4.1.2　指数幂的拓展 学案（含答案） 2025-2026学年高一数学苏教版（2019）必修第一册

4．1.2　指数幂的拓展
1. 通过对有理数指数幂、实数指数幂含义的认识，了解指数幂的拓展过程.
2. 理解分数指数幂的含义．
3. 能运用有理指数幂的运算性质进行运算和化简，会进行根式与分数指数幂的相互转化.
活动一 分数指数幂
，，，…，它们的值分别为，，，…，那么，，的意义是什么呢？这正是我们将要学习的知识．
思考1
整数指数幂的运算性质有哪些？
思考2
零和负整数指数幂是如何规定的？
思考3
观察下面的变形：(25)2＝210，得＝25.又由5＝，得＝2.
类似地，可以得到＝3，＝3……
从以上式子中，你能总结出怎样的规律？
一般地，我们规定a＝ (a＞0，m，n∈N*，n>1).这就是正数a的正分数指数幂的意义．由此可知，2的意义为2＝.
仿照负整数指数幂的意义，我们规定a－＝(a＞0，m，n∈N*，n>1)，且0的正分数指数幂为0，0的负分数指数幂没有意义．
思考4
规定了分数指数幂的意义后，指数幂的概念就从整数指数推广到了有理数指数，那么整数指数幂的运算性质对于有理数指数幂是否还适用？
例1　求下列各式的值：
(1) 100；　　　　　　(2) 8；
(3) 9－； (4) .
求下列各式的值：
(1) 27； (2) 25－；
(3) ； (4) .
在进行求解时，首先要将比较大的整数化成比较小的整数的指数幂的形式，还要熟练掌握分数指数幂的运算性质，化负指数为正指数，同时还要注意运算的顺序问题．
活动二　用分数指数幂表示根式　
例2　用分数指数幂的形式表示下列各式(a>0)：
(1) a2；　　(2) ；　　(3) .
用分数指数幂的形式表示下列各式(a>0)：a3·；a2·；.
思考5
我们已将指数式ax中的指数x从整数推广到分数(有理数)，是否还可以将指数推广到无理数呢？例如，“2”有意义吗？
活动三　分数指数幂的应用　
例3　化简下列各式(a＞0，b＞0)：
(1) ÷；
(2) .
一般地，进行指数幂运算时，可按系数、同类字母归在一起，分别计算；化负指数为正指数，化小数为分数进行运算，便于进行乘除、乘方、开方运算，可以达到化繁为简的目的．
化简下列各式(a>0)：
(1) ；
(2) ÷.
例4　求下列各式的值：
(1) ＋2-2×(2.25)－－；
(2) (0.064)－－＋[(－2)3]－＋16-0.75＋|－0.01|.
计算下列各式的值：
(1) (0.008 1)－÷－10×0.027；
(2) 1.5－×＋80.25×＋(×)6－.
1. 式子中既含有分数指数幂，又含有根式时，为了方便计算应该把根式统一化成分数指数幂的形式，再根据运算性质运算．
2. 对于计算结果，并不强求用统一的形式来表示，如果没有特别的要求，一般用分数指数幂的形式表示，但结果不能同时含有根式和分数指数幂，也不能既有分数又含有负指数．
活动四　条件求值问题　
例5　已知a2x＝＋1，求的值．
已知a，b分别为x2－12x＋9＝0的两根，且a1. 条件求值是代数式求值中的常见题型，一般要结合已知条件先化简再求值，另外要特别注意条件的应用，如条件中的隐含条件、整体代入等，可以简化解题过程.
2. 解决此类问题的一般步骤：
1. 将5写成根式，正确的是(　　)
A. B.
C. D.
2. (2024常州北郊高级中学期中)设a>0，则的分数指数幂形式为(　　)
A. a B. a
C. a3 D. a
3. (多选)(2024上饶扬帆中学月考)下列根式与分数指数幂的互化中，正确的是(　　)
A. ＝y
B. y－＝(y>0)
C. x－＝－(x≠0)
D. []＝x(x>0)
4. (2024南京期中)设a>0，若－＝，则a＋a－的值是________．
5. (2024耒阳一中期中)
(1) 求(1.5)-2＋－π0－的值；
(2) 已知10α＝3，10β＝4，求10α＋β及10α－的值．
4．1.2　指数幂的拓展
【活动方案】
思考1：①am·an＝am＋n；②(am)n＝amn；
③＝am－n(a≠0)；④(a·b)m＝am·bm.
