1.4 充分条件与必要条件
【题型1】命题的概念 3
【题型2】充分条件与必要条件 7
【题型3】充分条件与必要条件的应用 9
【题型4】条件关系的判断 11
【题型5】充要条件的证明 14
1.(1)一般地,我们把用语言、符号或式子表达的,可以判断真假的陈述句叫做命题. (2)判断为真的语句是真命题;判断为假的语句是假命题. 2.“若p,则q”形式的命题中,p称为命题的条件,q称为命题的结论. 3.充分条件与必要条件 命题 真假“若p,则q”为真命题“若p,则q”为假命题推出 关系p qp q条件 关系p是q的充分条件, q是p的必要条件p不是q的充分条件,q不是p的必要条件
4.充要条件 命题真假“若p,则q”为真命题;“若q,则p”为真命题推出关系p q条件关系p既是q的充分条件,也是q的必要条件,我们说p是q的充分必要条件,简称为充要条件
1.(1)若p q,则p是q的充分条件.要使结论q成立,条件p是足够的,是足以保证的. q是p的必要条件,说明q是p成立的必不可少的,缺其不可的条件. (2)数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件. (3)数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件. 2.对充要条件的两点说明 (1)p是q的充要条件意味着“p成立,则q一定成立;p不成立,则q一定不成立”. (2)p是q的充要条件,则q也是p的充要条件. 3.条件关系判定的常用结论 条件p与结论q的关系结论p q,且q pp是q的充分不必要条件q p,且p qp是q的必要不充分条件p q,且q p,即p qp是q的充要条件p q,且q pp是q的既不充分也不必要条件
【题型1】命题的概念
判断下列命题的真假，并说明理由：
（1）“”是“”的充分条件；
（2）“”是“”的必要条件；
（3）“四边形为正方形”是“四边形为矩形”的充分而不必要条件；
（4）“”是“”的充要条件；
（5）“”是“”的充要条件；
（6）“”的充要条件是“”．
【答案】（1）假命题，理由见解答．
（2）假命题，理由见解答．
（3）真命题，理由见解答．
（4）真命题，理由见解答．
（5）假命题，理由见解答．
（6）假命题，理由见解答．
【分析】（1）根据不等式的性质及充分条件的定义即可得出结论；
（2）根据必要条件的定义即可得出结论；
（3）根据充分条件和必要条件的定义即可得出结论；
（4）根据不等式的性质及充分条件和必要条件的定义即可得出结论；
（5）根据充分条件和必要条件的定义即可得出结论；
（6）根据元素与集合的关系及交集的概念结合充分条件和必要条件的定义即可得出结论．
【解答】解（1）若，当时，，所以“”是“ “的不充分条件，所以命题为假命题；
（2）若，则不成立，所以“”不是“”的必要条件，所以命题为假命题；
（3）若四边形为正方形，则该四边形为矩形，若四边形为矩形，则该四边形不一定为正方形，
所以“四边形为正方形”是“四边形为矩形”的充分而不必要条件，故命题为真命题；
（4）若，则，若，则，是“”的充要条件，所以命题为真命题；
（5）若，则，若，则或2，所以“”是“”的充分不必要条件，所以命题为假命题；
（6）若，则，若，并不一定属于，所以是的必要不充分条件，所以命题为假命题．
方法点拨 要判断一个命题是真命题,一般需要经过严格的推理论证,在判断时要有理有据,有时应综合各种情况作出正确的判断.而判断一个命题是假命题,只需举出一个反例即可.
