第1章 二次函数 单元测试（含答案） 湘教版九年级下册
文档属性
| 名称 | 第1章 二次函数 单元测试（含答案） 湘教版九年级下册 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 81.8KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 湘教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-09-12 16:23:11 | ||
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文档简介
湘教版九年级下 第1章 二次函数 单元测试
一．选择题（共12小题）
1．下列函数：①y=x2；②y=x2+1；③y=（x+1）（x-1）；④y=；⑤y=；⑥y=（a为常数）；⑦y=3（x+1）2-1，其中是二次函数的有（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
2．抛物线y=x2+4x-1的顶点坐标（ ）
A．（1，5） B．（-1，-5） C．（-2，-5） D．（2，5）
3．把一根长为2m的铅丝折成一个矩形，当矩形的一边长为x m时，它的面积为y m2，则y关于x的函数表达式是（ ）
A．y=2x2-2x B．y=-2x2+2x C．y=x2-x D．y=-x2+x
4．已知y=x2-4x+2，则下列与它表示同一个二次函数的是（ ）
A．y=（x+2）2-2 B．y=（x+2）2+2 C．y=（x-2）2-2 D．y=（x-2）2+2
5．若点M（-2，y1），N（-1，y2），P（8，y3）在抛物线y=-x2+4x上，则下列结论正确的是（ ）
A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y1＜y3 C．y3＜y1＜y2 D．y1＜y3＜y2
6．把抛物线先向左平移3个单位再向下平移4个单位，所得到的抛物线是（ ）
A． B．
C． D．
7．已知函数y=ax2+bx+1（a为常数）的图象经过点（1，0）．下列结论：①a+b=-1；②当a＜0.5时，4a+2b+1＜0；③若a≠1，则函数图象与x轴有两个公共点；④若a＜-1，则当x＜0时，y随x的增大而增大，其中正确的结论是（ ）
A．①③ B．①③④ C．①②③④ D．①②④
8．如图，抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是直线x=1，关于x的方程ax2+bx+c=0的一个根为x=4，则另一个根为（ ）
A．-4 B．-3 C．-2 D．0
9．如图所示的是二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的部分图象，由图象可知不等式ax2+bx+c＜0的解集是（ ）
A．-1＜x＜5 B．x＞5 C．x＜-1 D．x＜-1或x＞5
10．抛物线的部分图象如图，对称轴为直线x=-1，直线y2=kx+c与抛物线都经过点（-3，0）．下列说法：①ab＞0；②4a+c＞0；③关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的两根为x1=-3，x2=1；④当x=1时，二次函数y=ax2+（b-k）x有最大值．其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
11．如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（-1，0）和点B，对称轴为直线x=1，下列结论：①abc＞0；②2a+b=0；③3a+c＞0；④当抛物线沿着y轴向下平移1个单位长度就可能经过点（3，-1）．其中正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
12．如图，二次函数 y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴负半轴交于 对称轴为直线x=1．有以下结论：
①abc＜0；
②3a+c＞0；
