3.3.2　从函数观点看一元二次不等式 学案（含答案） 2025-2026学年高一数学苏教版（2019）必修第一册

3．3.2　从函数观点看一元二次不等式(1)
1. 经历从实际情景中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的实际意义．
2. 能借助一元二次函数的图象求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集．
3. 进一步体会函数方程和数形结合的数学思想方法在数学中的应用，努力培养学生数学地分析问题、探索问题和解决问题的能力．
活动一 一元二次不等式
某杂志以每册2元的价格发行时，发行量为10万册.经过调查，若单册价格每提高0.2元，则发行量就减少5 000册．要使杂志社的销售收入大于22.4万元，每册杂志的价格应定在怎样的范围内？
像这样只含有一个未知数，并且未知数最高次数是2的整式不等式叫作一元二次不等式．
活动二 掌握一元二次不等式、一元二次方程、二次函数之间的关系
探究　一元二次方程、二次函数与一元二次不等式三者之间的关系：
当a＞0时，我们有：
判别式Δ＝b2－4ac Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0
方程ax2＋bx＋c＝0的根
二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象
ax2＋bx＋c＞0的解集
ax2＋bx＋c＜0的解集
思考1
对于活动一中不等式的解集是什么呢？
思考2
若a＜0，则对应不等式的解集是什么呢？如何求解？
活动三　掌握解一元二次不等式的方法　
例1　解下列不等式：
(1) x2－7x＋12＞0；
(2) －x2－2x＋3≥0；
(3) x2－2x＋1＜0；
(4) x2－2x＋2＞0.
解下列不等式：
(1) 2x2－3x－2＞0；
(2) x2－3x＋5＞0；
(3) －6x2－x＋2≥0；
(4) －4x2≥1－4x；
(5) 2x2－4x＋7＜0；
(6) x2－6x＋9＞0.
用图象法解一元二次不等式的步骤：求根，画图，找解．一元二次不等式的解集一定要写成集合或区间的形式，尤其要注意“>”与“≥”，“<”与“≤”符号的区分．
例2　解下列不等式：
(1) (x＋1)2＋3(x＋1)－4＞0；
(2) x(x－2)＞8；
(3) 1－3x＜x2.
活动四　掌握解分式不等式的方法　
例3　解下列不等式：
(1) ＞0；
(2) ≤1.
解下列不等式：
(1) ＜0；
(2) ≤2.
分式不等式转化为整式不等式时，要注意等价转化，必要时要对分母进行限制，转化为不等式组．
简单的分式不等式的解法
1. (2024渭南三贤中学期中)不等式(x－3)(5－x)<0的解集为(　　)
A. {x|35}
C. {x|－5－3}
2. (2024张家口尚义一中月考)“<0”的一个充分且不必要条件是(　　)
A. －23. (多选)(2024南京期末)已知关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集是{x|1A. a<0
B. a＋b＋c＝0
C. 4a＋2b＋c＝0
D. 不等式cx2－bx＋a<0的解集是
4. 不等式≥0的解集是________．
5. 解下列不等式：
(1) 2x2－5x＋3＜0；
(2) 1－4x2＞4x＋2；
(3) (x－2)(x＋2)＞1.
