第5章 二次函数 单元测试（含答案）苏科版数学九年级下册

苏科版九年级下 第5章 二次函数 单元测试
一．选择题（共12小题）
1．比较二次函数y=3x2与的图象，则（　　）
A．开口大小相同 B．开口方向相同
C．对称轴相同 D．顶点坐标相同
2．二次函数y=2x2-3的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（　　）
A．2、0、-3 B．2、-3、0 C．2、3、0 D．2、0、3
3．二次函数y=-2（x-1）2+3的图象的对称轴是（　　）
A．直线x=-1 B．直线x=1 C．直线x=-2 D．直线x=3
4．在平面直角坐标系中，将抛物线y=x2-2x-1先向下平移5个单位，再向左平移2个单位，所得抛物线的表达式为（　　）
A．y=（x+1）2-7 B．y=（x+1）2-1 C．y=（x-3）2-7 D．y=（x-3）2-3
5．已知点A（-3，y1），B（-1，y2），C（3，y3）在函数y=-x2-2x+b的图象上，则y1、y2、y3的大小关系为（　　）
A．y3＜y1＜y2 B．y2＜y1＜y3 C．y3＜y2＜y1 D．y1＜y3＜y2
6．在平面直角坐标系xOy中，如果点都在抛物线上，那么（　　）
A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．b＜c＜a D．b＜a＜c
7．如图是二次函数y=ax2+bx+c的部分图象，由图象可知不等式ax2+bx+c＜0的解集是（　　）
A．-1＜x＜5 B．x＞5 C．-1＜x且x＞5 D．x＜-1或x＞5
8．若一次函数y=ax+b的图象经过第二、三、四象限，则二次函数y=ax2+bx的图象只可能是（　　）
A． B． C． D．
9．如图①，某建筑物的屋顶设计成横截面为抛物线形（曲线ACB）的薄壳屋顶．已知它的拱宽AB为4米，拱高CO为0.8米．为了画出符合要求的模板，通常要先建立适当的平面直角坐标系求解析式．图②是以AB所在的直线为x轴，OC所在的直线为y轴建立的平面直角坐标系，则图②中的抛物线的解析式为（　　）
A．y=-0.2x2+0.8 B．y=-0.2x2-0.8
C．y=0.2x2+0.8 D．y=-0.2x+0.4
10．已知二次函数y=ax2-4ax+c中部分x和y的值如下表所示：
x 0.10 0.11 0.12 0.13 0.14
y -5.6 -3.1 -1.5 0.9 1.8
则方程ax2-4ax+c=0的一个较大的根的范围是（　　）
A．0.11＜x＜0.12 B．0.12＜x＜0.13
C．3.87＜x＜3.88 D．3.88＜x＜3.89
11．已知a＞0，设函数．直线x=m的图象与函数y1，y2，y3的图象分别交于点A（m,c1），B（m,c2），C（m,c3）下列说法正确的是（　　）
A．若m＜1，则c2＜c3＜c1 B．若1＜m＜2，则c1＜c2＜c3
C．若2＜m＜3，则c3＜c2＜c1 D．若m＞3，则c3＜c2＜c1
12．如图，抛物线y=ax2-x+4与直线y=x+b经过点A（2，0），且相交于另一点B；抛物线与y轴交于点C，与x轴交于另一点E；点N在线段AB上，过点N的直线交抛物线于点M，且MN∥y轴，连接AM、BM、BC、AC；当点N在线段AB上移动时（不与A、B重合），下列结论中正确的是（　　）
A．MN+BN＜AB
B．∠BAC=∠BAE
C．∠ACB-∠ANM=∠ABC
D．四边形ACBM的最大面积为13
二．填空题（共5小题）
13．抛物线y=3（x+2）2+1的顶点坐标是______．
14．已知y=（m+1）x|m|+1+2x-3是二次函数，则m的值为 ______．
15．如果点A（3，m）、B（5，n）是抛物线y=2023（x-1）2+2024上的两个点，那么m和n的大小关系是m______n（填“＞”或“＜”或“=”）．
16．已知抛物线y=x2-x-1与x轴的一个交点为（m,0），则代数式2m2-2m+2023的值为 ______．