③若点（-3，y1），（3，y2），（0，y3）均在函数图象上，则 y1＞y3＞y2；
④若方程a（2x+1）（2x-5）=1的两根为x1，x2且 x1＜x2 则x1＜x2；
⑤点M，N是抛物线与x轴的两个交点，若在x轴下方的抛物线上存在一点P，使得PM⊥PN，则a的范围为 ；
其中结论正确的有（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
二．填空题（共5小题）
13．将抛物线y=-2x2+3向左平移1个单位，再向下平移1个单位后所得抛物线的表达式为______．（结果化为一般式）
14．（2024 宁波模拟）若关于x的方程x2-2kx+k-3=0的一个实数根x1≥3，另一个实数根x2≤0，则关于x的二次函数y=x2-2kx+k-3图象的顶点到x轴距离h的取值范围是 ______．
15．将抛物线y=-x2向右平移后，所得新抛物线的顶点是B，新抛物线与原抛物线交于点A（如图所示），联结OA、AB，如果△AOB是等边三角形，那么点B的坐标是 ______．
16．以初速度v（单位：m/s）从地面竖直向上抛出小球，从抛出到落地的过程中，小球的高度h（单位：m）与小球的运动时间t（单位：s）之间的关系式是h=vt-4.9t2．现将某弹性小球从地面竖直向上抛出，初速度为v1，经过时间t1落回地面，运动过程中小球的最大高度为h1；小球落地后，竖直向上弹起，初速度为v2，经过时间t2落回地面，运动过程中小球的最大高度为h2．若h1=1.21h2，则t1：t2=______．
17．如图，二次函数的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，则∠ACB=______°；M是二次函数在第四象限内图象上一点，作MQ∥y轴交BC于Q，AM交BC于点N，若△NQM是以NQ为腰的等腰三角形，则线段NC的长为 ______．
三．解答题（共5小题）
18．画出函数y=x2-2x-3的图象，利用图象解答下列问题：
（1）写出图象与x轴交点的坐标；
（2）求方程x2-2x-3=0的解；
（3）当x取何值时，y＜0？当x取何值时，y＞0？
19．如图，若二次函数y=x2-2x-3的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于C点．
（1）求顶点坐标和A，B两点的坐标；
（2）若P为二次函数图象上一点且S△PAB=8，求P点的坐标．
20．为了落实劳动教育，某学校邀请农科院专家指导学生进行小番茄种植，经过试验，其平均单株产量y千克与每平方米种植的株数x（3≤x≤10，且x为整数）构成一种函数关系．每平方米种植3株时，平均单株产量为5千克；以同样的栽培条件，每平方米种植的株数每增加1株，单株产量减少0.5千克．
（1）求y关于x的函数表达式；
（2）每平方米种植多少株时，能获得最大的产量？最大产量为多少千克？
21．已知二次函数y=ax2-5x+c的图象经过（1，0）和（4，0）两点，如图所示．
（1）求这个二次函数的解析式和它的图象的顶点坐标；
（2）求该二次函数在-1≤x≤3范围内的最大值与最小值；
（3）请直接写出不等式ax2-5x+c＞0的解集．
22．如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于O、A两点，顶点坐标B（2，-2），直线l：y=mx+n与抛物线交于点A，B．
（1）分别求出抛物线的解析式和直线l的解析式；
（2）根据图象，直接写出ax2+bx+c＜mx+n的解集．
湘教版九年级下 第1章 二次函数 单元测试
(参考答案)
一．选择题（共12小题）
1、C 2、C 3、D 4、C 5、C 6、D 7、D 8、C 9、D 10、B 11、B 12、C
二．填空题（共5小题）
13、y=-2x2-4x； 14、≤h≤9； 15、（2，0）； 16、11：10； 17、90；5-或；
三．解答题（共5小题）
18、解：（1）当y=0时，即x2-2x-3=0，
∴x1=-1，x2=3，
∴图象与x轴的交点是（-1，0），（3，0），
当x=0时，y=-3，
∴图象与y轴的交点是：（0，-3）；
如图所示：
（2）利用图象可知：方程x2-2x-3=0的解是x1=-1，x2=3，
