1.2 空间向量基本定理
【知识点1】空间向量基底的判断 1
【知识点2】由基底表示向量 2
【知识点3】位置关系的判断 4
【知识点4】求夹角 6
【知识点5】求距离 8
【跟踪训练】 11
1.知道空间向量基本定理(重点)。
2.掌握空间向量基本定理的应用(重难点)。
【知识点1】空间向量基底的判断
基底的判断
(1)判断一组向量能否作为空间的一个基底，实质是判断这三个向量是否共面，若不共面，就可以作为一个基底．
(2)选模型：判断基底时，常常依托正方体、长方体、平行六面体、四面体等几何体，用它们从同一顶点出发的三条棱对应的方向向量为基底，并在此基础上构造其他向量进行相关的判断
例1：
【例1】（2024秋 宁波期末）已知是空间的一个基底，则下列向量中与向量，能构成空间基底的是（ ）
A． B． C． D．
【例2】（2024秋 四川期末）已知{，，}是空间的一个基底，则可以与向量2，2构成空间另一个基底的向量是（ ）
A． B． C． D．
【例3】（多选）（2025 白水县校级开学）若是空间的一个基底，则下列各组中能构成空间一个基底的是（ ）
A． B．
C． D．
【例4】（多选）（2024春 双鸭山校级期末）已知不共面的三个向量，，都是单位向量，且夹角都是，则下列结论正确的是（ ）
A．是空间的一组基底
B．不是空间的一组基底
C．向量的模是2
D．向量和的夹角为
【知识点2】由基底表示向量
用基底表示空间向量的步骤
(1)选基底：根据已知条件，确定不共面的三个向量作为基底，一般以同一顶点出发的三条棱对应的方向向量为基底．
(2)看目标；紧抓目标向量，用基底表示目标向量。需充分利用向量加法、减法的三角形法则和平行四边形法则，以及向量数乘运算的运算律．
(3)列式：列出式子，用基底表示目标向量．
例1：
【例5】（多选）（2024秋 哈尔滨校级期末）如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AC和BD的交点为O，设，，，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【例6】（多选）（2024秋 亳州校级月考）如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱长都是1，且它们彼此的夹角都是60°，M为A1C1与B1D1的交点，若，，，则下列正确的是（ ）
A． B．AC1的长为
C． D．cos，
【例7】（多选）（2024秋 吉林期中）如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝AD＝AA1＝2，∠BAD＝∠A1AB＝∠A1AD＝60°，A1C1与B1D1的交点为M，设，，，则（ ）
A． B．
C．|| D．
【例8】（2024秋 开封期末）如图，已知正四面体OABC的棱长为1，M是棱BC的中点，N是线段OM的中点，记，，．
（1）用，，表示向量；
（2）求||．
【知识点3】位置关系的判断
证明平行、共面问题的思路
(1)利用向量共线的充要条件来证明点共线或直线平行．
(2)利用空间向量基本定理证明点线共面或线面平行．
例1：
【例9】（2024春 高碑店市校级期末）给出下列命题，其中正确的是（ ）
A．若，则是钝角
B．若，则与一定共线
C．若，则AB与CD为同一线段
D．非零向量、、满足与，与，与都是共面向量，则、、必共面
【例10】（多选）（2024秋 石家庄校级期中）如图，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝AD＝AA1＝2，∠BAD，M为A1C1与B1D1的交点．若，，，则下列说法正确的有（ ）
A．
B．
C．设，则AN⊥BM
D．以D为球心，为半径的球与四边形BCC1B1的交线长为
【例11】（2024秋 湛江期末）已知是空间的一组基底，其中，，．若A，B，C，D四点共面，则λ＝ ．
【例12】（2024秋 巴楚县校级月考）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，，，，点M，N分别是A1D，B1D1的中点．
（1）试用，，表示．
（2）求证：MN∥平面ABB1A1．
【知识点4】求夹角
1．由向量求夹角
(1) θ为a，b的夹角，则cos θ＝．
(2)若a，b是非零向量，则a⊥b a·b＝0．
2．求夹角、证明线线垂直的方法
(1)利用数量积定义得cos〈a，b〉＝，求〈a，b〉的大小，进而求得线线角．
(2)两直线垂直可作为求夹角的特殊情况。
例1：
【例13】（2025春 漳州期中）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC＝∠BAA1＝∠CAA1＝60°，AB＝AC＝AA1＝1，M，N分别是A1B，B1C1上的点，且，设．
（1）试用表示向量，并求MN的长；
（2）求异面直线MN，BC所成角的余弦值．
【例14】（2024秋 甘肃校级期中）已知平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，各条棱长均为m，底面是正方形，且∠A1AD＝∠A1AB＝120°，设，，．
（1）用，，表示及求；
（2）求异面直线AC与BD1所成的角的余弦值．
【例15】（2024秋 正定县校级期中）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，M，N分别是A1B，B1C1上的点，且2，．设，，．
（1）试用，，表示向量；
（2）若∠BAC＝90°，∠BAA1＝∠CAA1＝60°，AB＝AC＝AA1＝1，求异面直线MN与AC的夹角的余弦值．
【例16】（2024秋 福州期中）如图，平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为1的正方形，，设，，
（1）试用，，表示向量、；
（2）若∠A1AD＝∠A1AB＝120°，求向量与所成的角的余弦值．
【知识点5】求距离
求距离
(1) |a|2＝a2．
(2) |a|＝．
(3)运用公式|a|2＝a·a，可使线段长度的计算问题转化为向量数量积的计算问题．
例1：
【例17】（2024秋 禅城区校级月考）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，M，N分别是A1B和B1C1上的点，∠BAC＝90°，∠BAA1＝∠CAA1＝60°，AB＝AC＝AA1＝1，，．设，，，用基向量法解决下列问题．
（1）求||；
（2）求异面直线MN与BC所成角的余弦值．
【例18】（2024秋 达州期中）如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD为正方形，AB＝AA1＝4，，．设，，．
（1）用，，表示；
（2）求AE的长度．
