0，2），（x，2，﹣1）．
（1）若∥，求；
（2）若⊥，求cos，的值．
【例20】（2025春 江苏校级月考）已知空间三点A（0，2，3），B（1，4，6），C（1，5，5）．
（1）若向量与互相垂直，求实数k的值；
（2）求以AB，AC为邻边的平行四边形的面积．
1.3 空间向量及其运算的坐标表示
一．选择题（共16小题）
1．（2025春 凉州区月考）已知向量，则（ ）
A．（﹣5,1,﹣2） B．（5,﹣1,2） C．（﹣8,1,﹣3） D．（8,﹣1,3）
2．（2024秋 揭阳期末）在空间直角坐标系Oxyz中，点A（1，2，3）关于yOz平面对称的点的坐标为（ ）
A．（﹣1，2，3） B．（1，﹣2，3）
C．（1，2，﹣3） D．（﹣1，﹣2，﹣3）
3．（2024秋 河池期末）已知向量，，若与共线，则实数x的值为（ ）
A．6 B．﹣6 C．3 D．﹣3
4．（2025春 盐城月考）若，，则（ ）
A．25 B．﹣25 C．﹣29 D．29
5．（2025春 九龙坡区校级月考）若向量（0，1，3），（﹣1，2，1），（1，0，1），则 （）＝（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
6．（2024秋 四川期末）在空间直角坐标系Oxyz中，已知点M（﹣4，2，﹣3），点N（﹣1，﹣2，2），则（ ）
A． B． C．7 D．
7．（2024秋 枣庄期末）设x∈R，向量，且，则（ ）
A． B． C．4 D．3
8．（2025 安平县校级开学）在空间直角坐标系中，点A（2，﹣1，3）关于平面xOz的对称点为B，则（ ）
A．﹣10 B．10 C．﹣12 D．12
9．（2025春 攸县校级期中）已知（x，1，1），（﹣2，2，y）， 0，则2x﹣y＝（ ）
A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2
10．（2025春 浦口区校级月考）若向量（2，2，3），（﹣1，2，1），（0，1，1），则 （）＝（ ）
A．5 B．8 C．10 D．12
11．（2025 惠东县模拟）已知空间向量，满足（1，2，3），（0，﹣2，1），则||2﹣||2＝（ ）
A．﹣2 B．1 C．0 D．﹣1
12．（2025 梅县区校级开学）向量，分别是直线l1，l2的方向向量，且，，若l1∥l2，则（ ）
A．12 B．14 C．16 D．18
13．（2025春 张掖月考）已知O是坐标原点，空间向量，，，若线段AB的中点为D，则（ ）
A．9 B．8 C．3 D．
14．（2024春 淮安期末）已知空间向量，，，若向量，，共面，则实数t为（ ）
A．1 B． C．﹣3 D．
15．（2025春 海门区校级月考）已知向量（2，2），（1，x），若∥（2），则||＝（ ）
A．10 B．2 C． D．
16．（2025 湖北模拟）长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，BB1＝1，点M是平面B1CD内的动点，且MA⊥MC，则|MC|的最大值为（ ）
A． B． C． D．
二．多选题（共8小题）
17．（2024秋 肇东市校级期末）已知，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
18．（2025 泸县校级开学）已知（﹣2，1，3），（4，﹣2，x），则下列说法正确的是（ ）
A．若，则x＝3
B．若，则x＝6
C．若，则x＝﹣6
D．若，则
19．（2025 河北开学）已知空间中三个向量，，，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．在上的投影向量为
D．
20．（2024秋 安徽期中）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AD＝1，AB＝2，AA1＝3，O为线段AC的中点，E是棱DD1上的点，且，若，则（ ）
A．
B．x+y＝0
C．
D．直线EO与直线CD1的夹角余弦是
21．（2024秋 湖北期中）在空间直角坐标系O﹣xyz中，已知A（1，3，﹣5），B（﹣2，1，1），下列结论正确的有（ ）
A．
B．
C．若，且，则
D．若且，则k＝﹣3
22．（2024秋 福建月考）已知向量，，，则（ ）
A． B．
C． D．
23．（2024秋 莱芜区校级月考）已知向量（m﹣1，2m，2），，则下列结论正确的是（ ）
