2.3 直线的交点坐标与距离公式
【知识点1】两直线的交点 1
【知识点2】两点间的距离 3
【知识点3】点到线的距离 5
【知识点4】两平行线间的距离 8
1.知道并掌握两直线的交点(重点)。
2.掌握两点间的距离、点到直线的距离(重难点)。
3.掌握两条直线间的距离(重点)。
【知识点1】两直线的交点
1．两条直线相交
(1)对于两条直线，若，则方程组有唯一解，两条直线就相交，方程组的解就是交点的坐标．
(2)两条直线，联立方程组，若方程组有无数组解，则重合．
2．求过两直线交点的直线方程
(1)先解方程组求出两直线的交点坐标．
(2)再结合其他条件写出直线方程．
(3)也可借助直线系方程，利用待定系数法求出直线方程，这样能简化解题过。
【例1】（2024春 平阳县校级期末）直线l1：3x﹣4y+5＝0与l2：4x﹣3y0的交点坐标为（ ）
A．（2，3） B． C． D．
【答案】B
【分析】联立方程组可解得答案．
【解答】解：直线l1：3x﹣4y+5＝0与l2：4x﹣3y0，
联立方程组，解得，
所以两直线的交点坐标为．
故选：B．
【例2】（2025春 武陵区校级月考）若直线y＝﹣2x+4与直线y＝kx的交点在直线y＝x+2上，则实数k＝（ ）
A．4 B．2 C． D．
【答案】A
【分析】首先利用直线的交点建立方程组，进一步求出交点的坐标，进一步利用该点的坐标满足直线的方程求出k的值．
【解答】解：直线y＝﹣2x+4与直线y＝kx的交点，
满足：，解得，
由于该点在直线y＝x+2上，
故，解得k＝4．
故选：A．
【例3】（多选）（2024秋 驻马店月考）已知l1：x+ay+2＝0，l2：ax﹣y+1＝0，l3：16x﹣13y+5＝0这三条直线有唯一公共点，则实数a的可能取值有（ ）
A．﹣4 B．﹣2 C．2 D．4
【答案】AC
【分析】联立求解直线l1，l2的交点，将交点坐标代入l3即可得a的值．
【解答】解：联立l1和l2
故直线l1和直线l2的交点坐标为，
把交点坐标代入直线l3的方程可得：，
解得a＝﹣4或2，经检验，直线l1，l2有交点，不平行．
故选：AC．
【例4】（2024秋 仁寿县期中）已知直线l1：2x﹣y﹣3＝0与l2：x+4y﹣6＝0交于点A（x0，y0），则x0+y0＝ ．
【答案】3．
【分析】直线l1：2x﹣y﹣3＝0与l2：x+4y﹣6＝0交于点A（x0，y0），即（x0，y0）是方程组的解，求出x0，y0即可．
【解答】解：由，
解得，即A（2，1），
所以x0+y0＝3．
故答案为：3．
【知识点2】两点间的距离
两点间的距离
设两点，则
例1：
【例5】（2024秋 菏泽期中）在平面直角坐标系中，点A（3，﹣2）和点B（﹣1，1）之间的距离为（ ）
A．2 B．3 C． D．5
【答案】D
【分析】利用两点之间的距离公式计算即得．
【解答】解：由两点间的距离公式可得：点A（3，﹣2）和点B（﹣1，1）之间的距离为5．
故选：D．
【例6】（2024秋 扬州校级期中）已知△ABC的顶点为A（0，4），B（3，﹣2），C（5，4），则BC边上的中线长为（ ）
A．4 B．5 C． D．
【答案】B
【分析】先求出BC的中点D的坐标，利用两点间的距离公式求出BC边上的中线长．
【解答】解：△ABC的顶点为A（0，4），B（3，﹣2），C（5，4），
设BC的中点为D，所以D（4，1），
所以BC边上的中线长．
故选：B．
【例7】（2024秋 驻马店月考）已知点A（4，12），P为x轴上的一点，且点P与点A的距离等于13，则点P的坐标为 ．
【答案】（﹣1，0）或（9，0）．
【分析】根据题意设P（x，0），再利用两点间的距离公式即可求出x的值，从而得到点P的坐标．
【解答】解：∵点P在x轴上，设P（x，0），
∵点P与点A的距离等于13，
∴，解得x＝9或﹣1，
∴点P的坐标为（9，0）或（﹣1，0），
故答案为：（﹣1，0）或（9，0）．