3．3.2　从函数观点看一元二次不等式(2)
1. 复习巩固一元二次不等式的解法．
2. 能建立适当的数学模型，解决实际应用问题．
活动一 利用三个“二次”的关系解题
例1　(1) 已知不等式ax2＋bx－1>0的解集是{x|3(2) 函数y＝ax3＋bx2＋cx＋d的图象如图所示．
①方程y＝0的解集为_______________________________________________；
②方程y<0的解集为________________________________________________；
③方程y>0的解集为________________________________________________．
若不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为{x|－3＜x＜4}，求不等式bx2＋2ax－c－3b＜0的解集．
1. 一元二次不等式的解集的区间端点，是一元二次不等式对应的二次函数的零点，是一元二次方程的根．借助三个二次的关系可实现问题的相互转化．
2. 这种题型是已知一元二次不等式的解集，根据三个“二次”之间的关系，由解集得到方程的根，巧妙运用根与系数的关系，将所解不等式的“多个参数”化为“一个参数”，从而求解．
活动二 了解不等式模型建立的方法
例2　用一根长为100 m的绳子能围成一个面积大于600 m2的矩形吗？当长、宽分别为多少米时，所围成的矩形的面积最大？
思考
你能用基本不等式求x(50－x)，0利用不等式解应用题的四个步骤：
(1) 阅读理解、认真审题、把握问题中的关键量、找准不等关系；
(2) 引进数学符号，用不等式表示不等关系(或表示成函数关系)；
(3) 解不等式(或求函数的最值)；
(4) 回归实际问题．
活动三 掌握不等式模型的简单应用
例3　某小型服装厂生产一种风衣，日销货量x(单位：件)(x∈N*)与货价p(单位：元/件)之间的关系为p＝160－2x，生产x件所需成本C＝500＋30x(单位：元)，问：该厂日产量多大时，日获利不少于1 300元？
活动四 掌握不等式模型的综合应用
例4　汽车在行驶中，由于惯性的作用，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住，我们称这段距离为“刹车距离”．刹车距离是分析事故产生原因的一个重要因素．在一个限速40 km/h的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了．事后现场勘查测得甲车的刹车距离小于12 m，乙车的刹车距离略超过10 m，又知甲、乙两种车的刹车距离s(单位：m)与车速x(单位：km/h)之间分别有如下关系：s甲＝0.1x＋0.01x2，s乙＝0.05x＋0.005x2.问：甲、乙两车有无超速现象？
某地区上年度电价为0.8元/kW·h，年用电量为a kW·h.本年度计划将电价降低到0.55元/kW·h至0.75元/kW·h之间，而用户期望电价为0.4元/kW·h，经测算，下调电价后新增加的用电量与实际电价和用户期望电价的差成反比(比例系数为0.2a).该地区电力的成本价为0.3元/kW·h. 当电价最低定为多少元时，仍可保证电力部门的收益比上年至少增加20%
注：收益＝实际用电量×(实际电价－成本价)
1. (2024天津大港油田三中期中)若不等式x2－ax－b<0的解集是{x|20的解集为(　　)
A. 　 B.
C. D. {x|－32. 某地每年销售木材约20万立方米，每立方米价格为2 400元，为了减少木材消耗，决定按销售收入的t%征收木材税，这样每年的木材销售量减少t万立方米，为了既减少木材消耗又保证税金收入每年不少于900万元，则t的取值范围是(　　)
A. [1，3] B. [3，5] C. [2，4] D. [4，6]
3. (多选)(2024连云港海滨中学月考)为配制一种药液，进行了两次稀释，先在体积为V的桶中盛满纯药液，第一次将桶中药液倒出5L后用水补满，搅拌均匀，第二次倒出3L后用水补满，若在第二次稀释后桶中药液含量不超过容积的75%，则V的可能取值为(　　)
A. 4 B. 40 C. 8 D. 28
4. (2024江阴六校期中联考)若关于x的不等式x2－(2a＋2)x－b<0的解集为{x|a5. (2024启东中学月考)要建造一个容积为2 400m3，深为6m的长方体无盖蓄水池，池壁的造价为100元/m2，池底的造价为150元/m2，设池底一边长为xm2.
(1) 求当x为何值时，总造价最少？
(2) 若要使水池的总造价控制在12万元以内，求x的取值范围．
3．3.2　从函数观点看一元二次不等式(3)
1. 复习巩固一元二次不等式的解法．
2. 掌握利用一元二次不等式解决含参数、恒成立问题的方法．
活动一　掌握含参不等式的解法　
例1　解关于x的不等式(x－a)(x－a2)＜0(a∈R).
解关于x的不等式＜0(a∈R).
解关于x的不等式≤0(a∈R).
例2　解关于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1＜0(a＜1).
解关于x的不等式x2－(3a－1)x＋(2a2－2)>0.
思考1
对于含参问题，如何确定分类标准？
含参数的一元二次不等式的解题步骤：
(1) 将二次项系数转化为正数；
(2) 判断相应方程是否有根；
(3) 根据根的情况写出相应的解集，若方程有两个相异根，为了正确写出解集还要确定两根的大小．
活动二　掌握不等式恒成立问题　
例3　已知关于x的不等式x2－2x＋k2－1＞0对一切实数x恒成立，求实数k的取值范围．
思考2
若增加条件x∈[－1，1]，则结果如何？
(2024福州期中)已知关于x的不等式ax2－x＋1－a≤0.当3≤x≤4时，不等式ax2－x＋1－a≤0恒成立，求实数a的取值范围．
例4　若关于x的不等式kx2－6kx＋k＋8≥0的解集是R，求实数k的取值范围．
思考3
一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(ax2＋bx＋c<0)(a≠0)恒成立问题的一般处理方法是怎样的？
1. 若y是关于x的函数，x∈D，则y≥a恒成立 ymin≥a成立；y≤a恒成立 ymax≤a成立．
2. ax2＋bx＋c>0恒成立 或
ax2＋bx＋c<0恒成立 或
活动三　理解一元二次方程实数根的分布　
例5　已知关于x的一元二次方程x2＋2mx＋2m＋1＝0.