A．若∥，则m＝3 B．若⊥，则
C．||的最小值为 D．||的最大值为4
24．（2024秋 东莞市校级期中）已知向量，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则t＝﹣1 B．若∥，则
C．的最大值2 D．的最小值
三．填空题（共8小题）
25．（2024秋 乐山期末）已知（﹣1，2，0），（3，1，2），则2 ．
26．（2024秋 清远期末）已知点A（2，﹣3，1），向量（2，0，3），且2，则点B的坐标为 ．
27．（2024秋 商丘期末）已知（﹣1，λ，﹣2），（2，﹣2，μ），若，则λ+μ的值为 ．
28．（2024秋 永寿县校级期末）已知空间向量，则 ， ．
29．（2024秋 抚顺校级期末）已知向量，，则 ．
30．（2024秋 宝山区校级期末）已知向量，向量，若，则实数m的值为 ．
31．（2024秋 涪城区校级期末）设，，与垂直，则k等于 ．
32．（2024秋 海淀区期末）已知向量（4，m，0），（1，2，12），且，则实数m＝ ，||＝ ．
四．解答题（共6小题）
33．（2025 宜春校级开学）已知空间中三点A（﹣1，0，2），B（0，2，4），C（﹣2，2，0），设，．
（1）求向量与向量的夹角的余弦值；
（2）若与互相垂直，求实数k的值．
34．（2024秋 武侯区校级月考）已知向量．
（1）求；
（2）求向量与夹角的余弦值．
35．（2025春 兴化市校级月考）已知空间三点A（0，2，3），B（1，4，6），C（1，5，5）．
（1）若向量与互相垂直，求实数k的值；
（2）求以AB，AC为邻边的平行四边形的面积．
36．（2024秋 永州期末）已知空间中三点A（0，2，3），B（1，2，﹣1），C（5，6，0）．
（1）若向量与相互垂直，求实数k的值；
（2）求△ABC的面积．
37．（2024秋 松江区校级月考）已知空间三点A（﹣1，1，2），B（﹣3，0，5），C（0，﹣2，4）．
（1）求△ABC的面积；
（2）若向量∥，且，求点D的坐标．
38．（2024秋 广饶县校级月考）已知空间中三点．
（1）若向量与平行，且，求的坐标；
（2）求以CB，CA，为邻边的平行四边形的面积．
第1页 共1页1.3 空间向量及其运算的坐标表示
【知识点1】空间向量的坐标运算 1
【知识点2】模长 3
【知识点3】共线与共面问题 5
【知识点4】向量垂直 8
【知识点5】向量的夹角 10
【跟踪训练】 14
1.会建立空间直角坐标系(重点)。
2.掌握空间向量的应用(重难点)。
3.掌握空间向量的坐标运算(重点)。
【知识点1】空间向量的坐标运算
1．求空间向量的坐标
(1)设i、j、k为两两垂直的单位向量．
(2)如果，则叫做向量的坐标．
2．空间向量的坐标运算
(1)向量和：a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)．
(2)向量差：a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)．
(3)数量积：a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3．
(4)共线：a∥b a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)．
(5)垂直：a⊥b a1b1＋a2b2＋a3b3＝0．
(6)夹角：cos〈a,b〉＝
例1：
【例1】（2024秋 安康期末）已知空间向量，则（ ）
A．（5，9，1） B．（﹣3，6，5） C．（﹣2，﹣9，5） D．（2，﹣9，﹣5）
【答案】D
【分析】利用空间向量坐标运算求得答案．
【解答】解：由题意可知，．
故选：D．
【例2】（2024秋 杭州校级期末）空间一点P在xOy平面上的射影为M（2，4，0），在xOz平面上的射影为N（2，0，7），则P在yOz平面上的射影Q的坐标为（ ）
A．（2，4，7） B．（0，0，7） C．（0，4，7） D．（0，2，7）
【答案】C
【分析】根据射影的概念，可得答案．
【解答】解：点P在xOy平面上的射影为M（2，4，0），在xOz平面上的射影为N（2，0，7），
则点P的坐标为（2，4，7），
则点P在yOz平面上的射影Q的坐标为（0，4，7）．
故选：C．
【例3】（多选）（2025 景洪市校级开学）已知向量，，若，则x的值为（ ）
A．4 B．3 C．0 D．﹣1
【答案】BD
【分析】根据空间向量数量积的坐标公式计算即可．
