2.1 直线的倾斜角与斜率
【知识点1】直线的倾斜角 1
【知识点2】直线的斜率 3
【知识点3】两直线平行 4
【知识点4】两直线垂直 6
【知识点5】直线与线段相交求斜率 8
【知识点6】直线平行、垂直的应用 11
1.知道直线的倾斜角与斜率(重点)。
2.掌握直线的平行与垂直(重难点)。
3.掌握由直线与线段相交求斜率(重点)。
【知识点1】直线的倾斜角
直线的倾斜角
(1)平面直角坐标系中，对于一条与轴相交的直线，如果把轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为，则叫做直线的倾斜角．
(2)当直线和轴平行或重合时，直线倾斜角为，所以，倾斜角的范围是．
(3)直线的倾斜角描述了直线的倾斜程度，每一条直线都有唯一的倾斜角和它对应。
例1：
【例1】（2024秋 东明县校级期末）直线x＝1倾斜角为（ ）
A．0° B．90° C．45° D．不存在
【答案】B
【分析】利用直线的性质求解．
【解答】解：∵直线x＝1垂直于x轴，
∴直线x＝1的倾斜角为90°．
故选：B．
【例2】（2025春 广安区校级期中）直线x﹣y﹣5＝0的倾斜角为（ ）
A．﹣45° B．45° C．90° D．135°
【答案】B
【分析】根据直线倾斜角与斜率的关系求解．
【解答】解：因为直线x﹣y﹣5＝0的斜率为k＝1，
又因为直线的倾斜角θ∈[0，π），且k＝tanθ＝1，
所以θ＝45°．
故选：B．
【例3】（2025 南京模拟）直线的倾斜角为（ ）
A．30° B．60° C．120° D．150°
【答案】C
【分析】由斜率的概念直接求出倾斜角即可．
【解答】解：由直线方程，
可得直线斜率（α为直线的倾斜角），
则α＝120°，即直线的倾斜角为120°．
故选：C．
【例4】（2025春 郴州月考）在平面直角坐标系中，已知直线l的方向向量为（1，），则直线l的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由直线的方向向量定义得到直线l的斜率，进而求解结论．
【解答】解：由直线的方向向量定义可知，直线l的方向向量为（1，），
故直线l的斜率为k，故直线l的倾斜角为．
故选：A．
【知识点2】直线的斜率
直线的斜率
(1)倾斜角不是的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率，常用表示，即．
(2)已知点、，且与轴不垂直，过两点、的直线的斜率公式．
(3)当直线与x轴平行或重合时，，．
(4)直线与x轴垂直时，，k不存在．
例1：
【例5】（2024秋 广西期末）已知直线l经过点A（2，﹣3），B（﹣3，4），则l的斜率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用两点的斜率公式即可求解．
【解答】解：已知直线l经过点A（2，﹣3），B（﹣3，4），
则l的斜率为．
故选：C．
【例6】（2024秋 合肥期末）已知直线l：，则直线l的斜率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】直线化为斜截式，即可确定其斜率．
【解答】解：由题设，直线可化为，
故其斜率为．
故选：C．
【例7】（2025春 杨浦区校级月考）过点A（﹣1，0）和B（1，2）的直线的斜率为 ．
【答案】1．
【分析】根据已知条件，结合直线的斜率公式，即可求解．
【解答】解：点A（﹣1，0）和B（1，2）
则直线AB的斜率为．
故答案为：1．
【例8】（2025春 杨浦区校级月考）已知直线l经过点P（2，1）、Q（4，5）两点，直线m的倾斜角是直线l的倾斜角的2倍，则直线m的斜率为 ．
【答案】．
【分析】先求出直线l的斜率，再结合二倍角公式求解．
【解答】解：因为直线l经过点P（2，1）、Q（4，5）两点，
所以直线l的斜率为2，
设直线l的倾斜角为θ，则直线m的倾斜角为2θ，则tanθ＝2，
所以tan2θ．
故答案为：．
【知识点3】两直线平行
两直线平行
