4.2.2 对数的运算性质 学案（含答案） 2025-2026学年高一数学苏教版（2019）必修第一册

4．2.2　对数的运算性质(1)
1. 理解对数的运算性质，并掌握推导这些性质的依据和方法.
2. 弄清对数运算性质成立的条件，并能较灵活地运用性质解决问题.
3. 在对数的运算性质的形成过程中，感受化归与转化的思想，感受数学抽象的魅力，体会逻辑推理的作用．
活动一 对数运算性质
我们已经知道，指数幂运算有相关的性质，那么，对数运算又有怎样的性质呢？
思考1
指数幂运算有哪些性质？
思考2
指数式与对数式的互化公式是怎样的？
思考3
根据对数的定义及对数与指数的关系，你能解答下列问题吗？
(1) 设loga2＝m，loga3＝n，求am＋n的值；
(2) 设logaM＝m，logaN＝n，试利用m，n表示loga(M·N).
在思考3的第(2)题中，我们得到loga(M·N)＝m＋n，又由logaM＝m，logaN＝n，进行m，n的代换后得到对数的一条运算性质，即loga(M·N)＝logaM＋logaN.
思考4
同样地，由am÷an＝am－n和(am)n＝amn，可得到对数运算的其他性质：loga＝logaM－logaN；logaMn＝nlogaM(a>0，且a≠1，M>0，N>0，n∈R).你能不能推导出来呢？
上述证明是运用转化的思想，先通过假设，将对数式化成指数式，并利用幂的运算性质进行恒等变形，然后再根据对数的定义将指数式化成对数式．对数运算性质可以用简易语言表达：“积的对数＝对数的和”“商的对数＝对数的差”“正数的n次方的对数＝正数的对数的n倍”．有时可逆用运算性质，如lg 5＋lg 2＝lg 10＝1.
例1　求下列各式的值：
(1) log2(23×45)；
(2) log5125.
这类问题一般有两种处理方法：一种是将式中真数的积、商、幂、方根运用对数的运算法则将它们化为对数的和、差、积、商，然后化简求值；
另一种方法是将式中的对数的和、差、积、商运用对数的运算法则将它们化为真数的积、商、幂、方根，然后化简求值．
要特别注意loga(MN)≠logaM·logaN，loga(M±N)≠logaM±logaN.
用logax，logay，logaz表示下列各式：
(1) loga；
(2) loga.
活动二　对数运算性质的应用　
例2　已知lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1，求下列各式的值(结果保留4位小数)：
(1) lg 12；　　　　　(2) lg .
将待求式子用已知式子中的对数表示，关键是建立对数式底数与真数的联系，在运算过程中应注意运算性质的灵活运用．
已知lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1，求下列各式的值(结果保留4位小数)：
(1) lg 18；　　　　　(2) lg .
活动三 利用对数运算性质求值或化简　　
例3　计算或化简下列各式：
(1) (lg 2)2＋lg 2×lg 5＋lg 50；
(2) log2(1＋＋)＋log2(1＋－)；
(3) loga＋loga＋loga(a＞0，a≠1).
利用对数的运算性质解决问题的一般思路：
(1) 把复杂的真数化简；
(2) 正用公式：将式中真数的积、商、幂、方根运用对数的运算法则将它们化为对数的和、差、积、商再化简；
(3) 逆用公式：将式中对数的和、差、积、商运用对数的运算法则，将它们化为真数的积、商、幂、方根，然后化简求值．
计算下列各式的值：
(1) lg －lg ＋lg ；
(2) lg 25＋lg 8＋lg 5×lg 20＋(lg 2)2.
1. 已知a2＝(a>0)，则a的值是(　　)
A. B. C. D. 2
2. (2024上海长宁期末)若ln a与ln b互为相反数，则下列说法中正确的是(　　)
A. a＋b＝1 B. a－b＝1 C. ＝1 D. ab＝1
3. (多选)若a>0，a≠1，x>0，y>0，x>y，n∈N*，n>1，则下列式子中正确的是(　　)
A. logax·logay＝loga(x＋y) B. logax－logay＝loga(x－y)
C. loga＝logax－logay D. loga＝logax
4. (2024徐州期中)ln 1＋lg 2＋3lg 5－lg ＝________．
5. 计算下列各式的值：
(1) log535＋2－log5－log514；
(2) [(1－log63)2＋log62×log618]÷log64.
4．2.2　对数的运算性质(2)
1. 进一步熟悉对数的运算性质，并能灵活地运用性质解决问题.
2. 掌握换底公式，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数．
3. 掌握对数的实际应用．
活动一 换底公式
思考1
假设＝x，则log25＝xlog23，即log25＝log23x，从而有3x＝5，进一步可得到什么结论？
思考2
怎样用常用对数表示log35
例1　证明：logaN＝，其中a>0，a≠1，N>0，c>0，c≠1.