【解答】解：已知向量，，并且，
可得0+x（x﹣2）﹣1＝2，解得x＝3或x＝﹣1．所以A、C错误；B、D正确．
故选：BD．
【例4】（2025春 张掖校级期中）已知向量，，则 ．
【答案】．
【分析】根据空间向量模的运算求得正确答案．
【解答】解：向量，，
则，
所以．
故答案为：．
【知识点2】模长
求向量的模
(1) |a|＝．
(2)若a＝(x，y，z)，则|a|＝．
例1：
【例5】（2024秋 福建期末）已知点B（﹣2，1，1）关于z轴的对称点为A，则等于（ ）
A． B． C．2 D．2
【答案】C
【分析】由点关于某坐标轴对称的点的特征以及两点距离公式即可求解．
【解答】解：点B（﹣2，1，1）关于z轴的对称点为A（2，﹣1，1），
∴由空间中两点间距离公式得：
．
故选：C．
【例6】（多选）（2024秋 深圳期末）在空间直角坐标系O﹣xyz中，已知A（1，2，﹣1），B（0，1，1），下列结论正确的有（ ）
A．
B．
C．若，且，则t＝3
D．若且，则k＝2
【答案】BC
【分析】根据题意，得到向量，，，结合空间向量的坐标运算法则，逐项判定，即可求解．
【解答】解：在空间直角坐标系O﹣xyz中，已知A（1，2，﹣1），B（0，1，1），
所以，，，
对于A，故，所以A错误；
对于B，可得，所以B正确；
对于C，若，且，则，解得t＝3，所以C正确；
对于D，若且，因为，可得，解得k＝﹣2，所以D错误．
故选：BC．
【例7】（2025春 河南月考）已知m∈R，向量，若，则 ．
【答案】．
【分析】根据空间向量数量积的坐标表示，建立方程，可得答案．
【解答】解：由题意，，解得m＝4，
则（1，4，﹣2），所以．
故答案为：．
【例8】（2024秋 郑州月考）已知空间三点A（0，2，3），B（﹣2，1，6），C（1，﹣1，5）．
（1）求AB；
（2）求△ABC的面积．
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）直接利用向量的坐标运算求出向量的模；
（2）直接利用向量的坐标运算和向量的模及三角形的面积公式求出结果．
【解答】解：（1）A（0，2，3），B（﹣2，1，6），C（1，﹣1，5），
故：．
（2）由已知条件得：，，故；
所以，所以，
故．
【知识点3】共线与共面问题
1．向量共线
a∥b a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)．
2．向量共面
如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb．
【例9】（2024秋 焦作期末）已知向量，，且，则x+y＝（ ）
A．1 B．0 C．﹣1 D．﹣2
【答案】A
【分析】依题意可得，即可得到方程组，解得即可．
【解答】解：因为，，，
所以，即，解得，
所以x+y＝1．
故选：A．
【例10】（2024春 西青区校级期末）已知空间向量（1，﹣1．﹣2），（0，1，x），（2，0，0），若，，共面，则实数x等于（ ）
A．2 B．﹣2 C．2或﹣2 D．2或0
【答案】A
【分析】根据共面向量基本定理即可求出x的值．
【解答】解：∵不共线，共面，
∴存在实数λ，μ，使，
∴，解得x＝2．
故选：A．
【例11】（多选）（2024秋 思明区校级期中）已知空间向量，，，则（ ）
A． B．
C． D．是共面向量
【答案】ABD
【分析】根据题意，利用空间向量的坐标运算与表示，共线向量的坐标运算，共面向量定理，逐项判定，即可求解．
【解答】解：由向量，
可得，，所以A、B正确；
设，可得，此时方程组无解，
所以向量与向量不共线，所以C错误；
设，整理得：，解得x＝1，y＝﹣1，所以共面，
所以D正确．
故选：ABD．
【例12】（2024秋 湛江期末）已知是空间的一组基底，其中，，．若A，B，C，D四点共面，则λ＝ ．
【答案】．
【分析】根据给定条件，利用共面向量定理列式计算得解．
【解答】解：已知是空间的一组基底，
其中，，．
由A，B，C，D四点共面，得，
而向量，，，
则，
又不共面，因此，解得，
所以．
故答案为：．
【知识点4】向量垂直
空间向量垂直
a⊥b a1b1＋a2b2＋a3b3＝0
例1：
【例13】（2025春 启东市校级月考）已知向量（2，﹣1，3），（﹣4，x，1），且，则x＝（ ）
A．5 B．11 C．﹣5 D．﹣11
【答案】C
【分析】结合空间向量垂直的性质，即可求解．
【解答】解：向量（2，﹣1，3），（﹣4，x，1），且，