(1)公式成立的前提条件是①两条直线的斜率存在分别为；②不重合．
(2)当两条直线的斜率都不存在且不重合时，的倾斜角都是，则．
例1：
【例9】（2025春 长沙期中）已知直线mx+3y+m﹣1＝0与直线x+（m+2）y+2m﹣2＝0平行，则m的值为（ ）
A．3 B．﹣3 C．1或﹣3 D．﹣1或3
【答案】B
【分析】根据两条直线平行列出方程，再代入验证即可．
【解答】解：因为直线mx+3y+m﹣1＝0与直线x+（m+2）y+2m﹣2＝0平行，
所以1×3＝m（m+2），解得m＝1或m＝﹣3；
当m＝﹣3时，两条直线为：3x﹣3y+4＝0，x﹣y﹣8＝0两条直线平行，
当m＝1时，两条直线为：x+3y＝0，x+3y＝0两条直线重合，舍去．
故选：B．
【例10】（2025春 江西月考）若直线x+2y﹣1＝0与直线ax﹣y＝0平行，则a＝（ ）
A．2 B． C．﹣2 D．
【答案】D
【分析】根据给定条件，利用两条直线平行列式求解即得．
【解答】解：由题可得：，解得．
故选：D．
【例11】（多选）（2024秋 广南县校级期末）若两直线l1：（a﹣1）x﹣3y﹣2＝0与l2：x﹣（a+1）y+2＝0平行，则实数a的值可以为（ ）
A．3 B．2 C．﹣2 D．1
【答案】BC
【分析】由两直线平行的充要条件列方程求解即可，注意检验是否重合．
【解答】解：若l1：（a﹣1）x﹣3y﹣2＝0与l2：x﹣（a+1）y+2＝0平行，
则﹣（a+1）（a﹣1）﹣（﹣3）×1＝0，解得4﹣a2＝0，
∴a＝±2，经检验符合题意．
故选：BC．
【例12】（2025 黄浦区校级三模）直线l1：2x﹣（a+1）y﹣1＝0，直线l2：ax﹣y+1＝0，若l1∥l2，则a＝ ．
【答案】1．
【分析】写出两条直线平行的充要条件，可得a的值．
【解答】解：直线l1：2x﹣（a+1）y﹣1＝0，直线l2：ax﹣y+1＝0，
因为l1∥l2，可得2×（﹣1）＝﹣（a+1）×a，且2×1≠﹣1×a，
解得a＝1．
故答案为：1．
【知识点4】两直线垂直
两直线垂直
(1)公式成立的前提条件是两条直线的斜率都存在．
(2)当一条垂直直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，两条直线也垂直．
例1：
【例13】（2025春 河南期中）若直线2x﹣y﹣1＝0与直线ax+2y﹣3＝0垂直，则a＝（ ）
A．﹣1 B． C．1 D．2
【答案】C
【分析】根据两条直线垂直与方程的关系，建立关于a的方程，解之即可得到本题的答案．
【解答】解：若直线2x﹣y﹣1＝0与ax+2y﹣3＝0垂直，
则2a+（﹣1）×2＝0，
解得a＝1．
故选：C．
【例14】（多选）（2025春 横峰县校级期中）若直线l1的斜率，直线l2经过点A（3a，6），B（0，a2+1），且l1⊥l2，则实数a的值为（ ）
A．﹣1 B．1 C．﹣5 D．5
【答案】AD
【分析】根据直线垂直的性质求解即可．
【解答】解：因为直线l1的斜率，直线l2经过点A（3a，6），B（0，a2+1），且l1⊥l2，
所以，解得a＝﹣1或5．
故选：AD．
【例15】（2025春 静安区期末）已知直线l1：（a﹣2）x+ay﹣2＝0与l2：ax+ay+1＝0互相垂直，则实数a的值为 ．
【答案】1．
【分析】直接利用直线垂直的充要条件求出结果．
【解答】解：由于直线l1：（a﹣2）x+ay﹣2＝0与l2：ax+ay+1＝0互相垂直，
所以a（a﹣2）+a2＝0，解得a＝0或1，（0不符合题意，舍去）；
故a＝1．
故答案为：1．
【例16】（2025春 北仑区校级期中）已知直线l1：ax+（2a﹣1）y﹣1＝0与直线l2：x﹣ay+3＝0互相垂直，则实数a的值为 ．
【答案】1或0．
【分析】由直线的垂直关系可得a+（2a﹣1）×（﹣a）＝0，解方程可得．
【解答】解：∵l1：ax+（2a﹣1）y﹣1＝0与直线l2：x﹣ay+3＝0互相垂直，
∴a+（2a﹣1）×（﹣a）＝0，
解得a＝0或a＝1．
故答案为：1或0．
【知识点5】直线与线段相交求斜率
1．直线的斜率
(1)．
