2.5 直线与圆、圆与圆的位置关系
【知识点1】直线与圆的位置关系 1
【知识点2】圆的切线方程 3
【知识点3】切线长问题 7
【知识点4】直线与圆相交 9
【知识点5】圆与圆的位置关系 12
【知识点6】直线、圆的综合 15
1.知道直线与圆、圆与圆的位置关系(重点)。
2.掌握直线与圆的相交弦长(重难点)。
3.掌握圆的切线方程、切线长问题(重点)。
【知识点1】直线与圆的位置关系
1．直线与圆的位置关系
(1)直线与圆相切：直线与圆有且只有一个公共点．
(2)直线与圆相交：直线与圆有两个公共点．
(3)直线与圆相离：直线与圆没有公共点．
2．直线与圆位置关系的判断方法
(1)几何法：利用d与r的关系．
(2)代数法：联立方程组，消元得一元二次方程之后利用Δ判断．
(3)点与圆的位置关系：若直线恒过定点且定点在圆内，则直线与圆相交。
【例1】（2025 西安模拟）直线l：x+ay﹣a＝0与圆C：x2+y2+2y﹣5＝0的位置关系是（ ）
A．相离 B．相切
C．相交 D．无法确定的
【答案】C
【分析】先求出直线经过的定点A（0，1），求出圆C的圆心C（0，﹣1）和半径，由即可判断．
【解答】解：因为直线l：x+ay﹣a＝0，所以x+a（y﹣1）＝0，
则，解得，所以直线l：x+ay﹣a＝0过定点A（0，1），
由圆C：x2+y2+2y﹣5＝0配方得：x2+（y+1）2＝6，
则圆心为C（0，﹣1），半径为，
因为，所以点A在圆C内，故直线l与圆C相交．
故选：C．
【例2】（2025 大兴区校级模拟）已知直线l：x+y﹣1＝0与圆C：（x+1）2+（y﹣2）2＝4，则（ ）
A．l与C相离 B．l与C相切
C．l平分C D．l与C相交但不平分C
【答案】C
【分析】求解圆的圆心，判断圆心与直线的位置关系，即可得到选项．
【解答】解：圆C：（x+1）2+（y﹣2）2＝4，圆的圆心（﹣1，2），圆的圆心满足直线l：x+y﹣1＝0，所以直线经过圆的圆心，
所以C正确．A、B、D不正确．
故选：C．
【例3】（2025春 娄底期中）已知直线l：kx﹣y﹣k﹣1＝0和圆C：x2+y2﹣2x+4y+4＝0，则直线l与圆C的位置关系是（ ）
A．相切 B．相交
C．相离 D．相交或相切
【答案】D
【分析】由题意可求出直线所过定点（1，﹣1），根据点和圆的位置关系求出直线与圆的位置关系．
【解答】解：由题意l：kx﹣y﹣k﹣1＝0，整理得k（x﹣1）﹣（y+1）＝0，
所以直线过定点A（1，﹣1），圆C：x2+y2﹣2x+4y+4＝0中，
整理得（x﹣1）2+（y+2）2＝1，所以圆心C（1，﹣2），半径为1；故|AC|＝1，
所以点A为圆C上一点，故直线1与圆相交或相切．
故选：D．
【例4】（2025 北京校级模拟）已知圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2＝25，直线l：mx﹣y﹣2m＝0，则直线l与圆C的公共点个数为（ ）
A．0个 B．1个
C．2个 D．与m有关，不能确定
【答案】C
【分析】根据直线方程确定定点，再判断点圆位置关系，即可得直线与圆的位置，进而确定公共点个数．
【解答】解：根据题意，直线l：mx﹣y﹣2m＝0，即y＝m（x﹣2），恒过定点A（2，0），
圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2＝25，有（2﹣1）2+（0﹣2）2＝5＜25，
所以点A在圆C内，故直线l恒与圆C相交，故有两个交点．
故选：C．
【知识点2】圆的切线方程
1．圆的切线方程
(1)直线与圆相切：直线与圆有且只有一个公共点．
(2)几何法：圆心到直线的距离等于半径，即．
(3)代数法：，方程组有一组不同的解．
2．求过某点的圆的切线方程
(1)求过圆上一点P(x0，y0)的圆的切线方程：先求切点与圆连线的斜率k，则由垂直关系得切线斜率为－，由点斜式方程可求得切线方程．如果k＝0或斜率不存在，则由图形可直接得切线方程为y＝y0或x＝x0．