则2×（﹣4）﹣x+3×1＝0，解得x＝﹣5．
故选：C．
【例14】（多选）（2024秋 三明期末）设x，y∈R，向量，，，且，，则下列正确的（ ）
A．x＝2 B．y＝4
C．6 D．
【答案】AC
【分析】由条件结合垂直向量的坐标表示和平行向量的坐标关系求x，y，进而逐项判断即可．
【解答】解：因为，，，所以3x﹣12+6＝0，所以x＝2，A正确；
对于B，因为，，，所以，所以y＝﹣4，B错误；
对于C，，，可得，所以，C正确；
对于D，，
则，D错误．
故选：AC．
【例15】（2024秋 济南期末）已知空间向量（a，3，﹣1），（4，1，﹣3），若⊥（），则实数a的值为 ．
【答案】2．
【分析】根据已知条件，结合空间向量垂直的性质，即可求解．
【解答】解：若⊥（），
则，
空间向量（a，3，﹣1），（4，1，﹣3），
则a2+9+1﹣（4a+3+3）＝0，解得a＝2．
故答案为：2．
【例16】（2024秋 朝阳区校级期中）已知向量．
（1）若向量与垂直，求实数k的值；
（2）若向量和是共面向量，求实数x的值．
【答案】（1）；
（2）﹣2．
【分析】（1）根据向量的加法和数乘，可得坐标表示，根据垂直向量的坐标计算公式，可得答案；
（2）根据向量共面定理，建立向量和之间的表示，可得方程组，解得答案．
【解答】解：（1）由，，
则，
因为，所以，
则26k+13＝0，
解得．
（2）由向量和是共面向量，则存在λ，μ，使得，
则，解得，
则x＝﹣2．
【知识点5】向量的夹角
1．空间向量的夹角
cos〈a，b〉＝．
2．向量法求异面直线所成角的步骤
(1)建立空间直角坐标系．
(2)用坐标表示两异面直线的方向向量．
(3)利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值．
(4)注意两异面直线所成角的范围是，即两异面直线所成角的余弦值等于两向量夹角的余弦值的绝对值
例1：
【例17】（2024春 湘西州期末）已知空间问量，若与的夹角是钝角，则m的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，﹣6）∪（﹣6，3） B．（﹣∞，3）
C．（3，6）∪（6，﹣∞） D．（3，+∞）
【答案】A
【分析】根据题意，只需限制：数量积为负数且向量不能反向共线，即可解题．
【解答】解：由题意可得，且不能反向共线，
即解得m＜﹣6或﹣6＜m＜3．
故选：A．
【例18】（2024秋 惠州期末）在空间直角坐标系中，已知向量和向量，如果，则向量的坐标可以是： ．（注：写出一个具体的坐标即可）
【答案】（0，1，0）（答案不唯一）．
【分析】根据已知条件，结合空间向量的夹角公式，即可求解．
【解答】解：如果，向量，向量，
则，即，
不妨令x＝0，y＝1，则z＝0，
故向量的坐标可以是（0，1，0）．
故答案为：（0，1，0）（答案不唯一）．
【例19】（2025春 广陵区校级月考）已知空间向量（2，4，﹣2），（﹣1，0，2），（x，2，﹣1）．
（1）若∥，求；
（2）若⊥，求cos，的值．
【答案】（1）；
（2）．
【分析】（1）根据向量的共线定理可求x，从而可解；
（2）根据向量垂直的坐标运算可得x，从而可解．
【解答】解：（1）（2，4，﹣2），（x，2，﹣1），（﹣1，0，2），
∵∥，∴存在实数k，使得，所以，则x＝1，
则．
（2）∵⊥，则，∴x＝﹣2，∴，
故．
【例20】（2025春 江苏校级月考）已知空间三点A（0，2，3），B（1，4，6），C（1，5，5）．
（1）若向量与互相垂直，求实数k的值；
（2）求以AB，AC为邻边的平行四边形的面积．
【答案】（1）．
（2）．
【分析】（1）根据空间向量坐标运算公式求出的坐标，再根据已知，解得即可求得k值．
（2）根据空间向量数量积公式△ABC中角A的余弦值即cos∠BAC，进而求出sin∠BAC，再由面积公式求出S△ABC，即可求四边形面积．
【解答】解：（1）因为A（0，2，3），B（1，4，6），C（1，5，5），
所以，，
所以，
∵向量（）⊥，∴，
解得．
（2）∵，，
∴由数量积公式得出向量夹角余弦值，即，
则，
以AB，AC为邻边构成平行四边形面积S＝2S△ABC，
而，
∴以AB，AC为邻边的平行四边形的面积S．
1.3 空间向量及其运算的坐标表示
一．选择题（共16小题）
1．（2025春 凉州区月考）已知向量，则（ ）
A．（﹣5,1,﹣2） B．（5,﹣1,2） C．（﹣8,1,﹣3） D．（8,﹣1,3）