【变式1】判断下列命题的真假：
（1）“”是“”的充分条件；
（2）“”是“”的必要条件；
（3）“”是“”的充分条件；
（4）“”是“”的充要条件．
【答案】（1）真命题；
（2）真命题；
（3）假命题；
（4）真命题．
【分析】根据集合的包含关系，结合图加以说明，得到（1）（2）的正误；根据不等式的基本性质，对两个条件进行正反论证，得到（3）（4）的正误．
【解答】解：（1）若，说明属于的任意元素都是属于，也就是说不属于的任意元素均不属于，即成立．
因此，“”是“”的充分条件，原命题是真命题；
（2）若，说明不属于的任意元素均不属于，相当于属于的任意元素都是的元素，即成立．是“”的必要条件，原命题是真命题；
（3）当时，由不能推出，反之，由可以推出．
因此，“”是“”的必要不充分条件，原命题是假命题；
（4）由不等式的基本性质，可知：由可以推出；由也可以推出．
所以“”是“”的充要条件，原命题是真命题．
【变式2】判断下列命题的真假：
（1）点到圆心的距离大于圆的半径是点在外的充要条件；
（2）两个三角形的面积相等是这两个三角形全等的充分不必要条件；
（3）是的必要不充分条件；
（4）或为有理数是为有理数的既不充分又不必要条件．
【答案】（1）真；（2）假；（3）假；（4）真．
【分析】根据充分必要条件的定义判断各命题是否为真命题．
【解答】解：对于（1），根据点与圆的位置关系可知（1）是真命题；
对于（2），两个三角形面积相等是这两个三角形全等的必要不充分条件，故（2）为假命题；
对于（3），是的充要条件，故（3）为假命题；
对于（4），若为有理数或为有理数，则不一定是有理数，例如，，
若为有理数，，可得都不是有理数，例如，
故或为有理数是为有理数的既不充分又不必要条件，故（4）为真命题．
【变式3】（2024秋 抚顺期中）下列命题是真命题的有
A．空集是任何集合的子集
B．“有些三角形是等腰三角形”的否定为“所有的三角形都不是等腰三角形”
C．“”是的一个充分条件
D．已知，，则是“”的充要条件
【答案】
【分析】对，利用空集的意义判断；对，根据特称命题的否定判断；对，由基本不等式求解判断；对，举反例．
【解答】解：对于，空集是任何集合的子集，故正确；
对于，“有些三角形是等腰三角形”的否定为“所有的三角形都不是等腰三角形”，故正确；
对于，若，则，，
当且仅当时，等号成立，
故“”是“”的一个充分条件，故正确；
对于，取，，显然错误．
故选：．
【题型2】充分条件与必要条件
（2025 南京模拟）已知，，则“”是“”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】
【分析】依次判断充分性、必要性，即可求解．
【解答】解：，，，
则，当且仅当时，等号成立，
故充分性成立，
当，，满足，，，但，必要性不成立，是“”的充分不必要条件．
故选：．
方法点拨 充分、必要条件的判断方法 1.判断p是q的什么条件,主要判断若p成立时,能否推出q成立,反过来,若q成立时,能否推出p成立;若p q为真,则p是q的充分条件,若q p为真,则p是q的必要条件. 2.利用集合的关系判断,如果条件甲“x∈A”,条件乙“x∈B”.若A B,则甲是乙的必要条件.
【变式1】（2025 南宁模拟）已知正实数，，则“”是“”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】
【分析】充分性举反例，必要性用均值不等式证明．
【解答】解：若，取，，则，即不能推出，故充分性错误；
若，由均值不等式可知，所以，2个等号取等条件都是，
所以可以推出，所以必要性正确，所以是必要不充分条件．
故选：．
【变式2】（2024春 包河区校级期末）子曰：“工欲善其事，必先利其器．”这句名言最早出自于《论语卫灵公》．此名言中的“利其器”是“善其事”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】
【分析】根据充分条件，必要条件的概念分析即可．
【解答】解：由题意“工欲善其事，必先利其器．”指工匠要想要做好活儿，一定先要把工具整治得锐利精良，
从逻辑角度理解，如果工匠做好活了，说明肯定是有锐利精良的工具，
反过来如果有锐利精良的工具，不能得出一定能做好活儿，
综上，“利其器”是“善其事”的必要不充分条件．
故选：．
【变式3】（2024秋 东莞市校级期中）“”是“”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】
【分析】由，得，从而得到答案．
【解答】解：由，得，
由可得，．是“”的充要条件．
故选：．
【题型3】充分条件与必要条件的应用
（2024秋 南京期中）已知命题，若命题是命题的必要条件，则命题可以为
A． B． C． D．
【答案】
【分析】结合必要条件的定义检验各选项即可判断．
【解答】解：因为命题，
若命题是命题的必要条件，则，
结合选项可知，符合题意．
故选：．
方法点拨 利用充分性与必要性求参数的值或取值范围问题,可先把条件p,q等价转化,利用充分条件、必要条件与集合间的包含关系,建立关于参数的不等式(组)进行求解.