(2)求过圆外一点P(x0，y0)的圆的切线方程时，设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，即kx－y－kx0＋y0＝0，由圆心到直线的距离等于半径，可求得k，进而求出切线方程．但要注意，若求出的k值只有一个时，则另一条切线的斜率一定不存在，切线方程为x＝x0．
例1：
【例5】（多选）（2024秋 云南校级期末）已知圆，点A（2，0），下列说法正确的是（ ）
A．点A在圆外
B．点A（2，0）是2x+my﹣4＝0的定点
C．已知B（1，0），过点B作圆的最短弦长为
D．过点A作圆O1：x2+（y﹣1）2＝4的切线l，则l的方程为2x﹣y﹣4＝0
【答案】ABC
【分析】先根据圆O1的标准方程得出圆心及半径，根据点到圆心的距离判断A，再根据直线求出定点判断B，应用几何法求过点B的最短弦长判断C，根据点在圆外有两条切线判断D．
【解答】解：已知圆，点A（2，0），
圆的圆心为O1（0，1），半径为r＝2，
对于A选项，，得出点A在圆外，故A选项正确；
对于B选项，直线2x+my﹣4＝2（x﹣2）+my＝0，过定点A（2，0），故B选项正确；
对于C选项，当弦垂直于BO1时，弦长最短，，最短弦长为，故C选项正确；
对于D选项，点A在圆外，过A点作圆的切线有2条，还有一条直线x＝2过点A，且与圆O1相切，故D选项错误．
故选：ABC．
【例6】（2025 平凉校级模拟）过点与圆O：x2+y2＝4相切的直线方程为 ．
【答案】xy+4＝0．
【分析】易知点A在圆O上，根据圆的切线性质进行求解即可．
【解答】解：将点代入圆O：x2+y2＝4可得1+3＝4，
所以点A在圆O上，故所求切线与直线OA垂直，
又，所以所求切线斜率，
故所求切线方程为，即．
故答案为：xy+4＝0．
【例7】（2024秋 重庆期末）已知直线l1：x+y﹣3＝0与直线l2：x﹣3y+1＝0相交于点C，以C为圆心的圆过点A（0，1）．
（1）求圆C的方程；
（2）求过点B（4，5）的圆C的切线方程．
【答案】（1）（x﹣2）2+（y﹣1）2＝4；
（2）3x﹣4y+8＝0或x＝4．
【分析】（1）求出交点，可得C的坐标，求出半径，可得圆C的方程；
（2）分情况讨论，切线斜率存在和不存在两种，当切线斜率存在时，设切线l的方程为：y﹣5＝k（x﹣4）化为一般式，利用圆心到直线的距离等于半径运算即可；②当切线斜率不存在时，直接检验即可．
【解答】解：（1）由直线l1：x+y﹣3＝0与直线l2：x﹣3y+1＝0相交于点C，可得C（2，1），
∵以C为圆心的圆过点A（0，1），∴圆的半径为2，
∴圆的方程为（x﹣2）2+（y﹣1）2＝4；
（2）①当切线斜率存在时，设切线l的方程为：y﹣5＝k（x﹣4）
即：kx﹣y+5﹣4k＝0
由2得k，
∴切线方程l：3x﹣4y+8＝0
②当切线斜率不存在时，过点P（4，5）的直线为x＝4
经检验是圆（x﹣2）2+（y﹣1）2＝4的切线．
∴切线方程为3x﹣4y+8＝0或x＝4．
【例8】（2024秋 武汉期末）已知圆C经过点A（1，3）和B（2，4），且圆心C在直线2x﹣y﹣1＝0上．
（1）求圆C的标准方程；
（2）过点M（1，﹣1）作圆C的切线l，求直线l的方程．
【答案】（1）（x﹣2）2+（y﹣3）2＝1；
（2）x＝1或15x﹣8y﹣23＝0．
【分析】（1）设出圆C的标准方程，结合题意建立关于a、b、r的方程组，解之可得圆C的标准方程；
（2）当直线l的斜率不存在时，根据切线的性质加以验证；当直线l的斜率存在时，设出直线l的点斜式方程，根据直线与圆相切的性质、点到直线的距离公式，列式求出k的值，可得所求切线方程，最后综合可得答案．
【解答】解：（1）设圆C的方程为（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2（r＞0），
则，解得，
所以圆C的标准方程为（x﹣2）2+（y﹣3）2＝1；
（2）由（1）可知圆C的圆心为C（2，3），半径为r＝1，
①当直线l的斜率不存在时，l的方程为x＝1，
此时圆心C到直线l的距离为1，满足d＝r，直线l与圆C相切；
②当直线l的斜率存在时，设直线l：y+1＝k（x﹣1），即kx﹣y﹣k﹣1＝0，