17．如图是二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，对称轴为，且经过点（2，0）．下列说法：①abc＜0；②-2b+c=0；③4a+2b+c=0；④若是抛物线上的两点，则y1＜y2；⑤b＞m（am+b）（其中），其中说法正确的是______．
三．解答题（共5小题）
18．如图所示，已知二次函数y=x2-4x+m,它的图象与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴交于点D，且满足OB=OD，顶点为C
（1）求m的值与直线BD的解析式；
（2）求抛物线顶点C的坐标；若将抛物线向左平移2个单位，再向上平移1个单位，求平移后的抛物线的解析式．
19．赛龙舟是中国端午节的习俗之一，也是一项广受欢迎的民俗体育运动．某地计划进行一场划龙舟比赛，图1是比赛途中经过的一座拱桥，图2是该桥露出水面的主桥拱的示意图，可看作抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系xOy,桥拱上的点到水面的竖直高度y（单位：m）与到点O的水平距离x（单位：m）近似满足函数关系y=-0.01（x-30）2+9．据调查，龙舟最高处距离水面2m,为保障安全，通过拱桥时龙舟最高处到桥拱的竖直距离至少3m.
（1）水面的宽度OA=______m；
（2）要设计通过拱桥的龙舟赛道方案，若每条龙舟赛道宽度为9m,求最多可设计龙舟赛道的数量．
20．已知二次函数y=x2-ax-2（a为常数）
（1）求证：不论a取何值，该二次函数图象与x轴总有两个公共点．
（2）若函数图象在-1≤x≤2时，总有y随着x的增大而先减小后增大，求a的取值范围．
（3）若函数图象经过（m,-2），（t,p），（m+t,q），m≠0，求p+q的值（用含有t的代数式表示）．
21．如图1，抛物线y=x2+bx+c经过A（0，3），B（4，3）两点，作BC⊥x轴于点C．点D是抛物线上一点．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）连接AD，交直线OB于点E，作EF⊥x轴，若EF=EB，求点E的坐标；
（3）若点P为抛物线上一点，且在第四象限内，已知直线PA，PB与x轴分别交于M、N两点，当点P运动时，是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．
22．抛物线与x轴交于点A，B，与y轴交于点C．已知A（-3，0），抛物线的顶点坐标为（-1，4），点P是抛物线上的一个动点．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图1，点P在线段AC上方的抛物线上运动（不与A，C重合），过点P作PD⊥AB，垂足为D，PD交AC于点E．作PF⊥AC，垂足为F，求△PEF的面积的最大值；
（3）如图2，点Q是抛物线的对称轴l上的一个动点，在抛物线上，是否存在点P，使得以点A，P，C，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由．
苏科版九年级下 第5章 二次函数 单元测试
(参考答案)
一．选择题（共12小题）
1、C 2、A 3、B 4、A 5、A 6、A 7、D 8、C 9、A 10、C 11、D 12、C
二．填空题（共5小题）
13、（-2，1）； 14、1； 15、＜； 16、2025； 17、①②③④⑤；
三．解答题（共5小题）
18、解：（1）由题意，将点B坐标（m,0）代入y=x2-4x+m,
得m2-4m+m=0，即m2-3m=0，
∵m≠0，
∴m=3，
∴点D坐标（0，3），点B坐标（3，0），
设直线BD为y=kx+b,
则，解得，
∴直线BD解析式为y=-x+3．
（2）∵抛物线解析式为y=x2-4x+3=（x-2）2-1，
