16.2简谐运动的回复力和能量
满分：59
班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________
一、单选题（共2小题,共8分）
1. 对于弹簧振子其回复力和位移的关系，下列图中正确的是( ) （4分）
A.
B.
C.
D.
正确答案： C
答案解析： 由简谐运动的回复力公式F=-kx可知，弹簧振子做简谐运动时的回复力和位移的关系图像应
如选项C所示。
2. 如图，一滑块置于光滑水平面上，两相同轻质弹簧一端固定，另一端与滑块连接。
t=0时两弹簧均处于原长，以此时滑块位置O为原点，向右为正方向，滑块向右的初速度为v0。
设滑块位移为x,速度为v,所受合外力为F，运动时间为t。弹簧始终处于弹性限度内，
滑块从t=0时刻到第一次回到O点的过程中，下列图像可能正确的是（ ）
（4分）
A.
B.
C.
D.
正确答案： A
答案解析： 解：设弹簧的劲度系数为k,滑块的质量为m,则滑块位移为x时，滑块所受的合外力F=-2kx,可
见滑块做简谐运动，其x-t图像是一条正弦曲线，x-t图像的斜率表示速度，所以滑块对应的v-t图像是一
2k
条余弦曲线，由牛顿第二定律知，滑块的加速度a= F m = m x 。滑块从t= 0时刻到第一次回到O点过
程，滑块的位移x先增大后减小，且一直为正值，滑块的合外力F一直为负值，且先增大后减小，滑块的
加速度a一直为负值，且先增大后减小，滑块的速度先为正值后为负值，且先减小后增大，则F-x图像是
一条过原点的倾斜向下的直线，F-t图像是正弦曲线的一部分，v-t图像的斜率表示加速度，则v-t图像的
Δv Δv Δt a
斜率一直为负值，且先增大后减小，由 x = · =Δ Δt Δx v 知，v-x图像的斜率先为负值后为正值，且
先增大后减小，故A正确，BCD错误。
故选：A。
二、多选题（共2小题,共12分）
3. 如图，轻质弹簧上端固定，下端悬挂质量为2m的小球A，质量为m的小球B与A用细线相连，
整个系统处于静止状态。弹簧劲度系数为k,重力加速度为g。现剪断细线，下列说法正确的是（ ）
（6分）
A.小球A运动到弹簧原长处的速度最大
g
B.剪断细线的瞬间，小球A的加速度大小为 2
mg
C.小球A运动到最高点时，弹簧的伸长量为 k
2mg
D.小球A运动到最低点时，弹簧的伸长量为 k
正确答案： B C
答案解析： 解：A、小球A的速度最大时其加速度为零，其合力为零，此时弹簧弹力与小球A的重力等大
反向，故小球A运动到速度最大时弹簧不是在原长处，而是出于伸长状态，故A错误；
B、未剪断细线时，对A、B整体由平衡条件可知，弹簧弹力F0=（m+2m）g=3mg,剪断细线的瞬间弹簧弹力
g
不变，对A，根据牛顿第二定律得：F0-2mg=2ma,解得小球A的加速度大小为a= 2 ，故B正确；
CD、剪断细线后小球A在竖直方向做简谐运动，初始位置即为小球简谐运动的最低点，由B选项的解答可
3mg
知，小球A运动到最低点时，弹簧弹力方向向上，大小为3mg,由胡克定律可得此时弹簧的伸长量为 k
；
由B选项的解答可知，小球A在最低点时所受合力向上，大小为F0-2mg=mg,由简谐运动的对称性可知，小
球A运动到最高点时，所受合力向下，大小亦为mg,因小球A的重力为2mg,故此时弹簧弹力应向上，大小为
mg
mg,故此弹簧为伸长状态，其伸长量为 k ，故C正确，D错误。
故选：BC。
4. 如图所示为一款近期火爆的玩具“弹簧小人”，由头部、弹簧和底部组成，头部的质量为m,
底部质量为M，弹簧质量不计。初始时，“弹簧小人”静止于水平桌面上。
现用手缓慢轻压头部至适当位置后由静止释放，头部不停上下振动，已知弹簧的劲度系数为k,
不计一切摩擦力和空气阻力，重力加速度为g,弹簧始终在弹性限度内。则下列说法正确的是（ ）
（6分）
g mg
A.若刚释放头部时，头部的加速度大小为 2 ，则头部振动的振幅为 k
g 2 2
B.若刚释放头部时，头部的加速度大小为 2 ，则用手缓慢轻压头部过程中，手对头部做的功为
m g
