1.3 集合的基本运算
【题型1】并集 3
【题型2】交集 5
【题型3】并集、交集的运算性质及应用 6
【题型4】全集与补集 8
【题型5】集合交、并、补的综合运算 9
【题型6】利用集合运算求参数 10
1.并集 2.并集的运算性质 (1)A∪B＝B∪A,A∪ ＝A,A∪A＝A. (2)A∪B＝A B A,A (A∪B). 3.交集 4.交集的运算性质 (1)A∩B＝B∩A,A∩A＝A,A∩ ＝ . (2)A∩B＝A A B,(A∩B) A. 5.全集 如果一个集合含有所研究问题中涉及的所有元素,那么就称这个集合为全集,通常记作U. 6.补集 文字 语言对于一个集合A,由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集,记作 UA符号 语言 UA＝{x|x∈U,且x A}图形 语言
7.运算性质 (1) U( UA)＝A, UU＝ , U ＝U. (2)A∩( UA)＝ ,A∪( UA)＝U.
(1)符号语言“x∈A,或x∈B”包含三种情况:“x∈A,但x B”,“x∈B,但x A”,“x∈A,且x∈B”,如下图所示: (2)A∪B仍是一个集合.对概念中“所有”的理解,要注意集合元素的互异性. (3)交集概念中的“且”即“同时”的意思,两个集合交集中的元素必须同时是两个集合中的元素. (4)若A∩B仍是一个集合.两个集合没有公共元素,则二者的交集为 . (5)“全集”是一个相对的概念,并不是固定不变的,它是依据具体的问题加以定义的,它与补集是相互依存、不可分割的两个概念. (6) UA包含三层含义:①A U;② UA是一个集合,且( UA) U;③ UA是U中所有不属于A的元素构成的集合.
【题型1】并集
（2025春 永寿县校级期末）设集合，，则
A． B． C． D．
【答案】
【分析】根据并集的含义即可得到答案．
【解答】解：集合，，
．
故选：．
方法点拨 求集合并集的两种方法及注意点 1.利用定义:若集合中元素个数有限,则直接根据并集的定义求解,但要注意集合中元素的互异性. 2.数形结合:(1)若集合是实数集的子集,可借助数轴求解,但要注意端点值的取舍.(2)若集合中元素无限,且不连续,可借助Venn图求解.
【变式1】（2025春 漳浦县校级期末）若集合，，0，2，3，，则
A．，0，1，2，3， B．，0，2， C．，2， D．，
【变式2】（2025春 陕西期中）已知集合，，，则中元素的个数为
A．3 B．4 C．5 D．6
【变式3】（2025春 历城区校级期末）已知集合，，则
A． B． C． D．
【题型2】交集
（2025春 汕头校级期中）已知集合，1，2，3，，，则
A．， B．，1， C．，1，2， D．，1，2，3，
【答案】
【分析】求出集合后可求．
【解答】解：因为集合，1，2，3，，，
所以，1，．
故选：．
方法点拨 1.若A,B的元素是方程的根,则应先解方程求出方程的根后,再求两集合的交集. 2.若A,B的元素是有序数对,则A∩B是指两个方程组成的方程组的解集,交集是点集. 3.若A,B是无限数集,可以利用数轴来求解,但要注意利用数轴表示不等式时,含有端点的值用实心点表示,不含有端点的值用空心圈表示.
【变式1】（2026春 山东校级期末）已知集合，，则
A．， B． C．， D．，
【变式2】（2025春 衢州月考）集合，，，，则
A． B．， C．， D．，，
【变式3】（2024秋 潍坊期末）已知集合，，，0，2，，则
A．， B．， C．，， D．，0，
【题型3】并集、交集的运算性质及应用
（2025春 闵行区校级期末）已知集合，集合．
（1）当时，求；
（2）若，求实数的取值范围．
【答案】（1）；
（2），．
【分析】（1）把代入求出集合，然后结合集合的交集运算可求；
（2）由已知得，然后对是否为空集进行分类讨论可求．
【解答】解：（1）当时，，集合
（2）因为，，．
，所以，
当时，△，
解得，
当时，，
解得，
综上，的取值范围为，．
方法点拨 利用集合交集、并集的性质解题的依据及关注点 (1)依据:A∩B＝A A B,A∪B＝A B A. (2)关注点:当集合A B时,若集合A不确定,运算时要考虑A＝ 的情况,否则易漏解.
