第23章 旋转（单元测试·含解析）-2025-2026学年人教版数学九年级上册

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第23章 旋转
一．选择题（共5小题）
1．数学是我国古代科学中一门重要学科，其发展源远流长，成就辉煌．下列与我国古代数学发现相关的图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．如图是由两个三角形组成的图案，通过平移其中一个三角形可以组成一个新的图案，在下列四个图案中，不能由原图案经过平移得到的是（　　）
A． B．
C． D．
3．下列函数图象中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
4．剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一，先后入选中国国家级非物质文化遗产名录和人类非物质文化遗产代表作名录．以下剪纸中，为中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
5．围棋起源于中国，截取对战棋谱中的四个部分，由黑白棋子摆成的图案是中心对称的是（　　）
A． B．
C． D．
二．填空题（共9小题）
6．如图，⊙O经过AO的中点B，OB＝1，点P为⊙O上动点，过点B作AP的垂线，垂足为Q．当点P旋转一周时，点Q运动的路程为 　 　 ．
7．如图，在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝2，点E在边AD上，将CE绕点E逆时针旋转90°，得到线段FE，连接AF，则AF的最小值为　 　 ．
8．一副三角板按如图所示的方式叠放在一起，其中点B，D重合．若固定三角板AOB，将三角板ACD绕点A旋转，当∠BAD＝ 　 　 度时，CD∥AB．
9．如图，在 ABCD中，AB＝6，BC＝10，∠B＝60°，点E在线段BC上运动（含B、C两点）．连接AE，以点A为中心，将线段AE逆时针旋转60°得到AF，连接DF，当点F落在 ABCD的边上时，则线段DF长度的最小值为 　 　 ，最大值为 　 　 ．
10．如图，点O是矩形ABCD的对称中心，点E、F分别是边AB、CD上的点，且BE＝DF，已知矩形ABCD的面积是20，那么图中阴影部分的面积为　 　 ．
11．将一副三角板如图放置，点B、D重合，点F在BC上，AB与EF交于点G，∠C＝∠EFB＝90°，∠A＝60°，∠E＝45°，现将图中的△ABC绕点G按每秒30°的速度沿逆时针方向旋转180°，在旋转的过程中，△ABC恰有一边与DE平行的时间为 　 　 ．
12．如图，在平行四边形ABCD中，BD是对角线，且AD＝BD＝2AB＝8，将△DBC沿CB方向向右平移得到△AEB，D、B对应点分别是A、E．点F是线段BC上（不含端点）的一个动点，连接AF，将线段AF绕点A逆时针旋转至线段AG，使得旋转角∠FAG＝∠DAE，连接EG，当△AEG是等腰三角形时，CF的长为 　 　 ．
13．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝30°，△ABC绕点C逆时针旋转α（120°＜α＜180°）到△DEC位置，BC，DE的延长线相交于点F．
（1）若AB∥CD，则α＝ 　 　 °；
（2）请用等式表示∠ACE与∠F之间的数量关系：　 　 ．
14．如图，线段AB在第二象限，点A（﹣2，5），点B（﹣4，3）．将线段AB绕点O旋转90°得到线段A'B'．那么点A的对应点A'的坐标是 　 　 ．
三．解答题（共7小题）
15．在下图中，把△ABC向右平移5个方格，再绕点B的对应点顺时针方向旋转90度．
（1）画出平移和旋转后的图形，并标明对应字母；
（2）能否把两次变换合成一种变换，如果能，说出变换过程（可适当在图形中标记）；如果不能，说明理由．
16．如图，已知∠AOB＝60°，在∠AOB的平分线OM上有一点C，∠DCE＝120°，当∠DCE的顶点与点C重合，它的两条边分别与直线OA、OB相交于点D、E．
（1）当∠DCE绕点C旋转到CD与OA垂直时（如图1），请猜想OE+OD与OC的数量关系，并说明理由；
（2）由（图1）的位置将∠DCE绕点C逆时针旋转θ角（0＜θ＜90°），线段OD、OE与OC之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并说明理由．
17．将两块全等的含30°角的直角三角形按图1的方式放置，已知∠BAC＝∠B1A1C1＝30°，则AB＝2BC．
（1）固定三角板A1B1C，然后将三角板ABC绕点C顺时针方向旋转至图2的位置，AB与A1C、A1B1分别交于点D、E，AC与A1B1交于点F．
①填空：当旋转角等于20°时，∠BCB1＝　 　 度；
②当旋转角等于多少度时，AB与A1B1垂直？请说明理由．
（2）将图2中的三角板ABC绕点C顺时针方向旋转至图3的位置，使AB∥CB1，AB与A1C交于点D，试说明A1D＝CD．
