5.2 函数的表示方法 学案（含答案） 2025-2026学年高一数学苏教版（2019）必修第一册

5．2　函数的表示方法
1. 掌握函数的三种表示方法(图象法、列表法、解析法).
2. 在实际情景中，会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数，理解函数图象的作用.
3. 通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单的应用.
活动一 函数的表示方法
语言是人与人之间沟通的桥梁，同样的祝福又有着不同的表示方法．例如，简体中文中的“生日快乐！”用繁体中文表示为：生日快樂！用英文表示为：Happy Birthday！……那么对于函数，又有什么不同的表示方法呢？
思考1
在初中学习的函数有哪几种常用的表示方法？
思考2
函数的几种常用表示方法是如何定义的？
思考3
函数的三种表示方法各有什么优点？
例1　购买某种饮料x听，需要y元. 若每听2元，试分别用解析法、列表法、图象法将y表示成x(x∈{1，2，3，4})的函数，并指出该函数的值域．
本例题的两个变量之间的函数关系用解析法、列表法、图象法都能表示，但并不是所有的函数都能用三种方法表示，能用解析法表示的一般也能用另外两种方法表示，能用列表法或图象法表示的不一定能用解析法表示，也就是说有些函数的关系找不到一个等式来表示．
某种笔记本的单价是5元/本，买x(x∈{1，2，3，4，5})本笔记本需要y元．试用函数的三种表示法表示函数y＝f(x).
活动二　求函数的解析式　
思考4
已知函数f(g(x))的解析式求f(x)的解析式通常用什么方法？
思考5
若已知函数的类型，求函数的解析式通常用什么方法？
思考6
用待定系数法求函数解析式的一般思路是怎样的？
例2　(1) 已知f(x2－1)＝x4－x2＋1，求f(x)的解析式；
(2) 设二次函数f(x)满足f(x＋2)＝f(2－x)，方程f(x)＝0的两个实数根的平方和为10，且函数f(x)的图象过点(0，3)，求f(x)的解析式；
(3) 已知函数f(x)对于任意的x都有f(x)＋2f(－x)＝3x－2，求f(x)的解析式；
(4) 已知f(＋1)＝x＋2，求f(x)的解析式．
求函数解析式的四种方法：
(1) 换元法：适用于大多数情况．换元时，一定要注意自变量的取值范围的变化情况．
(2) 待定系数法：我们只要明确所求函数解析式的类型，便可设出其函数解析式，设法求出其系数即可得到结果．类似地当f(x)为一次函数时，可设f(x)＝ax＋b(a≠0)；当f(x)为反比例函数时，可设f(x)＝(k≠0)；当f(x)为二次函数时，根据条件可设：①一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)；②顶点式：f(x)＝a(x－h)2＋k(a≠0)；③双根式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0).
(3) 方程组法：这种方法针对特殊题型，如同时出现f(x)和f(或f(－x))时，需要把 f(x)，f(或f(－x))分别看作一个整体，通过解方程组消去不需要的f(或f(－x))，解出f(x)的解析式，这种方法也称消去法．
(4) 配凑法：适用于已知解析式等号两边的形式接近，易于找关系的情况．
(1) 已知f()＝3－x，求函数f(x)的解析式；
(2) 已知f(x)是二次函数，若f(0)＝0，且f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，求函数f(x)的解析式．
活动三　分段函数　
例3　画出函数f(x)＝|x|的图象，并求f(－3)，f(3)，f(－1)，f(1)的值．
画出函数f(x)＝|x2－1|的图象．
例4　某市出租汽车的收费标准如下：在3 km以内(含3 km)的路程按起步价9元收费，超过3 km的路程按2.4 元/km收费．试写出收费额(单位：元)关于路程(单位：km)的函数解析式．
1. 分段函数的定义：在定义域内不同部分上，有不同的解析表达式，像这样的函数，通常叫作分段函数．
2. 分段函数的定义域是各段定义域的并集，其值域是各段值域的并集．
3. 分段函数图象：画分段函数的图象，应在各自定义域之下画出定义域所对应的解析式的图象．分段函数是一个函数，因此应在同一坐标系中画出各段函数图象．
某人开汽车以60 km/h的速度从A地到150 km远处的B地，在B地停留1 h后，再以50 km/h的速度返回A地，将汽车离A地的距离s(单位：km)表示为时间t(单位：h)(从A地出发时开始)的函数，再把车速v(单位：km/h)表示为时间t(单位：h)的函数．
1. 已知函数f(x)满足f(x＋1)＝x2＋4x＋3，则函数f(x)的解析式是(　　)
A. f(x)＝x2＋2x B. f(x)＝x2＋2
C. f(x)＝x2－2x D. f(x)＝x2－2
2. (2024知识城中学期中)已知函数f(x)＝则f的值为(　　)
A. B. C. D. －
3. (多选)如图所示的图象表示的函数的解析式为(　　)
A. y＝|x－1|(0≤x≤2)
B. y＝－|x－1|(0≤x≤2)
C. y＝－|x－1|(0≤x≤2)
D. y＝
4. (2024菏泽期中)已知函数f(x)满足f(x－2)＝2x－2，则f(2)＝________．
5. (2024芜湖期中)根据下列条件，求函数f(x)的解析式．
(1) f(x)是一次函数，且满足3f(x＋1)－f(x)＝2x＋9；
(2) 2f＋f(x)＝x(x≠0).