根据直线l与圆C相切，可得l到圆心C的距离d＝r，
即1，解得，
所以直线l的方程为，即15x﹣8y﹣23＝0．
综上所述，直线l的方程为x＝1或15x﹣8y﹣23＝0．
【知识点3】切线长问题
1．圆的切线方程
(1)直线与圆相切：直线与圆有且只有一个公共点．
(2)几何法：圆心到直线的距离等于半径，即．
(3)代数法：，方程组有一组不同的解．
2．求切线长
注意应用圆的几何性质，以及圆内的“特征直角三角形”
例1：
【例9】（2025 萍乡二模）过点P（3，1）作圆C：x2+y2+2x+4y﹣4＝0的切线，记其中一个切点为A，则|PA|＝（ ）
A．16 B．4 C．21 D．
【答案】B
【分析】根据已知条件，结合勾股定理，以及两点之间的距离公式，即可求解．
【解答】解：圆C：x2+y2+2x+4y﹣4＝0，
则（x+1）2+（y+2）2＝9，圆心C（﹣1，﹣2），半径r＝3，
，
则|PA|．
故选：B．
【例10】（2024秋 贵阳期末）过点P（2，4）的直线与圆O：（x﹣3）2+y2＝1相切于点A，则切线段PA长为（ ）
A．3 B．4 C． D．5
【答案】B
【分析】根据已知条件，求出圆心、半径，再结合勾股定理，即可求解．
【解答】解：圆O：（x﹣3）2+y2＝1，则圆心O（3，0），半径r＝1，
|OP|，
则切线段PA长为．
故选：B．
【例11】（2024秋 枣庄期末）已知半径为1的圆经过点A（2，3），过点M（﹣2，0）向圆作切线，则切线长的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据切线的性质，三点共线问题即可得．
【解答】解：设圆心为O，切点为B，则OB＝1，切线长为，
切线长最大，只需OM最大，当O，A，M三点共线时OM最大，
AM5，则OM最大为5+1＝6，
则最大切线长为．
故选：A．
【例12】（多选）（2025 盐山县校级一模）已知圆O：x2+y2＝4，点P（x0，y0）是圆O上的点，直线，则（ ）
A．直线l与圆O相交弦长
B．圆O上恰有4个点到直线l的距离等于1
C．的最大值是
D．过点P向圆M：（x﹣3）2+（y﹣4）2＝1引切线，A为切点，则|PA|最小值为
【答案】AD
【分析】利用垂径定理解决A选项；求出圆心到直线的距离，然后求出每段弧上的点到直线的最大距离，即可判断B选项；令y＝k（x﹣4），然后该直线与圆O有公共点，通过圆心到直线的距离小于等于半径，判断C选项；对于D选项，将问题转化为P点到点M（3，4）距离的最小值问题求解．
【解答】解：圆O：x2+y2＝4的半径r＝2，圆心为O（0，0），
对于A，O点到直线l的距离d1，所以弦长为2，A正确；
对于B，因为圆心O到直线的距离为d＝1＜2＝r，所以直线l与圆O相交，
此时劣弧上的点到直线l的距离的最大值为r﹣d＝1，所以劣弧上只有一个点满足题意，
优弧上有两个点符合题意，即圆O上共有3个点到直线l的距离为1，B错误；
对于C，令k，则y＝k（x﹣4），由题意，直线kx﹣y﹣4k＝0与圆x2+y2＝4有公共点，
则，解得，
所以式子的最大值为，C错误；
对于D，由题意知，M（3，4），且|PA|2＝|PM|2﹣|AM|2＝|PM|2﹣1，
所以问题转化为求|PM|的最小值，易知|PM|min＝|OM|﹣22＝3，
此时|PA|，故D正确．
故选：AD．
【知识点4】直线与圆相交
1．直线与圆相交
(1)直线与圆相交：直线与圆有两个公共点．
(2)几何法：圆心到直线的距离小于半径，即．
(3)几何法：圆心到直线的距离小于半径，即．
2．弦长的求解
(1)代数方法：将直线和圆的方程联立方程组，消元后得到一个一元二次方程．在判别式Δ＞0的前提下，利用根与系数的关系，根据弦长公式求弦长．
(2)几何方法：若弦心距为d，圆的半径长为r，则弦长l＝2。
例1：
【例13】（2025 揭阳模拟）若直线l：x+y﹣m＝0（m＞0）被圆C：（x﹣1）2+（y+1）2＝4截得的弦长为，则m＝（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】C