【变式1】（2024秋 长春校级期末）已知集合，．
（1）若，求；
（2）若，求实数的取值范围．
【变式2】（2025 宁波校级开学）已知集合，．
（1）若，求；
（2）若，求的取值范围．
【变式3】（2023秋 亭湖区校级期末）已知集合，，．
（1）当时，求；
（2）若，求实数的取值范围．
【题型4】全集与补集
（2025春 沭阳县期末）已知全集，集合，0，1，，则
A．，，， B．，， C．，，0， D．，0，2，
【答案】
【分析】解出不等式后可得，再利用补集定义计算即可得．
【解答】解：，，，0，1，2，，且，0，1，，
则，，．
故选：．
方法点拨 求集合的补集的方法 (1)当集合中的元素较少时,可利用定义直接求解. (2)借助Venn图可直观地表示出全集及补集. (3)当数集中的元素连续且无限时,可借助数轴求解,此时需注意端点问题.
【变式1】（2025 厦门模拟）已知为整数集，，则
A．， B．，0，1， C．，1， D．，，0，1，
【变式2】（2025春 望城区校级期末）已知集合，则集合的子集的个数为
A．3 B．4 C．7 D．8
【变式3】（2025春 贵阳校级期末）若全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为
A． B． C． D．
【题型5】集合交、并、补的综合运算
（2025春 冷水滩区校级月考）设集合U＝{1，2，3，4，5，6}，A＝{1，3，6}，B＝{2，3，4}，则A∩（ UB）＝（ ）
A．{3} B．{1，3} C．{5，6} D．{1，6}
【答案】D
【分析】结合补集、交集的定义，即可求解．
【解答】解：集合U＝{1，2，3，4，5，6}，B＝{2，3，4}，则 UB＝{1，5，6}，
A＝{1，3，6}，
则A∩（ UB）＝{1，6}．
故选：D．
方法点拨 1.解决与不等式有关的集合问题时,画数轴(这也是集合的图形语言的常用表示方式)可以使问题变得形象直观,要注意求解时端点的值是否能取到,切莫忽视边界问题. 2.解决集合的混合运算时,一般先运算括号内的部分,再计算其他部分.
【变式1】（2025春 芗城区校级期末）已知集合，，3，，则
A． B． C．， D．
【变式2】（2025春 泸州期中）已知全集，3，4，，，，，4，，则
A．， B．，3，4， C． D．，4，
【变式3】（2025春 景洪市校级期中）设集合，集合，，则
A． B． C． D．
【题型6】利用集合运算求参数
（2025春 青山湖区校级期末）已知，或．
（1）若，求的取值范围；
（2）若，求的取值范围．
【分析】（1）分和两种情况讨论求解即可；
（2）由题意得，从而可求出的取值范围．
【解答】解：（1）①当时，，需满足，解得，故的取值范围为，．
②当时，要使，需满足，解得．
综上所述，的取值范围是，．
（2），，或，
，解得，
故所求的取值范围为，．
方法点拨 由集合的运算求解参数的方法 (1)若集合中元素个数有限时,可利用补集定义并结合集合知识求解. (2)若集合中元素有无限个时,一般利用数轴分析法求解.