（3）当x＜-1或x＞3 时，函数值大于0；
当-1＜x＜3 时，函数值小于0．
19、解：（1）令y=0，则0=x2-2x-3，
解得x1=-1，x2=3，
∴A（-1，0），B（3，0）；
（2）∵A（-1，0），B（3，0），
∴AB=4，
设点P的坐标为（x,y），
由题意S△ABP=8，
∴AB×|y|=8，
∴|y|=4，
则y=±4，
当4=x2-2x-3时，
解得：x=1+2或x=1-2，
当-4=x2-2x-3时，
解得x1=x2=1，
故所求点P的坐标为（1+2，4）或（1-2，4）或（1，-4）．
20、解：（1）∵每平方米种植的株数每增加1株，单株产量减少0.5千克，
∴y=5-0.5（x-3）=-0.5x+6.5，
答：y关于x的函数表达式为y=-0.5x+6.5，（3≤x≤10，且x为整数）；
（2）设每平方米小番茄产量为W千克，
根据题意得：W=x（-0.5x+6.5）=-0.5x2+6.5x=-0.5（x-）2+，
∵-0.5＜0，
∴当x=6.5时，W取最大值，最大值为，
∵x为整数，所以最后取x为6或者7最大，
答：每平方米种植6或7株时，能获得最大的产量，最大产量为21千克．
21、解：（1）由题意可得：
，
解得：，
∴y=x2-5x+4，
∵，
∴顶点坐标为．
（2）∵，
当x=-1时，，
当x=3时，，
∴a=1＞0，抛物线对轴为直线，
∴抛物线开口向上，抛物线对轴为直线，当时，有最小值，当时，y随x增大 而减小，当时，y随x增大 而增大，
∴当-1≤x≤3时，最大值为10，最小值为．
（3）由图可知，抛物线与x轴交点坐标为（1，0）和（4，0），抛物线开口向上，
∴不等式ax2-5x+c＞0的解集x＜1或x＞4．
22、解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标为B（2，-2），
∴y=a（x-2）2-2，
∵y=a（x-2）2-2过原点O（0，0），
∴0=a（0-2）2-2，
解得，
∴，即，
令y=0，则，
解得x=0或x=4，
∴A（4，0），
∵直线l：y=mx+n与抛物线交于点A（4，0），B（2，-2），
∴
解得，
∴直线l：y=x-4；
（2）不等式ax2+bx+c＜mx+n表示的是二次函数y=ax2+bx+c的图象位于一次函数y=mx+n的图象的下方，
∵直线l：y=mx+n与抛物线交于点A（4，0），B（2，-2），
∴由函数图象得：2＜x＜4，
即不等式ax2+bx+c＜mx+n的解集为2＜x＜4．
一．选择题（共12小题）
1．下列函数：①y=x2；②y=x2+1；③y=（x+1）（x-1）；④y=；⑤y=；⑥y=（a为常数）；⑦y=3（x+1）2-1，其中是二次函数的有（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
2．抛物线y=x2+4x-1的顶点坐标（ ）
A．（1，5） B．（-1，-5） C．（-2，-5） D．（2，5）
3．把一根长为2m的铅丝折成一个矩形，当矩形的一边长为x m时，它的面积为y m2，则y关于x的函数表达式是（ ）
A．y=2x2-2x B．y=-2x2+2x C．y=x2-x D．y=-x2+x
4．已知y=x2-4x+2，则下列与它表示同一个二次函数的是（ ）
A．y=（x+2）2-2 B．y=（x+2）2+2 C．y=（x-2）2-2 D．y=（x-2）2+2
5．若点M（-2，y1），N（-1，y2），P（8，y3）在抛物线y=-x2+4x上，则下列结论正确的是（ ）
A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y1＜y3 C．y3＜y1＜y2 D．y1＜y3＜y2
6．把抛物线先向左平移3个单位再向下平移4个单位，所得到的抛物线是（ ）
A． B．
C． D．
7．已知函数y=ax2+bx+1（a为常数）的图象经过点（1，0）．下列结论：①a+b=-1；②当a＜0.5时，4a+2b+1＜0；③若a≠1，则函数图象与x轴有两个公共点；④若a＜-1，则当x＜0时，y随x的增大而增大，其中正确的结论是（ ）
A．①③ B．①③④ C．①②③④ D．①②④