【变式1】（2024秋 集安市月考）已知，若是的必要条件，则实数的取值范围是
A．， B．， C．， D．，
【答案】
【分析】化简命题，根据是的必要条件求解．
【解答】解：由可得，
因为是的必要条件，所以，
则是的子集，故．
故选：．
【变式2】（2024秋 翔安区校级期中）已知集合，，若是成立的充分条件，则实数的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】
【分析】分析可知，，利用集合的包含关系可得出关于实数的不等式，解之即可．
【解答】解：若是成立的充分条件，则，
因为集合，，
所以，解得．
故选：．
【变式3】（2024秋 新吴区校级月考）已知是的必要条件，则可以为
A． B． C． D．
【答案】
【分析】根据题意，条件对应的集合是对应集合的子集，由此判断即可得到本题的答案．
【解答】解：根据题意，可得条件对应的集合为，，
若是的必要条件，则对应的集合是，的子集，
对照各项，可知项符合题意，其它各项都不正确．
故选：．
【题型4】条件关系的判断
（2025 福州模拟）若、为实数，则成立的一个充要条件是
A． B． C． D．
【答案】
【分析】根据不等式的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．
【解答】解：，
，
，
，
．
所以成立的一个充要条件是，．
故选：．
方法点拨 判断充分条件、必要条件及充要条件的四种方法 (1)定义法:直接判断“若p,则q”以及“若q,则p”的真假. (2)集合法:即利用集合的包含关系判断. (3)等价法:即利用p q与q p的等价关系,一般地,对于条件和结论是否定形式的命题,一般运用等价法. (4)传递法:充分条件和必要条件具有传递性,即由p1 p2 … pn,可得p1 pn;充要条件也有传递性.
【变式1】（2023秋 宝山区校级期末）的一个充要条件是
A． B． C．， D．，
【答案】
【分析】根据不等式的基本性质，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解．
【解答】解：由不等式，可得，即，所以符合题意；
由，可得或，所以选项是的充分不必要条件；
选项和都为的既不充分也不必要条件．
故选：．
【变式2】（2025 浦东新区校级模拟）若、，则不等式成立的一个充要条件是
A． B． C． D．
【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．
【解答】解：若，则，，或者，，
即，，或者，，
则或，
则，，都是不等式成立充分不必要条件，
故选：．
【变式3】（2025 上海校级模拟）“”是“”的 条件．
A．充分不必要 B．必要不充分
C．充要 D．既不充分也不必要
【答案】
【分析】分类讨论求解，即可判断．
【解答】解：当时，，不成立；
当时，，不成立；
当时，，成立；
所以“”是“”的充要条件．
故选：．
【题型5】充要条件的证明
（2021秋 浦东新区校级月考）已知命题，命题．
（1）若是必要非充分条件，求实数的取值范围；
（2）求证：是成立的充要条件．
【答案】（1），（2）证明过程见解答．
【分析】（1）设，，由是必要非充分条件，得到是的真子集，分类讨论，求出实数的取值范围；
（2）分别证明充分性和必要性即可．
【解答】解：（1）设，，
若是必要非充分条件，则是的真子集，
当时，，此时满足是的真子集，符合题意，
当时，若是的真子集，则，解得，
综上所述实数的取值范围为，
证明：（2）充分性（若，则．
若，则，
所以命题可得出命题，故充分性成立，
必要性（若，则．
若命题可得出命题，
则，所以，故必要性成立，
综上所述：是成立的充要条件．
方法点拨 证明充要条件的两个思路 (1)证明p是q的充要条件,首先要明确p是条件,q是结论;其次推证p q是证明充分性,推证q p是证明必要性. (2)记p:A＝{x|p(x)},q:B＝{x|q(x)},若A＝B,则p与q互为充要条件.