【例19】（2024秋 青浦区校级月考）在四面体ABCD中，各棱长均为1，H，G分别是AD、CD的中点，且．
（1）求证：E、F、G、H四点共面；
（2）用向量，，表示，并求出．
【例20】（2024 华蓥市校级开学）在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝1，AD＝2，AA1＝3，∠BAD＝90°，∠BAA1＝∠DAA1＝60°．若，，
（1）用基底表示向量；
（2）求向量的长度．
1.2 空间向量基本定理
一．选择题（共19小题）
1．（2024秋 东莞市期末）已知为空间的一组基底，则下列向量也能构成空间的一组基底的是（ ）
A．、、 B．、、
C．、、 D．、、
2．（2025 临朐县校级开学）若{、、}为空间的一组基底，则下列各项中，能构成基底的一组向量是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，2
3．（2025秋 四川月考）给出下列命题：
①若空间向量，满足，则与的夹角为钝角；
②空间任意两个单位向量必相等；
③对于非零向量，若，则；
④若为空间的一个基底，则构成空间的另一个基底．
其中说法正确的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
4．（2024秋 西城区校级月考）下列说法正确的是（ ）
A．任何三个不共线的向量可构成空间向量的一个基底
B．空间的基底有且仅有一个
C．两两垂直的三个非零向量可构成空间的一个基底
D．任一个向量在基底下的分解式与在基底下的分解式相同
5．（2024秋 海淀区校级期中）下列可使，，构成空间的一个基底的条件是（ ）
A．，，两两垂直 B．λ
C．mn D．0
6．（2025春 高邮市期中）对于空间中任意一点O和不共线的三点A，B，C，能得到点P在平面ABC内的是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2025春 上海校级月考）已知向量，，是空间不共面的三个向量，则下列选项中能构成空间向量一组基底是（ ）
A．，， B．，， C．，， D．，，
8．（2024秋 哈密市校级期末）如图，在四面体OABC中，N是BC的中点．设，，，用，，表示，则（ ）
A． B．
C． D．
9．（2024秋 玉溪期末）在三棱锥P﹣ABC中，M在PA上，N在BC上，且PM＝3MA，BN＝2NC，则（ ）
A． B．
C． D．
10．（2024秋 江阴市期中）设为空间的一个基底，，，，若，，共面，则k＝（ ）
A． B． C． D．
11．（2024春 绥棱县校级期末）已知O，A，B，C为空间四点，且向量，，不能构成空间的一个基底，则一定有（ ）
A．，，共线
B．O，A，B，C中至少有三点共线
C．与共线
D．O，A，B，C四点共面
12．（2024秋 渝北区校级月考）已知A，B，C三点不共线，O是平面ABC外任意一点，若由λ确定的一点P与A，B，C三点共面，则λ等于（ ）
A． B． C． D．
13．（2024秋 南开区校级月考）已知{，，}是空间的一组基底，其中 23，，2λ．若A，B，C，D四点共面，则λ＝（ ）
A． B． C． D．
14．（2024秋 临淄区校级月考）对于空间任意一点O和不共线的三点A、B、C，有如下关系：，则（ ）
A．四点O、A、B、C必共面
B．四点P、A、B、C必共面
C．四点O、P、B、C必共面
D．五点O、P、A、B，C必共面
15．（2024秋 鄂城区期中）在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，若，，，点P为A1C1与B1D1的交点，则（ ）
A． B． C． D．
16．（2025春 湖北期中）点B在线段AC上（异于A，C两点），O为直线AC外一点，若，则的最小值为（ ）
A．5 B．6 C．9 D．12
17．（2024秋 四川校级期末）已知是空间的一个基底，则下列说法错误的是（ ）
A．若，则x＝y＝z＝0
B．两两共面，但不共面
C．一定存在x，y，使得
D．一定能构成空间的一个基底
18．（2025春 长沙月考）如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AC与BD的交点为M．设，，，则下列向量中与2相等的向量是（ ）
A．2 B．2 C．2 D．2
19．（2025春 河南校级月考）已知点M是正四面体P﹣ABC底面ABC内一点，满足，其中x，y，z∈R，当最小时，3x+2y+z的值为（ ）
A． B． C．2 D．1
二．多选题（共5小题）
20．（2025春 沭阳县期中）若为空间的一个基底，则下列各组向量一定能构成空间的一个基底的是（ ）
A． B．
C． D．
21．（2024 成都开学）已知，，是三个不共面的向量，则下列向量组中，可以构成基底的是（ ）
A．，， B．，2， C．，， D．，，
22．（2024秋 大连校级期末）下列命题正确的是（ ）
A．若，则存在唯一实数λ使得
B．“”是“”的必要不充分条件
C．已知为平面内两个不共线的向量，则可作为平面的一组基底
D．若点G为△ABC的重心，则
23．（2023秋 开福区校级期末）下列命题中正确的是（ ）
A．若A，B，C，D是空间任意四点，则有
B．是共线的充要条件
C．若共线，则AB∥CD
D．对空间任意一点O与不共线的三点A，B，C，若（其中x，y，z∈R，且x+y+z＝1），则P，A，B，C四点共面
24．（2024春 武进区期中）在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，∠BAD＝∠A1AB＝∠A1AD，各棱长均为1，则下列命题中正确的是（ ）
A．{}不是空间的一个基底
B．
C．
D．BD⊥平面ACC1A1
三．填空题（共7小题）
25．（2024秋 新城区期末）若{，，}是空间的一个基底，且向量，，不能构成空间的一个基底，则实数t＝ ．
26．（2024秋 普陀区校级月考）已知四面体O﹣ABC，空间的一点P满足，若P，A，B，C四点共面，则实数λ的值为 ．
27．（2024秋 小店区校级月考）已知点P在平面ABC上，点O是空间内任意一点，且（m∈R），则m的值为 ．
28．（2024秋 苏州月考）如图，已知M是四面体OABC的棱BC的中点，点N在线段OM上，点P在线段AN上，，若，则x+y+z＝ ．
29．（2024秋 安徽月考）在四面体OABC中，，，，点M为棱BC的中点，则 （用，，表示）．
30．（2024秋 四川期中）已知空间的一组基底为{，，}，3，x2y2，且满足∥，则xy＝ ．
31．（2024秋 吉林期中）在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，设，则 ．（用，，表示）
四．解答题（共6小题）