(1) 若方程有两根，其中一根在区间(－1，0)内，另一根在区间(1，2)内，求m的取值范围；
(2) 若方程两根均在区间(0，1)内，求m的取值范围．
设不等式x2－2ax＋a＋2≤0的解集为A，若A {x|1≤x≤3}，则实数a的取值范围为__________．
思考4
如何解决一元二次方程的实数根的分布问题？
一元二次方程的根的分布讨论：
关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0 (a≠0)，判别式Δ＝b2－4ac.
结论1：方程没有实数根 Δ＜0；方程有两个相等的实数根 Δ＝0；方程有两个不相等的实数根 Δ＞0；方程有实数根 Δ≥0.
结论2：设一元二次方程的两个实根为x1，x2，且x1≤x2.
①x1＞0，x2＞0 　　　　
②x1＜0，x2＜0
③x1＜0＜x2 ＜0.
④x1＝0，x2＞0 c＝0且＜0；
x1＜0，x2＝0 c＝0且＞0.
结论3：下表是以ax2＋bx＋c＝0 (a>0)为例，借助开口方向向上的二次函数的图象给出根的分布的充要条件．
根的分布 二次函数的图象 充要条件
x1x1kk1k11. (2024西宁期末)若不等式ax2＋2x＋a<0对任意x∈R恒成立，则实数a的取值范围为(　　)
A. [－1，0] B. (－∞，－1]
C. (－1，0) D. (－∞，－1)
2. (2024泰安一中月考)若关于x的不等式x2－x＋1<0(a>0)恰有一个整数解，则实数a的取值范围是(　　)
A. ∪(1，2) B. ∪(1，2]
C. D. (0，1)∪(1，2)
3. (多选)(2024深圳期末)对于给定的实数a，关于实数x的一元二次不等式a(x－a)(x－2)<0的解集可能为(　　)
A. (－∞，2)∪(a，＋∞) B. (－∞，a)∪(2，＋∞)
C. (2，a) D.
4. 当x∈(1，2)时，不等式x2＋mx＋4<0恒成立，则实数m的取值范围是________．
5. (2024哈尔滨四中月考)已知二次函数y＝x2＋2ax＋2.
(1) 若当x∈{x|1≤x≤5}时，不等式y>3ax恒成立，求实数a的取值范围；
(2) 求解关于x的不等式2x2＋2－3a2>y的解集(其中a>0).
3．3.2　从函数观点看一元二次不等式(1)
【活动方案】
背景引入：设每册杂志价格提高x元，则发行量减少0.5×＝(万册)，杂志社的销售收入为(2＋x)(10－)万元．根据题意，得(2＋x)(10－)>22.4，化简，得5x2－10x＋4.8＜0.探究　
判别式Δ＝b2－4ac Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0
方程ax2＋bx＋c＝0 的根 有两个相异的实数根 x1，x2(x1二次函数y＝ax2＋bx＋c 的图象
ax2＋bx＋c＞0的解集 (－∞，x1)∪(x2，＋∞) ∪ R
ax2＋bx＋c＜0的解集 (x1，x2)
思考1：方程5x2－10x＋4.8＝0的解为x1＝0.8，x2＝1.2.根据函数y＝5x2－10x＋4.8的图象，可得原不等式的解集为(0.8，1.2).
思考2：当a＜0时，通过不等式两边同乘以－1，将问题转化为二次项系数为正的情形，利用上表解决．
例1　(1) 方程x2－7x＋12＝0的解为x1＝3，x2＝4.
根据y＝x2－7x＋12的图象(图1)，可得原不等式的解集为{x|x<3或x>4}．
(2) 不等式两边同乘以－1，得x2＋2x－3≤0.
方程x2＋2x－3＝0的解为x1＝－3，x2＝1.
根据y＝x2＋2x－3的图象(图2)，可得原不等式的解集为{x|－3≤x≤1}．
(3) 方程x2－2x＋1＝0有两个相同的解x1＝x2＝1.
根据y＝x2－2x＋1的图象(图3)，可得原不等式的解集为 .
(4) 因为Δ<0，所以方程x2－2x＋2＝0无实数解．
根据y＝x2－2x＋2的图象(图4)，可得原不等式的解集为R.