【变式1】（2025春 滨湖区校级月考）设全集为，集合．
（1）若，求，；
（2）若，求实数的取值范围．
【变式2】（2024秋 龙岗区校级期末）设集合，集合．
（1）若，求和；
（2），求实数的取值范围．
【变式3】（2025春 东城区校级期中）已知集合，．
（1）当时，求及；
（2）若，求实数的取值范围．1.3 集合的基本运算
【题型1】并集 3
【题型2】交集 5
【题型3】并集、交集的运算性质及应用 7
【题型4】全集与补集 11
【题型5】集合交、并、补的综合运算 13
【题型6】利用集合运算求参数 15
1.并集 2.并集的运算性质 (1)A∪B＝B∪A,A∪ ＝A,A∪A＝A. (2)A∪B＝A B A,A (A∪B). 3.交集 4.交集的运算性质 (1)A∩B＝B∩A,A∩A＝A,A∩ ＝ . (2)A∩B＝A A B,(A∩B) A. 5.全集 如果一个集合含有所研究问题中涉及的所有元素,那么就称这个集合为全集,通常记作U. 6.补集 文字 语言对于一个集合A,由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集,记作 UA符号 语言 UA＝{x|x∈U,且x A}图形 语言
7.运算性质 (1) U( UA)＝A, UU＝ , U ＝U. (2)A∩( UA)＝ ,A∪( UA)＝U.
(1)符号语言“x∈A,或x∈B”包含三种情况:“x∈A,但x B”,“x∈B,但x A”,“x∈A,且x∈B”,如下图所示: (2)A∪B仍是一个集合.对概念中“所有”的理解,要注意集合元素的互异性. (3)交集概念中的“且”即“同时”的意思,两个集合交集中的元素必须同时是两个集合中的元素. (4)若A∩B仍是一个集合.两个集合没有公共元素,则二者的交集为 . (5)“全集”是一个相对的概念,并不是固定不变的,它是依据具体的问题加以定义的,它与补集是相互依存、不可分割的两个概念. (6) UA包含三层含义:①A U;② UA是一个集合,且( UA) U;③ UA是U中所有不属于A的元素构成的集合.
【题型1】并集
（2025春 永寿县校级期末）设集合，，则
A． B． C． D．
【答案】
【分析】根据并集的含义即可得到答案．
【解答】解：集合，，
．
故选：．
方法点拨 求集合并集的两种方法及注意点 1.利用定义:若集合中元素个数有限,则直接根据并集的定义求解,但要注意集合中元素的互异性. 2.数形结合:(1)若集合是实数集的子集,可借助数轴求解,但要注意端点值的取舍.(2)若集合中元素无限,且不连续,可借助Venn图求解.
【变式1】（2025春 漳浦县校级期末）若集合，，0，2，3，，则
A．，0，1，2，3， B．，0，2， C．，2， D．，
【答案】
【分析】解分式不等式求出集合，然后由并集运算可得．
【解答】解：解不等式，得，
又，
集合，1，2，，
集合，0，2，3，，
由并集定义得，0，1，2，3，．
故选：．
【变式2】（2025春 陕西期中）已知集合，，，则中元素的个数为
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】
【分析】根据并集定义计算求解．
【解答】解：集合，，，，
所以，4，，中元素的个数为3．
故选：．
【变式3】（2025春 历城区校级期末）已知集合，，则
A． B． C． D．
【答案】
【分析】先求出集合，再结合并集的定义，即可求解．
【解答】解：集合，，
则．
故选：．
【题型2】交集
（2025春 汕头校级期中）已知集合，1，2，3，，，则
A．， B．，1， C．，1，2， D．，1，2，3，
【答案】
【分析】求出集合后可求．
【解答】解：因为集合，1，2，3，，，
所以，1，．
故选：．
方法点拨 1.若A,B的元素是方程的根,则应先解方程求出方程的根后,再求两集合的交集. 2.若A,B的元素是有序数对,则A∩B是指两个方程组成的方程组的解集,交集是点集. 3.若A,B是无限数集,可以利用数轴来求解,但要注意利用数轴表示不等式时,含有端点的值用实心点表示,不含有端点的值用空心圈表示.