32．（2024秋 兰山区校级月考）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面边长和侧棱长都等于1，∠BAA1＝∠CAA1＝60°．
（1）设，，，用向量，，表示，并求出BC1的长度；
（2）求异面直线AB1与BC1所成角的余弦值．
33．（2025春 南京校级月考）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，M，N分别是A1B，B1C1上的点，且．设．
（1）试用表示向量；
（2）若∠BAC＝90°，∠BAA1＝∠CAA1＝60°，AB＝AC＝AA1＝1，求MN的长．
34．（2024春 华池县校级期中）如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，PM＝MC，PA＝2AD＝2，且∠PAB＝∠PAD＝60°，底面ABCD为正方形．
（1）设，试用表示向量；
（2）求BM的长．
35．（2024秋 浙江月考）在四面体ABCD中，AB＝AC＝BC＝BD＝CD＝2，AD＝3，E是BC的中点，F是AD上靠近A的三等分点．
（1）设，，，试用向量、、表示向量；
（2）证明：FE⊥CD．
36．（2024秋 海淀区校级月考）如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝4，AD＝2，，∠BAD＝60°，∠BAA1＝∠DAA1＝45°，AC与BD相交于点O，设，，．
（1）试用基底表示向量；
（2）求OA1的长；
（3）求直线OA1与直线BC所成角．
37．（2024秋 海沧区校级月考）如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，设，，，M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点．
（1）试用，，表示以下列向量：；
（2）AB＝AD＝AA1，∠A1AD＝∠A1AB＝∠DAB＝60°，求证：AC1⊥平面A1BD．
第1页 共1页1.2 空间向量基本定理
【知识点1】空间向量基底的判断 1
【知识点2】由基底表示向量 4
【知识点3】位置关系的判断 8
【知识点4】求夹角 11
【知识点5】求距离 16
【跟踪训练】 22
1.知道空间向量基本定理(重点)。
2.掌握空间向量基本定理的应用(重难点)。
【知识点1】空间向量基底的判断
基底的判断
(1)判断一组向量能否作为空间的一个基底，实质是判断这三个向量是否共面，若不共面，就可以作为一个基底．
(2)选模型：判断基底时，常常依托正方体、长方体、平行六面体、四面体等几何体，用它们从同一顶点出发的三条棱对应的方向向量为基底，并在此基础上构造其他向量进行相关的判断
例1：
【例1】（2024秋 宁波期末）已知是空间的一个基底，则下列向量中与向量，能构成空间基底的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据空间向量的共面定理进行判定即可．
【解答】解：选项A，，故不能与向量，构成空间基底；
选项B，，故不能与向量，构成空间基底；
选项C，若，
则有，此方程组无解，故能与向量，构成空间基底；
选项D，，故不能与向量，构成空间基底．
故选：C．
【例2】（2024秋 四川期末）已知{，，}是空间的一个基底，则可以与向量2，2构成空间另一个基底的向量是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】直接利用向量基底的定义和共面向量基本定理的应用求出结果．
【解答】解：由于{，，}是空间的一个基底，
对于A：由于，故A错误；
对于B：不存在实数λ和μ，使得，故B正确；
对于C：由于，故B错误；
对于D：假设存在实数λ和μ，使得，整理得，解得，故D错误．
故选：B．
【例3】（多选）（2025 白水县校级开学）若是空间的一个基底，则下列各组中能构成空间一个基底的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【分析】利用空间基底的定义以及空间向量共面定理依次判断可得结论．
【解答】解：对于A，向量分别与共线，所以不共面，能构成空间一个基底；
对于B，不存在实数x，y满足，因此不共面，能构成空间一个基底；
对于C，由于，因此这三个向量是共面的，不能构成基底．
对于D，不存在实数x，y满足，因此不共面，能构成空间一个基底．
故选：ABD．
【例4】（多选）（2024春 双鸭山校级期末）已知不共面的三个向量，，都是单位向量，且夹角都是，则下列结论正确的是（ ）
A．是空间的一组基底
B．不是空间的一组基底
C．向量的模是2
D．向量和的夹角为
【答案】ABD
【分析】根据空间三个向量构成一组基底的条件，模长的计算、夹角的计算公式逐项判断即可．
【解答】解：因为三个向量，，不共面，都是单位向量，且夹角都是，
所以，，
显然三个向量不共面，故A正确；
因为，故这三个向量共面，故B正确；
2，故，故C错误；
1，故cos，，
故两向量的夹角为，故D正确．
故选：ABD．
【知识点2】由基底表示向量
用基底表示空间向量的步骤
(1)选基底：根据已知条件，确定不共面的三个向量作为基底，一般以同一顶点出发的三条棱对应的方向向量为基底．
(2)看目标；紧抓目标向量，用基底表示目标向量。需充分利用向量加法、减法的三角形法则和平行四边形法则，以及向量数乘运算的运算律．
(3)列式：列出式子，用基底表示目标向量．
例1：
【例5】（多选）（2024秋 哈尔滨校级期末）如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AC和BD的交点为O，设，，，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【分析】求得判断选项A；求得判断选项B；求得判断选项C；求得判断选项D．
【解答】解：选项，判断正确；
选项B：，判断错误；
选项C：，判断正确；
选项D：，判断错误．
故选：AC．
【例6】（多选）（2024秋 亳州校级月考）如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱长都是1，且它们彼此的夹角都是60°，M为A1C1与B1D1的交点，若，，，则下列正确的是（ ）
A． B．AC1的长为
C． D．cos，
【答案】CD
【分析】根据已知条件，结合空间向量的线性运算，以及空间向量的数量积公式，即可求解．
【解答】解：对于A，∵在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，，，，∴，故A错误，
对于B，∵以顶点A为端点的三条棱长都是1，且它们彼此的夹角都是60°，∴，∴，故B错误，
对于C，，故C正确，
对于D，∵，∴，故D正确．
故选：CD．