图1 图2 图3 图4
跟踪训练　(1) 因为方程2x2－3x－2＝0的两根是－，2，
所以原不等式的解集为.
(2) 因为Δ＝(－3)2－4×5＝9－20＜0，
所以不等式x2－3x＋5＞0的解集为R.
(3) 原不等式可化为6x2＋x－2≤0，
因为方程6x2＋x－2＝0的两根是－，，
所以原不等式的解集为.
(4) 原不等式可化为4x2－4x＋1≤0，即(2x－1)2≤0，所以原不等式的解集是.
(5) 因为Δ＝(－4)2－4×2×7＜0，
所以不等式2x2－4x＋7＜0的解集为 .
(6) 因为原不等式可化为(x－3)2＞0，
所以原不等式的解集是{x|x∈R，且x≠3}．
例2　(1) 原不等式可化为[(x＋1)－1][ (x＋1)＋4]＞0，即x(x＋5)＞0，
所以原不等式的解集为(－∞，－5)∪(0，＋∞).
(2) 原不等式可化为x2－2x－8＞0，
因为Δ＝(－2)2－4×1×(－8)＞0，
所以方程x2－2x－8＝0的两根是－2，4，
所以原不等式的解集为(－∞，－2)∪(4，＋∞).
(3) 原不等式可化为x2＋3x－1＞0，
因为Δ＝32－4×1×(－1)＞0，
所以方程x2＋3x－1＝0的两根是－－，－＋，
所以原不等式的解集为(－∞，－－)∪(－＋，＋∞).
例3　(1) 原不等式的同解不等式为
解得x＜－4或x＞1，
所以原不等式的解集为{x|x＜－4或x＞1}．
(2) 移项，得－1≤0，左边通分并化简，
得≤0，即x＋7＞0，
所以原不等式的解集为(－7，＋∞).
跟踪训练　(1) 原不等式可化为＞0，
所以(x＋2)(x－1)＞0，且x－1≠0，
解得x＜－2或x＞1，
所以原不等式的解集为{x|x＜－2或x＞1}．
(2) 移项，得－2≤0，左边通分并化简，
得≤0，即≥0，
所以(x－2)(x－5)≥0，且x－2≠0，
解得x<2或x≥5，
所以原不等式的解集为{x|x<2或x≥5}．
【检测反馈】
1. B　由(x－3)(5－x)<0，即(x－3)(x－5)>0，解得x<3或x>5，则不等式(x－3)(5－x)<0的解集为{x|x<3或x>5}．
2. D　由题意，得 <0，即x2－3x＋2<0，解得13. ABD　对于A，因为ax2＋bx＋c>0，不等式的解集为两根之间型，所以a<0，故A正确；对于B，因为ax2＋bx＋c＝0的解为x＝1或x＝3，所以a＋b＋c＝0，故B正确；对于C，因为关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集是{x|10，故C错误；对于D，由B可得－＝4，＝3，所以b＝－4a，c＝3a，则cx2－bx＋a<0，即3ax2＋4ax＋a<0.又a<0，所以3x2＋4x＋1>0，即(3x＋1)(x＋1)>0，所以cx2－bx＋a<0的解集是，故D正确．故选ABD.
4. 　原不等式可化为(3x＋1)(1－4x)≥0，且1－4x≠0，解得－≤x<，故原不等式的解集为.
5. (1) 　(2) 　(3) (－∞，－)∪(，＋∞)
3．3.2　从函数观点看一元二次不等式(2)
【活动方案】
例1　(1) 由题意，得a<0，且x1＝3，x2＝4是方程ax2＋bx－1＝0的两个根，
所以解得
(2) ①{－1，1，2}
②(－∞，－1)∪(1，2)
③(－1，1)∪(2，＋∞)
跟踪训练　因为ax2＋bx＋c＞0的解集为{x|－3＜x＜4}，
所以a＜0，且－3和4是方程ax2＋bx＋c＝0的两个根，
所以即
因为不等式bx2＋2ax－c－3b＜0，
所以－ax2＋2ax＋15a＜0，即x2－2x－15＜0，
解得－3故所求不等式的解集为{x|－3＜x＜5}．
例2　设矩形一边的长为x m，则另一边的长为(50－x)m，其中0由题意，得x(50－x)>600，即x2－50x＋600<0，
解得20所以当矩形一边的长在20 m至30 m的范围内取值时，能围成一个面积大于600 m2的矩形．
用S表示矩形的面积，则S＝x(50－x)＝－(x－25)2＋625(0＜x＜50).
