3.2.2 基本不等式的应用 学案 2025-2026学年高一数学苏教版（2019）必修第一册

3．2.2　基本不等式的应用(1)
1. 掌握基本不等式≤(a，b≥0).
2. 结合具体实例，能用基本不等式解决简单的最大值或最小值问题．
活动一 理解常用基本不等式
思考1
基本不等式及其变式有哪些？
活动二　利用基本不等式求最值　
思考2
已知y＝x(1－x)(0已知a，b都是正数
和定积最大 若a＋b＝s(和为定值)，则当a＝b时，积ab取得最大值
积定和最小 若ab＝p(积为定值)，则当a＝b时，a＋b取得最小值2
例1　设y＝x＋，x∈(－2，＋∞)，求y的最小值．
思考3
若将例1中，(－2，＋∞)改为(－∞，－2)，结果如何？
例2　设y＝(x>0)，求y的最大值以及此时x的值．
设y＝(x>1)，求y的最小值及此时x的值．
设y＝(x＜1)，求y的最大值及此时x的值．
当x＞0时，y＝的最大值为(　　)
A. 　　 B. 1　　 C. 2　　 D. 4
例3　若x∈[0，3]，求y＝x(3－x)的最大值及此时x的值．
已知01. 应用基本不等式的条件：“一正、二定、三相等”，在求最值时必须同时具备，解答本题易漏掉等号成立的条件．
2. 此类题目在命题时常常把获得“定值”条件设计为一个难点，它需要一定的灵活性和技巧性．常用技巧有“拆项”“添项”“凑系数”“常值代换”等．
活动三　求有约束条件的最值　
例4　已知x，y均为正数．
(1) 若x＋y＝1，求＋的最小值；
(2) 若＋＝2，求x＋y的最小值．
若01. 本例在解答中要注意使＋和x＋y取最小值所对应x，y的值也要一并解出来．
2. 解含有条件的最值问题，常结合要求最值的式子，采用“配”“凑”的方法，构造成基本不等式的形式，从而得出最值．
1. (2024连云港高级中学月考)已知x>0，则2－3x－的最大值是(　　)
A. 2＋4 B. 2－2 C. 2－4 D. 2－6
2. (2024广东实验中学期中)已知x>1，则的最小值是(　　)
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
3. (多选)(2024无锡太湖高级中学月考)下列各式中，最小值是6的有(　　)
A. x＋ B. 2x2＋ C. D.
4. 已知a，b为正实数，且a＋b＝1，则＋的最小值为________．
5. (2024商丘月考)已知正数a，b满足a＋b＝2.求：
(1) a2＋b2的最小值；
(2) ＋的最小值．
3．2.2　基本不等式的应用(2)
1. 能运用基本不等式解决简单实际问题中的最大(小)值问题．
2. 在解题过程中加深对基本不等式成立条件的理解．
3. 培养严谨的思维习惯，体会化归思想在知识建构过程中的作用．
活动一 基本不等式的常见变形
思考
若a，b∈R，则ab，，的大小关系如何？当a，b＞0时，，，的大小关系是怎样的？
例1　求y＝＋的最大值．
已知正实数x，y满足x＋3y＝9，则＋的最大值是________．
本例中，由于()2＋()2＝2(定值)，因而不宜直接使用基本不等式，应该使用基本不等式的变式≤ .对于基本不等式及其变式，在利用这些不等式求最值时，要保证一侧为定值，并保证等号成立，要根据已知条件和所求，灵活地选取公式．
活动二　利用基本不等式解决简单的应用问题　
例2　用长为4a的铁丝围成一个矩形，怎样才能使所围矩形的面积最大？
长为50m的钢丝，截开后分别围成两个正方形，设两个正方形的边长分别为x m，y m，当x，y分别为多少时，面积和最小？最小值为多少？
例3　某工厂要建造一个无盖的长方体贮水池，其容积为4 800 m3，深度为3 m，如果池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元，怎样设计水池能使总造价最低？最低总造价为多少元？
1. 应用基本不等式解决这类实际问题时的一般步骤：
(1) 建立目标函数；
(2) 利用基本不等式，求函数的最值；
(3) 得出实际问题的解．
2. 应用基本不等式时应注意：
(1) “一正”：两项必须都是正数；
(2) “二定”：求两项和的最小值，它们的积应为定值，求两项积的最大值，它们的和应为定值；
(3) “三相等”：等号成立的条件必须存在．
例4　如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝b，BC＝a，且＋＝1.当△ABC的面积最小时，求a，b的值．
例5　如图，一份印刷品的排版面积(矩形)为A，它的两边都留有宽为a的空白，顶部和底部都留有宽为b的空白．如何选择纸张的尺寸，才能使纸的用量最少？
1. (2024福建平和广兆中学期末)已知正实数a，b满足ab＋a＋b＝8，则a＋b的最小值为(　　)
A. 2 B. 4 C. 4 D. 6
2. (2024四川平昌中学月考)单位时间内通过道路上指定断面的车辆数称为“道路容量”．假设某条道路单位时间内通过的车辆数N满足关系式N＝，其中d0(单位：m)为安全距离，v(单位：m/s)为车速．当安全距离d0为30m时，该道路的“道路容量”的最大值为(　　)
A. 100 B. 149 C. 165 D. 195
3. (多选)(2024惠州泰雅实验高中期中)已知a>0，b>0，且a＋b＝1，则下列说法中正确的是(　　)
A. 的最大值为 B. ab的最大值为
C. ＋的最大值为 D. ＋的最小值为3＋2
4. (2024辽宁实验中学期末)建造一个容积为8m3，深为2m的无盖长方体蓄水池，池壁的造价为每平方米150元，池底的造价为每平方米200元，则建造水池的最低总造价为________元．
5. 如图，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成．
(1) 现有36 m长的钢筋网材料，每间虎笼的长、宽分别设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？
(2) 若使每间虎笼面积为24 m2，则每间虎笼的长、宽分别设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小？
3．2.2　基本不等式的应用(1)
【活动方案】
思考1：①≥(a，b≥0).