18．在棋盘中建立如图所示的平面直角坐标系，三颗棋子A，O，B的位置如图所示，它们的坐标分别是（﹣1，1），（0，0）和（1，0）
（1）如图，添加棋子C，使A，O，B，C四颗棋子成为一个轴对称图形，请在图中画出该图形的对称轴；
（2）在其他格点位置添加一颗棋子P，使A，O，B，P四颗棋子成为一个轴对称图形，请直接写出棋子P的位置坐标（写出2个即可）．
19．在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝100°．将线段CA绕着点C逆时针旋转得到线段CD，旋转角为α，且0°＜α＜360°，连接AD、BD．
（1）如图1，当α＝60°时，∠CBD的大小为　 　 ；
（2）如图2，当α＝20°时，∠CBD的大小为　 　 ；（提示：可以作点D关于直线BC的对称点）
（3）当α为　 　 °时，可使得∠CBD的大小与（1）中∠CBD的结果相等．
20．如图，点O为平面直角坐标系的原点，点A在x轴上，△AOC是边长为2的等边三角形．
（1）写出△AOC的顶点C的坐标：　 　 ．
（2）将△AOC沿x轴向右平移得到△OBD，则平移的距离是　 　
（3）将△AOC绕原点O顺时针旋转得到△DOB，则旋转角可以是　 　 度
（4）连接AD，交OC于点E，求∠AEO的度数．
21．如图1，在平面直角坐标系中，点A（a，b），连接OA，将OA绕点O逆时针方向旋转90°到OB．
（1）求点B的坐标；（用字母a，b表示）
（2）如图2，延长AB交x轴于点C，过点B作BD⊥AC交y轴于点D，求证：OC＝OD．
第23章 旋转
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．数学是我国古代科学中一门重要学科，其发展源远流长，成就辉煌．下列与我国古代数学发现相关的图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可．
【解答】解：A、图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
B、图形既是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；
C、图形不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；
D、图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意，
故选：B．
【点评】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，熟知如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心是解题的关键．
2．如图是由两个三角形组成的图案，通过平移其中一个三角形可以组成一个新的图案，在下列四个图案中，不能由原图案经过平移得到的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据平移不改变图形的大小、形状和方向，只改变图形的位置判断即可．
【解答】解：选项A、B、C中，图形的大小、形状和方向与原图一致，能由此图形经过平移得到，故不符合题意；
选项D中，黑色三角形的方向与原图不一致，不能由此图形经过平移得到，故符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了平移的性质，掌握其性质是解题的关键．
3．下列函数图象中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】把一个图形绕某一点旋转180°后，能够与原图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，据此解答即可．
【解答】解：A．既是轴对称图形又是中心对称图形；
B．是轴对称图形，不是中心对称图形；
C．不是轴对称图形，是中心对称图形；
D．是轴对称图形，不是中心对称图形；
故选：A．
【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的知识，熟练掌握轴对称图形与中心对称图形的概念是解题的关键．
4．剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一，先后入选中国国家级非物质文化遗产名录和人类非物质文化遗产代表作名录．以下剪纸中，为中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念，进行判断即可．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，进而判断得出答案．
【解答】解：A．该图形不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B．该图形不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C．该图形是中心对称图形，故此选项符合题意；