当x＝25时，S取得最大值，此时50－x＝25.
故当矩形长、宽都为25 m时，所围成的矩形的面积最大．
思考：因为0＜x＜50，所以50－x＞0，
所以x(50－x)≤＝625，当且仅当x＝50－x，即x＝25时，取得等号，
所以当x＝25时，x(50－x)取得最大值，此时50－x＝25.
例3　由题意，得(160－2x)x－(500＋30x)≥1 300，即x2－65x＋900≤0，
解得20≤x≤45，
故该厂日产量在20件至45件时，日获利不少于1 300元.
例4　由题意知，对于甲车，有 0.1x＋0.01x2＜12，x>0，即x2＋10x－1 200＜0，x>0，解得0＜x＜30.
这表明甲车的车速低于30 km/h，未超过规定限速．
对于乙车，有0.05x＋0.005x2>10，x>0，
即x2＋10x－2 000>0，x>0
解得x>40.
这表明乙车的车速超过40 km/h，超过规定限速．
故甲车未超过规定限速，乙车超过规定限速．
跟踪训练　设下调后的电价为x元/kW·h，依题意知，年用电量增至＋a，电力部门的收益为y＝(x－0.3)(0.55≤x≤0.75).
依题意，有(x－0.3)≥[a×(0.8－0.3)]×(1＋20%)，
整理，得x2－1.1x＋0.3≥0.
因为0.55≤x≤0.75，所以0.6≤x≤0.75，
故当电价最低定价为0.6元/kW·h时，仍可保证电力部门的收益比上年增加20%.
【检测反馈】
1. A　设x1，x2是方程x2－ax－b＝0的两个根，由题意，得解得所以不等式bx2－ax－1>0可变形为－6x2－5x－1>0，即6x2＋5x＋1<0，解得－0的解集为.
2. B　由题意，得×2 400×≥900，整理，得t2－8t＋15≤0，解得3≤t≤5.
3. CD　第一次稀释后，药液浓度为，第二次稀释后，药液浓度为＝，由题意，得≤75%，即V2－32V＋60≤0，解得2≤V≤30.又V－5≥0，即V≥5，所以5≤V≤30.故选CD.
4. －2或0　由题意知，a5. (1) 设水池的总造价为y元．
因为水池的一边长为x m，
所以另一边为2 400÷6÷x＝(m)，
所以y＝100×6×＋400×150＝1 200(x＋)＋60 000≥1 200×2＋60 000＝108 000，
当且仅当x＝，即x＝20时，等号成立．
故当x＝20时，总造价最少，最少为10.8万元．
(2) 由(1)，得1 200＋60 000≤120 000，
整理，得x2－50x＋400≤0，解得10≤x≤40，
故x的取值范围是[10，40].
3．3.2　从函数观点看一元二次不等式(3)
【活动方案】
例1　当a＝0时，原不等式可化为x2<0，解集为 ；
当a<0时，a当0a2，原不等式的解集为(a2，a)；
当a＝1时，原不等式的解集为 ；
当a>1时，a2>a，原不等式的解集为(a，a2).
跟踪训练1　原不等式等价于(x－a)(x－a2)<0(a∈R)，
当a＝0时，原不等式可化为x2<0，解集为 ；
当a<0时，a当0a2，原不等式的解集为(a2，a)；
当a＝1时，原不等式的解集为 ；
当a>1时，a2>a，原不等式的解集为(a，a2).
跟踪训练2　原不等式等价于(x－a)(x－a2)≤0(a∈R)，且x≠a2，
当a＝0时，原不等式的解集为 ；
当a<0时，a当0a2，原不等式的解集为(a2，a]；
当a＝1时，原不等式可化为(x－1)2≤0，
因为x≠1，所以原不等式的解集为 ；
当a>1时，a2>a，所以原不等式的解集为[a，a2).
例2　当a＝0时，原不等式可化为－x＋1＜0，即x＞1；
当a＜0时，原不等式可化为(x－1)＞0，解得x＜或x＞1；
当0＜a＜1时，原不等式可化为(x－1)＜0，解得1＜x＜.
综上，当a＜0时，原不等式的解集为{x|x＜或x＞1}；当a＝0时，原不等式的解集为{x|x＞1}；当0＜a＜1时，原不等式的解集为.