8k
（M+ m）g
C.若头部在振动至最高点时底部恰好不离开桌面，则头部在最高点的加速度为 m
（M+ m）g
D.若头部在振动至最高点时底部恰好不离开桌面，则刚释放头部时弹簧的压缩量为 k
正确答案： B C
答案解析： 解：将弹簧小人简化为如图所示模型
A．如图a对应弹簧小人静止时，如图b对应刚释放头部时，如图c对应头部到达最高点时。对图b中的头部
kA=mam
其中
am =
g
2
解得振幅
A= mg k 2
故A错误；
B．将头部从平衡位置按压至最低点过程中，手对头部的压力与头部的回复力大小相等，此过程中，手对
头部压力的平均值为
F 0 + kA= =
mg
2 4
则手对头部做功为
2 2
W= FA= m g 8k
故B正确；
C．图c状态时底部恰不离开桌面，设此时弹簧的伸长量为x1，头部的加速度为a1，对M根据平衡关系有
kx1=Mg
对m根据牛顿第二定律有
kx1+mg=ma1
解得
a M+ m1 = m g
则头部在最低点和最高点的加速度大小相等、方向相反，故C正确；
D．图b中m的加速度大小也为
a M+ m=
1 m g
设此时弹簧的压缩量为x2，对m
kx2-mg=ma1
解得
x （2m+ M）=
2 k g
故D错误。
故选：BC。
三、计算题（共1小题,共4分）
5. 设球半径光滑圆弧槽的半径为R，小球半径为r，摆角小于5°，请证明小球做的是简谐运动。
（4分）
正确答案： 解：小球在光滑圆弧槽底部运动的过程中受到重力与光滑圆弧槽的支持力，如图，设小球
在某一位置时，小球受到的支持力的方向与竖直方向之间的夹角为θ，小球离开平衡位置的距离为x，小
球的重力沿着切线方向的分力提供回复力，该力的大小为：
F1=mgsinθ
由于θ＜5°，故
故：
方向总是指向平衡位置，故：F回=F1=-kx
答案解析： 简谐运动的条件是回复力满足：F=-kx；球受到的重力沿着切线方向的分力提供回复力．
四、计算题（组）（共4小题,共35分）
6. 如图所示，劲度系数为k的弹簧上端固定在天花板上，下端挂一质量为m的小球，小球静止后，
再向下将弹簧拉长x，然后放手，小球开始振动。
（5分）
(1)请证明小球的振动为简谐运动；
（3分）
正确答案： 取竖直向下为正方向，当小球到达平衡位置时，弹簧伸长了x0，则有mg=kx0
当小球向下偏离平衡位置x时有F回=mg-k(x0+x)
解得F回=-kx
故小球的振动为简谐运动。
答案解析： 证明小球满足F回=-kx，则小球的振动即为简谐运动；
(2)求小球运动到最高点的加速度。
（2分）
正确答案： 由简谐运动的对称性得，小球在最高点和最低点的加速度大小相等，方向相反。在最低点
时，对小球受力分析，由牛顿第二定律得mg-k(x0+x)=ma
解得小球运动到最低点时的加速度大小为
故小球运动到最高点时的加速度大小为 ，方向竖直向下。
答案解析： 对小球受力分析求出合外力，结合牛顿第二定律求出加速度。
7. 如图所示，斜面顶端与劲度系数为k、自然长度为L的轻质弹簧相连，
弹簧的另一端连接着质量为m的物块。压缩弹簧使其长度为 时将物块由静止开始释放，
且物块在以后的运动中，斜面体始终处于静止状态。重力加速度为g。斜面倾角为α。
（9分）
(1)求物块处于平衡位置时弹簧的长度；
（3分）
正确答案： 物体平衡时，受重力、支持力和弹簧的弹力，根据平衡条件，有：
mgsinα=k Δx
解得：
故弹簧的长度为 ；
答案解析： 根据平衡条件进行受力分析。
(2)选物块的平衡位置为坐标原点，沿斜面向下为正方向建立坐标轴，
用x表示物块相对于平衡位置的位移，证明物块做简谐运动；
（3分）
正确答案： 物体到达平衡位置下方x位置时，弹力为： ；
故合力为： ；
故物体做简谐运动；
答案解析： 回复力满足足F=-kx的运动为简谐运动；
(3)求弹簧的最大伸长量；
（3分）
正确答案： 简谐运动具有对称性，压缩弹簧使其长度为 时将物块由静止开始释放，故其振幅为：
；
故其最大伸长量为： ；
答案解析： 根据简谐运动的对称性分析。