2．（2024秋 揭阳期末）在空间直角坐标系Oxyz中，点A（1，2，3）关于yOz平面对称的点的坐标为（ ）
A．（﹣1，2，3） B．（1，﹣2，3）
C．（1，2，﹣3） D．（﹣1，﹣2，﹣3）
3．（2024秋 河池期末）已知向量，，若与共线，则实数x的值为（ ）
A．6 B．﹣6 C．3 D．﹣3
4．（2025春 盐城月考）若，，则（ ）
A．25 B．﹣25 C．﹣29 D．29
5．（2025春 九龙坡区校级月考）若向量（0，1，3），（﹣1，2，1），（1，0，1），则 （）＝（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
6．（2024秋 四川期末）在空间直角坐标系Oxyz中，已知点M（﹣4，2，﹣3），点N（﹣1，﹣2，2），则（ ）
A． B． C．7 D．
7．（2024秋 枣庄期末）设x∈R，向量，且，则（ ）
A． B． C．4 D．3
8．（2025 安平县校级开学）在空间直角坐标系中，点A（2，﹣1，3）关于平面xOz的对称点为B，则（ ）
A．﹣10 B．10 C．﹣12 D．12
9．（2025春 攸县校级期中）已知（x，1，1），（﹣2，2，y）， 0，则2x﹣y＝（ ）
A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2
10．（2025春 浦口区校级月考）若向量（2，2，3），（﹣1，2，1），（0，1，1），则 （）＝（ ）
A．5 B．8 C．10 D．12
11．（2025 惠东县模拟）已知空间向量，满足（1，2，3），（0，﹣2，1），则||2﹣||2＝（ ）
A．﹣2 B．1 C．0 D．﹣1
12．（2025 梅县区校级开学）向量，分别是直线l1，l2的方向向量，且，，若l1∥l2，则（ ）
A．12 B．14 C．16 D．18
13．（2025春 张掖月考）已知O是坐标原点，空间向量，，，若线段AB的中点为D，则（ ）
A．9 B．8 C．3 D．
14．（2024春 淮安期末）已知空间向量，，，若向量，，共面，则实数t为（ ）
A．1 B． C．﹣3 D．
15．（2025春 海门区校级月考）已知向量（2，2），（1，x），若∥（2），则||＝（ ）
A．10 B．2 C． D．
16．（2025 湖北模拟）长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，BB1＝1，点M是平面B1CD内的动点，且MA⊥MC，则|MC|的最大值为（ ）
A． B． C． D．
二．多选题（共8小题）
17．（2024秋 肇东市校级期末）已知，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
18．（2025 泸县校级开学）已知（﹣2，1，3），（4，﹣2，x），则下列说法正确的是（ ）
A．若，则x＝3
B．若，则x＝6
C．若，则x＝﹣6
D．若，则
19．（2025 河北开学）已知空间中三个向量，，，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．在上的投影向量为
D．
20．（2024秋 安徽期中）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AD＝1，AB＝2，AA1＝3，O为线段AC的中点，E是棱DD1上的点，且，若，则（ ）
A．
B．x+y＝0
C．
D．直线EO与直线CD1的夹角余弦是
21．（2024秋 湖北期中）在空间直角坐标系O﹣xyz中，已知A（1，3，﹣5），B（﹣2，1，1），下列结论正确的有（ ）
A．
B．
C．若，且，则
D．若且，则k＝﹣3
22．（2024秋 福建月考）已知向量，，，则（ ）
A． B．
C． D．
23．（2024秋 莱芜区校级月考）已知向量（m﹣1，2m，2），，则下列结论正确的是（ ）
A．若∥，则m＝3 B．若⊥，则
C．||的最小值为 D．||的最大值为4
24．（2024秋 东莞市校级期中）已知向量，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则t＝﹣1 B．若∥，则
C．的最大值2 D．的最小值
三．填空题（共8小题）
25．（2024秋 乐山期末）已知（﹣1，2，0），（3，1，2），则2 ．
26．（2024秋 清远期末）已知点A（2，﹣3，1），向量（2，0，3），且2，则点B的坐标为 ．