【例8】（2024秋 华州区校级月考）已知A（2，3）、B（1，0），动点P在y轴上，当|PA|+|PB|取最小值时，则点P的坐标为 ．
【答案】（0，1）．
【分析】作出A关于y轴的对称点A'（﹣2，3），连接A'B，与y轴交于P，即为所求．求出直线A，B的方程，可令x＝0，可得P的坐标．
【解答】解：作出A关于y轴的对称点A'（﹣2，3），
连接A'B，与y轴交于P，即为所求．
此时|PA|+|PB|取最小值|A'B|，
由A'B的斜率为1，得方程：y＝﹣（x﹣1），
令x＝0，可得y＝1，即为P（0，1），
故答案为：（0，1）．
【知识点3】点到线的距离
点到直线的距离
(1)设点，直线，则点到直线的距离．
(2)可直接利用点到直线的距离公式来求．
(3)但要注意此时直线方程必须为一般式
例1：
【例9】（2025 市中区校级二模）已知A（﹣1，0），B（1，0），若点P满足PA⊥PB，则点P到直线的距离的最大值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】先确定P的轨迹以及直线l过的定点，再根据圆的性质特点求最值．
【解答】解：由PA⊥PB可得点P的轨迹为以线段AB为直线的圆，圆心为（0，0），半径为1，
又直线，其过定点，
故距离的最大值为．
故答案为：C．
【例10】（多选）（2025春 湖南月考）已知点A（2，3），B（4，﹣5）到直线l的距离相等，且l过点P（1，0），则l的方程可能是（ ）
A．x+y﹣1＝0 B．4x+y﹣4＝0 C．2x+y﹣2＝0 D．x+2y﹣1＝0
【答案】BD
【分析】先利用几何意义得到直线l与AB平行或经过AB的中点．然后由点斜式和两点式求直线方程．
【解答】解：由已知直线l与AB平行或经过AB的中点．
由A（2，3），B（4，﹣5）可知其中点坐标为（3，﹣1），
当直线l经过AB的中点和点P（1，0）时，
由两点式可得直线方程：，整理得直线l方程为x+2y﹣1＝0，
当直线l与AB平行时，由A（2，3），B（4，﹣5）可得直线l的斜率为：，
所以由点斜式直线l的方程为：y﹣0＝﹣4（x﹣1），整理得4x+y﹣4＝0．
故选：BD．
【例11】（2025春 松江区校级月考）已知点P（﹣3，﹣1）和直线l：（1+2λ）x+（1﹣3λ）y+λ﹣2＝0，则点P到直线l的距离最大值为 ．
【答案】2．
【分析】先求得直线l的定点A（1，1），分析可得PA⊥l时，点P到直线l的距离最大，进而求解即可．
【解答】解：点P（﹣3，﹣1）和直线l：（1+2λ）x+（1﹣3λ）y+λ﹣2＝0，
由l：（1+2λ）x+（1﹣3λ）y+λ﹣2＝0，
即（2x﹣3y+1）λ+x+y﹣2＝0，
令，解得，
则直线l恒过定点A（1，1），
当PA⊥l时，点P到直线l的距离最大，
此时最大距离为|PA|2．
故答案为：2．
【例12】（2025春 厦门校级月考）动直线l：（2m+1）x+（m+1）y﹣7m﹣4＝0（m∈R）与一点M（4，0）．当点M到直线l的距离最大时，直线l的方程为 （填一般式）．
【答案】x﹣y﹣2＝0．
【分析】将直线方程转化为交点直线系方程，联立直线方程即可求得定点坐标；当定点与点M点构成的直线与l垂直时，则点M到直线l的距离最大时，则问题得解．
【解答】解：因为l：（2m+1）x+（m+1）y﹣7m﹣4＝0（m∈R），
即m（2x+y﹣7）+（x+y﹣4）＝0，
由解得x＝3，y＝1，所以直线l恒过定点（3，1）；
当点M与定点P（3，1）所在直线与l垂直时，点M到直线l的距离最大，
此时kl×kPM＝﹣1，即kl×（﹣1）＝﹣1，解得kl＝1，
则，解得，
故直线l的方程为：x﹣y﹣2＝0．
故答案为：x﹣y﹣2＝0．
【知识点4】两平行线间的距离
两平行线间的距离
(1)设两条平行直线，则这两条平行线之间的距离．
(2)利用“转化法”将两条平行线间的距离转化为一条直线上任意一点到另一条直线的距离．
(3)利用两平行线间的距离公式(利用公式前需把两平行线方程中x，y的系数化为相同的形式)。
例1：