【分析】根据点到直线的距离公式可得圆心到直线的距离d（m＞0），利用圆内的弦长公式可得，解出m验证即可求解．
【解答】解：圆C的标准方程为（x﹣1）2+（y+1）2＝4，圆心为（1，﹣1），半径r＝2，
直线l的方程为x+y﹣m＝0，
圆心到直线的距离为），
因为直线l：x+y﹣m＝0（m＞0）被圆C：（x﹣1）2+（y+1）2＝4截得的弦长为，则根据弦长公式可得，解得m＝2，
将m＝2代入原方程，验证弦长是否匹配，结果符合题意．
故选：C．
【例14】（2025 宁河区校级模拟）x轴，y轴上的截距分别为﹣2，3的直线与圆C：x2+y2﹣6x﹣2y﹣15＝0交于A、B两点，则|AB|的值为 ．
【答案】．
【分析】由题意求出直线AB的一般式方程，然后根据点到直线的距离公式求出圆心C到直线AB的距离，利用圆的弦长公式算出答案．
【解答】解：根据题意，可得直线AB的方程为，即3x﹣2y+6＝0，
圆C：x2+y2﹣6x﹣2y﹣15＝0化成标准方程，
可得（x﹣3）2+（y﹣1）2＝25，圆心为C（3，1），半径r＝5．
因为点C到直线AB的距离d，
所以直线被圆C截得的弦长|AB|＝22．
故答案为：．
【例15】（2024秋 天津期末）已知圆C的圆心在直线l1：x﹣y﹣3＝0上且圆C与x轴相切于点M（2，0）．
（1）求圆C的方程；
（2）已知直线l2：x+2y﹣1＝0与圆C相交于A，B两点，求△ABC的面积．
【答案】（1）（x﹣2）2+（y+1）2＝1．
（2）．
【分析】（1）由题意可得圆心在直线x＝2上，进而可求圆心C的坐标，求得半径即可求得圆C的方程；
（2）求得圆心到直线l2：x+2y﹣1＝0的距离，进而求得弦长|AB|，可求△ABC的面积．
【解答】解：（1）由圆C与x轴相切于点M（2，0），得圆心在直线x＝2上，
又圆心在直线l1：x﹣y﹣3＝0上，联立两直线方程可解得圆心C的坐标为（2，﹣1），
所以圆的半径为|﹣1﹣0|＝1，
所以圆C的方程为（x﹣2）2+（y+1）2＝1．
（2）由（1）可得圆心C到直线l2：x+2y﹣1＝0的距离d，
所以弦长|AB|＝2，
所以△ABC的面积S|AB|×d．
【例16】（2025春 普陀区校级月考）已知圆C：x2+（y﹣3）2＝4，直线m：x+3y+6＝0，过A（﹣1，0）的直线l与圆C相交于P，Q两点，
（1）当直线l与直线m垂直时，求证：直线l过圆心C．
（2）当时，求直线l的方程．
【答案】（1）证明见解析；（2）x＝﹣1或4x﹣3y+4＝0．
【分析】（1）由直线垂直求出l方程，代入圆心坐标即可得证；
（2）分直线斜率是否存在讨论，结合点到直线的距离公式以及勾股定理即可求解．
【解答】证明：（1）由已知，故kl＝3，所以直线l的方程为y＝3（x+1）．
将圆心C（0，3）代入方程易知l过圆心C．
解：（2）因为，圆C的半径为2，
所以圆心C到直线l的距离为，
当直线l与x轴垂直时，易知x＝﹣1符合题意；
当直线与x轴不垂直时，设直线l的方程为y＝k（x+1），即kx﹣y+k＝0，
所以，解得，
所以直线l的方程为，即4x﹣3y+4＝0；
综上：直线l的方程为x＝﹣1或4x﹣3y+4＝0．
【知识点5】圆与圆的位置关系
1．圆与圆的位置关系
(1)两圆相离：无公共点；，方程组无解．
(2)两圆外切：有一个公共点；，方程组有一组不同的解．
(3)两圆相交：有两个公共点；，方程组有两组不同的解．
(4)两圆内切：有一公共点；，方程组有一组不同的解．
(5)两圆内含：无公共点；，方程组无解.特别地，时，为两个同心圆．
2．两圆公共弦长的求法
(1)比较两圆半径的和、差与两圆圆心距的大小可得两圆的位置关系．
(2)两圆方程相减即得公共弦方程．
(3)公共弦长要通过解直角三角形获得
例1：
【例17】（多选）（2025 毕节市模拟）已知圆O：x2+y2＝4，圆C：x2+y2+2y+a＝0，则（ ）
A．当a＝0时，圆O与圆C相切
B．当a＝﹣3时，圆O与圆C相交于M，N两点，且直线MN的方程为
C．当0＜a＜1时，圆O与圆C相交
D．当a＝﹣3时，圆O与圆C相交于M，N两点，且