27．（2024秋 商丘期末）已知（﹣1，λ，﹣2），（2，﹣2，μ），若，则λ+μ的值为 ．
28．（2024秋 永寿县校级期末）已知空间向量，则 ， ．
29．（2024秋 抚顺校级期末）已知向量，，则 ．
30．（2024秋 宝山区校级期末）已知向量，向量，若，则实数m的值为 ．
31．（2024秋 涪城区校级期末）设，，与垂直，则k等于 ．
32．（2024秋 海淀区期末）已知向量（4，m，0），（1，2，12），且，则实数m＝ ，||＝ ．
四．解答题（共6小题）
33．（2025 宜春校级开学）已知空间中三点A（﹣1，0，2），B（0，2，4），C（﹣2，2，0），设，．
（1）求向量与向量的夹角的余弦值；
（2）若与互相垂直，求实数k的值．
34．（2024秋 武侯区校级月考）已知向量．
（1）求；
（2）求向量与夹角的余弦值．
35．（2025春 兴化市校级月考）已知空间三点A（0，2，3），B（1，4，6），C（1，5，5）．
（1）若向量与互相垂直，求实数k的值；
（2）求以AB，AC为邻边的平行四边形的面积．
36．（2024秋 永州期末）已知空间中三点A（0，2，3），B（1，2，﹣1），C（5，6，0）．
（1）若向量与相互垂直，求实数k的值；
（2）求△ABC的面积．
37．（2024秋 松江区校级月考）已知空间三点A（﹣1，1，2），B（﹣3，0，5），C（0，﹣2，4）．
（1）求△ABC的面积；
（2）若向量∥，且，求点D的坐标．
38．（2024秋 广饶县校级月考）已知空间中三点．
（1）若向量与平行，且，求的坐标；
（2）求以CB，CA，为邻边的平行四边形的面积．
参考答案
一．选择题（共16小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 D A D B D D D D C C D
题号 12 13 14 15 16
答案 B C B D D
二．多选题（共8小题）
题号 17 18 19 20 21 22 23 24
答案 ACD AC ACD ABD AC BD AC AB
一．选择题（共16小题）
1．【答案】D
【分析】由空间向量的坐标运算求解即可．
【解答】解：因为，所以，
所以．
故选：D．
2．【答案】A
【分析】根据关于yOz平面对称，x值变为相反数，其它不变这一结论直接写结论即可．
【解答】解：在空间直角坐标系Oxyz中，
点A（1，2，3）关于yOz平面对称的点的坐标为（﹣1，2，3）．
故选：A．
3．【答案】D
【分析】根据向量共线定理即可求得．
【解答】解：若与共线，则，λ∈R，
可得，解得x＝λ＝﹣3．
故选：D．
4．【答案】B
【分析】先根据向量的加法、数乘运算法则分别求出与的坐标，再根据向量数量积的坐标运算直接计算即可．
【解答】解：，，
所以，，
所以，
故．
故选：B．
5．【答案】D
【分析】根据已知条件，结合空间向量的坐标运算，即可求解．
【解答】解：（﹣1，2，1），（1，0，1），则，
向量（0，1，3），则 （）＝0+2+6＝8．
故选：D．
6．【答案】D
【分析】根据空间两点间的距离公式求解即可．
【解答】解：因为M（﹣4，2，﹣3），N（﹣1，﹣2，2），
所以．
故选：D．
7．【答案】D
【分析】利用向量垂直求出x，再求出的坐标后即可求其模．
【解答】解：因为向量，且，所以，
所以，解得x＝1，所以，
则，所以．
故选：D．
8．【答案】D
【分析】先求出B（2，1，3），由此能求出．
【解答】解：在空间直角坐标系中，点A（2，﹣1，3）关于平面xOz的对称点为B，∴B（2，1，3），
∴4﹣1+9＝12．
故选：D．
9．【答案】C
【分析】利用向量数量积公式直接求解．
【解答】解：∵a＝（x，1，1），b＝（﹣2，2，y），a b＝0，
∴2x+2+y＝0．解得2x﹣y＝2．
故选：C．
10．【答案】C
【分析】利用空间向量的数量积运算求解即可．
【解答】解：∵（﹣1，2，1），（0，1，1），∴（﹣1，3，2），
则 （）＝﹣2+6+6＝10，
故选：C．
11．【答案】D
【分析】根据已知条件，结合空间向量的坐标运算法则，即可求解．
【解答】解：（1，2，3），（0，﹣2，1），
则||2﹣||2＝（）0﹣4+3＝﹣1．
故选：D．
12．【答案】B
【分析】由l1∥l2，可得存在实数使得，可求x，y的值．
【解答】解：∵l1∥l2，∴，∴存在非零实数k，使得，
∴，解得，，即，
∴．
故选：B．
13．【答案】C
【分析】根据模长的坐标计算公式直接计算．