【例13】（多选）（2024秋 漳州期末）已知直线l1：2ax+y﹣2＝0与l2：2x+ay﹣2＝0，则（ ）
A．当a＝2时，l1∥l2
B．当a＝1时，l1与l2重合
C．当a＝0时，l1⊥l2
D．当l1∥l2时，l1与l2间的距离为
【答案】BC
【分析】根据已知条件，结合直线平行、垂直的性质，以及平行直线间的距离公式，即可求解．
【解答】解：对于A，当a＝2时，对于直线l1：2ax+y﹣2＝0即4x+y﹣2＝0，其斜率为﹣4，直线l2：2x+ay﹣2＝0即2x+2y﹣2＝0，其斜率为﹣1，所以l1与l2不平行，A选项错误．
对于B，当a＝1时，直线l1：2x+y﹣2＝0，直线l2：2x+y﹣2＝0．所以l1与l2重合，B选项正确．
对于C，当a＝0时，直线l1：y﹣2＝0，直线l2：2x﹣2＝0．根据两直线垂直的判定条件，A1A2+B1B2＝0×2+1×0＝0成立，所以l1与l2垂直，C选项正确．
对于D，当l1∥l2时，由A1B2﹣A2B1＝0，对于直线l1：2ax+y﹣2＝0和l2：2x+ay﹣2＝0，有2a×a﹣2×1＝0，即2a2﹣2＝0，解得a＝±1．当a＝1时两直线重合，当a＝﹣1时，l1：﹣2x+y﹣2＝0即2x﹣y+2＝0，l2：2x﹣y﹣2＝0．根据两平行直线间的距离公式，则，D选项错误．
故选：BC．
【例14】（2025 青浦区校级模拟）已知m∈R，直线l1：x﹣y+7＝0，l2：mx+y﹣1＝0，若l1∥l2，则l1与l2之间的距离为 ．
【答案】3．
【分析】利用两直线平行的性质求出m，再运用两平行直线的距离公式求解即可．
【解答】解：∵l1∥l2，∴，∴m，
∴l2：mx+y﹣1＝0 l2：x﹣y+1＝0，
∴l1与l2之间的距离为d3，
故答案为：3．
【例15】（2025春 杨浦区校级月考）已知直线l：x+2y﹣1＝0．
（1）求经过点P（1，5），且垂直于直线l的直线的方程；
（2）求与直线l平行，且到直线l的距离为的直线的方程．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据直线垂直的斜率关系和点斜式方程可得；
（2）设出所求方程，利用平行直线的距离公式求解可得．
【解答】解：（1）由题知，直线l的斜率为，可知所求直线的斜率为2，
又直线过点P（1，5），由点斜式方程得所求直线方程为y﹣5＝2（x﹣1），
整理得2x﹣y+3＝0．
（2）所求直线与直线l平行，
所以设所求直线方程为：x+2y+m＝0，
则，∴|m+1|＝5，∴m＝﹣6或m＝4，
∴x+2y﹣6＝0或x+2y+4＝0为所求．
【例16】（2024秋 英吉沙县期末）已知两条直线l1：（a﹣1）x+y﹣1＝0和l2：6x+ay+2＝0．
（1）若l1⊥l2，求实数a的值；
（2）若l1∥l2，求l1与l2之间的距离．
【答案】（1）；
（2）．
【分析】（1）根据两条直线垂直建立关于a的方程，解之可得实数a的值；
（2）先根据两条直线平行建立关于a的方程，解出a值得到两条直线的方程，然后利用平行线之间的距离公式算出l1与l2之间的距离．
【解答】解：（1）由直线l1：（a﹣1）x+y﹣1＝0和l2：6x+ay+2＝0，
可知：若l1⊥l2，则6（a﹣1）+a＝0，解得a；
（2）若l1∥l2，则a（a﹣1）＝6且2（a﹣1）≠﹣6，解得a＝3，
所以直线l1：2x+y﹣1＝0和l2：6x+3y+2＝0，
将l1化为6x+3y﹣3＝0，可得l1与l2之间的距离d．2.3 直线的交点坐标与距离公式
【知识点1】两直线的交点 1
【知识点2】两点间的距离 2
【知识点3】点到线的距离 3
【知识点4】两平行线间的距离 4
1.知道并掌握两直线的交点(重点)。
2.掌握两点间的距离、点到直线的距离(重难点)。
3.掌握两条直线间的距离(重点)。
【知识点1】两直线的交点
1．两条直线相交
(1)对于两条直线，若，则方程组有唯一解，两条直线就相交，方程组的解就是交点的坐标．
(2)两条直线，联立方程组，若方程组有无数组解，则重合．