8．如图，抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是直线x=1，关于x的方程ax2+bx+c=0的一个根为x=4，则另一个根为（ ）
A．-4 B．-3 C．-2 D．0
9．如图所示的是二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的部分图象，由图象可知不等式ax2+bx+c＜0的解集是（ ）
A．-1＜x＜5 B．x＞5 C．x＜-1 D．x＜-1或x＞5
10．抛物线的部分图象如图，对称轴为直线x=-1，直线y2=kx+c与抛物线都经过点（-3，0）．下列说法：①ab＞0；②4a+c＞0；③关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的两根为x1=-3，x2=1；④当x=1时，二次函数y=ax2+（b-k）x有最大值．其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
11．如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（-1，0）和点B，对称轴为直线x=1，下列结论：①abc＞0；②2a+b=0；③3a+c＞0；④当抛物线沿着y轴向下平移1个单位长度就可能经过点（3，-1）．其中正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
12．如图，二次函数 y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴负半轴交于 对称轴为直线x=1．有以下结论：
①abc＜0；
②3a+c＞0；
③若点（-3，y1），（3，y2），（0，y3）均在函数图象上，则 y1＞y3＞y2；
④若方程a（2x+1）（2x-5）=1的两根为x1，x2且 x1＜x2 则x1＜x2；
⑤点M，N是抛物线与x轴的两个交点，若在x轴下方的抛物线上存在一点P，使得PM⊥PN，则a的范围为 ；
其中结论正确的有（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
二．填空题（共5小题）
13．将抛物线y=-2x2+3向左平移1个单位，再向下平移1个单位后所得抛物线的表达式为______．（结果化为一般式）
14．（2024 宁波模拟）若关于x的方程x2-2kx+k-3=0的一个实数根x1≥3，另一个实数根x2≤0，则关于x的二次函数y=x2-2kx+k-3图象的顶点到x轴距离h的取值范围是 ______．
15．将抛物线y=-x2向右平移后，所得新抛物线的顶点是B，新抛物线与原抛物线交于点A（如图所示），联结OA、AB，如果△AOB是等边三角形，那么点B的坐标是 ______．
16．以初速度v（单位：m/s）从地面竖直向上抛出小球，从抛出到落地的过程中，小球的高度h（单位：m）与小球的运动时间t（单位：s）之间的关系式是h=vt-4.9t2．现将某弹性小球从地面竖直向上抛出，初速度为v1，经过时间t1落回地面，运动过程中小球的最大高度为h1；小球落地后，竖直向上弹起，初速度为v2，经过时间t2落回地面，运动过程中小球的最大高度为h2．若h1=1.21h2，则t1：t2=______．
17．如图，二次函数的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，则∠ACB=______°；M是二次函数在第四象限内图象上一点，作MQ∥y轴交BC于Q，AM交BC于点N，若△NQM是以NQ为腰的等腰三角形，则线段NC的长为 ______．
三．解答题（共5小题）
18．画出函数y=x2-2x-3的图象，利用图象解答下列问题：
（1）写出图象与x轴交点的坐标；
（2）求方程x2-2x-3=0的解；
（3）当x取何值时，y＜0？当x取何值时，y＞0？
19．如图，若二次函数y=x2-2x-3的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于C点．
（1）求顶点坐标和A，B两点的坐标；
（2）若P为二次函数图象上一点且S△PAB=8，求P点的坐标．
