1.2 集合间的基本关系
【题型1】子集 3
【题型2】真子集与空集 4
【题型3】由集合间的包含关系求参数 5
1.在数学中,我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合,这种图称为Venn图. 2.子集 文字语言符号语言图形语言一般地,对于两个集合A,B,如果集合A中任意一个元素,都是集合B中的元素,就称集合A为集合B的子集A B (或B A)
3.真子集 如果集合A B,但存在元素x∈B,且x A,就称集合A是集合B的真子集,记作A B(或B A). 4.集合相等 如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素,同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素,那么集合A与集合B相等,记作A＝B,也就是说,若A B,且B A,则A＝B. 温馨提示 (1)“A是B的子集”的含义是:对任意x∈A都能推出x∈B. (2)注意“∈”与“ ”的区别,“ ”用于表示集合与集合之间的关系,比如N R,{1,2,3} {3,2,1};“∈”用于表示元素与集合之间的关系,比如1∈N. 5.空集 一般地,我们把不含任何元素的集合叫做空集,记作 .规定:空集是任何集合的子集. 6.集合间关系的性质 (1)任何一个集合都是它本身的子集,即A A. (2)对于集合A,B,C: ①若A B,且B C,则A C; ②若A B,B C,则A C.
(1)符号 , , , ,＝表示集合与集合之间的关系,其中“ ”包含“ ”和“＝”两种情况,同样“ ”包含“ ”和“＝”两种情况. (2)① 是不含任何元素的集合;②{0}是含有元素0的集合;③ {0}.
【题型1】子集
（2024秋 浦东新区校级期中）写出所有满足，的集合 ，， ．
【答案】，，．
【分析】根据子集的定义求解．
【解答】解：由题意，满足，的集合可以是，，．
故答案为：，，．
方法点拨 判断集合关系的三种方法 (1)列举观察法:当集合中元素较少时,可列出集合中的全部元素,通过定义得出集合之间的关系. (2)集合元素特征法:首先确定集合的代表元素是什么,弄清集合元素的特征,再利用集合元素的特征判断关系. (3)数形结合法:利用数轴或Venn图.不等式的解集之间的关系,适合用数轴法.
【变式1】（2024秋 上饶期中）下列是集合，的子集的为
A． B． C． D．
【变式2】（2023秋 滨海新区校级期中）已知集合，则集合的子集有 ，，，， ．
【变式3】（2023秋 柘城县校级月考）写出集合，5，的所有子集．
【题型2】真子集与空集
（2026春 江汉区月考）设集合，则的真子集的个数是
A．8 B．7 C．4 D．3
【答案】
【分析】写出集合，计算真子集个数．
【解答】解：，，
所以真子集个数为．
故选：．
方法点拨 1.假设集合A中含有n个元素,则有:(1)A的子集有2n个;(2)A的非空子集有(2n－1)个;(3)A的真子集有(2n－1)个. 2.求给定集合的子集的两个注意点: (1)按子集中元素个数的多少,以一定的顺序来写;(2)在写子集时要注意不要忘记空集和集合本身.
【变式1】（2025春 江宁区期末）已知集合，则集合的真子集的个数是
A．5 B．6 C．7 D．8
【变式2】（2025 漳州模拟）下列集合中表示空集的是
A． B．
C． D．
【变式3】（2025 雨花区校级模拟）已知集合，则集合的真子集个数是
A．3 B．6 C．7 D．8
【题型3】由集合间的包含关系求参数
（2025春 汉中期末）设集合，，若，则的取值范围为
A． B．， C． D．，
【答案】
【分析】通过解一元二次不等式化简集合，结合包含关系即可求解参数范围．
【解答】解：因为，，且，
所以．
故选：．
方法点拨 由集合间的关系求参数问题的注意点及常用方法 1.注意点:①不能忽视集合为 的情形;②当集合中含有字母参数时,一般需要分类讨论. 2.常用方法:对于用不等式给出的集合,利用数轴分析法,将各个集合在数轴上表示出来,以形定数,还要注意验证端点值,做到准确无误.
【变式1】（2025春 凌源市期末）已知集合，2，，集合，．若，则实数的取值集合为
A． B． C．， D．
【变式2】（2025春 保定期末）已知集合，，且，则实数的取值范围为
A． B．或 C． D．或
【变式3】（2025春 新乡期末）已知集合，．若，则
A．0 B．1 C．2 D．1.2 集合间的基本关系
【题型1】子集 3
【题型2】真子集与空集 4
【题型3】由集合间的包含关系求参数 6
1.在数学中,我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合,这种图称为Venn图. 2.子集 文字语言符号语言图形语言一般地,对于两个集合A,B,如果集合A中任意一个元素,都是集合B中的元素,就称集合A为集合B的子集A B (或B A)
3.真子集 如果集合A B,但存在元素x∈B,且x A,就称集合A是集合B的真子集,记作A B(或B A). 4.集合相等 如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素,同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素,那么集合A与集合B相等,记作A＝B,也就是说,若A B,且B A,则A＝B. 温馨提示 (1)“A是B的子集”的含义是:对任意x∈A都能推出x∈B. (2)注意“∈”与“ ”的区别,“ ”用于表示集合与集合之间的关系,比如N R,{1,2,3} {3,2,1};“∈”用于表示元素与集合之间的关系,比如1∈N. 5.空集 一般地,我们把不含任何元素的集合叫做空集,记作 .规定:空集是任何集合的子集. 6.集合间关系的性质 (1)任何一个集合都是它本身的子集,即A A. (2)对于集合A,B,C: ①若A B,且B C,则A C; ②若A B,B C,则A C.