【变式1】已知△的三边，，所对的角分别是，，，求证：的充要条件是．
【答案】证明见解析．
【分析】根据充分性与必要性定义证明即可．
【解答】证明：（必要性）
，即，，
，即必要性成立；
（充分性）
，，
，
即，即，即充分性成立，得证．
【变式2】求证：是不等式对一切实数都成立的充要条件．
【分析】一元二次不等式对一切实数都成立，的图象在轴上方，，由此能够求出的取值范围，从而得到证明．
【解答】证明：充分性：，
△，
则对一切实数都成立．
而当时，不等式可变成．
显然当时，不等式对一切实数都成立．
必要性：对一切实数都成立，
或
解得．
故是不等式对一切实数都成立的充要条件．
【变式3】求证：一元二次方程，，是常数且有一正实根和一负实根的充要条件是．
【答案】见证明过程．
【分析】根据根与系数关系可证明此题．
【解答】证明：必要性：关于的一元二次方程，根据根与系数关系可知，两根之积为，若，
则一元二次方程，，是常数且有一正实根和一负实根；
充分性：若一元二次方程，，是常数且有一正实根和一负实根，根据根与系数关系可知两根之积为负，又因为两根之积为，则．1.4 充分条件与必要条件
【题型1】命题的概念 3
【题型2】充分条件与必要条件 5
【题型3】充分条件与必要条件的应用 7
【题型4】条件关系的判断 8
【题型5】充要条件的证明 9
1.(1)一般地,我们把用语言、符号或式子表达的,可以判断真假的陈述句叫做命题. (2)判断为真的语句是真命题;判断为假的语句是假命题. 2.“若p,则q”形式的命题中,p称为命题的条件,q称为命题的结论. 3.充分条件与必要条件 命题 真假“若p,则q”为真命题“若p,则q”为假命题推出 关系p qp q条件 关系p是q的充分条件, q是p的必要条件p不是q的充分条件,q不是p的必要条件
4.充要条件 命题真假“若p,则q”为真命题;“若q,则p”为真命题推出关系p q条件关系p既是q的充分条件,也是q的必要条件,我们说p是q的充分必要条件,简称为充要条件
1.(1)若p q,则p是q的充分条件.要使结论q成立,条件p是足够的,是足以保证的. q是p的必要条件,说明q是p成立的必不可少的,缺其不可的条件. (2)数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件. (3)数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件. 2.对充要条件的两点说明 (1)p是q的充要条件意味着“p成立,则q一定成立;p不成立,则q一定不成立”. (2)p是q的充要条件,则q也是p的充要条件. 3.条件关系判定的常用结论 条件p与结论q的关系结论p q,且q pp是q的充分不必要条件q p,且p qp是q的必要不充分条件p q,且q p,即p qp是q的充要条件p q,且q pp是q的既不充分也不必要条件
【题型1】命题的概念
判断下列命题的真假，并说明理由：
（1）“”是“”的充分条件；
（2）“”是“”的必要条件；
（3）“四边形为正方形”是“四边形为矩形”的充分而不必要条件；
（4）“”是“”的充要条件；
（5）“”是“”的充要条件；
（6）“”的充要条件是“”．
【答案】（1）假命题，理由见解答．
（2）假命题，理由见解答．
（3）真命题，理由见解答．
（4）真命题，理由见解答．
（5）假命题，理由见解答．
（6）假命题，理由见解答．
【分析】（1）根据不等式的性质及充分条件的定义即可得出结论；
（2）根据必要条件的定义即可得出结论；
（3）根据充分条件和必要条件的定义即可得出结论；
（4）根据不等式的性质及充分条件和必要条件的定义即可得出结论；
（5）根据充分条件和必要条件的定义即可得出结论；
（6）根据元素与集合的关系及交集的概念结合充分条件和必要条件的定义即可得出结论．
【解答】解（1）若，当时，，所以“”是“ “的不充分条件，所以命题为假命题；
（2）若，则不成立，所以“”不是“”的必要条件，所以命题为假命题；
（3）若四边形为正方形，则该四边形为矩形，若四边形为矩形，则该四边形不一定为正方形，
所以“四边形为正方形”是“四边形为矩形”的充分而不必要条件，故命题为真命题；
（4）若，则，若，则，是“”的充要条件，所以命题为真命题；
（5）若，则，若，则或2，所以“”是“”的充分不必要条件，所以命题为假命题；
（6）若，则，若，并不一定属于，所以是的必要不充分条件，所以命题为假命题．
方法点拨 要判断一个命题是真命题,一般需要经过严格的推理论证,在判断时要有理有据,有时应综合各种情况作出正确的判断.而判断一个命题是假命题,只需举出一个反例即可.