跟踪训练　原不等式可化为[x－(a＋1)][x－2(a－1)]>0，
当a＋1>2(a－1)，即a<3时，x>a＋1或x<2(a－1)；
当a＋1＝2(a－1)，即a＝3时，x≠4；
当a＋1<2(a－1)，即a>3时，x>2(a－1)或x综上，当a<3时，解集为{x|x>a＋1或x<2(a－1)}；当a＝3时，解集为{x|x≠4}；当a>3时，解集为{x|x>2(a－1)或x思考1：解形如ax2＋bx＋c>0(a≠0)的不等式时，分类讨论的标准有：①讨论a与0的大小；②讨论Δ与0的大小；③讨论两根的大小．
例3　由题意，得4－4(k2－1)<0，解得k<－或k>，故实数k的取值范围是(－∞，－)∪(，＋∞).
思考2：因为y＝x2－2x＋k2－1图象的对称轴是直线x＝1，所以当x＝1时，ymin＝1－2＋k2－1>0，解得k>或k<－，故实数k的取值范围是(－∞，－)∪(，＋∞).
跟踪训练　由题意，得不等式ax2－x＋1－a≤0可化为a(x2－1)≤x－1，
当3≤x≤4时，8≤x2－1≤15，2≤x－1≤3，
所以a≤.
又4≤x＋1≤5，所以≥，
所以实数a的取值范围是.
例4　当k＝0时，8≥0，所以不等式的解集是R；
当k≠0时，由二次函数y＝kx2－6kx＋k＋8的图象，得解得0综上所述，实数k的取值范围是[0，1].
思考3：一般地，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0，x∈R)，
①若y>0对于x∈R恒成立，则
②若y<0对于x∈R恒成立，则
例5　(1) 由题意，得抛物线y＝x2＋2mx＋2m＋1与x轴的交点分别在区间(－1，0)和(1，2)内，
所以当x＝0时，y＝2m＋1＜0；当x＝－1时，y＝2＞0；当x＝1时，y＝4m＋2＜0；当x＝2时，y＝6m＋5＞0，
即解得－＜m＜－，
所以m的取值范围是.
(2) 抛物线与x轴交点均落在区间(0，1)内，对称轴为直线x＝－m，
所以当x＝0时，y＝2m＋1＞0；当x＝1时，y＝4m＋2＞0；Δ＝4m2－8m－4≥0；0＜－m＜1，
即即－＜m≤1－，
所以m的取值范围是.
跟踪训练　　因为不等式x2－2ax＋a＋2≤0的解集为A，且A {x|1≤x≤3}，所以对于方程x2－2ax＋a＋2＝0，若A＝ ，则Δ＝4a2－4(a＋2)＜0，即a2－a－2＜0，解得－1＜a＜2；若A≠ ，则即所以2≤a≤.综上，实数a的取值范围为.
思考4：解一元二次方程的实数根的分布问题，首先要分清对应的二次函数图象的开口方向，及根所在的区间范围，列出有关的不等式或不等式组，进而求解．通常分析三个方面：①端点处函数值的符号；②判别式的符号；③对称轴的位置．
【检测反馈】
1. D　由于不等式ax2＋2x＋a<0对任意x∈R恒成立，当a＝0时，不等式为2x<0，此时x<0，不符合题意；当a≠0时，ax2＋2x＋a<0对任意 x∈R恒成立，则解得a<－1，所以实数a的取值范围为(－∞，－1).
2. B　由题意，得x2－x＋1<0，即(x－a)(x－)<0.令(x－a)＝0，解得x＝a或x＝，且a>0.若a>1>>0，则不等式的解集为{x|3. BCD　由题意，得a≠0，对应的二次方程有两根x1＝a，x2＝2.当a<0时，对应函数的图象开口向下，a<2，解集为(－∞，a)∪(2，＋∞)；当02时，对应函数的图象开口向上，解集为(2，a).故选BCD.
4. (－∞，－5]　设y＝x2＋mx＋4，要使x∈(1，2)时，不等式x2＋mx＋4<0恒成立，则解得m≤－5.
5. (1) 由题意，得不等式y>3ax，即x2－ax＋2>0，则a所以a<.
因为x＋≥2＝2，当且仅当x＝，即x＝∈{x|1≤x≤5}时，等号成立，
所以a<2.
故实数a的取值范围是(－∞，2).
(2) 由题意，得不等式2x2＋2－3a2>y，即x2－2ax－3a2>0，即(x－3a)(x＋a)>0.
由a>0，得3a>－a，所以不等式(x－3a)(x＋a)>0的解集为x>3a或x<－a.
故原不等式的解集为{x|x>3a或x<－a}．