8. 我们已经学过了关于两个质点之间万有引力的大小是 ，在某些特殊情况下，
对于非质点之间万有引力的计算及其应用的问题，
我们可以利用下面两个已经被严格证明是正确的结论，快速而有效地解决。
a.若质量为m的质点放置在分布均匀的质量为M的大球壳的空腔之内，
那么质点和大球壳之间的万有引力总是为零。
b.若质量为m的质点放置在分布均匀的质量为M的大球体之外，那么它们之间的万有引力为 ，
式中的r为质点到大球体球心的距离。
假设地球可视为一个质量分布均匀且密度为ρ的球体，
通过地球的南北两极之间能够打通一个如图所示的真空小洞。若地球的半径为R，引力常量为G，
把一个质量为m的小球从北极的洞口由静止状态释放后，小球能够在洞内运动。
（11分）
(1)求小球运动到距地心r=0.5R处的加速度大小a；
（4分）
正确答案： 根据题意可知，小球在距离地心为r=0.5R处所受的万有引力大小
又
由牛顿第二定律可知
解得
答案解析： 根据题干信息，小球运动到距地心为0.5R处的加速度大小由半径为0.5R的中心球体提供。
(2)证明：小球在洞内做简谐运动；
（4分）
正确答案： 设小球相对于地心的位移大小为x，则有
又
联立可得
万有引力的方向总是指向地心，与小球相对于地心的位移方向总是相反
令
则有F1=kx，k为不变量
可知小球在洞内做简谐运动
答案解析： 根据题干信息，小球在洞内由北极向地心运动时，距地心的距离逐渐减小，则等效的中心天
体半径逐渐减小，对小球的万有引力逐渐减小；当小球从地心向南极运动时，距地心的距离逐渐增大，
则等效的中心天体半径逐渐增大，对小球的万有引力逐渐增大。
(3)求小球在运动过程中的最大速度vmax。
（3分）
正确答案： 由 可知，从洞口到地心，小球的万有引力大小F是随着做功的距离线性
减小的
所以
所以
答案解析： 小球从地球表面开始下落，直到经过地心的过程中，万有引力对球始终做正功，则到达地心
处的速度最大，根据动能定理列式求解。
9. 电量均为+Q的两电荷固定在相距为2d的AB两点，O为AB连线中点，AB连线中垂线上有一点M，
到O的距离为A，已知静电力常量k。
（10分）
(1)求M点的场强。
（3分）
正确答案： 两个等量正电荷在M处产生的电场强度并合成如图所示：
M点的场强为：
其中：
联立解得： ，方向为O指向M
答案解析： 根据电场强度的叠加进行解答；
(2)将一质量为m，带电量为-q的粒子从M点由静止释放，不考虑粒子的重力。
a.若A远小于d，可略去 项的贡献，试证明粒子的运动为简谐运动；
b.简谐运动可视为某一匀速圆周运动沿直径方向上的投影运动，
圆周运动的半径为简谐运动的振幅。请描述与该粒子所做简谐运动相对应的圆运动，
并求该粒子做简谐运动的周期及动能的最大值。
（7分）
正确答案： a、粒子运动过程中，O点为平衡位置，可知当发生位移x时，粒子受到的电场力为：
，其中
联立解得：
即粒子的运动为简谐运动。
b、简谐运动可视为某一匀速圆周运动沿直径方向上的投影运动，二者周期相同，此时圆周运动以O点为
圆心，圆面与纸面垂直，由牛顿第二定律可得：
解得：
又： ，其中：
联立解得：
答案解析： a、证明回复力与位移成正比；
b、简谐运动可视为某一匀速圆周运动沿直径方向上的投影运动，二者周期相同，由牛顿第二定律
求解周期，根据能量关系求解动能的最大值。16.2简谐运动的回复力和能量
满分：59
班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________
一、单选题（共2小题,共8分）
1. 对于弹簧振子其回复力和位移的关系，下列图中正确的是( ) （4分）
A.
B.
C.
D.
2. 如图，一滑块置于光滑水平面上，两相同轻质弹簧一端固定，另一端与滑块连接。
t=0时两弹簧均处于原长，以此时滑块位置O为原点，向右为正方向，滑块向右的初速度为v0。
设滑块位移为x,速度为v,所受合外力为F，运动时间为t。弹簧始终处于弹性限度内，
滑块从t=0时刻到第一次回到O点的过程中，下列图像可能正确的是（ ）
（4分）
A.
B.
C.
D.