【解答】解：A（1，1，2），B（﹣1，3，4），C（2，4，4），则D（0，2，3），
所以，所以．
故选：C．
14．【答案】B
【分析】由题意可知：，结合向量的坐标运算求解．
【解答】解：若向量，，共面，则，
可得，解得，所以实数t为．
故选：B．
15．【答案】D
【分析】可求出，然后根据即可得出2（2x+2）﹣8＝0，解出x的值，然后即可得出的坐标，进而求出||的值．
【解答】解：∵，且，
∴2（2x+2）﹣2×4＝0，解得x＝1，
∴，．
故选：D．
16．【答案】D
【分析】先确定点M的截面圆，通过面面垂直找到球心到截面的距离，进而求出椭面圆半径，再结合点C与截面的位置关系，求出|MC|的最大值．
【解答】解：M点在以AC的中点O为球心，半径为的球面上，
又点M在平面B1CD上，点M在平面B1CD与球的一个截面圆上，
取CD的中点E，AB1的中点G，连接EG，FG，
∵CD⊥平面EFG，∴面B1CD⊥面EFG，面B1CD∩面EFG＝GE，
作OO1⊥GE于O1，∴OO1⊥面B1CD，
由相似三角形性质得，∴OO1，O1M，
点M在以O1为圆心，为半径的圆上，
∵CO1＝O1M，∴C在该圆上，则|MC|的最大值为．
故选：D．
二．多选题（共8小题）
17．【答案】ACD
【分析】根据空间向量的坐标运算求解．
【解答】解：由题意，（10，﹣5，﹣2），（﹣2，1，﹣6）， 24+6﹣8＝22，||6．
故选：ACD．
18．【答案】AC
【分析】对于A：根据数量积的坐标运算分析判断；对于BD：根据向量垂直分析判断；对于C：根据向量平行分析判断．
【解答】解：对于选项A：因为，
所以8﹣2+3x＝﹣1，所以x＝3，故选项A正确；
对于选项B：因为，
则，
解得x＝±6，故选项B错误；
对于选项C：因为，且，
则，解得x＝﹣6，故选项C正确；
对于选项D：若，则，解得，故选项D错误．
故选：AC．
19．【答案】ACD
【分析】根据已知条件，结合空间向量的坐标运算，即可依次求解．
【解答】解：，则，故A正确；
向量，，则，，
则，故B错误；
，，故在上的投影向量为，故C正确；
，，故，故D正确．
故选：ACD．
20．【答案】ABD
【分析】根据空间向量的线性运算可判定A，B；根据空间向量的数量积运算可判定C，D．
【解答】解：因为O为线段AC的中点，，
所以，
所以，，，因此A、B正确；
因为，所以C错误；
因为，
，，
所以，
即直线EO与直线CD1的夹角余弦值为，因此D正确．
故选：ABD．
21．【答案】AC
【分析】利用空间向量的坐标表示，再结合空间向量的坐标运算逐项分析判断得解．
【解答】解：由题意，，A正确；
，B错误；
由，解得，C正确；
由题得，无解，D错误．
故选：AC．
22．【答案】BD
【分析】利用空间向量的运算公式逐项判断即可．
【解答】解：已知向量，，，
对于A，，故，故A错误；
对于B，，∴，故B正确；
对于C，，故，故C错误；
对于D，，故，故D正确．
故选：BD．
23．【答案】AC
【分析】对于A，利用共线定理列方程求解判断，对于B，由得求解m，对于CD，表示出后利用二次函数性质求最值判断．
【解答】解：对于A，若，且，，
则存在唯一实数λ使得，
即（m﹣1，2m，2）＝（（2m﹣5）λ，mλ，λ），
则，解得，故A正确；
对于B，若则，即（m﹣1）（2m﹣5）+2m2+2＝0，化简得4m2﹣7m+7＝0，因为Δ＝49﹣16×7＜0，所以无实数解，故B错误；
对于CD，，
故当时，取得最小值为，无最大值，故C正确，D错误．
故选：AC．
24．【答案】AB
【分析】根据已知条件，结合向量垂直、平行的性质，以及向量模公式，即可求解．
【解答】解：，
对于A，，则t（2t﹣2）﹣2t2﹣2＝0，解得t＝﹣1，故A正确；
对于B，显然，t＝0不符合题意，∥，则，解得t，故B正确；
对于CD，，当t＝0时，的最小值小组为，故CD错误．
故选：AB．
三．填空题（共8小题）
25．【答案】（﹣7，0，﹣4）．
【分析】结合空间向量的坐标运算法则，即可求解．
【解答】解：（﹣1，2，0），（3，1，2），
则2（﹣1，2，0）﹣（6，2，4）＝（﹣7，0，﹣4）．
故答案为：（﹣7，0，﹣4）．
26．【答案】（6，﹣3，7）．
【分析】根据已知条件，结合空间向量的坐标运算法则，即可求解．
【解答】解：设点B的坐标为（x，y，z），点A（2，﹣3，1），
则，
向量（2，0，3），且2，则，解得，
故点B的坐标为（6，﹣3，7）．
故答案为：（6，﹣3，7）．