【例7】（多选）（2024秋 吉林期中）如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝AD＝AA1＝2，∠BAD＝∠A1AB＝∠A1AD＝60°，A1C1与B1D1的交点为M，设，，，则（ ）
A． B．
C．|| D．
【答案】ACD
【分析】根据空间向量的线性运算和数量积运算，求解即可．
【解答】解：（），选项A正确，B错误；
44+42×2×cos60°+2×2×cos60°+2×2×cos60°＝11，所以||，选项C正确；
42×2×cos60°+2×2×cos60°＝5，所以cos，，选项D正确．
故选：ACD．
【例8】（2024秋 开封期末）如图，已知正四面体OABC的棱长为1，M是棱BC的中点，N是线段OM的中点，记，，．
（1）用，，表示向量；
（2）求||．
【答案】（1）；
（2）．
【分析】（1）由空间向量的线性运算即可求解；
（2）由向量的模长公式，结合空间向量数量积运算即可求解．
【解答】解：（1）由题意，，，，
且M是棱BC的中点，N是线段OM的中点，
则
；
（2）因为正四面体OABC的棱长为1，
则，，
所以
．
【知识点3】位置关系的判断
证明平行、共面问题的思路
(1)利用向量共线的充要条件来证明点共线或直线平行．
(2)利用空间向量基本定理证明点线共面或线面平行．
例1：
【例9】（2024春 高碑店市校级期末）给出下列命题，其中正确的是（ ）
A．若，则是钝角
B．若，则与一定共线
C．若，则AB与CD为同一线段
D．非零向量、、满足与，与，与都是共面向量，则、、必共面
【答案】B
【分析】根据向量的相关知识分别判断即可．
【解答】解：对于A，也可能是平角，故A错误；
对于BC，，与一定共线，故B正确，C错误；
对于D，、、不一定共面，故D错误．
故选：B．
【例10】（多选）（2024秋 石家庄校级期中）如图，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝AD＝AA1＝2，∠BAD，M为A1C1与B1D1的交点．若，，，则下列说法正确的有（ ）
A．
B．
C．设，则AN⊥BM
D．以D为球心，为半径的球与四边形BCC1B1的交线长为
【答案】ACD
【分析】选项A：利用空间向量的加法和减法求解即可，选项B：利用向量的模求解线段的长度即可，选项C：利用向量的数量积求解向量垂直即可，选项D：分析可以知道球面与平面BCC1B1的交线是以H为圆心，为半径的圆，从而求解出交线的长度．
【解答】解：由题得，
，故A正确．
因为，
，，
所以，
所以，故B错误．
因为，
所以
，
所以，以AN⊥BM，故C正确．
取BC的中点为H，连接DH，易知DH⊥平面BCC1B1，且．
由球的半径为，知球面与平面BCC1B1的交线是以H为圆心，为半径的圆．
如图，在正方形BCC1B1内，以H为圆心，2为半径作圆，所得的圆弧PQ即为所求交线．
由题意可知，所以弧PQ的长为，故D正确．
故选：ACD．
【例11】（2024秋 湛江期末）已知是空间的一组基底，其中，，．若A，B，C，D四点共面，则λ＝ ．
【答案】．
【分析】根据给定条件，利用共面向量定理列式计算得解．
【解答】解：已知是空间的一组基底，其中，，．
由A，B，C，D四点共面，得，
而向量，，，
则，
又不共面，因此，解得，
所以．
故答案为：．
【例12】（2024秋 巴楚县校级月考）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，，，，点M，N分别是A1D，B1D1的中点．
（1）试用，，表示．
（2）求证：MN∥平面ABB1A1．
【答案】（1）；
（2）见证明过程．
【分析】（1）由题意利用空间向量的运算即可求解；
（2）由题意可得，可得，即可证明MN∥AB1，利用线面平行的判定即可证明MN∥平面ABB1A1．
【解答】解：（1）因为在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，，，，点M，N分别是A1D，B1D1的中点，
所以，所以，
同理，，
所以；
（2）证明：因为，所以，即MN∥AB1，
因为AB1 平面ABB1A1，MN 平面ABB1A1，
所以MN∥平面ABB1A1．
【知识点4】求夹角
1．由向量求夹角
(1) θ为a，b的夹角，则cos θ＝．
(2)若a，b是非零向量，则a⊥b a·b＝0．
2．求夹角、证明线线垂直的方法
(1)利用数量积定义得cos〈a，b〉＝，求〈a，b〉的大小，进而求得线线角．
(2)两直线垂直可作为求夹角的特殊情况。
例1：
【例13】（2025春 漳州期中）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC＝∠BAA1＝∠CAA1＝60°，AB＝AC＝AA1＝1，M，N分别是A1B，B1C1上的点，且，设．
（1）试用表示向量，并求MN的长；
（2）求异面直线MN，BC所成角的余弦值．
【答案】（1），；
（2）．
【分析】（1）由空间向量的基本定理求解即可；
（2）设异面直线MN，BC所成角为θ，利用，，求解即可．
【解答】解：（1）由题意，可得
，
又，，，所以，
因为AB＝AC＝AA1＝1，所以，
又因为∠BAC＝∠BAA1＝∠CAA1＝60°，所以，
所以，
所以；
（2）设异面直线MN，BC所成角为θ，
因为，
又，，
所以，
又由（1）知，，
所以
，
所以，，
所以异面直线MN，BC所成角的余弦值为．
【例14】（2024秋 甘肃校级期中）已知平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，各条棱长均为m，底面是正方形，且∠A1AD＝∠A1AB＝120°，设，，．
（1）用，，表示及求；
（2）求异面直线AC与BD1所成的角的余弦值．
【答案】见试题解答内容
【分析】本题第（1）题先根据题意及图形即可用，，表示，然后根据向量的运算计算出的值，进一步即可计算出；
第（2）题先用，表示，再结合第（1）题计算出 的结果，然后根据向量的数量积公式可计算出cos，，进一步思考即可得到异面直线AC与BD1所成的角的余弦值．
【解答】解：（1）由题意及图，可知
，
则（）2
＝m2+m2+m2﹣0﹣2m2cos120°+2m2cos120°＝3m2，
∴．
（2）由题意及图，可知，
∴
＝m2cos120°﹣m2+m2+m2cos120°＝﹣m2，
又∵，，
∴．
∴异面直线AC与BD1所成的角的余弦值是．
【例15】（2024秋 正定县校级期中）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，M，N分别是A1B，B1C1上的点，且2，．设，，．
（1）试用，，表示向量；
（2）若∠BAC＝90°，∠BAA1＝∠CAA1＝60°，AB＝AC＝AA1＝1，求异面直线MN与AC的夹角的余弦值．
【答案】（1）；
（2）．
【分析】（1）由已知，根据向量的线性运算即可求得；