(2)．
2．斜率公式的用途
(1)由、点的坐标求的值．
(2)已知及中的三个量可求第四个量．
(3)已知及、的横坐标（或纵坐标）可求．
(4)证明三点共线．
例1：
【例17】（2025春 海口校级月考）已知A（﹣2，﹣1），B（2，﹣2），直线l经点P（0，1），若直线l与线段AB相交，则直线l斜率的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】先求出直线PA与直线PB的斜率，再结合直线l与线段AB相交的条件，确定直线l斜率的取值范围．
【解答】解：A（﹣2，﹣1），P（0，1），，
B（2，﹣2），P（0，1），则
当直线l绕点P从PB位置旋转到与y轴重合时，
斜率的范围是；
当直线l绕点P从与y轴重合旋转到PA位置时，斜率的范围是[1，+∞）．
故直线l斜率的取值范围为∪[1，+∞）．
故选：B．
【例18】（多选）（2024秋 大荔县期末）下列说法正确的是（ ）
A．若直线的一个方向向量为（2，3），则该直线的斜率为
B．“a＝﹣1”是“直线a2x﹣y+1＝0与直线x﹣ay﹣2＝0互相垂直”的充分不必要条件 C．不经过原点的直线都可以用方程表示
D．已知直线l过定点P（1，0）且与以A（2，﹣3），B（﹣3，﹣2）为端点的线段有交点，则直线l的斜率k的取值范围是
【答案】BD
【分析】A根据方向向量与斜率的关系判断；B利用直线垂直的判定求参数即可判断；C注意不过原点且垂直于坐标轴的直线；D利用两点式求线段端点处斜率，数形结合确定斜率范围．
【解答】解：直线的一个方向向量为（2，3），则该直线的斜率为，故A错误；
直线a2x﹣y+1＝0与直线x﹣ay﹣2＝0互相垂直，有a2+a＝0 a＝﹣1或a＝0，故已知条件间关系为充分不必要条件，B对；
对于不过原点且垂直于坐标轴的直线，不能用表示，C错；
由，，由图知斜率k的取值范围是，D对．
故选：BD．
【例19】（2025春 长宁区校级月考）已知直线l过P（﹣2，﹣1），且与以A（﹣4，2），B（1，3）为端点的线段相交，则直线l的斜率的取值范围为 ．
【答案】．
【分析】根据斜率公式求出kPA，kPB，再结合图形求出直线l的斜率的取值范围．
【解答】解：因为P（﹣2，﹣1），A（﹣4，2），B（1，3），设直线l的斜率为k，
根据题中条件画出图形，如图所示，
则，
直线l与以AB为端点的线段相交，结合图形，
则直线l的斜率的取值范围为．
故答案为：．
【例20】（2025春 黄浦区校级月考）已知点A（2，2），B（﹣1，1），若直线l：kx﹣y﹣k＝0与线段AB（含端点）相交，则k的取值范围为 ．
【答案】．
【分析】由题意利用直线的倾斜角和斜率，数形结合求得实数k的取值范围．
【解答】解：由kx﹣y﹣k＝0可得y＝k（x﹣1），
知直线l为过定点P（1，0），斜率为k的直线，
可得，
若直线l：kx﹣y﹣k＝0与线段AB（含端点）相交，则k≥2或，
所以k的取值范围为．
故答案为：．
【知识点6】直线平行、垂直的应用
直线的平行与垂直
(1)．
(2)．
例1：
【例21】（2025春 普宁市校级月考）“直线mx﹣y+1＝0与直线x﹣my﹣1＝0相互平行”是“m＝1”的（ ）
A．充分不必要条件
B．充要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】根据题意，由求解．
【解答】解：直线mx﹣y+1＝0与直线x﹣my﹣1＝0相互平行，
则，即，解得m＝1，
∴“m＝1”是“直线mx﹣y+1＝0与直线x﹣my﹣1＝0相互平行”的充要条件．
故选：B．
【例22】（2024秋 三明期末）“m＝0”是“直线l1：mx+y+2＝0与直线l2：x+m2y+1＝0垂直”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据已知条件，结合直线垂直的性质，即可求解．
【解答】解：直线l1：mx+y+2＝0与直线l2：x+m2y+1＝0垂直，
则m+m2＝0，解得m＝0或m＝﹣1，
故“m＝0”是“直线l1：mx+y+2＝0与直线l2：x+m2y+1＝0垂直”的充分不必要条件．