二、多选题（共2小题,共12分）
3. 如图，轻质弹簧上端固定，下端悬挂质量为2m的小球A，质量为m的小球B与A用细线相连，
整个系统处于静止状态。弹簧劲度系数为k,重力加速度为g。现剪断细线，下列说法正确的是（ ）
（6分）
A.小球A运动到弹簧原长处的速度最大
g
B.剪断细线的瞬间，小球A的加速度大小为 2
mg
C.小球A运动到最高点时，弹簧的伸长量为 k
2mg
D.小球A运动到最低点时，弹簧的伸长量为 k
4. 如图所示为一款近期火爆的玩具“弹簧小人”，由头部、弹簧和底部组成，头部的质量为m,
底部质量为M，弹簧质量不计。初始时，“弹簧小人”静止于水平桌面上。
现用手缓慢轻压头部至适当位置后由静止释放，头部不停上下振动，已知弹簧的劲度系数为k,
不计一切摩擦力和空气阻力，重力加速度为g,弹簧始终在弹性限度内。则下列说法正确的是（ ）
（6分）
g mg
A.若刚释放头部时，头部的加速度大小为 2 ，则头部振动的振幅为 k
g 2 2
B.若刚释放头部时，头部的加速度大小为 2 ，则用手缓慢轻压头部过程中，手对头部做的功为
m g
8k
（M+ m）g
C.若头部在振动至最高点时底部恰好不离开桌面，则头部在最高点的加速度为 m
（M+ m）g
D.若头部在振动至最高点时底部恰好不离开桌面，则刚释放头部时弹簧的压缩量为 k
三、计算题（共1小题,共4分）
5. 设球半径光滑圆弧槽的半径为R，小球半径为r，摆角小于5°，请证明小球做的是简谐运动。
（4分）
四、计算题（组）（共4小题,共35分）
6. 如图所示，劲度系数为k的弹簧上端固定在天花板上，下端挂一质量为m的小球，小球静止后，
再向下将弹簧拉长x，然后放手，小球开始振动。
（5分）
(1)请证明小球的振动为简谐运动；
（3分）
(2)求小球运动到最高点的加速度。
（2分）
7. 如图所示，斜面顶端与劲度系数为k、自然长度为L的轻质弹簧相连，
弹簧的另一端连接着质量为m的物块。压缩弹簧使其长度为 时将物块由静止开始释放，
且物块在以后的运动中，斜面体始终处于静止状态。重力加速度为g。斜面倾角为α。
（9分）
(1)求物块处于平衡位置时弹簧的长度；
（3分）
(2)选物块的平衡位置为坐标原点，沿斜面向下为正方向建立坐标轴，
用x表示物块相对于平衡位置的位移，证明物块做简谐运动；
（3分）
(3)求弹簧的最大伸长量；
（3分）
8. 我们已经学过了关于两个质点之间万有引力的大小是 ，在某些特殊情况下，
对于非质点之间万有引力的计算及其应用的问题，
我们可以利用下面两个已经被严格证明是正确的结论，快速而有效地解决。
a.若质量为m的质点放置在分布均匀的质量为M的大球壳的空腔之内，
那么质点和大球壳之间的万有引力总是为零。
b.若质量为m的质点放置在分布均匀的质量为M的大球体之外，那么它们之间的万有引力为 ，
式中的r为质点到大球体球心的距离。
假设地球可视为一个质量分布均匀且密度为ρ的球体，
通过地球的南北两极之间能够打通一个如图所示的真空小洞。若地球的半径为R，引力常量为G，
把一个质量为m的小球从北极的洞口由静止状态释放后，小球能够在洞内运动。
（11分）
(1)求小球运动到距地心r=0.5R处的加速度大小a；
（4分）
(2)证明：小球在洞内做简谐运动；
（4分）
(3)求小球在运动过程中的最大速度vmax。
（3分）
9. 电量均为+Q的两电荷固定在相距为2d的AB两点，O为AB连线中点，AB连线中垂线上有一点M，
到O的距离为A，已知静电力常量k。
（10分）
(1)求M点的场强。
（3分）
(2)将一质量为m，带电量为-q的粒子从M点由静止释放，不考虑粒子的重力。
a.若A远小于d，可略去 项的贡献，试证明粒子的运动为简谐运动；
b.简谐运动可视为某一匀速圆周运动沿直径方向上的投影运动，
圆周运动的半径为简谐运动的振幅。请描述与该粒子所做简谐运动相对应的圆运动，
并求该粒子做简谐运动的周期及动能的最大值。
（7分）满分：59
班级：________ 姓名：________ 成绩：________
一、单选题（共2小题,共8分）
对于弹簧振子其回复力和位移的关系，下列图中正确的是( ) （4分）
A.
B.
C.
D.
