第4章 指数与对数 本章复习 学案（含答案） 2025-2026学年高一数学苏教版（2019）必修第一册

第4章　指数与对数 本 章 复 习
1. 了解n次方根与根式的概念及其性质．
2. 了解指数幂的拓展过程，掌握指数幂的运算性质．
3. 理解对数的概念和运算性质，掌握换底公式，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数．
4. 体会转化与化归思想在指数和对数运算问题中的应用．
活动一 构建知识网络
1. 　2. 　
3.
活动二　根式与指数幂的运算　
1. ()n与的区别：()n与这两个式子非常相似，但是差别很大，一定要注意区别(可以类比平方根、立方根记忆．n为偶数时类比平方根，n是奇数时类比立方根).
(1) 当n为大于1的奇数时，对于任意a∈R都有意义，它表示a在实数范围内唯一的n次方根，()n＝a.
(2) 当n为大于1的偶数时，只有当a≥0时有意义，当a<0时无意义，(a≥0)表示a在实数范围内的一个n次方根，另一个是－，(±)n＝a.
(3) 式子对于任意a∈R都有意义，当n为奇数时，＝a；当n为偶数时，＝|a|＝　
2. 分数指数幂的规定
(1) 正数的正分数指数幂的意义：a＝(a>0，m，n均为正整数).
(2) 正数的负分数指数幂的意义：a－＝＝(a>0，m，n均为正整数).
(3) 0的正分数指数幂为0，0的负分数指数幂没有意义．
3. 实数指数幂的运算性质
(1) asat＝as＋t；
(2) (as)t＝as t；
(3) (ab)t＝atbt，其中s，t∈R，a>0，b>0.
例1　(1) 化简：(a>0，b>0)；
(2) 计算：－2×()－＋－6×(－)-4.
化简下列各式(a>0，b>0)：
(1) (ab)(－2ab)÷(ab)；
(2) ÷(1－2)·.
解决根式与分数指数幂的化简或求值问题的通法：
(1) 利用分数指数幂的性质进行根式运算时，其顺序是先将根式化为分数指数幂，再根据分数指数幂的运算性质进行化简或计算，同时需注意化简结果形式要统一，即结果中根式与分数指数幂不能同时存在．
(2) 一般地，遇到小数应化成分数；遇到指数是负数，可以对调底数的分子与分母，将负指数变成正指数．
活动三　对数运算性质的应用　
例2　求下列各式的值：
(1) log2.56.25＋lg 0.01＋ln －21＋log23；
(2) 27－2log23×log2＋2lg (＋)；
(3) .
计算：
(1) log2(47×82)＋(lg 5)2＋lg 2×lg 50；
(2) lg 14－2lg ＋lg 7－lg 18＋6lg .
1. 解决对数运算性质的应用的通法：
对数的运算、化简需要用到对数的运算性质，要养成正用、逆用、变形应用公式的习惯．应用对数恒等式alogaN＝N时，一定要注意公式的结构，当指数的底数与对数的底数是同一个数时，才能使用该公式．
2. 对数式的化简与求值的常用方法和技巧：
(1) 对于同底的对数的化简要用的方法是：①“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数；②“拆”，将积(商)的对数拆成两对数的和(差).
(2) 对于常用对数的化简要充分利用“lg 5＋lg 2＝1”来解题．
(3) 对于有多重对数符号的对数的化简，应从内向外逐层化简求值．
(4) 要充分运用“以1为真数的对数等于0，以底数为真数的对数等于1”等对数的运算性质.
活动四　换底公式的应用　
例3　若log23＝a，log52＝b，试用a，b表示log245.