故选：A．
【例23】（多选）（2025 泸县校级开学）若三条直线l1：2x﹣y+1＝0，l2：x+y﹣1＝0，l3：2x+ay+a﹣2＝0可以围成一个三角形，则实数a的值可以为（ ）
A．﹣1 B．0 C．1 D．3
【答案】BD
【分析】由题意可得三条直线两两都不平行且不同时过同一个点，写出限定条件即可得结果．
【解答】解：根据题意可知三条直线两两都不平行，且不同时过同一个点；
当l1，l3平行时可得a＝﹣1，此时不合题意，因此a≠﹣1；
联立l1，l2，即，解得交点坐标为 （0，1），因此 （0，1）不在l3：2x+ay+a﹣2＝0上，即可得a+a﹣2≠0，可得a≠1；
所以若三条直线围成一个三角形，只需a≠﹣1且a≠1即可．
故选：BD．
【例24】（2025春 浦东新区校级月考）已知直线l1：2x﹣y+1＝0，l2：3x+ay+7＝0，l3：bx+2y﹣1＝0，若l1⊥l2且l2∥l3，则a﹣b的值为 ．
【答案】5．
【分析】由直线一般式下两条直线垂直与平行的性质求解即可．
【解答】解：由题意直线l1：2x﹣y+1＝0，l2：3x+ay+7＝0，l3：bx+2y﹣1＝0，
结合l1⊥l2，可得2×3﹣a＝0，所以a＝6，
因为l2∥l3，所以，解得b＝1，
所以a﹣b＝6﹣1＝5．
故答案为：5．
第1页 共1页2.1 直线的倾斜角与斜率
【知识点1】直线的倾斜角 1
【知识点2】直线的斜率 2
【知识点3】两直线平行 3
【知识点4】两直线垂直 4
【知识点5】直线与线段相交求斜率 4
【知识点6】直线平行、垂直的应用 6
1.知道直线的倾斜角与斜率(重点)。
2.掌握直线的平行与垂直(重难点)。
3.掌握由直线与线段相交求斜率(重点)。
【知识点1】直线的倾斜角
直线的倾斜角
(1)平面直角坐标系中，对于一条与轴相交的直线，如果把轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为，则叫做直线的倾斜角．
(2)当直线和轴平行或重合时，直线倾斜角为，所以，倾斜角的范围是．
(3)直线的倾斜角描述了直线的倾斜程度，每一条直线都有唯一的倾斜角和它对应。
例1：
【例1】（2024秋 东明县校级期末）直线x＝1倾斜角为（ ）
A．0° B．90° C．45° D．不存在
【例2】（2025春 广安区校级期中）直线x﹣y﹣5＝0的倾斜角为（ ）
A．﹣45° B．45° C．90° D．135°
【例3】（2025 南京模拟）直线的倾斜角为（ ）
A．30° B．60° C．120° D．150°
【例4】（2025春 郴州月考）在平面直角坐标系中，已知直线l的方向向量为（1，），则直线l的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
【知识点2】直线的斜率
直线的斜率
(1)倾斜角不是的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率，常用表示，即．
(2)已知点、，且与轴不垂直，过两点、的直线的斜率公式．
(3)当直线与x轴平行或重合时，，．
(4)直线与x轴垂直时，，k不存在．
例1：
【例5】（2024秋 广西期末）已知直线l经过点A（2，﹣3），B（﹣3，4），则l的斜率为（ ）
A． B． C． D．
【例6】（2024秋 合肥期末）已知直线l：，则直线l的斜率为（ ）
A． B． C． D．
【例7】（2025春 杨浦区校级月考）过点A（﹣1，0）和B（1，2）的直线的斜率为 ．
【例8】（2025春 杨浦区校级月考）已知直线l经过点P（2，1）、Q（4，5）两点，直线m的倾斜角是直线l的倾斜角的2倍，则直线m的斜率为 ．
【知识点3】两直线平行
两直线平行
(1)公式成立的前提条件是①两条直线的斜率存在分别为；②不重合．
(2)当两条直线的斜率都不存在且不重合时，的倾斜角都是，则．
例1：
【例9】（2025春 长沙期中）已知直线mx+3y+m﹣1＝0与直线x+（m+2）y+2m﹣2＝0平行，则m的值为（ ）