【答案】AB
【分析】利用距离和半径的关系判断两圆的位置关系．
【解答】解：圆C：x2+y2+2y+a＝0可化为圆C：x2+（y+1）2＝1﹣a，则a＜1，
圆O的圆心O（0，0），半径为r1＝2；圆C的圆心C（0，﹣1），半径为，
则|OC|＝1，，，
对于A，当a＝0时，圆C：x2+（y+1）2＝1，r2＝1，
r1+r2＝3，|r1﹣r2|＝1，则|OC|＝|r1﹣r2|，故两圆内切，故A正确；
对于B，当a＝﹣3时，r1+r2＝4，|r1﹣r2|＝0，则|r1﹣r2|＜|OC|＜r1+r2，故两圆相交，又圆C：x2+y2+2y﹣3＝0，故直线MN的方程为，故B正确；
对于D，由选项B可知，此时圆心O到直线MN的距离为，则，故D错误；
对于C，两圆相交，则|r1﹣r2|＜|OC|＜r1+r2，即，解得﹣8＜a＜0，故C错误．
故选：AB．
【例18】（2025春 石家庄月考）已知圆C1：x2+y2﹣2x﹣4y﹣4＝0和圆C2：4x2+4y2﹣16x﹣16y+31＝0，则这两个圆的位置关系为 ．
【答案】内含．
【分析】根据圆心距和两圆半径的关系即可判断两圆的位置关系．
【解答】解：因为圆C1：（x﹣1）2+（y﹣2）2＝9，圆C2：，
所以圆心距，
而两圆半径之差，故两个圆内含．
故答案为：内含．
【例19】（2025 南京模拟）已知两圆和，求：
（1）当m取何值时两圆外切？
（2）当m＝﹣9时，求两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）先把两个圆的方程化为标准形式，求出圆心和半径，再根据两圆的圆心距等于两圆的半径之和，求得m的值；
（2）当m＝﹣9时，把两个圆的方程相减，可得公共弦所在的直线方程．求出第一个圆的圆心（﹣1，3）到公共弦所在的直线的距离d，再利用弦长公式求得弦长．
【解答】解：（1）由已知可得两个圆的方程分别为（x+1）2+（y﹣3）2＝9，（x﹣3）2+（y﹣6）2＝45﹣m，
两圆的圆心距d5，两圆的半径之和r1+r2为3，
由两圆的半径之和为35，可得m＝41；
（2）当m＝﹣9时，两圆的方程分别为 x2+y2+2x﹣6y+1＝0，x2+y2﹣6x﹣12y﹣9＝0，
把两个圆的方程相减，可得公共弦所在的直线方程为4x+3y+5＝0．
第一个圆的圆心（﹣1，3）到公共弦所在的直线的距离为d2，
可得弦长为L＝22．
【例20】（2025春 弋阳县校级月考）已知点A（﹣1，1），B（3，﹣1），C（﹣4，0）都在圆O1上；
（1）求圆O1的标准方程；
（2）已知圆与圆O1相交于M，N，求直线MN的方程，并求|MN|．
【答案】（1）（x+1）2+（y+4）2＝25；
（2）x+2y﹣1＝0，．
【分析】（1）利用待定系数法，设圆O1的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F＝0，列出方程组求出D，E，F，然后化为标准方程即可；
（2）根据两圆的方程相减可得直线MN的方程，利用点到直线的距离公式和弦长公式计算可求出|MN|．
【解答】解：（1）点A（﹣1，1），B（3，﹣1），C（﹣4，0）都在圆O1上，
设圆O1的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F＝0，
∵点A（﹣1，1），B（3，﹣1），C（﹣4，0）都在圆O1上，
∴，解得D＝2，E＝8，F＝﹣8，
∴圆O1的一般方程为x2+y2+2x+8y﹣8＝0，
化为标准方程为：（x+1）2+（y+4）2＝25；
（2）已知圆与圆O1相交于M，N，
圆，圆，
圆O1与O2的方程相减得6x+12y﹣6＝0，即x+2y﹣1＝0，
∴直线MN的方程为x+2y﹣1＝0，
圆的圆心O1（﹣1，﹣4），半径r1＝5，
∵O1（﹣1，﹣4）到直线MN的距离为，
∴．
【知识点6】直线、圆的综合
1．直线、圆的位置关系
(1)直线与圆的位置关系：相离、相切、相交．
(2)圆与圆的位置关系：相离、外切、相交、内切、内含．
2．直线与圆的位置关系