【变式1】（2026春 山东校级期末）已知集合，，则
A．， B． C．， D．，
【答案】
【分析】由交集的运算法则求解即可．
【解答】解：，，
．
故选：．
【变式2】（2025春 衢州月考）集合，，，，则
A． B．， C．， D．，，
【答案】
【分析】结合交集的运算，即可求解．
【解答】解：集合，，，，则，．
故选：．
【变式3】（2024秋 潍坊期末）已知集合，，，0，2，，则
A．， B．， C．，， D．，0，
【答案】
【分析】解不等式得到，根据交集概念求出答案．
【解答】解：，，，0，2，，
故，0，．
故选：．
【题型3】并集、交集的运算性质及应用
（2025春 闵行区校级期末）已知集合，集合．
（1）当时，求；
（2）若，求实数的取值范围．
【答案】（1）；
（2），．
【分析】（1）把代入求出集合，然后结合集合的交集运算可求；
（2）由已知得，然后对是否为空集进行分类讨论可求．
【解答】解：（1）当时，，集合
（2）因为，，．
，所以，
当时，△，
解得，
当时，，
解得，
综上，的取值范围为，．
方法点拨 利用集合交集、并集的性质解题的依据及关注点 (1)依据:A∩B＝A A B,A∪B＝A B A. (2)关注点:当集合A B时,若集合A不确定,运算时要考虑A＝ 的情况,否则易漏解.
【变式1】（2024秋 长春校级期末）已知集合，．
（1）若，求；
（2）若，求实数的取值范围．
【答案】（1）；
（2）．
【分析】（1）把代入化简，再由并集运算求解；
（2）分和得关于的不等式（组求解．
【解答】解：（1）当时，，
又，
；
（2），，即，
或时，有或，解得或．
综上所述，实数的取值范围是．
【变式2】（2025 宁波校级开学）已知集合，．
（1）若，求；
（2）若，求的取值范围．
【答案】（1）
（2）或．
【分析】（1）先求出，然后根据交集的定义计算；
（2）先判断出，然后分，求解．
【解答】解：（1）当时，集合，
则，，
所以；
（2）因为，所以，
①当，即时，解得，此时满足题意；
②当，即时，解得，
因为，所以，则有，
综上的取值范围为或．
【变式3】（2023秋 亭湖区校级期末）已知集合，，．
（1）当时，求；
（2）若，求实数的取值范围．
【答案】（1）；
（2）．
【分析】（1）解不等式化简集合，再利用交集的定义求解即得．
（2）利用并集的结果，结合集合的包含关系列式求解即得．
【解答】解：（1）解不等式，得，
则，
当时，
所以；
（2）由，得，
由（1）知，，
又因为，，
所以，
解得，
即实数的取值范围是．
【题型4】全集与补集
（2025春 沭阳县期末）已知全集，集合，0，1，，则
A．，，， B．，， C．，，0， D．，0，2，
【答案】
【分析】解出不等式后可得，再利用补集定义计算即可得．
【解答】解：，，，0，1，2，，且，0，1，，
则，，．
故选：．
方法点拨 求集合的补集的方法 (1)当集合中的元素较少时,可利用定义直接求解. (2)借助Venn图可直观地表示出全集及补集. (3)当数集中的元素连续且无限时,可借助数轴求解,此时需注意端点问题.