已知log8a＋log4b2＝5，log8b＋log4a2＝7，a>0，b>0，求log2(ab)的值．
解决换底公式的应用问题的通法：
利用换底公式“化异为同”是解决有关对数问题的基本思想方法，它在求值和恒等变形中起了重要作用，在解题中需要注意：①针对具体问题，选择恰当的底数；②注意换底公式与对数运算法则结合使用；③换底公式的正用与逆用；④变形公式可以简化运算．
活动五　与指数、对数有关的应用问题　
例4　我们知道，燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬．研究燕子的科学家发现，两岁燕子的飞行速度v＝5log2(单位：m/s)，其中Q表示燕子的耗氧量，则一只两岁燕子静止时的耗氧量是________单位．
地震的震级R与地震释放的能量E的关系为R＝(lg E－11.4).A地地震级别为9.0级，B地地震级别为8.0级，那么A地地震释放的能量是B地地震释放能量的________倍．
1. 若a＜1，则化简的结果是(　　)
A. B. － C. D. －
2. (2024西安期末)星等是衡量天体光度的量．为了衡量星星的明暗程度，古希腊天文学家喜帕恰斯在公元前二世纪首先提出了星等这个概念，例如：2等星的星等值为2.已知两个天体的星等值m1，m2和它们对应的亮度E1，E2满足关系式m2－m1＝－2.5lg (E1>0，E2>0)，则下列说法中正确的是(　　)
A. 2等星的亮度是7等星亮度的100倍
B. 7等星的亮度是2等星亮度的100倍
C. 2等星的亮度是7等星亮度的10倍
D. 7等星的亮度是2等星亮度的10倍
3. (多选)下列等式中，恒成立的为(　　)
A. ＝a(a∈R，n∈N，n＞1) B. 若a∈R，则(a2＋2a＋3)0＝1
C. log23×log35×log516＝4 D. logax2＝2logax(a＞0，a≠1，x≠0)
4. 已知lg 3＝a，lg 5＝b，则log915＝________．(用含a和b的式子表示)
5. (1) 计算：(lg 5)2－(lg 2)2＋8×lg －0.60＋0.2-1；
(2) 已知2m＝18n＝6，求＋的值．
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【活动方案】
例1　(1) 原式＝＝＝.
(2) 原式＝16－2×(6－)－＋－9×-2＝16－2＋5＋2－4＝17.
跟踪训练　(1) 原式＝－8＝－8ab.
(2) 原式＝÷·a＝··a＝a.
例2　(1) 原式＝2－2＋－2×3＝－.
(2) 原式＝(33)－3×(－3)＋lg (＋)2＝9＋9＋lg [3＋＋2＋3－]＝18＋1＝19.
(3) 原式＝
＝＝＝1.
跟踪训练　(1) 原式＝log2(214×26)＋(lg 5)2＋lg 2×(lg 5＋1)＝log2220＋(lg 5)2＋lg 2×lg 5＋lg 2＝20＋lg 5(lg 5＋lg 2)＋lg 2＝21.
(2) 原式＝lg 14－lg ＋lg 7－lg 18＋6×lg 100＝lg ＋4＝lg 1＋4＝4.
例3　因为log245＝log2(5×9)＝log25＋log29＝log25＋2log23，log52＝b，所以log245＝2a＋＝.
跟踪训练　因为log8a＋log4b2＝5，log8b＋log4a2＝7，
所以＋＝5，＋＝7，
所以＋＝5，＋＝7，
所以lg a＋3lg b＝15lg 2，lg b＋3lg a＝21lg 2，
所以ab3＝215, ba3＝221，
所以(ab)4＝236，
所以ab＝29，
所以log2(ab)＝log229＝9.
例4　10　由题意知，当燕子静止时，它的速度v＝0，代入已知函数关系式可得0＝5log2，解得Q＝10，即一只两岁燕子静止时的耗氧量是10单位．
跟踪训练　10　由R＝(lg E－11.4)，得R＋11.4＝lg E，故E＝10.设A地和B地地震释放的能量分别为E1，E2，则＝＝10＝10，即A地地震释放的能量是B地地震释放能量的10倍．
【检测反馈】
1. C　因为a＜1，所以a－1＜0，所以＝.　
2. A　设2等星的亮度是x，7等星亮度是y，则7－2＝－2.5lg ，解得lg ＝－2，所以＝，故2等星的亮度是7等星亮度的100倍．
3. BC　对于A，若n为偶数，a为负数，则不成立，故A错误；对于B，因为a2＋2a＋3＝(a＋1)2＋2≠0，所以(a2＋2a＋3)0＝1，故B正确；对于C，log23×log35×log516＝××＝＝＝4，故C正确；对于D，若x为负数，则不成立，故D错误．故选BC.
4. 　log915＝＝＝.
5. (1) 原式＝(lg 5＋lg 2)(lg 5－lg 2)＋(23)×lg 2－1＋＝(lg 5－lg 2)＋4×lg 2－1＋5＝lg 5＋lg 2－1＋5＝1－1＋5＝5.
(2) 因为2m＝18n＝6，所以m＝log26，n＝log186，
故＋＝＋＝log62＋log618＝log636＝2.