D．该图形不是中心对称图形，故此选项不合题意．
故选：C．
【点评】本题考查的是中心对称图形的概念，常见的中心对称图形有平行四边形、圆形、正方形、长方形等等．
5．围棋起源于中国，截取对战棋谱中的四个部分，由黑白棋子摆成的图案是中心对称的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据中心对称图形的定义逐项识别即可，在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．
【解答】解：A．不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B．不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C．不是中心对称图形，故此选项不合题意；
D．是中心对称图形，故此选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了中心对称图形的识别，熟练掌握中心对称图形的定义是解答本题的关键．
二．填空题（共9小题）
6．如图，⊙O经过AO的中点B，OB＝1，点P为⊙O上动点，过点B作AP的垂线，垂足为Q．当点P旋转一周时，点Q运动的路程为 　　 ．
【答案】．
【分析】当AP与⊙O相切时，连接OP、BP，则OP＝OB＝1，因为∠OPA＝90°，B是AO的中点，所以PB＝AB＝OBAO＝1，则PB＝OP＝OB＝1，所以∠OBP＝60°，延长AO交⊙O于点D，取AB的中点C，连接CQ，可证明AQ＝PQ，则QC∥PB，所以∠BCQ＝∠OBP＝60°，可知当点P从点D运动到AP与⊙O相切时，点Q的运动路径为以C为圆心、半径为且圆心角等于60°的圆弧，当点P旋转一周时，点Q的运动路径为四段这样的圆弧，即可由弧长公式求得点Q运动的路程为，于是得到问题的答案．
【解答】解：如图，当AP与⊙O相切时，连接OP、BP，则OP＝OB＝1，
∵AP⊥OP，
∴∠OPA＝90°，
∵B是AO的中点，
∴PB＝AB＝OBAO＝1，
∴PB＝OP＝OB＝1，
∵△BOP是等边三角形，
∴∠OBP＝60°，
延长AO交⊙O于点D，取AB的中点C，连接CQ，
∵BQ⊥AP于点Q，
∴∠AQB＝90°，
∴CQ＝CB＝CAAB，
∵PB＝AB，BQ⊥AP，
∴AQ＝PQ，
∵C、Q分别为AB、AP的中点，
∴QC∥PB，
∴∠BCQ＝∠OBP＝60°，
∴当点P从点D运动到AP与⊙O相切时，点Q的运动路径为以C为圆心、半径为且圆心角等于60°的圆弧，
∴当点P旋转一周时，点Q的运动路径为四段半径为且圆心角等于60°的圆弧，
∴点Q运动的路程为4，
故答案为：．
【点评】此题重点考查切线的性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、等边三角形的判定与性质、三角形中位线定理、弧长公式等知识，正确地作出辅助线是解题的关键．
7．如图，在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝2，点E在边AD上，将CE绕点E逆时针旋转90°，得到线段FE，连接AF，则AF的最小值为　　 ．
【答案】．
【分析】过点F作FG⊥AD的延长线于点G，可证△GEF≌△DCE（AAS），得到GF＝DE，EG＝CD＝1，设GF＝DE＝x，则AE＝2﹣x，即得AG＝AE+EG＝3﹣x，由勾股定理得，即得到当时，AF2的值最小，最小值为，进而即可求解．
【解答】解：过点F作FG⊥AD的延长线于点G，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠EGF＝∠CDE＝90°，CD＝AB＝1，AD＝BC＝2，
由旋转得，EF＝EC，∠CEF＝90°，
∴∠CED+∠GEF＝90°，
∵∠CED+∠DCE＝90°，
∴∠GEF＝∠DCE，
在△GEF和△DCE中，
，
∴△GEF≌△DCE（AAS），
∴GF＝DE，EG＝CD＝1，
设GF＝DE＝x，则AE＝2﹣x，
∴AG＝AE+EG＝2﹣x+1＝3﹣x，
∴，
当时，AF2的值最小，最小值为，
∴AF的最小值为，
故答案为：．
【点评】本题考查了矩形的性质，掌握全等三角形的判定和性质，勾股定理是解题的关键．
8．一副三角板按如图所示的方式叠放在一起，其中点B，D重合．若固定三角板AOB，将三角板ACD绕点A旋转，当∠BAD＝ 　150或30　 度时，CD∥AB．
【答案】150或30．
【分析】分两种情况，根据CD∥AB，利用平行线的性质，即可得到∠BAD的度数．
【解答】解：如图所示：当CD∥AB时，∠BAD＝∠D＝30°；
如图所示，当AB∥CD时，∠C＝∠BAC＝60°，
∴∠BAD＝60°+90°＝150°；
故答案为：150或30．
【点评】本题主要考查了平行线的判定，平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系，平行线的性质是由直线的平行关系来寻找角的数量关系．