【变式1】（2025 厦门模拟）已知为整数集，，则
A．， B．，0，1， C．，1， D．，，0，1，
【答案】
【分析】由补集定义得，由此能求出结果．
【解答】解：为整数集，，
则，，0，1，．，，0，1，．
故选：．
【变式2】（2025春 望城区校级期末）已知集合，则集合的子集的个数为
A．3 B．4 C．7 D．8
【答案】
【分析】求出集合，从而，1，，由此能求出集合的子集的个数．
【解答】解：集合，
，1，，
则集合的子集的个数为．
故选：．
【变式3】（2025春 贵阳校级期末）若全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为
A． B． C． D．
【答案】
【分析】根据韦恩图可知图中阴影部分表示的集合为，结合补集和交集的定义与运算即可求解．
【解答】解：由图可知图中阴影部分表示的集合为．
又全集，集合，，
可得或，
所以．
故选：．
【题型5】集合交、并、补的综合运算
（2025春 冷水滩区校级月考）设集合U＝{1，2，3，4，5，6}，A＝{1，3，6}，B＝{2，3，4}，则A∩（ UB）＝（ ）
A．{3} B．{1，3} C．{5，6} D．{1，6}
【答案】D
【分析】结合补集、交集的定义，即可求解．
【解答】解：集合U＝{1，2，3，4，5，6}，B＝{2，3，4}，则 UB＝{1，5，6}，
A＝{1，3，6}，
则A∩（ UB）＝{1，6}．
故选：D．
方法点拨 1.解决与不等式有关的集合问题时,画数轴(这也是集合的图形语言的常用表示方式)可以使问题变得形象直观,要注意求解时端点的值是否能取到,切莫忽视边界问题. 2.解决集合的混合运算时,一般先运算括号内的部分,再计算其他部分.
【变式1】（2025春 芗城区校级期末）已知集合，，3，，则
A． B． C．， D．
【答案】
【分析】根据给定条件，利用补集、交集的定义直接求解．
【解答】解：，且，3，，
所以．
故选：．
【变式2】（2025春 泸州期中）已知全集，3，4，，，，，4，，则
A．， B．，3，4， C． D．，4，
【答案】
【分析】由已知直接利用交、并、补集的混合运算得答案．
【解答】解：全集，3，4，，，，
，，又，4，，
，4，．
故选：．
【变式3】（2025春 景洪市校级期中）设集合，集合，，则
A． B． C． D．
【答案】
【分析】先计算交集，再求在上的补集即可．
【解答】解：由，
所以．
故选：．
【题型6】利用集合运算求参数
（2025春 青山湖区校级期末）已知，或．
（1）若，求的取值范围；
（2）若，求的取值范围．
【分析】（1）分和两种情况讨论求解即可；
（2）由题意得，从而可求出的取值范围．
【解答】解：（1）①当时，，需满足，解得，故的取值范围为，．
②当时，要使，需满足，解得．
综上所述，的取值范围是，．
（2），，或，
，解得，
故所求的取值范围为，．
方法点拨 由集合的运算求解参数的方法 (1)若集合中元素个数有限时,可利用补集定义并结合集合知识求解. (2)若集合中元素有无限个时,一般利用数轴分析法求解.
【变式1】（2025春 滨湖区校级月考）设全集为，集合．
（1）若，求，；
（2）若，求实数的取值范围．
【答案】（1）或，或；
（2）或．
【分析】（1）解不等式求出集合，写出时集合，根据并集、交集和补集的定义计算即可；
（2）根据，讨论的取值情况，即可求出实数的取值范围．
【解答】解：（1）因为或，
故集合或，
时，集合，
所以或，
又因为全集为
所以或；
（2）因为，且，
所以时，，此时，满足题意；
由，解得；
由，解得；
综上，实数的取值范围是或．
【变式2】（2024秋 龙岗区校级期末）设集合，集合．
（1）若，求和；
（2），求实数的取值范围．
【答案】（1），；
（2）．
【分析】（1）根据交集并集概念计算；在求取值范围时；
（2）根据集合间的包含关系构造不等式组，来确定参数的取值范围．
【解答】解：（1）若，则，
又，
，；
（2），，
当时，满足，此时，可得；
当时，要使，需要，解得．
综上，实数的取值范围为．
【变式3】（2025春 东城区校级期中）已知集合，．
（1）当时，求及；
（2）若，求实数的取值范围．
【答案】（1），；
（2），．
【分析】（1）解不等式可化简集合，，然后由并集及补集知识可得答案；
（2）由题分，，三种情况结合题意可得答案．
【解答】解：（1）由得，
即所以，
当时，由得，即．
所以；
（2）因为，
若，则，由得：；
若，则，成立；
若，则，由得：．
综上，实数的取值范围是：，．