一般地，logaN＝，其中a>0，a≠1，N>0，c>0，c≠1. 这个公式称为对数的换底公式，用语言可表示为：一个对数可以用同底数的两个对数的商来表示.
活动二 利用换底公式化简求值
例2　求log89×log332的值．
计算：
(1) log225×log3×log5；
(2) (log43＋log83)×.
利用换底公式计算、化简、求值问题的方法：
(1) 先利用对数的运算法则及性质进行部分运算，最后再换成统一底．
(2) 一次性地统一换为常用对数(或自然对数)，再化简、通分、求值．
活动三　用已知对数表示其他对数　
例3　已知log23＝a，log37＝b，用a，b表示log4256.
已知log189＝a，18b＝5，用a，b表示log3645.
用已知对数的值表示所求对数的值，要注意以下几点：
(1) 增强目标意识，合理地把所求向已知条件靠拢，巧妙代换；
(2) 巧用换底公式，灵活“换底”是解决这种类型问题的关键；
(3) 注意一些派生公式的使用．
活动四　对数的实际应用　
例4　要测定古物的年代，可以用放射性碳法：在动植物的体内都含有微量的放射性14C.动植物死亡后，停止了新陈代谢，14C不再产生，且原有的14C会自动衰变，经过5 730年(14C的半衰期)，它的残余量只有原始量的一半，经过科学测定，若14C的原始含量为1，则经过x年后的残留量为y＝0.999 879x.用放射性碳法，测得我国辽东半岛普兰店附近的泥炭中发掘出的古莲子中14C的残余量占原来的87.9%，试推算古莲子的生活年代．(lg 0.879≈－0.056 0，lg 0.999 879≈－5.255 3×10-5，结果保留整数)
　　
利用换底公式可推导出下面的结论：
(1) logambn＝logab；
(2) logab＝(或logab·logba＝1).
一种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年，这种物质的剩余质量约是原来的75%，估计经过多少年，该物质的剩余量是原来的？(结果精确到个位，lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1)
1. 已知lg 2＝a，lg 3＝b，则log36的值是(　　)
A. B. C. D.
2. (2024宿迁中学期中)计算的结果是(　　)
A. B. － C. D. －
3. (多选)已知a＝log62，36b＝9，则下列结论中正确的是(　　)
A. b＝log63 B. ab＝1 C. log618＝2－a D. ＝log32
4. (2024上海交通大学附中月考)我们在语文课上学过《劝学》，其中说：“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海．”在“进步率”和“退步率”都是1%的前提下，我们可以把(1＋1%)365看作是经过365天的“进步值”，(1－1%)365看作是经过365天的“退步值”，则大约经过________天时，“进步值”大约是“退步值”的100倍．(参考数据：lg 101≈2.004 3，lg 99≈1.995 6)
5. (2024临沂期末)计算：(lg 5)2＋lg 2×lg 5＋lg 2＋(log52＋log252)×log85.
4．2.2　对数的运算性质(1)
【活动方案】
思考1：am·an＝am＋n；am÷an＝am－n；(am)n＝amn；(ab)t＝atbt.
思考2：ab＝N logaN＝b(a>0，a≠1，N>0).
思考3：(1) 由loga2＝m，得am＝2；由loga3＝n，得an＝3，所以am＋n＝am·an＝2×3＝6.
(2) 由logaM＝m，得am＝M；由logaN＝n，得 an＝N，
所以M·N＝am·an＝am＋n，所以loga(M·N)＝m＋n.
思考4：令M＝am，N＝an，则＝am÷an＝am－n，
所以m－n＝loga.
又M＝am，N＝an，所以m＝logaM，n＝logaN，
所以logaM－logaN＝m－n＝loga.
当n≠0时，令logaM＝p，由对数定义可得
M＝ap，所以Mn＝(ap)n＝anp，
所以logaMn＝np，将logaM＝p代入，
即证得logaMn＝nlogaM.
当n＝0时，显然成立，所以logaMn＝nlogaM.
例1　(1) log2(23×45)＝log223＋log245＝3＋5log24＝3＋5×2＝13.
(2) log5125＝log553＝3log55＝3.
跟踪训练　(1) loga＝loga(xy)－logaz＝logax＋logay－logaz.
(2) loga＝loga(x2)－loga＝logax2＋loga－loga＝2logax＋logay－logaz.
例2　(1) lg 12＝lg (22×3)＝lg 22＋lg 3＝2lg 2＋lg 3≈2×0.301 0＋0.477 1＝1.079 1.
(2) lg ＝lg 33－lg 24＝3lg 3－4lg 2≈3×0.477 1－4×0.301 0＝0.227 3.
跟踪训练　(1) lg 18＝lg (2×32)＝lg 2＋lg 32＝lg 2＋2lg 3≈0.301 0＋2×0.477 1＝1.255 2.