(1)符号 , , , ,＝表示集合与集合之间的关系,其中“ ”包含“ ”和“＝”两种情况,同样“ ”包含“ ”和“＝”两种情况. (2)① 是不含任何元素的集合;②{0}是含有元素0的集合;③ {0}.
【题型1】子集
（2024秋 浦东新区校级期中）写出所有满足，的集合 ，， ．
【答案】，，．
【分析】根据子集的定义求解．
【解答】解：由题意，满足，的集合可以是，，．
故答案为：，，．
方法点拨 判断集合关系的三种方法 (1)列举观察法:当集合中元素较少时,可列出集合中的全部元素,通过定义得出集合之间的关系. (2)集合元素特征法:首先确定集合的代表元素是什么,弄清集合元素的特征,再利用集合元素的特征判断关系. (3)数形结合法:利用数轴或Venn图.不等式的解集之间的关系,适合用数轴法.
【变式1】（2024秋 上饶期中）下列是集合，的子集的为
A． B． C． D．
【答案】
【分析】根据题意，写出集合的子集，分析选项可得答案．
【解答】解：根据题意，集合，，其子集有、、，．
分析选项：、、符合．
故选：．
【变式2】（2023秋 滨海新区校级期中）已知集合，则集合的子集有 ，，，， ．
【答案】，，，，．
【分析】先求出集合，再列出它的子集即可．
【解答】解：，，
集合的子集有：，，，，．
故答案为：，，，，．
【变式3】（2023秋 柘城县校级月考）写出集合，5，的所有子集．
【答案】答案见解答．
【分析】根据子集的定义写出所有子集即可．
【解答】解：集合，5，的子集为，则，
故所有子集为，，，，，，，，，，，5，．
【题型2】真子集与空集
（2026春 江汉区月考）设集合，则的真子集的个数是
A．8 B．7 C．4 D．3
【答案】
【分析】写出集合，计算真子集个数．
【解答】解：，，
所以真子集个数为．
故选：．
方法点拨 1.假设集合A中含有n个元素,则有:(1)A的子集有2n个;(2)A的非空子集有(2n－1)个;(3)A的真子集有(2n－1)个. 2.求给定集合的子集的两个注意点: (1)按子集中元素个数的多少,以一定的顺序来写;(2)在写子集时要注意不要忘记空集和集合本身.
【变式1】（2025春 江宁区期末）已知集合，则集合的真子集的个数是
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】
【分析】先求出集合，再根据真子集的个数公式计算求解．
【解答】解：由题意，且，解得，1，
集合，
则集合的真子集的个数是．
故选：．
【变式2】（2025 漳州模拟）下列集合中表示空集的是
A． B．
C． D．
【答案】
【分析】根据空集的定义，逐项判别，可得答案．
【解答】解：对于和，集合和集合都存在一个元素，不为，故都不符合题意；
对于，由，则△，即该方程存在两个相等的实数根，
所以集合，故不符合题意；
对于，由，则△，即该方程不存在实数根，
所以集合，故符合题意．
故选：．
【变式3】（2025 雨花区校级模拟）已知集合，则集合的真子集个数是
A．3 B．6 C．7 D．8
【答案】
【分析】化简集合，可得集合的真子集个数．
【解答】解：集合，4，，
则集合的真子集个数为．
故选：．
【题型3】由集合间的包含关系求参数
（2025春 汉中期末）设集合，，若，则的取值范围为
A． B．， C． D．，
【答案】
【分析】通过解一元二次不等式化简集合，结合包含关系即可求解参数范围．
【解答】解：因为，，且，
所以．
故选：．
方法点拨 由集合间的关系求参数问题的注意点及常用方法 1.注意点:①不能忽视集合为 的情形;②当集合中含有字母参数时,一般需要分类讨论. 2.常用方法:对于用不等式给出的集合,利用数轴分析法,将各个集合在数轴上表示出来,以形定数,还要注意验证端点值,做到准确无误.
【变式1】（2025春 凌源市期末）已知集合，2，，集合，．若，则实数的取值集合为
A． B． C．， D．
【答案】
【分析】由题意得或，求出即可．
【解答】解：若，则或，解得，
经检验当时，满足集合中元素间的互异性，且．
故选：．
【变式2】（2025春 保定期末）已知集合，，且，则实数的取值范围为
A． B．或 C． D．或
【答案】
【分析】利用一元二次不等式的解法即可化简集合，再利用，即可得出结果．
【解答】解：集合，
因为，所以，解得．
故选：．
【变式3】（2025春 新乡期末）已知集合，．若，则
A．0 B．1 C．2 D．
【答案】
【分析】根据，则，从而可求解．
【解答】解：由题知，故，代入得，得，故正确．
故选：．