(1)直线与圆相切处理时要利用圆心与切点连线垂直，构建直角三角形，进而利用勾股定理可以建立等量关系．
(2)直线与圆相交，利用垂径定理也可以构建直角三角形．
(3)直线与圆相离时，当过圆心作直线垂线时长度最小
例1：
【例21】（2025 岳阳模拟）由曲线x2+y2＝|x|+|y|围成的图形的面积等于（ ）
A．π+2 B．π﹣2 C．2π D．4π
【答案】A
【分析】由已知中曲线x2+y2＝|x|+|y|，我们易画出满足条件的曲线x2+y2＝|x|+|y|围成的图形，分析图形的形状，代入面积公式即可求出曲线x2+y2＝|x|+|y|围成的图形的面积．
【解答】解：曲线x2+y2＝|x|+|y|围成的图形如图中阴影所示：
其面积由一个边长为的正方形和四个以为直径的半圆的面积的和，
∴S4π π+2，
故选：A．
【例22】（2025 宁远县模拟）已知圆M：x2+y2﹣2ay＝0（a＞0）截直线x+y＝0所得线段的长度是，则圆M与圆N：（x﹣1）2+y2＝1的位置关系是（ ）
A．内切 B．相交 C．外切 D．相离
【答案】B
【分析】根据圆的弦长公式算出点M到直线x+y＝0的距离d，运用点到直线的距离公式解出a＝2，从而求得圆M的圆心与半径，然后根据两圆的圆心距的大小判断出两圆的位置关系，可得答案．
【解答】解：由题意，圆M：x2+y2﹣2ay＝0化为标准方程，得x2+（y﹣a）2＝a2，
所以圆心为M（0，a），半径r＝a，设点M到直线x+y＝0的距离为d，
则圆M被直线x+y＝0截得的线段长为，解得d2＝a2﹣2，
结合d，可得a2﹣2，解得a＝2（舍负），
所以圆M的圆心为（0，2），半径r＝2，
圆N：（x﹣1）2+y2＝1的圆心为N（1，0），半径R＝1，
因为|MN|，|R﹣r|＝1，R+r＝3，
所以|R﹣r|＜|MN|＜R+r，可知圆M与圆N相交．
故选：B．
【例23】（2025春 宝山区校级期末）若直线y＝kx﹣2（常数k∈R）与曲线有两个不同的公共点，则k的取值范围是 ．
【答案】．
【分析】根据给定条件，确定曲线表示的图形并作出，再利用直线与圆的位置关系求出范围．
【解答】解：由，得x2+y2＝1，x≥0，
曲线表示以原点为圆心，1为半径的圆在y及y的右侧部分，如图所示，
直线y＝kx﹣2恒过定点（0，﹣2），斜率为k，
在同一坐标系内作出直线y＝kx﹣2与曲线，
可知k＞0，且，解得，
∴k的取值范围是．
故答案为：．
【例24】（2024秋 赫章县期末）一座到拱形桥（圆的一部分），当拱顶距离水面2m时，水面宽为12m．当水面下降1m后，水面宽为 m．
【答案】．
【分析】以圆拱拱顶为直角坐标系原点，以过圆拱拱顶的竖直直线为纵轴，建立如图所示的坐标系，根据题意求出圆的方程，然后再根据题意设点代入圆方程求解即可．
【解答】解：根据题意，以圆拱拱顶为直角坐标系原点，以过圆拱拱顶的竖直直线为纵轴，
建立如图所示的坐标系，
设圆心为（0，b），b＜0，则该圆的半径为|b|，
要求圆的方程为：x2+（y﹣b）2＝b2，
拱顶距离水面2m时，水面宽为12m，
可知点A（6，﹣2），B（﹣6，﹣2）在圆上，
把点A（6，﹣2）的坐标代入圆方程中得：62+（﹣2﹣b）2＝b2，
解得b＝﹣10，所以圆的方程为：x2+（y+10）2＝100，
当水面下降1m时，设A′（x，﹣3），B′（﹣x，﹣3），
代入圆方程得：x2+（﹣3+10）2＝100，解得，即，
此时水面宽为m．
故答案为：．2.5 直线与圆、圆与圆的位置关系
【知识点1】直线与圆的位置关系 1
【知识点2】圆的切线方程 2
【知识点3】切线长问题 4
【知识点4】直线与圆相交 5
【知识点5】圆与圆的位置关系 6
【知识点6】直线、圆的综合 7
1.知道直线与圆、圆与圆的位置关系(重点)。
2.掌握直线与圆的相交弦长(重难点)。
3.掌握圆的切线方程、切线长问题(重点)。
【知识点1】直线与圆的位置关系
1．直线与圆的位置关系
(1)直线与圆相切：直线与圆有且只有一个公共点．
(2)直线与圆相交：直线与圆有两个公共点．
(3)直线与圆相离：直线与圆没有公共点．
2．直线与圆位置关系的判断方法
(1)几何法：利用d与r的关系．