②a2＋b2≥2ab，a，b∈R.
③≥ab，a，b∈R.
思考2：因为00，
所以x(1－x)≤＝，
当且仅当x＝1－x，即x＝时，
y有最大值.
例1　因为x∈(－2，＋∞)，所以x＋2>0.
由题意，得y＝x＋＝x＋2＋－2≥2－2＝6，当且仅当x＋2＝，即x＝2时，取等号，故当x＝2时，y有最小值6.
思考3：当x<－2时，x＋2<0，则－(x＋2)>0，y＝x＋＝－－2≤－2－2＝－10，当且仅当x＝－6时，取等号，故当x＝－6时，y有最大值－10.
例2　因为y＝＝1－，x>0，所以2x＋≥2，所以y≤1－2，当且仅当2x＝，即x＝时，取等号，所以y的最大值为1－2，此时x＝.
跟踪训练1　因为x>1，所以x－1>0，
所以y＝＝＝(x－1)＋＋1≥2＋1＝5，当且仅当x－1＝，即x＝3时，取等号，y的最小值为5，此时x＝3.
跟踪训练2　因为x＜1，所以1－x＞0，
所以y＝＝＝
－－1≤－2－1，当且仅当 1－x＝，即x＝1－时，取等号，故y的最大值为－2－1，此时x＝1－.
跟踪训练3　B　因为x＞0，所以y＝＝≤＝1，当且仅当x＝，即x＝1时，取得等号．
例3　因为x∈[0，3]，所以x≥0，3－x≥0，所以 y＝x(3－x)≤＝，当且仅当x＝3－x，即x＝时，取得等号，故y的最大值为，此时x＝.
跟踪训练　方法一：因为00，所以y＝x(1－3x)＝×3x(1－3x)≤＝，当且仅当3x＝1－3x，即x＝时，取得等号，
所以当x＝时，y取得最大值.
方法二：因为00，所以y＝x(1－3x)＝3×x≤3×2＝，当且仅当x＝－x，即x＝时，取得等号，
所以当x＝时，y取得最大值.
例4　(1) 因为x＋y＝1，所以＋＝＋＝1＋＋＋5＝＋＋6≥2＋6，当且仅当＝，即x＝，y＝时，取得等号，故＋的最小值为2＋6.
(2) 因为＋＝2，所以x＋y＝·(x＋y)＝≥×(2＋6)＝＋3，当且仅当＝，即x＝，y＝时，等号成立，故x＋y的最小值为＋3.
跟踪训练　因为0【检测反馈】
1. C　因为x>0，所以3x＋≥2＝4，所以2－3x－≤2－4，当且仅当3x＝，即x＝时，取等号．
2. A　因为x>1，所以＝＝(x－1)＋－1≥2－1＝3，当且仅当x－1＝，即x＝3时，取等号，所以的最小值为3.
3. BD　对于A，因为x可能为负数，所以x＋的最小值不是6，故A错误；对于B，因为x2＋1>0，所以2x2＋＝2(x2＋1)＋－2≥2－2＝6，当且仅当x2＝1时，等号成立，故B正确；对于C，＝＋＋4，当x，y异号时，其最小值小于4，故C错误；对于D，因为>0，所以＝＝＋≥2＝6，当且仅当x＝8时，等号成立，故D正确．故选BD.
4. 3　因为a，b为正实数，且a＋b＝1，所以＋＝＋＝＋－1＝(a＋b)－1＝1＋＋＋1－1≥1＋2＝3，当且仅当＝，即a＝b＝时，取等号，故＋的最小值为3.
5. (1) 因为ab≤＝1，当且仅当a＝b＝1时，取得等号，所以a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝4－2ab≥4－2＝2.
故a2＋b2的最小值为2.
