3.3.1 从函数观点看一元二次方程 学案（含答案） 2025-2026学年高一数学苏教版（2019）必修第一册

3.3.1　从函数观点看一元二次方程
1. 会结合一元二次函数的图象，判断一元二次方程实根的存在性及实根的个数．
2. 了解一元二次函数的零点与一元二次方程根的关系．
3. 能解决与二次函数的零点有关的问题．
4. 进一步体会函数方程和数形结合这两个重要的数学思想方法在数学中的应用．
活动一 探究二次函数的零点
一次函数、一元一次方程、一元一次不等式之间有着密切的联系．例如，可以借助函数y＝2x－3的图象来求解2x－3＝0，2x－3＞0，2x－3＜0.反过来，也可以通过求解2x－3＝0，2x－3＞0，2x－3＜0，来深入理解函数y＝2x－3的性质．
思考1
怎样从函数观点进一步解决一元二次方程x2－2x－3＝0根的问题？
思考2
你能归纳二次函数零点的概念吗？
思考3
二次函数y＝ax2＋bx＋c (a≠0)的零点是点吗？为什么？
思考4
二次函数y＝ax2＋bx＋c (a≠0)有零点可以等价于哪些说法？
思考5
函数y＝x2有零点吗？
活动二　掌握一元二次方程的根、二次函数的图象、二次函数的零点之间的关系　
探究　当a＞0时，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根、二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象、二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点之间的关系是怎样的？
思考6
当a＜0时，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根、二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象、二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点之间的关系又是怎样的？
例1　求证：二次函数y＝2x2＋3x－7有两个零点．
函数的零点就是对应方程的实数根，也就是该函数的图象与x轴交点的横坐标，所以函数的零点是一个数，而不是一个点．在写函数零点时，所写的一定是一个数字，而不是一个坐标．
求证：函数y＝x2－ax－a－2(a∈R)一定有两个零点．
活动三 判断零点在指定区间上是否存在
例2　判断二次函数y＝x2－2x－1在区间(2，3)上是否存在零点．
若函数y＝x2＋2x－1的零点在区间(n，n＋1)(n∈Z)上，则n的取值集合为________．
思考7
例2中，你能作出函数图象进行直观判断吗？
求二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)零点的两种办法：
(1) 令ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，根据解方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根求得函数的零点．
(2) 画出函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象，图象与x轴的交点的横坐标即为函数的零点．
活动四　求函数的零点或方程的解的个数　
例3　已知a∈R，讨论关于x的方程|x2－6x＋8|＝a的实数解的个数．
函数y＝x2＋2ax－a2－1(a∈R)的零点的个数为________．
求下列函数的零点：
(1) y＝3x2－2x－1；
(2) y＝ax2－x－a－1(a∈R)；
(3) y＝ax2＋bx＋c，其图象如图所示．
1. 如图，已知二次函数y＝x2＋(m－3)x＋2m的图象与x轴的两个交点的横坐标分别为x1，x2，且0A. ∪(5，＋∞) B.
C. ∪(0，＋∞) D.
2. 若函数y＝ax2＋bx＋c (a≠0)的零点为－2和3，则函数y＝cx2－bx＋a的零点为(　　)
A. －和 B. 和－ C. －3和2 D. 无法确定
3. (多选)(2024岳阳月考)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则下列结论中正确的是(　　)
A. b＝－2a B. a＋b＋c<0 C. a＋c4. (2024永州蓝山一中月考)若关于x的方程x2－2ax＋a＝0的两根在1的两侧，则实数a的取值范围是________．
5. 求证：函数y＝ax2－x－a(a∈R)有零点．
3．3.1　从函数观点看一元二次方程
【活动方案】
思考1：从函数观点看，方程x2－2x－3＝0的两个根x1＝－1，x2＝3，就是二次函数y＝x2－2x－3当函数值取零时自变量x的值，即二次函数y＝x2－2x－3的图象与x轴交点的横坐标．这时，我们称－1，3为二次函数y＝x2－2x－3的零点．
思考2：一般地，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根就是二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)当函数值取零时自变量x的值，即二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴交点的横坐标，也称为二次函数y＝ax2＋bx＋c (a≠0)的零点．
思考3：不是．函数的零点的本质是对应方程y＝0的实数根，因此，函数的零点不是点，而是一个实数，当函数的自变量取这个实数时，函数值为零．
思考4：二次函数y＝ax2＋bx＋c (a≠0)有零点 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴有交点 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有实数根．
思考5：有．因为当x＝0时，y＝0，所以函数y＝x2的零点是0.