(2)代数法：联立方程组，消元得一元二次方程之后利用Δ判断．
(3)点与圆的位置关系：若直线恒过定点且定点在圆内，则直线与圆相交。
【例1】（2025 西安模拟）直线l：x+ay﹣a＝0与圆C：x2+y2+2y﹣5＝0的位置关系是（ ）
A．相离 B．相切
C．相交 D．无法确定的
【例2】（2025 大兴区校级模拟）已知直线l：x+y﹣1＝0与圆C：（x+1）2+（y﹣2）2＝4，则（ ）
A．l与C相离 B．l与C相切
C．l平分C D．l与C相交但不平分C
【例3】（2025春 娄底期中）已知直线l：kx﹣y﹣k﹣1＝0和圆C：x2+y2﹣2x+4y+4＝0，则直线l与圆C的位置关系是（ ）
A．相切 B．相交
C．相离 D．相交或相切
【例4】（2025 北京校级模拟）已知圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2＝25，直线l：mx﹣y﹣2m＝0，则直线l与圆C的公共点个数为（ ）
A．0个 B．1个
C．2个 D．与m有关，不能确定
【知识点2】圆的切线方程
1．圆的切线方程
(1)直线与圆相切：直线与圆有且只有一个公共点．
(2)几何法：圆心到直线的距离等于半径，即．
(3)代数法：，方程组有一组不同的解．
2．求过某点的圆的切线方程
(1)求过圆上一点P(x0，y0)的圆的切线方程：先求切点与圆连线的斜率k，则由垂直关系得切线斜率为－，由点斜式方程可求得切线方程．如果k＝0或斜率不存在，则由图形可直接得切线方程为y＝y0或x＝x0．
(2)求过圆外一点P(x0，y0)的圆的切线方程时，设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，即kx－y－kx0＋y0＝0，由圆心到直线的距离等于半径，可求得k，进而求出切线方程．但要注意，若求出的k值只有一个时，则另一条切线的斜率一定不存在，切线方程为x＝x0．
例1：
【例5】（多选）（2024秋 云南校级期末）已知圆，点A（2，0），下列说法正确的是（ ）
A．点A在圆外
B．点A（2，0）是2x+my﹣4＝0的定点
C．已知B（1，0），过点B作圆的最短弦长为
D．过点A作圆O1：x2+（y﹣1）2＝4的切线l，则l的方程为2x﹣y﹣4＝0
【例6】（2025 平凉校级模拟）过点与圆O：x2+y2＝4相切的直线方程为 ．
【例7】（2024秋 重庆期末）已知直线l1：x+y﹣3＝0与直线l2：x﹣3y+1＝0相交于点C，以C为圆心的圆过点A（0，1）．
（1）求圆C的方程；
（2）求过点B（4，5）的圆C的切线方程．
【例8】（2024秋 武汉期末）已知圆C经过点A（1，3）和B（2，4），且圆心C在直线2x﹣y﹣1＝0上．
（1）求圆C的标准方程；
（2）过点M（1，﹣1）作圆C的切线l，求直线l的方程．
【知识点3】切线长问题
1．圆的切线方程
(1)直线与圆相切：直线与圆有且只有一个公共点．
(2)几何法：圆心到直线的距离等于半径，即．
(3)代数法：，方程组有一组不同的解．
2．求切线长
注意应用圆的几何性质，以及圆内的“特征直角三角形”
例1：
【例9】（2025 萍乡二模）过点P（3，1）作圆C：x2+y2+2x+4y﹣4＝0的切线，记其中一个切点为A，则|PA|＝（ ）
A．16 B．4 C．21 D．
【例10】（2024秋 贵阳期末）过点P（2，4）的直线与圆O：（x﹣3）2+y2＝1相切于点A，则切线段PA长为（ ）
A．3 B．4 C． D．5
【例11】（2024秋 枣庄期末）已知半径为1的圆经过点A（2，3），过点M（﹣2，0）向圆作切线，则切线长的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【例12】（多选）（2025 盐山县校级一模）已知圆O：x2+y2＝4，点P（x0，y0）是圆O上的点，直线，则（ ）
A．直线l与圆O相交弦长
B．圆O上恰有4个点到直线l的距离等于1
C．的最大值是
D．过点P向圆M：（x﹣3）2+（y﹣4）2＝1引切线，A为切点，则|PA|最小值为