（2）利用向量的夹角公式求得和夹角的余弦值，即可得异面直线MN与AC的夹角的余弦值．
【解答】解：（1）由2，
可得，
由，得，
则；
（2）由∠BAC＝90°，∠BAA1＝∠CAA1＝60°，AB＝AC＝AA1＝1，
可得，，，
则1，
，
则，
则异面直线MN与AC的夹角的余弦值为．
【例16】（2024秋 福州期中）如图，平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为1的正方形，，设，，
（1）试用，，表示向量、；
（2）若∠A1AD＝∠A1AB＝120°，求向量与所成的角的余弦值．
【答案】（1），，（2）．
【分析】（1）由空间向量的加法、减法运算即可求解；
（2）由（1），结合向量的夹角公式与数量积的运算律即可求解．
【解答】解：（1）平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为1的正方形，，设，，，
．
（2）因为∠A1AD＝∠A1AB＝120°，，
，所以，
，
，
所以，
即向量与所成的角的余弦值为．
【知识点5】求距离
求距离
(1) |a|2＝a2．
(2) |a|＝．
(3)运用公式|a|2＝a·a，可使线段长度的计算问题转化为向量数量积的计算问题．
例1：
【例17】（2024秋 禅城区校级月考）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，M，N分别是A1B和B1C1上的点，∠BAC＝90°，∠BAA1＝∠CAA1＝60°，AB＝AC＝AA1＝1，，．设，，，用基向量法解决下列问题．
（1）求||；
（2）求异面直线MN与BC所成角的余弦值．
【答案】（1）；
（2）．
【分析】（1）根据题意，先求得，，然后利用空间向量的线性运算法则将用、、表示，再利用向量数量积的运算性质与向量的模的公式加以计算，可得||的值；
（2）根据空间向量的夹角公式，算出向量的夹角余弦值，即可得到异面直线MN与BC所成角的余弦值．
【解答】解：（1）因为∠BAC＝90°，所以．
由于∠BAA1＝∠CAA1＝60°，AB＝AC＝AA1＝1，所以cos60°．
由
（）．
所以（）2．
可得；
（2）由，可得．
因为（） （）1，
所以，．
可知异面直线MN与BC所成角的余弦值为．
【例18】（2024秋 达州期中）如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD为正方形，AB＝AA1＝4，，．设，，．
（1）用，，表示；
（2）求AE的长度．
【答案】（1）；
（2）．
【分析】（1）首先将转化为与已知向量、、相关的表达式，再根据向量关系进行代换；
（2）由的向量表达式，利用向量模长公式计算其长度．
【解答】解：（1）设，则，
因为，且，
所以；
（2）由（1）知，
则，
因为底面ABCD为正方形，AB＝4，
所以，，
又AA1＝4，所以，
由于，且，
，
而，所以，
那么，
所以．
【例19】（2024秋 青浦区校级月考）在四面体ABCD中，各棱长均为1，H，G分别是AD、CD的中点，且．
（1）求证：E、F、G、H四点共面；
（2）用向量，，表示，并求出．
【答案】（1）证明见解析；
（2），．
【分析】（1）根据三角形中位线定理与比例线段的性质，证出EF∥GH，由此可判断出E、F、G、H四点共面；（2）以为基底，表示出，利用空间向量的数量积的性质、向量的模的公式，算出的值．
【解答】解：（1）因为△ABC中，因为，所以EF∥AC，
因为△ADC中，H、G分别是AD、CD的中点，所以FG∥AC，
所以EF∥GH，即直线EF、GH共面，可得E、F、G、H四点共面；
（2）以为基底，则，且∠BAC＝∠DAC＝∠BAD＝60°，
所以，．
．
所以
，可得．
【例20】（2024 华蓥市校级开学）在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝1，AD＝2，AA1＝3，∠BAD＝90°，∠BAA1＝∠DAA1＝60°．若，，
（1）用基底表示向量；
（2）求向量的长度．
【答案】（1）．（2）．
【分析】（1）利用两个向量的加减法的法则，以及其几何意义可得 （），把已知的条件代入化简可得结果．
（2）利用两个向量的数量积的定义求出基底中每个向量的模以及每两个向量的数量积，由|AC1|，运算求得结果．
【解答】解：（1）由题意可得 （），
故 ．
（2）由条件得 1，2，3． ，．
．
故|AC1|．
1.2 空间向量基本定理
一．选择题（共19小题）
1．（2024秋 东莞市期末）已知为空间的一组基底，则下列向量也能构成空间的一组基底的是（ ）
A．、、 B．、、
C．、、 D．、、
2．（2025 临朐县校级开学）若{、、}为空间的一组基底，则下列各项中，能构成基底的一组向量是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，2
3．（2025秋 四川月考）给出下列命题：
①若空间向量，满足，则与的夹角为钝角；
②空间任意两个单位向量必相等；
③对于非零向量，若，则；
④若为空间的一个基底，则构成空间的另一个基底．
其中说法正确的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
4．（2024秋 西城区校级月考）下列说法正确的是（ ）
A．任何三个不共线的向量可构成空间向量的一个基底
B．空间的基底有且仅有一个
C．两两垂直的三个非零向量可构成空间的一个基底
D．任一个向量在基底下的分解式与在基底下的分解式相同
5．（2024秋 海淀区校级期中）下列可使，，构成空间的一个基底的条件是（ ）
A．，，两两垂直 B．λ
C．mn D．0
6．（2025春 高邮市期中）对于空间中任意一点O和不共线的三点A，B，C，能得到点P在平面ABC内的是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2025春 上海校级月考）已知向量，，是空间不共面的三个向量，则下列选项中能构成空间向量一组基底是（ ）
A．，， B．，， C．，， D．，，
8．（2024秋 哈密市校级期末）如图，在四面体OABC中，N是BC的中点．设，，，用，，表示，则（ ）
A． B．
C． D．
9．（2024秋 玉溪期末）在三棱锥P﹣ABC中，M在PA上，N在BC上，且PM＝3MA，BN＝2NC，则（ ）
A． B．
C． D．
10．（2024秋 江阴市期中）设为空间的一个基底，，，，若，，共面，则k＝（ ）
A． B． C． D．
11．（2024春 绥棱县校级期末）已知O，A，B，C为空间四点，且向量，，不能构成空间的一个基底，则一定有（ ）
A．，，共线
B．O，A，B，C中至少有三点共线
C．与共线
D．O，A，B，C四点共面
12．（2024秋 渝北区校级月考）已知A，B，C三点不共线，O是平面ABC外任意一点，若由λ确定的一点P与A，B，C三点共面，则λ等于（ ）