5．2　函数的表示方法
【活动方案】
思考1：解析法、图象法、列表法．
思考2：①解析法：用等式来表示两个变量之间的函数关系；
②图象法：用图象表示两个变量之间的函数关系；
③列表法：用列表来表示两个变量之间的函数关系．
思考3：①解析法的优点：概括了变量间的关系，利用解析式可求任一函数值，便于用解析式研究函数的性质．
②图象法的优点：直观形象地表示出函数值随自变量的变化趋势，有利于通过图象来研究函数的性质．
③列表法的优点：不需计算便可以直接看出自变量对应的函数值．
例1　①解析法：y＝2x，x∈{1，2，3，4}．
②列表法：
x/听 1 2 3 4
y/元 2 4 6 8
③图象法：图象由点(1，2)，(2，4)，(3，6)，(4，8)组成，如图所示．
函数的值域是{2，4，6，8}．
跟踪训练　①解析法：y＝5x，x∈{1，2，3，4，5}．
②列表法：
x/本 1 2 3 4 5
y/元 5 10 15 20 25
③图象法：图象由点(1，5)，(2，10)，(3，15)，(4，20)，(5，25)组成，如图所示．
思考4：通常用换元法，即令g(x)＝t，反解出x，然后代入f(g(x))中求出f(t)，即求出了f(x).
思考5：若已知函数的类型，可以用待定系数法求解．
思考6：由函数类型设出函数解析式，再根据条件列出方程(或方程组)，通过解方程(组)求出待定的系数，进而求出函数的解析式．
例2　(1) 因为f(x2－1)＝x4－x2＋1＝(x2－1)2＋(x2－1)＋1，所以f(x)＝x2＋x＋1(x≥－1).
(2) 设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，由f(x＋2)＝f(2－x)可知，该函数图象关于直线x＝2对称，
所以＝2，即b＝－4a.①
又图象过点(0，3)，所以c＝3.②
因为方程f(x)＝0的两个实数根的平方和为10，设两个实数根为x1，x2，
所以x＋x＝(x1＋x2)2－2x1x2＝10，
所以b2－2ac＝10a2.③
由①②③解得a＝1，b＝－4，c＝3，
所以f(x)＝x2－4x＋3.
(3) 因为对于任意的x都有f(x)＋2f(－x)＝3x－2，将x换为－x得f(－x)＋2f(x)＝－3x－2，联立消去f(－x)，可得f(x)＝－3x－.
(4) 方法一：f(＋1)＝()2＋2＋1－1＝(＋1)2－1，其中＋1≥1，
故所求函数的解析式为f(x)＝x2－1，其中x≥1.
方法二：令＋1＝t，则x＝(t－1)2且t≥1，
函数f(＋1)＝x＋2可化为f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＝t2－1，
故所求函数的解析式为f(x)＝x2－1，其中x≥1.
跟踪训练　(1) 令＝t，则t≥0，且x＝t2＋1，
所以f(t)＝3－(t2＋1)＝2－t2，
即f(x)＝2－x2(x≥0).
(2) 设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
则由f(0)＝0，得c＝0，所以f(x)＝ax2＋bx.
又f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，
所以a(x＋1)2＋b(x＋1)＝ax2＋bx＋x＋1，
即ax2＋(2a＋b)x＋a＋b＝ax2＋(b＋1)x＋1，
所以2a＋b＝b＋1且a＋b＝1，解得a＝，b＝，
所以f(x)＝x2＋x.
例3　因为f(x)＝|x|＝
所以函数f(x)的图象为过原点且平分第一象限、第二象限的一条折线，如图所示．其中f(－3)＝3，f(3)＝3，f(－1)＝1，f(1)＝1.
跟踪训练　方法一：
f(x)＝
作出函数f(x)的图象如图所示．
方法二：先画出函数f(x)＝x2－1的图象，然后将x轴下方的图象作关于x轴对称，即得函数f(x)＝|x2－1|的图象．
例4　设当路程为x km时，收费额为y元，则由题意，得当x≤3时，y＝9；当x>3时，按2.4 元/km所收费用为2.4(x－3)，那么有y＝9＋2.4(x－3)，
所以收费额关于路程的函数解析式为
y＝
即y＝
跟踪训练　因为从A地到B地所需时间为＝2.5(h)，从B地到A地所需时间为＝3(h)，
所以当0当2.5当3.5所以s＝
v＝
【检测反馈】
1. A　设x＋1＝t，则x＝t－1，则f(t)＝(t－1)2＋4(t－1)＋3＝t2＋2t，所以f(x)＝x2＋2x.
2. B　因为f＝－＋3＝，f＝＋1＝，所以f＝.
3. BD　由图可知，当0≤x≤1时，函数为一次函数，可设为y＝kx，将点代入，得y＝x；当14. 6　由题意，得f(2)＝f(4－2)＝2×4－2＝6.
5. (1) 由题意，设f(x)＝ax＋b(a≠0).
因为3f(x＋1)－f(x)＝2x＋9，
所以3a(x＋1)＋3b－ax－b＝2x＋9，
即2ax＋3a＋2b＝2x＋9，
由恒等式的性质，得
解得a＝1，b＝3，
故f(x)＝x＋3.
(2) 因为f(x)＋2f＝x，
用代替x，得f＋2f(x)＝，
所以
解得f(x)＝－(x≠0).