【变式1】判断下列命题的真假：
（1）“”是“”的充分条件；
（2）“”是“”的必要条件；
（3）“”是“”的充分条件；
（4）“”是“”的充要条件．
【变式2】判断下列命题的真假：
（1）点到圆心的距离大于圆的半径是点在外的充要条件；
（2）两个三角形的面积相等是这两个三角形全等的充分不必要条件；
（3）是的必要不充分条件；
（4）或为有理数是为有理数的既不充分又不必要条件．
【变式3】（2024秋 抚顺期中）下列命题是真命题的有
A．空集是任何集合的子集
B．“有些三角形是等腰三角形”的否定为“所有的三角形都不是等腰三角形”
C．“”是的一个充分条件
D．已知，，则是“”的充要条件
【题型2】充分条件与必要条件
（2025 南京模拟）已知，，则“”是“”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】
【分析】依次判断充分性、必要性，即可求解．
【解答】解：，，，
则，当且仅当时，等号成立，
故充分性成立，
当，，满足，，，但，必要性不成立，是“”的充分不必要条件．
故选：．
方法点拨 充分、必要条件的判断方法 1.判断p是q的什么条件,主要判断若p成立时,能否推出q成立,反过来,若q成立时,能否推出p成立;若p q为真,则p是q的充分条件,若q p为真,则p是q的必要条件. 2.利用集合的关系判断,如果条件甲“x∈A”,条件乙“x∈B”.若A B,则甲是乙的必要条件.
【变式1】（2025 南宁模拟）已知正实数，，则“”是“”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【变式2】（2024春 包河区校级期末）子曰：“工欲善其事，必先利其器．”这句名言最早出自于《论语卫灵公》．此名言中的“利其器”是“善其事”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【变式3】（2024秋 东莞市校级期中）“”是“”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【题型3】充分条件与必要条件的应用
（2024秋 南京期中）已知命题，若命题是命题的必要条件，则命题可以为
A． B． C． D．
【答案】
【分析】结合必要条件的定义检验各选项即可判断．
【解答】解：因为命题，
若命题是命题的必要条件，则，
结合选项可知，符合题意．
故选：．
方法点拨 利用充分性与必要性求参数的值或取值范围问题,可先把条件p,q等价转化,利用充分条件、必要条件与集合间的包含关系,建立关于参数的不等式(组)进行求解.
【变式1】（2024秋 集安市月考）已知，若是的必要条件，则实数的取值范围是
A．， B．， C．， D．，
【变式2】（2024秋 翔安区校级期中）已知集合，，若是成立的充分条件，则实数的取值范围是
A． B． C． D．
【变式3】（2024秋 新吴区校级月考）已知是的必要条件，则可以为
A． B． C． D．
【题型4】条件关系的判断
（2025 福州模拟）若、为实数，则成立的一个充要条件是
A． B． C． D．
【答案】
【分析】根据不等式的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．
【解答】解：，
，
，
，
．
所以成立的一个充要条件是，．
故选：．
方法点拨 判断充分条件、必要条件及充要条件的四种方法 (1)定义法:直接判断“若p,则q”以及“若q,则p”的真假. (2)集合法:即利用集合的包含关系判断. (3)等价法:即利用p q与q p的等价关系,一般地,对于条件和结论是否定形式的命题,一般运用等价法. (4)传递法:充分条件和必要条件具有传递性,即由p1 p2 … pn,可得p1 pn;充要条件也有传递性.
【变式1】（2023秋 宝山区校级期末）的一个充要条件是
A． B． C．， D．，
【变式2】（2025 浦东新区校级模拟）若、，则不等式成立的一个充要条件是
A． B． C． D．
【变式3】（2025 上海校级模拟）“”是“”的 条件．
A．充分不必要 B．必要不充分
C．充要 D．既不充分也不必要
【题型5】充要条件的证明
（2021秋 浦东新区校级月考）已知命题，命题．
（1）若是必要非充分条件，求实数的取值范围；
（2）求证：是成立的充要条件．
【答案】（1），（2）证明过程见解答．
【分析】（1）设，，由是必要非充分条件，得到是的真子集，分类讨论，求出实数的取值范围；
（2）分别证明充分性和必要性即可．
【解答】解：（1）设，，
若是必要非充分条件，则是的真子集，
当时，，此时满足是的真子集，符合题意，
当时，若是的真子集，则，解得，
综上所述实数的取值范围为，
证明：（2）充分性（若，则．
若，则，
所以命题可得出命题，故充分性成立，
必要性（若，则．
若命题可得出命题，
则，所以，故必要性成立，
综上所述：是成立的充要条件．
方法点拨 证明充要条件的两个思路 (1)证明p是q的充要条件,首先要明确p是条件,q是结论;其次推证p q是证明充分性,推证q p是证明必要性. (2)记p:A＝{x|p(x)},q:B＝{x|q(x)},若A＝B,则p与q互为充要条件.
【变式1】已知△的三边，，所对的角分别是，，，求证：的充要条件是．
【变式2】求证：是不等式对一切实数都成立的充要条件．
【变式3】求证：一元二次方程，，是常数且有一正实根和一负实根的充要条件是．