A． B． C． D．
13．（2024秋 南开区校级月考）已知{，，}是空间的一组基底，其中 23，，2λ．若A，B，C，D四点共面，则λ＝（ ）
A． B． C． D．
14．（2024秋 临淄区校级月考）对于空间任意一点O和不共线的三点A、B、C，有如下关系：，则（ ）
A．四点O、A、B、C必共面
B．四点P、A、B、C必共面
C．四点O、P、B、C必共面
D．五点O、P、A、B，C必共面
15．（2024秋 鄂城区期中）在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，若，，，点P为A1C1与B1D1的交点，则（ ）
A． B． C． D．
16．（2025春 湖北期中）点B在线段AC上（异于A，C两点），O为直线AC外一点，若，则的最小值为（ ）
A．5 B．6 C．9 D．12
17．（2024秋 四川校级期末）已知是空间的一个基底，则下列说法错误的是（ ）
A．若，则x＝y＝z＝0
B．两两共面，但不共面
C．一定存在x，y，使得
D．一定能构成空间的一个基底
18．（2025春 长沙月考）如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AC与BD的交点为M．设，，，则下列向量中与2相等的向量是（ ）
A．2 B．2 C．2 D．2
19．（2025春 河南校级月考）已知点M是正四面体P﹣ABC底面ABC内一点，满足，其中x，y，z∈R，当最小时，3x+2y+z的值为（ ）
A． B． C．2 D．1
二．多选题（共5小题）
20．（2025春 沭阳县期中）若为空间的一个基底，则下列各组向量一定能构成空间的一个基底的是（ ）
A． B．
C． D．
21．（2024 成都开学）已知，，是三个不共面的向量，则下列向量组中，可以构成基底的是（ ）
A．，， B．，2， C．，， D．，，
22．（2024秋 大连校级期末）下列命题正确的是（ ）
A．若，则存在唯一实数λ使得
B．“”是“”的必要不充分条件
C．已知为平面内两个不共线的向量，则可作为平面的一组基底
D．若点G为△ABC的重心，则
23．（2023秋 开福区校级期末）下列命题中正确的是（ ）
A．若A，B，C，D是空间任意四点，则有
B．是共线的充要条件
C．若共线，则AB∥CD
D．对空间任意一点O与不共线的三点A，B，C，若（其中x，y，z∈R，且x+y+z＝1），则P，A，B，C四点共面
24．（2024春 武进区期中）在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，∠BAD＝∠A1AB＝∠A1AD，各棱长均为1，则下列命题中正确的是（ ）
A．{}不是空间的一个基底
B．
C．
D．BD⊥平面ACC1A1
三．填空题（共7小题）
25．（2024秋 新城区期末）若{，，}是空间的一个基底，且向量，，不能构成空间的一个基底，则实数t＝ ．
26．（2024秋 普陀区校级月考）已知四面体O﹣ABC，空间的一点P满足，若P，A，B，C四点共面，则实数λ的值为 ．
27．（2024秋 小店区校级月考）已知点P在平面ABC上，点O是空间内任意一点，且（m∈R），则m的值为 ．
28．（2024秋 苏州月考）如图，已知M是四面体OABC的棱BC的中点，点N在线段OM上，点P在线段AN上，，若，则x+y+z＝ ．
29．（2024秋 安徽月考）在四面体OABC中，，，，点M为棱BC的中点，则 （用，，表示）．
30．（2024秋 四川期中）已知空间的一组基底为{，，}，3，x2y2，且满足∥，则xy＝ ．
31．（2024秋 吉林期中）在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，设，则 ．（用，，表示）
四．解答题（共6小题）
32．（2024秋 兰山区校级月考）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面边长和侧棱长都等于1，∠BAA1＝∠CAA1＝60°．
（1）设，，，用向量，，表示，并求出BC1的长度；
（2）求异面直线AB1与BC1所成角的余弦值．
33．（2025春 南京校级月考）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，M，N分别是A1B，B1C1上的点，且．设．
（1）试用表示向量；
（2）若∠BAC＝90°，∠BAA1＝∠CAA1＝60°，AB＝AC＝AA1＝1，求MN的长．
34．（2024春 华池县校级期中）如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，PM＝MC，PA＝2AD＝2，且∠PAB＝∠PAD＝60°，底面ABCD为正方形．
（1）设，试用表示向量；
（2）求BM的长．
35．（2024秋 浙江月考）在四面体ABCD中，AB＝AC＝BC＝BD＝CD＝2，AD＝3，E是BC的中点，F是AD上靠近A的三等分点．
（1）设，，，试用向量、、表示向量；
（2）证明：FE⊥CD．
36．（2024秋 海淀区校级月考）如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝4，AD＝2，，∠BAD＝60°，∠BAA1＝∠DAA1＝45°，AC与BD相交于点O，设，，．
（1）试用基底表示向量；
（2）求OA1的长；
（3）求直线OA1与直线BC所成角．
37．（2024秋 海沧区校级月考）如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，设，，，M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点．
（1）试用，，表示以下列向量：；
（2）AB＝AD＝AA1，∠A1AD＝∠A1AB＝∠DAB＝60°，求证：AC1⊥平面A1BD．
参考答案
一．选择题（共19小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 A C B C A C D D B D D
题号 12 13 14 15 16 17 18 19
答案 A D B C C C A C
二．多选题（共5小题）
题号 20 21 22 23 24
答案 BCD BCD BCD AD ACD
一．选择题（共19小题）
1．【答案】A
【分析】利用空间向量基底的概念逐项判断即可．
【解答】解：对于A选项，显然不能用、表示出来，
根据空间向量的共面定理，
可知、、不共面，可以作为空间的一组基底；
对于B选项，因为，
则、、共面，不能作为空间的一组基底；
对于C，因为，
所以、、共面，不能作为空间的一组基底；
对于D，因为，
则、、共面，不能作为空间的一组基底．
故选：A．
2．【答案】C
