第2章 常用逻辑用语 本章复习 学案（含答案） 2025-2026学年高一数学苏教版（2019）必修第一册

第2章　常用逻辑用语 本 章 复 习
1. 理解命题与定理、定义之间的关系，理解充分条件、必要条件、充要条件的含义，理解判定定理、性质定理、定义分别与充分条件、必要条件、充要条件的关系．
2. 会用全称量词与存在量词描述一些数学命题，能正确地写出全称量词命题与存在量词命题的否定．
3. 会使用常用逻辑用语表达数学对象、进行数学推理，体会常用逻辑用语在表述数学内容和论证数学结论中的作用，提高交流的严谨性与准确性．
活动一 知识整合
1. 知识结构框图：
2. 知识能力整合：
(1) 充分条件、必要条件、充要条件
(2) 量词
文字语言，数学符号
全称量词命题与存在量词命题的一般形式
全称量词命题与存在量词命题的否定
活动二 掌握命题的判断
例1　将下列命题改为“若p，则q”的形式，并判断命题的真假．
(1) 相切两圆的连心线过切点；
(2) 在平面中，没有公共点的两条直线平行；
(3) 函数y＝2x－3是一次函数；
(4) 已知二次函数y＝x2＋bx＋c，如果当x＝t时，y<0，那么方程x2＋bx＋c＝0有一个根小于t，另一个根大于t.
活动三 理解充要条件
例2　(1) 设x，y∈R，“x≥2且y≥2”是“x2＋y2≥4”的什么条件？请说明理由；
(2) 是否存在实数p，使“4x＋p<0”是“x－2>0或3x＋3<0”的充分条件？如果存在，求出p的取值范围；如果不存在，请说明理由．
例3　已知命题p：4－x≤6，q：x≥a－1，若p是q的充要条件，求a的值．
活动四 理解量词的概念
例4　先判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，再写出命题的否定，并判断其真假．
(1) 有些质数是奇数；
(2) 所有二次函数的图象都开口向上；
(3) x0∈Q，x＝5；
(4) 不论m取何实数，方程x2＋2x－m＝0都有实数根．
1. (2024山东昌乐二中月考)甲、乙、丙三位同学被问到是否去过 A，B，C三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市；乙说：我没去过C城市；丙说：我们三人去过同一个城市，则乙一定去过的城市为(　　)
A. 无法判断 B. C C. B D. A
2. (2024龙岩月考)设a∈R，则“a>1”是“a2>1”的(　　)
A. 充分且不必要条件 B. 必要且不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件
3. (多选)(2024信阳期中)下列说法中，正确的有(　　)
A. 命题“ x∈R，x2－2x＋3>0”的否定是“ x∈R，x2－2x＋3≤0”
B. 设M?N，则“x M”是“x N”的必要且不充分条件
C. 命题“ x∈R，x2≤|x|”的否定是“ x∈R，x2>|x|”
D. “a>1且b>1”是“a＋b>2且ab>1”的充分且不必要条件
4. 若命题“ x∈R，x2＋x＋a－1≠0”是假命题，则实数a的取值范围为________．
5. (2024常州戚墅堰高级中学月考)已知命题p： x∈R，mx2－mx－1≥0为假命题．
(1) 求实数m的取值集合A；
(2) 已知集合B＝{x|2a－1≤x≤3a－1}，若“x∈A”是“x∈B”的必要且不充分条件，求实数a的取值范围．
本 章 复 习
【活动方案】
例1　(1) 若一条直线经过相切两圆的圆心，则它也经过这两圆的切点．真命题．
(2) 在平面中，若两条直线没有公共点，则这两条直线平行．真命题．
(3) 若一个函数是y＝2x－3，则这个函数是一次函数．真命题．
(4) 已知二次函数y＝x2＋bx＋c，若当x＝t时，y<0，则方程x2＋bx＋c＝0有一个根小于t，另一个根大于t.真命题．
例2　(1) 因为x≥2且y≥2 x2＋y2≥4, x2＋y2≥4D/ x≥2且y≥2，如x＝－2，y＝1，所以“x≥2且y≥2”是“x2＋y2≥4”的充分且不必要条件．
(2) 因为4x＋p<0，所以x<－.
因为x－2>0或3x＋3<0，所以x>2或x<－1.
因为“4x＋p<0”是“x－2>0或3x＋3<0”的充分条件，所以－≤－1，解得p≥4，
故存在实数p，使“4x＋p<0”是“x－2>0或3x＋3<0”的充分条件，实数p的取值范围为[4，＋∞).
例3　由题意，得p：x≥－2，q：x≥a－1.因为p是q的充要条件，所以a－1＝－2，即a＝－1.
例4　(1) “有些质数是奇数”是存在量词命题，它的否定为“所有质数都不是奇数”，假命题．
(2) “所有二次函数的图象都开口向上”是全称量词命题，它的否定为“有些二次函数的图象不是开口向上”，真命题．
(3) “ x0∈Q，x＝5”是存在量词命题，它的否定为“ x∈Q，x2≠5”，真命题．
(4) “不论m取何实数，方程x2＋2x－m＝0都有实数根”是全称量词命题，它的否定为“存在实数m，使得方程x2＋2x－m＝0没有实数根”，真命题．
【检测反馈】
1. D　由题意，得甲去过两个城市，乙去过一个城市．因为甲没去过B城市，所以甲去过A和C城市. 又乙没去过C城市且和甲去过同一城市，所以乙一定去过A城市，
2. A　由a2>1，得a>1或a<－1.因为{a|a>1}真包含于{a|a>1或a<－1}，所以“a>1”是“a2>1”的充分且不必要条件．
3. BCD　对于A，因为命题“ x∈R，x2－2x＋3>0”为全称量词命题，所以其否定是“ x∈R，x2－2x＋3≤0”，故A错误；对于B，由M为N的真子集，得 RN为 RM的真子集，则“x N”可以推出“x M”，但“x M”不能推出“x N”，所以“x M”是“x N”的必要且不充分条件，故B正确；对于C，“ x∈R，x2≤|x|”的否定是“ x∈R，x2>|x|”，故C正确；对于D，由“a>1且b>1”可得“a＋b>2且ab>1”，反过来，取a＝3，b＝，满足“a＋b>2且ab>1”，但不满足“a>1且b>1”，所以“a>1且b>1”是“a＋b>2且ab>1”的充分且不必要条件，故D正确．故选BCD.
4. 　由题意可得“ x∈R，x2＋x＋a－1＝0”为真命题，所以Δ＝12－4(a－1)≥0，解得a≤，故实数a的取值范围为.
5. (1) 因为命题p： x∈R，mx2－mx－1≥0为假命题，
所以命题 x∈R，mx2－mx－1<0为真命题，
当m＝0时，－1<0恒成立，符合题意；
当m≠0时，解得－4综上，实数m的取值集合A＝{m|－4(2) 因为“x∈A”是“x∈B”的必要且不充分条件，
所以B真包含于A.
又B＝{x|2a－1≤x≤3a－1}，
当2a－1>3a－1，即a<0时，B＝ ，符合题意；
当B≠ 时，解得0≤a≤.
综上，实数a的取值范围为.