(2) 方法一：lg ＝lg 45＝lg ＝(lg 9＋lg 10－lg 2)＝(2lg 3＋1－lg 2)＝lg 3＋－lg 2≈0.477 1＋0.5－0.5×0.301 0＝0.826 6.
方法二：lg ＝lg 45＝lg (5×9)＝(lg 5＋2lg 3)＝(1－lg 2＋2lg 3)＝－lg 2＋lg 3≈0.5－0.5×0.301 0＋0.477 1＝0.826 6.
例3　(1) 原式＝lg 2(lg 2＋lg 5)＋lg (5×10)＝lg 2×lg 10＋lg 5＋lg 10＝lg 2＋lg 5＋1＝1＋1＝2.
(2) 原式＝log2[(1＋＋)(1＋－)]＝log2[(1＋)2－3]＝log2(3＋2－3)＝log22＝.
(3) 原式＝logaa＋logaa－n＋logaa－＝logaa－nlogaa－logaa＝－n－＝－n.
跟踪训练　(1) 方法一：原式＝(5lg 2－2lg 7)－×lg 2＋(2lg 7＋lg 5)＝lg 2－lg 7－2lg 2＋lg 7＋lg 5＝lg 2＋lg 5＝(lg 2＋lg 5)＝lg 10＝.
方法二：原式＝lg －lg 4＋lg 7＝lg ＝lg (×)＝lg ＝.
(2) 原式＝2lg 5＋2lg 2＋lg 5(2lg 2＋lg 5)＋(lg 2)2＝2lg 10＋(lg 5＋lg 2)2＝2＋(lg 10)2＝2＋1＝3.
【检测反馈】
1. D　由a2＝(a>0)，得a＝，所以＝＝2.
2. D　因为ln a与ln b互为相反数，所以ln a＋ln b＝0，即ln ab＝0，所以ab＝1.
3. CD　根据对数的运算性质loga＝logax－logay，loga(xy)＝logax＋logay，知A，B错误，C正确；又loga＝logax＝logax，故D正确．故选CD.
4. 3　原式＝0＋lg ＝lg 1 000＝lg 103＝3.
5. (1) 原式＝log5 ＋22＝log553－1＝2.
(2) 原式＝[(log66－log63)2＋log62×log6(2×32)]÷log64＝[(log62)2＋log62×(log62＋log632)]÷log622＝[2(log62)2＋2log62×log63]÷(2log62)＝log62＋log63＝log6(2×3)＝1.
4．2.2　对数的运算性质(2)
【活动方案】
思考1：将3x＝5化为对数式为log35＝x，又因为x＝，所以log35＝.
思考2：设t＝log35，则3t＝5. 两边取常用对数，得lg 3t＝lg 5，即t lg 3＝lg 5，所以t＝，故log35＝.
例1　设t＝logaN，则at＝N. 两边取以c为底的对数，得logc(at)＝logcN，即tlogca＝logcN，所以t＝，故logaN＝.
例2　原式＝×＝×＝.
跟踪训练　(1) 原式＝log252×log32-4×log53-2＝××＝16.
(2) 原式＝×＝×lg 2＝.
例3　因为log23＝a，所以＝log32.
又因为log37＝b，所以log4256＝＝＝.
跟踪训练　方法一：因为log189＝a，所以9＝18a.
又5＝18b，所以log3645＝log2×18(5×9)
＝log2×1818a＋b＝(a＋b)·log2×1818.
又因为log2×1818＝＝
＝＝＝，
所以原式＝.
方法二：因为18b＝5，所以log185＝b，
所以log3645＝＝
＝＝
＝＝.
例4　由题设可知，原始量为1的14C经过x年后的残余量是y＝0.999 879x.
由y＝87.9%＝0.879可知0.879＝0.999 879x，
两边取常用对数，得x lg 0.999 879＝lg 0.879，
所以x＝≈1 066.
故古莲子约是1 066年前的产物．
跟踪训练　设这种放射性物质最初的质量是1，经过x年后，剩余量是y，则有y＝0.75x.
依题意，得＝0.75x，即x＝＝＝≈≈4，
所以大约经过4年，该物质的剩余量是原来的.
【检测反馈】
1. B　因为lg 2＝a，lg 3＝b，所以log36＝＝＝.
2. B　原式＝log(2－1)2＝－log22＝－.
3. AC　对于A，因为36b＝9，所以b＝log369＝log6232＝log63，故A正确；对于B，因为04. 230　设大约经过n天，“进步值”大约是“退步值”的100倍，则此时进步值为(1＋1%)n＝1.01n，退步值为(1－1%)n＝0.99n，所以＝100，解得n＝100＝≈≈230.
5. 原式＝lg 5×(lg 5＋lg 2)＋lg 2＋(log52＋log522)×log235
＝lg 5＋lg 2＋×log25
＝1＋×log25
＝1＋××log52×log25＝.