∴顶点C坐标（2，-1），
平移后抛物线顶点坐标为（0，0），
∴平移后抛物线的解析式为y=x2．
19、解：（1）令y=0，则-0.01（x-30）2+9=0，
解得x1=0，x2=60，
∴OA=60m,
故答案为：60；
（2）当y=5时，-0.01（x-30）2+9=5，
解得x=10或x=50，
∴可设计赛道的宽度为50-10=40（m），
∵=4，
∴最多可设计龙舟赛道的数量为4条．
20、解：（1）∵Δ=a2+8＞0，
∴该二次函数图象与x轴总有两个公共点；
（2）∵函数图象的对称轴为直线，图象开口向上，
∴，
解得-2＜a＜4；
（3）由条件可得m2-am-2=-2，且m≠0，
∴m=a,
把点（t,p）、点（m+t,q）代入原函数中，
得：p=t2-at-2，q=（m+t）2-a（m+t）-2，
∴p+q=t2-at-2+（m+t）2-a（m+t）-2
=t2-at-2+m2+2mt+t2-am-at-2
=2t2-4．
21、解：（1）抛物线y=x2+bx+c经过A（0，3），B（4，3）两点，
∴，
解得：，
∴该抛物线的解析式为：y=x2-4x+3；
（2）∵B（4，3），
设直线OB的解析式为y=kx,
∴3=4k,
解得：，
∴直线OB的解析式为，
设，
∵EF=EB，
∴，
解得：或m=10（舍去），
∴；
（3）是定值，该定值为，理由如下．
令y=x2-4x+3=0，
解得x1=1，x2=3，即抛物线与x轴的交点是：（1，0）和（3，0），
设点P的坐标是（t,t2-4t+3），则1＜t＜3，
设直线AP的解析式是：y=k2x+b2，
将点A、P代入得：，
解得：，
∴直线AP的解析式是：y=（t-4）x+3，
令y=（t-4）x+3=0，
解得：，即，
∴，
设直线BP的解析式是：y=k3x+b3，
将点B、P代入得：，
解得：，
∴直线BP的解析式是：y=tx-4t+3，
令y=tx-4t+3=0，
解得：，即，
∴，，
∴．
∴是定值，该定值为．
22、解：（1）∵抛物线的顶点坐标为（-1，4），
∴假设抛物线的表达式为y=a（x+1）2+4，
将A（-3，0）代入得，
0=a（-3+1）2+4，
解得a=-1，
∴抛物线的表达式为y=-（x+1）2+4=-x2-2x+3；
（2）令x=0，则y=3，
令y=0，则-x2-2x+3=0，
解得x1=-3，x2=1，
∴A（-3，0），B（1，0），C（0，3），
假设直线AC的表达式为y=kx+3，
将A（-3，0）代入得，0=-3k+3，
解得k=1，
∴直线AC的表达式为y=x+3，
∵OA=OC=3，
∴△ADE是等腰直角三角形，
∴△PEF也是等腰直角三角形，
当斜边PE最大时，△PEF的面积最大，
假设P（m,-m2-2m+3），E（m,m+3），
∴PE=-m2-2m+3-（m+3）=-m2-3m,
求顶点横坐标为，，顶点纵坐标为PE的最大值，
，
∵△PEF是等腰直角三角形，
∴，
∴△PEF的面积为；
（3）分两种情况讨论，
①当AC为平行四边形的边时，则有PQ∥AC，且PQ=AC，
如图，过点P作对称轴的垂线，垂足为G，设AC交对称轴于点H，
则∠AHG=∠ACO=∠PQG，
在△PQG和△ACO中，
，
∴△PQG≌△ACO（AAS），
∴PG=AO=3，
∴点P到对称轴的距离为3，
又∵y=-（x+1）2+4，
∴抛物线对称轴为直线x=-1，
设点P（x,y），则PG=|x+1|=3，
解得：x=2或x=-4，
当x=2时，代入y=-（x+1）2+4，得：y=-5，
当x=-4时，代入y=-（x+1）2+4，y=-5，
∴点P坐标为（2，-5）或（-4，-5）；
②当AC为平行四边形的对角线时，
如图，设AC的中点为M，
∵A（-3，0），C（0，3），
∴，
∵点Q在对称轴上，
∴点Q的横坐标为-1，设点P的横坐标为x,
根据中点公式得：，
∴x=-2，此时y=3，
∴P（-2，3），
综上所述，点P的坐标为（2，-5）或（-4，-5）或（-2，3）．