如图，一滑块置于光滑水平面上，两相同轻质弹簧一端固定，另一端与滑块连接。t=0时两弹簧均处于原长，以此时滑块位置O为原点，向右为正方向，滑块向右的初速度为v0。设滑块位移为x,速度为v,所受合外力为F，运动时间为t。弹簧始终处于弹性限度内，滑块从t=0时刻到第一次回到O点的过程中，下列图像可能正确的是（ ）
（4分）
A.
B.
C.
D.
二、多选题（共2小题,共12分）
如图，轻质弹簧上端固定，下端悬挂质量为2m的小球A，质量为m的小球B与A用细线相连，整个系统处于静止状态。弹簧劲度系数为k,重力加速度为g。现剪断细线，下列说法正确的是（ ）
（6分）
A.小球A运动到弹簧原长处的速度最大
B.剪断细线的瞬间，小球A的加速度大小为
C.小球A运动到最高点时，弹簧的伸长量为
D.小球A运动到最低点时，弹簧的伸长量为
如图所示为一款近期火爆的玩具“弹簧小人”，由头部、弹簧和底部组成，头部的质量为m,底部质量为M，弹簧质量不计。初始时，“弹簧小人”静止于水平桌面上。现用手缓慢轻压头部至适当位置后由静止释放，头部不停上下振动，已知弹簧的劲度系数为k,不计一切摩擦力和空气阻力，重力加速度为g,弹簧始终在弹性限度内。则下列说法正确的是（ ）
（6分）
A.若刚释放头部时，头部的加速度大小为，则头部振动的振幅为
B.若刚释放头部时，头部的加速度大小为，则用手缓慢轻压头部过程中，手对头部做的功为
C.若头部在振动至最高点时底部恰好不离开桌面，则头部在最高点的加速度为
D.若头部在振动至最高点时底部恰好不离开桌面，则刚释放头部时弹簧的压缩量为
三、计算题（共1小题,共4分）
设球半径光滑圆弧槽的半径为R，小球半径为r，摆角小于5°，请证明小球做的是简谐运动。
（4分）
四、计算题（组）（共4小题,共35分）
如图所示，劲度系数为k的弹簧上端固定在天花板上，下端挂一质量为m的小球，小球静止后，再向下将弹簧拉长x，然后放手，小球开始振动。
（5分）
(1) 请证明小球的振动为简谐运动；
（3分）
(2) 求小球运动到最高点的加速度。
（2分）
如图所示，斜面顶端与劲度系数为k、自然长度为L的轻质弹簧相连，弹簧的另一端连接着质量为m的物块。压缩弹簧使其长度为 时将物块由静止开始释放，且物块在以后的运动中，斜面体始终处于静止状态。重力加速度为g。斜面倾角为α。
（9分）
(1) 求物块处于平衡位置时弹簧的长度；
（3分）
(2) 选物块的平衡位置为坐标原点，沿斜面向下为正方向建立坐标轴，用x表示物块相对于平衡位置的位移，证明物块做简谐运动；
（3分）
(3) 求弹簧的最大伸长量；
（3分）
我们已经学过了关于两个质点之间万有引力的大小是 ，在某些特殊情况下，对于非质点之间万有引力的计算及其应用的问题，我们可以利用下面两个已经被严格证明是正确的结论，快速而有效地解决。
a.若质量为m的质点放置在分布均匀的质量为M的大球壳的空腔之内，那么质点和大球壳之间的万有引力总是为零。
b.若质量为m的质点放置在分布均匀的质量为M的大球体之外，那么它们之间的万有引力为 ，式中的r为质点到大球体球心的距离。
假设地球可视为一个质量分布均匀且密度为ρ的球体，通过地球的南北两极之间能够打通一个如图所示的真空小洞。若地球的半径为R，引力常量为G，把一个质量为m的小球从北极的洞口由静止状态释放后，小球能够在洞内运动。
（11分）
(1) 求小球运动到距地心r=0.5R处的加速度大小a；
（4分）
(2) 证明：小球在洞内做简谐运动；
（4分）
(3) 求小球在运动过程中的最大速度vmax。
（3分）
电量均为+Q的两电荷固定在相距为2d的AB两点，O为AB连线中点，AB连线中垂线上有一点M，到O的距离为A，已知静电力常量k。
（10分）
(1) 求M点的场强。
（3分）
(2) 将一质量为m，带电量为-q的粒子从M点由静止释放，不考虑粒子的重力。
a.若A远小于d，可略去 项的贡献，试证明粒子的运动为简谐运动；
b.简谐运动可视为某一匀速圆周运动沿直径方向上的投影运动，圆周运动的半径为简谐运动的振幅。请描述与该粒子所做简谐运动相对应的圆运动，并求该粒子做简谐运动的周期及动能的最大值。
（7分）
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第2页