【分析】空间的一组基底，必须是不共面的三个向量，利用向量共面的充要条件可证明A、B、D三个选项中的向量均为共面向量，利用反证法可证明C中的向量不共面
【解答】解：∵（）+（）＝2，∴，，共面，不能构成基底，排除 A；
∵（）﹣（）＝2，∴，，共面，不能构成基底，排除 B；
∵2（）（），∴，，，2共面，不能构成基底，排除 D；
若、、共面，则λ（）+m（）＝（λ+m）（λ﹣m），则、、为共面向量，此与{、、}为空间的一组基底矛盾，故，，可构成空间向量的一组基底．
故选：C．
3．【答案】B
【分析】直接利用向量的夹角，相等向量，向量的基底判断①②③④的结论．
【解答】解：对于①若空间向量满足，则与的夹角为钝角也可能为平角，故①错误；
②空间任意两个单位向量的模长必相等，向量不一定相等，故②错误；
③对于非零向量，若，整理得：，故，故③错误；
④若为空间的一个基底，则构成空间的另一个基底，由于假设为另一个基底的话，则，求不出对应的λ和μ的值，故可以作为一个基底，故④正确，．
故选：B．
4．【答案】C
【分析】直接利用向量的基底的定义，判断A、B、C、D的结论．
【解答】解：对于A：任何不共面的向量可以构成空间的一个基底，故A错误；
对于B：空间的基底不唯一，故B错误；
对于C：两两垂直的三个非零向量可构成空间的一个基底，故C正确；
对于D：任一个向量在基底下的分解式与在基底下的分解式不相同，故D错误．
故选：C．
5．【答案】A
【分析】根据基底的定义以及向量的共面定理可解．
【解答】解：要使，，构成空间的一个基底，则，，不共面，
结合选项可知，只有选项A，，，两两垂直可得它们不共面，可作为基底，
选项B：，能推出与，共面，则B错误，
选项C：满足向量的共面定理，则，，共面，则C错误，
选项D：，则满足向量的共面定理，则，，共面，则D错误．
故选：A．
6．【答案】C
【分析】对于空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，当点P满足：，且x+y+z＝1时，可得出点P在平面ABC内，根据这个性质逐项用和表示向量，满足x+y+z＝1的即为正确选项．
【解答】解：A.，所以，3+1﹣1≠1，所以点P不在平面ABC内，A错误；
B.，所以，﹣1﹣1≠1，所以点P不在平面ABC内，B错误；
C.，所以，2+4﹣5＝1，所以点P在平面ABC内，C正确；
D.，所以，，所以点P不在平面ABC内，D错误．
故选：C．
7．【答案】D
【分析】根据空间向量的基本定理结合共面向量的定义逐项分析判断．
【解答】解：因为向量，，是不共面的三个向量，
对于A：因为，所以，，共面，故A错误；
对于B：因为，所以，，共面，故B错误；
对于C：因为，所以，，共面，
所以，，不能构成空间的一组基底，故C错误；
对于D：假定向量，，共面，
则存在不全为0的实数λ1，λ2，使得，整理得，
而向量，，不共面，则有，显然不成立，所以向量，，不共面，
即向量，，能构成空间的一个基底，故D正确．
故选：D．
8．【答案】D
【分析】熟练利用向量加法的三角形法则进行运算即可．
【解答】解：∵在四面体OABC中，N是BC的中点，，，，
∴（）．
故选：D．
9．【答案】B
【分析】利用空间向量的线性运算求解即可．
【解答】解：因为M在PA上，N在BC上，且PM＝3MA，BN＝2NC，
所以，，
所以．
故选：B．
10．【答案】D
【分析】根据向量共面定理列方程，解方程组即可．
【解答】解：设为空间的一个基底，，，，
由已知，，共面，则可设，
即，
即，解得，故k．
故选：D．
11．【答案】D
【分析】根据空间向量基本定理即可判断．
【解答】解：由于不能构成空间的一个基底知共面，
所以O，A，B，C四点共面，
故选：D．
12．【答案】A
【分析】利用向量共线定理与平面向量基本定理即可得出．
【解答】解：因为A，B，C三点不共线，O为平面ABC外一点，
若由向量λ确定的一点P与A，B，C共面，
∴三点P，A，C共线，∴，解得λ．
故选：A．
13．【答案】D
【分析】由A，B，C，D四点共面，可得存在唯一一对实数x，y，使得xy，代入 23，，2λ，利用{，，}是空间的一组基底，即可得出λ．
【解答】解：∵A，B，C，D四点共面，
∴存在唯一一对实数x，y，使得xy，
∴2λx（23）+y（）＝（2x+y）3xy，
∵{，，}是空间的一组基底，∴，则λ，
故选：D．
14．【答案】B
【分析】由共面向量基本定理、空间向量基本定理即可得出．
【解答】解：由，1，
得四点P、A、B、C必共面．
故选：B．
15．【答案】C
【分析】在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，各面均为平行四边形，由此找出共线的向量，再线性计算即可．
【解答】解：在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，，，，
∵P是A1C1与B1D1的交点，在平行四边形A1B1C1D1中，P为A1C1与B1D1的中点，
∴（）．
故选：C．
16．【答案】C
【分析】根据三点共线的结论可知α＞0，β＞0，且α+β＝1，利用乘“1”结合基本不等式运算求解．
【解答】解：点B在线段AC上（异于A，C两点），
所以α＞0，β＞0，且α+β＝1，
则（α+β）（）＝55+29，
当且仅当，即时取等号，
则的最小值为9．
故选：C．
17．【答案】C
【分析】根据已知条件，结合向量共面的定理，即可求解．
【解答】解：对于A，若x，y，z不全为0，则共面，与题意矛盾，故A正确，
对于B，两两共面，但不共面，故B正确，
对于C，不共面，则不存在实数x，y，使得，故C错误，
对于D，若共面，则，，无解，故不共面，故D正确．
故选：C．
18．【答案】A
【分析】在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，根据空间向量的加法合成法则，对向量进行线性表示即可．
【解答】解：由题意得，平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，
22（）＝2（）＝222；
故选：A．
19．【答案】C
【分析】根据垂直时距离最小，即可根据向量的线性运算求解，即可求解．
【解答】解：点M是正四面体P﹣ABC底面ABC内一点，满足，其中x，y，z∈R，
当最小时，此时PM⊥平面ABC，故M为等边三角形ABC的中心，
记BC的中点为D，则，
故，
故，因此3x+2y+z＝2，
故选：C．
二．多选题（共5小题）
20．【答案】BCD
【分析】根据共面向量基本定理，结合基底的概念对各选项中的向量依次加以验证，可得正确答案．
【解答】解：对于A，因为，所以共面，不能构成基底，故A不正确；
对于B，设，解得，矛盾，故不存在λ、μ使成立．因此，是不共面的向量，能构成空间的一个基底，故B正确；
对于C，设，不存在m、n使之成立，所以、、能构成空间的一个基底，故C正确；