探究　
判别式Δ＝b2－4ac Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0
方程ax2＋bx＋c＝0的根 有两个相异的实数根 x1，2＝ 有两个相等的实数根 x1＝x2＝－ 没有实数根
二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图象
二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的零点 有两个零点 x1，2＝ 有一个零点x＝－ 无零点
思考6：
判别式Δ＝b2－4ac Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0
方程ax2＋bx＋c＝0的根 有两个相异的实数根 x1，2＝ 有两个相等的实数根 x1＝x2＝－ 没有实数根
二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图象
二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的零点 有两个零点 x1，2＝ 有一个零点x＝－ 无零点
例1　因为在一元二次方程2x2＋3x－7＝0中，
Δ＝32－4×2×(－7)＝65>0，
所以方程2x2＋3x－7＝0有两个不相等的实数根，所以二次函数y＝2x2＋3x－7有两个零点．
跟踪训练　对于一元二次方程x2－ax－a－2＝0，Δ＝a2＋4a＋8＝(a＋2)2＋4>0，
所以函数y＝x2－ax－a－2(a∈R)一定有两个零点．
例2　根据求根公式可得一元二次方程x2－2x－1＝0的两个根分别为x1＝1＋，x2＝1－.
因为1＜＜2，所以2＜1＋＜3，
所以二次函数y＝x2－2x－1在区间(2，3)上存在零点．
跟踪训练　{－3，0}　由x2＋2x－1＝0，解得x1＝－1－，x2＝－1＋.因为－1－∈(－3，－2)，－1＋∈(0，1)，所以n的取值集合为{－3，0}．
思考7：如图，因为当x＝2时，y＝－1＜0，当x＝3时，y＝2＞0，而二次函数y＝x2－2x－1在区间(2，3)上的图象是不间断的，这表明此函数图象在区间(2，3)上一定穿过x轴，即函数在区间(2，3)上存在零点．
例3　令函数y＝|x2－6x＋8|和常数函数y＝a.如图，在同一平面直角坐标系中画出这两个函数的图象．
当a＜0时，原方程无实数解；
当a＝1时，原方程实数解的个数为3；
当0＜a＜1时，原方程实数解的个数为4；
当a＞1或a＝0时，原方程实数解的个数为2.
跟踪训练1　2　由x2＋2ax－a2－1＝0，得Δ＝4a2－4(－a2－1)＝8a2＋4>0，所以函数y＝x2＋2ax－a2－1(a∈R)的零点的个数为2.
跟踪训练2　(1) 由3x2－2x－1＝0，解得x1＝1，x2＝－，所以函数y＝3x2－2x－1的零点为1和－.
(2) 当a＝0时，y＝－x－1，由－x－1＝0，得x＝－1，所以函数的零点为－1；
当a≠0时，由ax2－x－a－1＝0，得(ax－a－1)(x＋1)＝0，解得x1＝，x2＝－1.
①当a＝－时，x1＝x2＝－1，函数有唯一的零点－1；
②当a≠－，且a≠0时，x1≠x2，函数有两个零点－1和.
综上，当a＝0或a＝－时，函数的零点为－1；当a≠－，且a≠0时，函数有两个零点－1和.
(3) 因为函数的图象与x轴的交点的横坐标为－1和3，所以该函数的零点为－1和3.
【检测反馈】
1. B　由图可得当x＝2时，函数值小于零，即4＋(m－3)×2＋2m<0，解得m<.当x＝0时，其函数值大于零，即2m>0，所以02. A　由题意知，－2＋3＝－，－2×3＝， 所以b＝－a，c＝－6a.由cx2－bx＋a＝0，得－6ax2＋ax＋a＝0，即6x2－x－1＝0，解得x1＝－，x2＝.
3. ACD　由题意，得a<0，对称轴为直线x＝－＝1，则b＝－2a>0，故A正确；当x＝1时，y＝a＋b＋c>0，故B错误；当x＝－1时，y＝a－b＋c<0，则a＋c0，则abc<0，故D正确．故选ACD.
4. (1，＋∞)　设y＝x2－2ax＋a.因为方程x2－2ax＋a＝0的两根在1的两侧，所以当x＝1时，y<0，即12－2a＋a<0，解得a>1，所以实数a的取值范围是(1，＋∞).
5. 当a＝0时，y＝－x，该函数有零点0；
当a≠0时，对于一元二次方程ax2－x－a＝0，Δ＝1＋4a2>0，函数y＝ax2－x－a有两个零点．
综上，函数y＝ax2－x－a(a∈R)有零点．