2．求过两直线交点的直线方程
(1)先解方程组求出两直线的交点坐标．
(2)再结合其他条件写出直线方程．
(3)也可借助直线系方程，利用待定系数法求出直线方程，这样能简化解题过。
【例1】（2024春 平阳县校级期末）直线l1：3x﹣4y+5＝0与l2：4x﹣3y0的交点坐标为（ ）
A．（2，3） B． C． D．
【例2】（2025春 武陵区校级月考）若直线y＝﹣2x+4与直线y＝kx的交点在直线y＝x+2上，则实数k＝（ ）
A．4 B．2 C． D．
【例3】（多选）（2024秋 驻马店月考）已知l1：x+ay+2＝0，l2：ax﹣y+1＝0，l3：16x﹣13y+5＝0这三条直线有唯一公共点，则实数a的可能取值有（ ）
A．﹣4 B．﹣2 C．2 D．4
【例4】（2024秋 仁寿县期中）已知直线l1：2x﹣y﹣3＝0与l2：x+4y﹣6＝0交于点A（x0，y0），则x0+y0＝ ．
【知识点2】两点间的距离
两点间的距离
设两点，则
例1：
【例5】（2024秋 菏泽期中）在平面直角坐标系中，点A（3，﹣2）和点B（﹣1，1）之间的距离为（ ）
A．2 B．3 C． D．5
【例6】（2024秋 扬州校级期中）已知△ABC的顶点为A（0，4），B（3，﹣2），C（5，4），则BC边上的中线长为（ ）
A．4 B．5 C． D．
【例7】（2024秋 驻马店月考）已知点A（4，12），P为x轴上的一点，且点P与点A的距离等于13，则点P的坐标为 ．
【例8】（2024秋 华州区校级月考）已知A（2，3）、B（1，0），动点P在y轴上，当|PA|+|PB|取最小值时，则点P的坐标为 ．
【知识点3】点到线的距离
点到直线的距离
(1)设点，直线，则点到直线的距离．
(2)可直接利用点到直线的距离公式来求．
(3)但要注意此时直线方程必须为一般式
例1：
【例9】（2025 市中区校级二模）已知A（﹣1，0），B（1，0），若点P满足PA⊥PB，则点P到直线的距离的最大值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【例10】（多选）（2025春 湖南月考）已知点A（2，3），B（4，﹣5）到直线l的距离相等，且l过点P（1，0），则l的方程可能是（ ）
A．x+y﹣1＝0 B．4x+y﹣4＝0 C．2x+y﹣2＝0 D．x+2y﹣1＝0
【例11】（2025春 松江区校级月考）已知点P（﹣3，﹣1）和直线l：（1+2λ）x+（1﹣3λ）y+λ﹣2＝0，则点P到直线l的距离最大值为 ．
【例12】（2025春 厦门校级月考）动直线l：（2m+1）x+（m+1）y﹣7m﹣4＝0（m∈R）与一点M（4，0）．当点M到直线l的距离最大时，直线l的方程为 （填一般式）．
【知识点4】两平行线间的距离
两平行线间的距离
(1)设两条平行直线，则这两条平行线之间的距离．
(2)利用“转化法”将两条平行线间的距离转化为一条直线上任意一点到另一条直线的距离．
(3)利用两平行线间的距离公式(利用公式前需把两平行线方程中x，y的系数化为相同的形式)。
例1：
【例13】（多选）（2024秋 漳州期末）已知直线l1：2ax+y﹣2＝0与l2：2x+ay﹣2＝0，则（ ）
A．当a＝2时，l1∥l2
B．当a＝1时，l1与l2重合
C．当a＝0时，l1⊥l2
D．当l1∥l2时，l1与l2间的距离为
【例14】（2025 青浦区校级模拟）已知m∈R，直线l1：x﹣y+7＝0，l2：mx+y﹣1＝0，若l1∥l2，则l1与l2之间的距离为 ．
【例15】（2025春 杨浦区校级月考）已知直线l：x+2y﹣1＝0．
（1）求经过点P（1，5），且垂直于直线l的直线的方程；
（2）求与直线l平行，且到直线l的距离为的直线的方程．
【例16】（2024秋 英吉沙县期末）已知两条直线l1：（a﹣1）x+y﹣1＝0和l2：6x+ay+2＝0．
（1）若l1⊥l2，求实数a的值；
（2）若l1∥l2，求l1与l2之间的距离．