20．为了落实劳动教育，某学校邀请农科院专家指导学生进行小番茄种植，经过试验，其平均单株产量y千克与每平方米种植的株数x（3≤x≤10，且x为整数）构成一种函数关系．每平方米种植3株时，平均单株产量为5千克；以同样的栽培条件，每平方米种植的株数每增加1株，单株产量减少0.5千克．
（1）求y关于x的函数表达式；
（2）每平方米种植多少株时，能获得最大的产量？最大产量为多少千克？
21．已知二次函数y=ax2-5x+c的图象经过（1，0）和（4，0）两点，如图所示．
（1）求这个二次函数的解析式和它的图象的顶点坐标；
（2）求该二次函数在-1≤x≤3范围内的最大值与最小值；
（3）请直接写出不等式ax2-5x+c＞0的解集．
22．如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于O、A两点，顶点坐标B（2，-2），直线l：y=mx+n与抛物线交于点A，B．
（1）分别求出抛物线的解析式和直线l的解析式；
（2）根据图象，直接写出ax2+bx+c＜mx+n的解集．
湘教版九年级下 第1章 二次函数 单元测试
(参考答案)
一．选择题（共12小题）
1、C 2、C 3、D 4、C 5、C 6、D 7、D 8、C 9、D 10、B 11、B 12、C
二．填空题（共5小题）
13、y=-2x2-4x； 14、≤h≤9； 15、（2，0）； 16、11：10； 17、90；5-或；
三．解答题（共5小题）
18、解：（1）当y=0时，即x2-2x-3=0，
∴x1=-1，x2=3，
∴图象与x轴的交点是（-1，0），（3，0），
当x=0时，y=-3，
∴图象与y轴的交点是：（0，-3）；
如图所示：
（2）利用图象可知：方程x2-2x-3=0的解是x1=-1，x2=3，
（3）当x＜-1或x＞3 时，函数值大于0；
当-1＜x＜3 时，函数值小于0．
19、解：（1）令y=0，则0=x2-2x-3，
解得x1=-1，x2=3，
∴A（-1，0），B（3，0）；
（2）∵A（-1，0），B（3，0），
∴AB=4，
设点P的坐标为（x,y），
由题意S△ABP=8，
∴AB×|y|=8，
∴|y|=4，
则y=±4，
当4=x2-2x-3时，
解得：x=1+2或x=1-2，
当-4=x2-2x-3时，
解得x1=x2=1，
故所求点P的坐标为（1+2，4）或（1-2，4）或（1，-4）．
20、解：（1）∵每平方米种植的株数每增加1株，单株产量减少0.5千克，
∴y=5-0.5（x-3）=-0.5x+6.5，
答：y关于x的函数表达式为y=-0.5x+6.5，（3≤x≤10，且x为整数）；
（2）设每平方米小番茄产量为W千克，
根据题意得：W=x（-0.5x+6.5）=-0.5x2+6.5x=-0.5（x-）2+，
∵-0.5＜0，
∴当x=6.5时，W取最大值，最大值为，
∵x为整数，所以最后取x为6或者7最大，
答：每平方米种植6或7株时，能获得最大的产量，最大产量为21千克．
21、解：（1）由题意可得：
，
解得：，
∴y=x2-5x+4，
∵，
∴顶点坐标为．
（2）∵，
当x=-1时，，
当x=3时，，
∴a=1＞0，抛物线对轴为直线，
∴抛物线开口向上，抛物线对轴为直线，当时，有最小值，当时，y随x增大 而减小，当时，y随x增大 而增大，
∴当-1≤x≤3时，最大值为10，最小值为．
（3）由图可知，抛物线与x轴交点坐标为（1，0）和（4，0），抛物线开口向上，
∴不等式ax2-5x+c＞0的解集x＜1或x＞4．
22、解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标为B（2，-2），
∴y=a（x-2）2-2，
∵y=a（x-2）2-2过原点O（0，0），
∴0=a（0-2）2-2，
解得，
∴，即，
令y=0，则，
解得x=0或x=4，
∴A（4，0），
∵直线l：y=mx+n与抛物线交于点A（4，0），B（2，-2），
∴
解得，
∴直线l：y=x-4；
（2）不等式ax2+bx+c＜mx+n表示的是二次函数y=ax2+bx+c的图象位于一次函数y=mx+n的图象的下方，
∵直线l：y=mx+n与抛物线交于点A（4，0），B（2，-2），
∴由函数图象得：2＜x＜4，
即不等式ax2+bx+c＜mx+n的解集为2＜x＜4．