【知识点4】直线与圆相交
1．直线与圆相交
(1)直线与圆相交：直线与圆有两个公共点．
(2)几何法：圆心到直线的距离小于半径，即．
(3)几何法：圆心到直线的距离小于半径，即．
2．弦长的求解
(1)代数方法：将直线和圆的方程联立方程组，消元后得到一个一元二次方程．在判别式Δ＞0的前提下，利用根与系数的关系，根据弦长公式求弦长．
(2)几何方法：若弦心距为d，圆的半径长为r，则弦长l＝2。
例1：
【例13】（2025 揭阳模拟）若直线l：x+y﹣m＝0（m＞0）被圆C：（x﹣1）2+（y+1）2＝4截得的弦长为，则m＝（ ）
A． B． C．2 D．
【例14】（2025 宁河区校级模拟）x轴，y轴上的截距分别为﹣2，3的直线与圆C：x2+y2﹣6x﹣2y﹣15＝0交于A、B两点，则|AB|的值为 ．
【例15】（2024秋 天津期末）已知圆C的圆心在直线l1：x﹣y﹣3＝0上且圆C与x轴相切于点M（2，0）．
（1）求圆C的方程；
（2）已知直线l2：x+2y﹣1＝0与圆C相交于A，B两点，求△ABC的面积．
【例16】（2025春 普陀区校级月考）已知圆C：x2+（y﹣3）2＝4，直线m：x+3y+6＝0，过A（﹣1，0）的直线l与圆C相交于P，Q两点，
（1）当直线l与直线m垂直时，求证：直线l过圆心C．
（2）当时，求直线l的方程．
【知识点5】圆与圆的位置关系
1．圆与圆的位置关系
(1)两圆相离：无公共点；，方程组无解．
(2)两圆外切：有一个公共点；，方程组有一组不同的解．
(3)两圆相交：有两个公共点；，方程组有两组不同的解．
(4)两圆内切：有一公共点；，方程组有一组不同的解．
(5)两圆内含：无公共点；，方程组无解.特别地，时，为两个同心圆．
2．两圆公共弦长的求法
(1)比较两圆半径的和、差与两圆圆心距的大小可得两圆的位置关系．
(2)两圆方程相减即得公共弦方程．
(3)公共弦长要通过解直角三角形获得
例1：
【例17】（多选）（2025 毕节市模拟）已知圆O：x2+y2＝4，圆C：x2+y2+2y+a＝0，则（ ）
A．当a＝0时，圆O与圆C相切
B．当a＝﹣3时，圆O与圆C相交于M，N两点，且直线MN的方程为
C．当0＜a＜1时，圆O与圆C相交
D．当a＝﹣3时，圆O与圆C相交于M，N两点，且
【例18】（2025春 石家庄月考）已知圆C1：x2+y2﹣2x﹣4y﹣4＝0和圆C2：4x2+4y2﹣16x﹣16y+31＝0，则这两个圆的位置关系为 ．
【例19】（2025 南京模拟）已知两圆和，求：
（1）当m取何值时两圆外切？
（2）当m＝﹣9时，求两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长．
【例20】（2025春 弋阳县校级月考）已知点A（﹣1，1），B（3，﹣1），C（﹣4，0）都在圆O1上；
（1）求圆O1的标准方程；
（2）已知圆与圆O1相交于M，N，求直线MN的方程，并求|MN|．
【知识点6】直线、圆的综合
1．直线、圆的位置关系
(1)直线与圆的位置关系：相离、相切、相交．
(2)圆与圆的位置关系：相离、外切、相交、内切、内含．
2．直线与圆的位置关系
(1)直线与圆相切处理时要利用圆心与切点连线垂直，构建直角三角形，进而利用勾股定理可以建立等量关系．
(2)直线与圆相交，利用垂径定理也可以构建直角三角形．
(3)直线与圆相离时，当过圆心作直线垂线时长度最小
例1：
【例21】（2025 岳阳模拟）由曲线x2+y2＝|x|+|y|围成的图形的面积等于（ ）
A．π+2 B．π﹣2 C．2π D．4π
【例22】（2025 宁远县模拟）已知圆M：x2+y2﹣2ay＝0（a＞0）截直线x+y＝0所得线段的长度是，则圆M与圆N：（x﹣1）2+y2＝1的位置关系是（ ）
A．内切 B．相交 C．外切 D．相离
【例23】（2025春 宝山区校级期末）若直线y＝kx﹣2（常数k∈R）与曲线有两个不同的公共点，则k的取值范围是 ．
【例24】（2024秋 赫章县期末）一座到拱形桥（圆的一部分），当拱顶距离水面2m时，水面宽为12m．当水面下降1m后，水面宽为 m．