思考2：规定：a0＝1(a≠0)；00无意义，
a－n＝(a≠0).
思考3：这表明，当m被n整除时，就有＝a(a＞0，m，n∈N*，n>1).
思考4：由于整数指数幂、分数指数幂都有意义，因此，有理数指数幂是有意义的，整数指数幂的运算性质，可以推广到有理数指数幂，即：
①atas＝at＋s(a>0，t，s∈Q)；
②(at)s＝ats(a>0，t，s∈Q)；
③(ab)t＝atbt(a>0，b>0，t∈Q).
例1　(1) 100＝(102)＝102×＝10.
(2) 8＝(23)＝23×＝22＝4.
(3) 9－＝(32)－＝3-3＝.
(4) ＝(3-4)－＝33＝27.
跟踪训练　(1) 27＝(33)＝32＝9.
(2) 25－＝(52)－＝5-3＝.
(3) ＝(3-1)-4＝34＝81.
(4) ＝＝＝.
例2　(1) a2＝a2·a＝a2+＝a.
(2) ＝＝a－.
(3) ＝(a)＝(a·a)＝(a)＝a.
跟踪训练　a3·＝a3·a＝a3+＝a.
a2·＝a2·a＝a2+＝a.
＝＝＝(a)＝a.
思考5：利用计算器，可以计算出下表中的数值：
x 2x 用计算器计算2x的值
1 21 2
1.4 21.4 2.639 015 821 …
1.41 21.41 2.657 371 628 …
1.414 21.414 2.664 749 650 …
1.414 2 21.414 2 2.665 119 088 …

？ ？
随着x的取值越来越接近于，2x的值也越来越接近于一个实数，我们把这个实数记为2.
一般地，当a＞0且x是一个无理数时，ax也是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质对无理数指数幂同样适用．
以后可以证明，当a＞0，a≠1，N＞0时，一定有唯一的实数x，满足ax＝N.
例3　(1) 原式＝[2×(－6)÷(－3)]·＝4ab0＝4a.
(2) 原式＝(a)8(b－)8＝a2b-3＝.
跟踪训练　(1) 原式＝＝＝a0＝1.
(2) 原式＝[·]÷[·]＝＝a0＝1.
例4　(1) 原式＝1＋×－＝1＋×－＝1＋－＝.
(2) 原式＝[(0.4)3]－－1＋(－2)-4＋(24)-0.75＋[(0.1)2]＝(0.4)-1－1＋＋＋0.1＝.
跟踪训练　(1) 原式＝(0.34)－÷－10×(0.33)＝0.3-1÷－3＝×－3＝2.
(2) 原式＝×1＋(23)×2＋(2×3)6－＝2＋4×27＝110.
例5　令ax＝t，则t2＝＋1，所以＝＝＝t2＋t-2－1＝＋1＋－1＝＋1＋－1－1＝2－1.
跟踪训练　＝＝.①
由题意，得a＋b＝12，ab＝9，②
所以(a－b)2＝(a＋b)2－4ab＝122－4×9＝108.
因为a将②③代入①，得＝＝－.
【检测反馈】
1. D　5＝.
2. D　因为a>0，所以＝＝(a1+)＝＝a.
3. BD　对于A，当y<0时，＝－y，故A错误；对于B，y－＝＝(y>0)，故B正确；对于C，x－＝＝(x≠0)，故C错误；对于D，[]＝()＝(x)＝x(x>0)，故D正确．故选BD.
4. 3　因为－＝4，所以＝9.又＋>0，所以＋＝3.
5. (1) 原式＝＋－1－＝＋－1－＝＋－＝＋－＝＋－＝.
(2) 因为10α＝3，10β＝4，
所以10α＋β＝10α×10β＝3×4＝12，
10α－＝＝＝＝.