(2) 由a＋b＝2，得(a＋2)＋(b＋1)＝5，
则＋＝[(a＋2)＋(b＋1)]
＝＋≥＋＝，
当且仅当＝，即a＝，b＝时，取得等号，
所以＋的最小值为.
3．2.2　基本不等式的应用(2)
【活动方案】
思考：因为a2＋b2≥2ab，
所以＝≥＝ab，
且＝≤＝，
所以ab≤≤，当且仅当a＝b时，等号成立．
当a>0，b>0时， ≤ ≤ ，
当且仅当a＝b时，等号成立．
例1　由得－1≤x≤1.
又()2＋()2＝1－x＋1＋x＝2(定值)，
所以y＝＋≤
＝＝2，
当且仅当1－x＝1＋x，即x＝0时，等号成立，
所以ymax＝2.
跟踪训练　4　因为()2＋()2＝16，
所以＋≤＝4，当且仅当＝，即x＝8, y＝时，等号成立．
例2　设矩形长为x(00，2a－x>0.
由基本不等式，得≤＝a，
当且仅当x＝2a－x，即x＝a时，等号成立，
所以当x＝a时，S＝x(2a－x)取得最大值a2.
故将铁丝围成正方形时面积最大，最大面积为a2.
跟踪训练　由题意，得x＋y＝＝，
设面积和为S，则S＝x2＋y2≥2＝2×＝，当且仅当x＝y＝时，取得等号，
所以当x＝y＝ m时，Smin＝ m2.
例3　设总造价为y元(y＞0)，池底的一边长为 x m(x＞0)，则另一边长为 m，即 m.
由题中条件可得y＝150×＋2×120×3×＝150×1 600＋720.
由题意知x＞0，则x＋≥2＝80，当且仅当x＝，即x＝40时，取得等号，
所以y≥150×1 600＋720×80＝297 600，当x＝40时，取得等号，
故当水池设计成底面边长为40 m的正方形时，总造价最低，为297 600元．
例4　由题意知a＞0，b＞0，
由基本不等式，得＋≥2.
因为＋＝1，所以1≥2，故ab≥8，
所以S△ABC＝ab≥4，当且仅当＝，即a＝2，b＝4时，等号成立，
所以当△ABC的面积最小时，a＝2，b＝4.
例5　设纸张的面积为S，排版矩形的长和宽分别为y，x(x＞0，y＞0)，则xy＝A.
S＝(x＋2a)(y＋2b)＝xy＋2bx＋2ay＋4ab≥xy＋2＋4ab＝A＋4＋4ab＝(＋2)2，当且仅当2bx＝2ay，即x＝，y＝时，S有最小值(＋2)2，此时纸张的长和宽分别为＋2b和＋2a，
故当纸张的长和宽分别为＋2b和＋2a时，纸张的用量最少．
【检测反馈】
1. B　因为ab＋a＋b＝8，则8－(a＋b)＝ab≤，所以(a＋b)2＋4(a＋b)－32≥0，所以[(a＋b)＋8][(a＋b)－4]≥0.又a>0，b>0，所以a＋b≥4或a＋b≤－8(舍去)，当且仅当a＝b＝2时，取等号，所以a＋b的最小值为4.
2. A　由题意，得N＝＝≤＝100，当且仅当v＝10时，取等号，所以当安全距离d0为30 m时，该道路的“道路容量”的最大值为100.
3. BCD　对于A，B，因为a>0，b>0，且a＋b＝1，所以≤＝，当且仅当a＝b＝时，等号成立，即的最大值为，所以ab的最大值是，故A错误，B正确；对于C，因为a>0，b>0，且a＋b＝1，所以(＋)2＝a＋2＋b≤2(a＋b)＝2，当且仅当a＝b＝时，等号成立，所以＋的最大值是，故C正确；对于D，因为＋＝(a＋b)＝3＋＋≥3＋2，当且仅当即a＝－1，b＝2－时，等号成立，所以＋的最小值是3＋2，故D正确．故选BCD.
4. 3 200　设池底长为xm，宽为ym，则蓄水池的体积为2xy＝8，所以y＝，所以池壁造价为2×2x×150＋2×2××150＝600x＋. 又池底造价为200×＝800，所以总造价y＝800＋600x＋.因为600x＋≥2＝2 400，当且仅当600x＝，即x＝2时，等号成立，所以建造水池的最低总造价为800＋2 400＝3 200(元).
5. (1) 设每间虎笼的长为a m，宽为b m，
则4a＋6b＝36，即2a＋3b＝18，
所以ab＝·2a·3b≤·＝，当且仅当2a＝3b＝9，即a＝，b＝3时，等号成立，
故当每间虎笼的长为 m，宽为3 m时，可使每间虎笼的面积最大．
(2) 设每间虎笼的长为x m，宽为y m，则xy＝24，
所以4x＋6y≥2＝2＝48，当且仅当4x＝6y，即x＝6，y＝4时，等号成立，
故当每间虎笼的长为6 m，宽为4 m时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小．