A．3 B．﹣3 C．1或﹣3 D．﹣1或3
【例10】（2025春 江西月考）若直线x+2y﹣1＝0与直线ax﹣y＝0平行，则a＝（ ）
A．2 B． C．﹣2 D．
【例11】（多选）（2024秋 广南县校级期末）若两直线l1：（a﹣1）x﹣3y﹣2＝0与l2：x﹣（a+1）y+2＝0平行，则实数a的值可以为（ ）
A．3 B．2 C．﹣2 D．1
【例12】（2025 黄浦区校级三模）直线l1：2x﹣（a+1）y﹣1＝0，直线l2：ax﹣y+1＝0，若l1∥l2，则a＝ ．
【知识点4】两直线垂直
两直线垂直
(1)公式成立的前提条件是两条直线的斜率都存在．
(2)当一条垂直直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，两条直线也垂直．
例1：
【例13】（2025春 河南期中）若直线2x﹣y﹣1＝0与直线ax+2y﹣3＝0垂直，则a＝（ ）
A．﹣1 B． C．1 D．2
【例14】（多选）（2025春 横峰县校级期中）若直线l1的斜率，直线l2经过点A（3a，6），B（0，a2+1），且l1⊥l2，则实数a的值为（ ）
A．﹣1 B．1 C．﹣5 D．5
【例15】（2025春 静安区期末）已知直线l1：（a﹣2）x+ay﹣2＝0与l2：ax+ay+1＝0互相垂直，则实数a的值为 ．
【例16】（2025春 北仑区校级期中）已知直线l1：ax+（2a﹣1）y﹣1＝0与直线l2：x﹣ay+3＝0互相垂直，则实数a的值为 ．
【知识点5】直线与线段相交求斜率
1．直线的斜率
(1)．
(2)．
2．斜率公式的用途
(1)由、点的坐标求的值．
(2)已知及中的三个量可求第四个量．
(3)已知及、的横坐标（或纵坐标）可求．
(4)证明三点共线．
例1：
【例17】（2025春 海口校级月考）已知A（﹣2，﹣1），B（2，﹣2），直线l经点P（0，1），若直线l与线段AB相交，则直线l斜率的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【例18】（多选）（2024秋 大荔县期末）下列说法正确的是（ ）
A．若直线的一个方向向量为（2，3），则该直线的斜率为
B．“a＝﹣1”是“直线a2x﹣y+1＝0与直线x﹣ay﹣2＝0互相垂直”的充分不必要条件 C．不经过原点的直线都可以用方程表示
D．已知直线l过定点P（1，0）且与以A（2，﹣3），B（﹣3，﹣2）为端点的线段有交点，则直线l的斜率k的取值范围是
【例19】（2025春 长宁区校级月考）已知直线l过P（﹣2，﹣1），且与以A（﹣4，2），B（1，3）为端点的线段相交，则直线l的斜率的取值范围为 ．
【例20】（2025春 黄浦区校级月考）已知点A（2，2），B（﹣1，1），若直线l：kx﹣y﹣k＝0与线段AB（含端点）相交，则k的取值范围为 ．
【知识点6】直线平行、垂直的应用
直线的平行与垂直
(1)．
(2)．
例1：
【例21】（2025春 普宁市校级月考）“直线mx﹣y+1＝0与直线x﹣my﹣1＝0相互平行”是“m＝1”的（ ）
A．充分不必要条件
B．充要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
【例22】（2024秋 三明期末）“m＝0”是“直线l1：mx+y+2＝0与直线l2：x+m2y+1＝0垂直”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【例23】（多选）（2025 泸县校级开学）若三条直线l1：2x﹣y+1＝0，l2：x+y﹣1＝0，l3：2x+ay+a﹣2＝0可以围成一个三角形，则实数a的值可以为（ ）
A．﹣1 B．0 C．1 D．3
【例24】（2025春 浦东新区校级月考）已知直线l1：2x﹣y+1＝0，l2：3x+ay+7＝0，l3：bx+2y﹣1＝0，若l1⊥l2且l2∥l3，则a﹣b的值为 ．
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