27．【答案】5．
【分析】利用空间向量平行的坐标表示即可得解．
【解答】解：由题意，μ≠0，则，解得λ＝1，μ＝4，
所以λ+μ＝1+4＝5．
故答案为：5．
28．【答案】5；7．
【分析】利用向量数量积的坐标运算法则可求，利用向量线性运算的坐标运算法则求得的坐标，进而求模即可．
【解答】解：因为，
则，
空间向量，
所以，
所以．
故答案为：5；7．
29．【答案】．
【分析】根据已知条件，结合空间向量的坐标运算，以及向量模公式，即可求解．
【解答】解：，，则，
所以．
故答案为：．
30．【答案】8．
【分析】根据已知条件，结合向量垂直的性质，即可求解．
【解答】解：向量，向量，，
则2×4﹣m+0＝0，解得m＝8．
故答案为：8．
31．【答案】﹣14．
【分析】根据已知条件，结合空间向量垂直的性质，即可求解．
【解答】解：，，
则，与垂直，
则﹣3（k﹣3）+（﹣2k+1）+2（3k+2）＝0，解得k＝﹣14．
故答案为：﹣14．
32．【答案】﹣2；13．
【分析】根据已知条件，结合向量垂直的性质，以及向量模公式，即可求解．
【解答】解：向量（4，m，0），（1，2，12），且，
则4+2m+0＝0，解得m＝﹣2，故，
所以||．
故答案为：﹣2；13．
四．解答题（共6小题）
33．【答案】（1）；
（2）．
【分析】（1）求得向量与的坐标，根据向量的夹角公式即可求得答案；
（2）表示出的坐标，依题意可得，根据数量积的坐标表示得到方程，解得即可．
【解答】解：（1）由题意可知，，，
所以，
即向量与向量的夹角的余弦值为；
（2）因为，
又与互相垂直，
所以，
解得．
34．【答案】（1）．
（2）．
【分析】（1）根据向量坐标运算和模的公式计算；
（2）利用数量积的公式计算．
【解答】解：（1）因为向量．
由空间向量的坐标运算法则知：
（2，﹣1，2）+（1，4，1）＝（3，3，3），
，．
（2）设与的夹角为θ，则，
（4，7，4），9，（1，﹣5，1），，
所以，
所以向量与夹角的余弦值为．
35．【答案】（1）．
（2）．
【分析】（1）根据空间向量坐标运算求出的坐标，依题意，根据数量积的坐标表示得到方程，解得即可．
（2）根据数量积公式求出三角形ABC中角A余弦值即cos∠BAC，再由面积公式求出S△ABC，即可得出平行四边形面积．
【解答】解：（1）∵A（0，2，3），B（1，4，6），C（1，5，5），
∴，
，
∴，
∵与互相垂直，∴，
解得．
（2）∵，，
∴，则，
∴，
∴以AB，AC为邻边的平行四边形的面积S四边形．
36．【答案】（1）1；（2）．
【分析】（1）求出（1，0，﹣4），（5，4，﹣3），（1﹣5k，﹣4k，﹣4+3k），再由向量与相互垂直，利用向量垂直的性质能求出实数k；
（2）由（1，0，﹣4），（5，4，﹣3），求出cos，，再利用同角三角函数关系式求出sin，△ABC的面积为S，由此能求出结果．
【解答】解：（1）空间中三点A（0，2，3），B（1，2，﹣1），C（5，6，0），
（1，0，﹣4），（5，4，﹣3），（1﹣5k，﹣4k，﹣4+3k），
∵向量与相互垂直，∴（） 1﹣5k﹣4（﹣4+3k）＝0，
解得实数k＝1；
（2）∵（1，0，﹣4），（5，4，﹣3），
∴cos，，
∴sin，
∴△ABC的面积为：
S ．
37．【答案】（1）；（2）（﹣4，﹣4，10）或（4，0，﹣2）．
【分析】（1）求出的夹角为，利用三角形面积公式得到答案；
（2）根据平行关系和模长得到，于是或（4，2，﹣6），求出点D的坐标．
【解答】解：（1）设向量的夹角为θ，由空间三点A（﹣1，1，2），B（﹣3，0，5），C（0，﹣2，4），
可得，
，得，
因为0≤θ≤π，所以，
所以三角形的面积为．
（2）因为∥，所以，其中λ∈R，
因为，可得|λ|＝2，所以，
于是或（4，2，﹣6），
即点D的坐标为（﹣4，﹣4，10）或（4，0，﹣2）．
38．【答案】（1）或；（2）．
【分析】（1）由已知可设，利用向量的模长公式求出λ的值，即可求出向量的坐标；
（2）利用空间向量的夹角公式求出，再结合三角形的面积公式即可求解．
【解答】解：（1）空间中三点，
所以，
因为向量与平行，所以可设，所以，
因为，所以，所以λ＝±1，
所以或，
所以的坐标为或；
（2）因为，
所以，
所以即，
又∠ACB∈（0，π），所以；
所以△ABC的面积，
所以以CB，CA为邻边的平行四边形的面积为
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