对于D：设，则，可得，矛盾．所以是不共面的向量，它们能构成空间的一个基底，故D正确．
故选：BCD．
21．【答案】BCD
【分析】根据已知条件，结合基底的定义，即可求解．
【解答】解：对于A，，故，共面，不可以构成基底，故A出错误；
对于BCD，三个向量均不共面，可以构成基底，故BCD正确．
故选：BCD．
22．【答案】BCD
【分析】A，若、为零向量，则λ不唯一，即可判断；B，根据充分、必要性的定义，结合条件间的推出关系判断；C，根据基底的性质判断；D，由重心是中线的交点，应用向量加法、数乘的几何意义判断．
【解答】解：选项A：若、为零向量，满足，但λ不唯一，故A错误；
选项B：若，但与方向不确定，显然不一定成立；若，则必有，故“”是“”的必要不充分条件，故B正确；
选项C：设，又为平面内两个不共线的向量，则有，显然λ无解，所以不共线，故可作为平面的一组基底，故C正确；
选项D：由重心是中线的交点，如图所示，BGCD为平行四边形，AD过BC的中点，则，且，故，故D正确．
故选：BCD．
23．【答案】AD
【分析】直接利用向量的线性运算，向量的数量积运算，共面向量基本定理判断A、B、C、D的结论．
【解答】解：对于A：由于A，B，C，D是空间任意四点，则有，故A正确；
对于B：由于，所以，整理得，故，所以共线，反之不成立，故B错误；
对于C：若和共线，故AB∥CD或A、B、C、D四点共线，故C错误；
对于D：空间任意一点O与不共线的三点A，B，C，若（其中x，y，z∈R，且x+y+z＝1），则P，A，B，C四点共面，故D正确．
故选：AD．
24．【答案】ACD
【分析】由空间基底的概念可判断A；由空间向量夹角的概念可判断B；由运算可判断C；由线面垂直的判定可判断D．
【解答】解：对于A，由，所以向量 共面，所以 不是空间的一个基底，故A正确；
对于B，因为，所以，所以，故B错；
对于C，，所以，故C正确；
对于D，连接BD交AC于点O，连接A1O，A1D，A1B，由题意可得四边形ABCD为菱形，A1D＝A1B，所以BD⊥AC，BD⊥A1O，由AC∩A1O＝O 可得BD⊥平面ACC1A1，故D正确．
故选：ACD．
三．填空题（共7小题）
25．【答案】﹣1．
【分析】根据已知可设，整理根据已知得出方程组，求解即可得出答案．
【解答】解：因为向量，，不能构成空间的一个基底，所以存在实数x、y使得c＝xa+yb，即e1+te3＝x（e1+e2）+y（e2+e3），
即e1+te3＝xe1+（x+y）e2+ye3，
因为{e1，e2，e3}是空间的一个基底，则，解得．
故答案为：﹣1．
26．【答案】．
【分析】由空间向量的线性运算结合空间向量基本定理可知即可得解．
【解答】解：因为P，A，B，C四点共面，故，，共面．
故存在唯一实数对（s，t），使．
故．
整理得到：．
空间的一点P满足，若P，A，B，C四点共面，
由四面体O﹣ABC可得为空间向量的一组基底．
故，相加即得，故．
故答案为：．
27．【答案】﹣1．
【分析】直接利用向量共面的充要条件求出结果．
【解答】解：已知点P在平面ABC上，点O是空间内任意一点，且（m∈R），所以，解得m＝﹣1．
故答案为：﹣1．
28．【答案】．
【分析】结合空间向量的线性运算法则，即可求解．
【解答】解：M是四面体OABC的棱BC的中点，，
则，
，
若，则x＝y＝z，故x+y+z．
故答案为：．
29．【答案】．
【分析】由向量的加减运算可得的结果．
【解答】解：因为在四面体OABC中，，，，点M为棱BC的中点，
所以（）．
故答案为：．
30．【答案】﹣6．
【分析】直接利用向量的表示形式和共线向量的共线建立方程组，进一步求出结果．
【解答】解：空间的一组基底为{}，3，x2y2，且满足∥，所以，解得x＝﹣2，y＝3；
故xy＝﹣6．
故答案为：﹣6．
31．【答案】．
【分析】依据平行六面体结构特征和向量加减法几何意义求出结果．
【解答】解：平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，设，
由于．
故答案为：．
四．解答题（共6小题）
32．【答案】见试题解答内容
【分析】（1），2＝（）2，即可．
（2）先选一组基底，再利用向量加法和减法的三角形法则和平行四边形法则将两条异面直线的方向向量用基底表示，
然后利用夹角公式求异面直线AB1与BC1所成角的余弦值即可．
【解答】解：（1）
∴，∴．
（2 ），，，
cos．
∴异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为．
33．【答案】（1）；
（2）．
【分析】（1）利用向量加减法及向量数乘的几何意义，基底法表示；
（2）利用向量的数量积运算求解向量的模．
【解答】解：（1）因为，所以，，
所以，
又因为，，，所以．
（2）因为∠BAC＝90°，所以，
因为AB＝AC＝AA1＝1，所以，
因为∠BAA1＝∠CAA1＝60°，所以，
所以，
所以．
34．【答案】（1）．
（2）．
【分析】（1）利用向量运算法则直接求解．
（2）求出，由AB⊥AD，∠PAB＝∠PAD＝60°，，利用向量法能求出BM的长．
【解答】解：（1）∵M是PC的中点，∴，
∵，∴，
结合，，，
得．
（2）∵AB＝AD＝1，PA＝2，
∴，∵AB⊥AD，∠PAB＝∠PAD＝60°，
∴，，
由（1）知，
∴，
∴，即BM的长等于．
35．【答案】（1）；（2）证明见解析．
【分析】（1）由向量的加法与减法运算；
（2）证明，得，可得EF⊥CD．
【解答】解：（1）四面体ABCD中，AB＝AC＝BC＝BD＝CD＝2，AD＝3，E是BC的中点，F是AD上靠近A的三等分点，
∵，即．
证明：（2），
0．
所以FE⊥CD．
36．【答案】（1）；（2）；（3）．
【分析】（1）利用空间向量的线性运算求解即可；
（2）由（1）可知，然后利用数量积求模长即可；
（3）利用空间向量线线角的向量法求解即可．
【解答】解：（1）；
（2）AB＝4，AD＝2，，∠BAD＝60°，∠BAA1＝∠DAA1＝45°，
所以，
，
，
由（1）知，
所以，
所以；
（3），，
，所以与所成角为，
所以直线OA1与直线BC所成角为．
37．【答案】（1）；
（2）证明见解析；
【分析】（1）根据向量的加法法则分别表示出向量，即可求得；
（2）根据向量的数量积可得，，即有AC1⊥DB，AC1⊥A1B，从而即可证明AC1⊥平面A1BD．
【解答】解：（1）因为M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点，
所以，，
所以；
（2）证明：设AB＝AD＝AA1＝n（n＞0），则，
因为，，，
所以，
所以，则AC1⊥DB，
同理可得AC1⊥A1B，
又DB∩A1B＝B，DB 平面A1BD，A1B 平面A1BD，
所以AC1⊥平面A1BD
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