9．如图，在 ABCD中，AB＝6，BC＝10，∠B＝60°，点E在线段BC上运动（含B、C两点）．连接AE，以点A为中心，将线段AE逆时针旋转60°得到AF，连接DF，当点F落在 ABCD的边上时，则线段DF长度的最小值为 　4　 ，最大值为 　2　 ．
【答案】4；2．
【分析】依据题意，由旋转性质得到AE＝AF，∠EAF＝60°，结合题意分析，要使点F落在 ABCD的边上，分两种情况讨论：①当点F落在AD边上时；②当点F落在BC边上时，分别作出对应图分析即可得解．
【解答】解：由题意得：AE＝AF，∠EAF＝60°，要使点F落在 ABCD的边上，则只有两种可能性：
①当点F落在AD边上时，如图1：
∵∠B＝60°，四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC＝10，∠BAD＝180°﹣∠B＝120°．
∵∠EAF＝60°，
∴∠BAE＝∠BAD﹣∠EAF＝60°＝∠B，
∴△ABE是等边三角形，
∴AE＝AB＝6，
∴AF＝AE＝6，DF＝AD﹣AF＝4；
②当点F落在BC边上时，如图2：
此时点E和点B重合，
∵∠EAF＝∠B＝60°，
∴△BAF是等边三角形，
∴AF＝AB＝6，
过点F作 FG⊥AD交AD于点G，
∵ ABCD中，∠BAG＝120°，
∴∠FAG＝∠BAG﹣∠BAF＝60°，∠AFG＝30°．
∴，FG，
∴DG＝AD﹣AG＝7，
∴Rt△DGF中，DF2．
∵24，
∴线段DF长度的最小值为4，最大值为2．
故答案为：4；2．
【点评】本题主要考查了旋转性质、平行四边形性质、等边三角形的判定与性质、直角三角形性质、勾股定理，解题关键是找到符合题意的情形．
10．如图，点O是矩形ABCD的对称中心，点E、F分别是边AB、CD上的点，且BE＝DF，已知矩形ABCD的面积是20，那么图中阴影部分的面积为　5　 ．
【答案】5．
【分析】由全等三角形的判定得到△BOE≌△DOF，将阴影部分的面积转化为规则的几何图形的面积进行计算．
【解答】解：在矩形ABCD中，OB＝OD、AB∥DC，
∴∠EBO＝∠FDO，
在△BOE与△DOF中，
，
∴△BOE≌△DOF（SAS），
∴S阴影部分＝S△DOC＝S矩形ABCD20＝5，
故答案为：5．
【点评】本题主要考查了矩形性质、全等三角形的判定与性质求、图形面积等知识点，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解答本题的关键．
11．将一副三角板如图放置，点B、D重合，点F在BC上，AB与EF交于点G，∠C＝∠EFB＝90°，∠A＝60°，∠E＝45°，现将图中的△ABC绕点G按每秒30°的速度沿逆时针方向旋转180°，在旋转的过程中，△ABC恰有一边与DE平行的时间为 　1s或2s或5s　 ．
【答案】1s或2s或5s．
【分析】分三种情形讨论：①当DE∥AC时．②当DE∥BC时．③当DE∥AB时，分别求出∠DFB即可解决问题．
【解答】解：∵∠E＝∠ABC＝45°，∠C＝∠EFB＝90°，
∴∠D＝∠A＝60°．
①当DE∥AC时，如图1中，
∵AB∥DF，
∴∠DGB＝90°+60°＝150°，
∴旋转时间t5s．
②如图2中，当DE∥BC时，
∠ABC＝∠E＝45°，
∴∠DGB＝∠DGF＝60°，
∴旋转时间t2s．
③当DE∥AB时，如图3中，
∴∠BGF＝∠AGE＝∠E＝45°，
∴∠DGB＝∠DGF﹣30°＝30°，
∴旋转时间t1s．
综上所述，旋转时间为1s或2s或5s时，△ABC恰有一边与DE平行．
故答案为：1s或2s或5s．
【点评】本题考查旋转的性质、平行线的性质、旋转的速度、旋转角度、旋转时间之间的关系等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
12．如图，在平行四边形ABCD中，BD是对角线，且AD＝BD＝2AB＝8，将△DBC沿CB方向向右平移得到△AEB，D、B对应点分别是A、E．点F是线段BC上（不含端点）的一个动点，连接AF，将线段AF绕点A逆时针旋转至线段AG，使得旋转角∠FAG＝∠DAE，连接EG，当△AEG是等腰三角形时，CF的长为 　2或5．　 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】连接DF，过点E作EH⊥AB于点H，过点A作AN⊥BE于点N，依题意得AB＝CD＝4，AD＝BC＝BD＝8，AD∥BC，AG＝AF，点C，B，E在同一条直线上，BD＝AE＝BE＝BC＝AD＝8，证明△AEG和△ADF全等得DF＝EG，再利用勾股定理及三角形的面积公式求出EH，AN，BN＝1，然后分三种情况讨论如下：①当AE＝AG＝8时，则AF＝8，进而得FN＝7，则BF＝6，由此可得CF的长；②当AE＝EG＝8时，则DF＝EG＝8，根据BD＝8，点F在CB上运动得当点F与点B重合时，DF＝BD＝8，因此不存在此种情况；③当AG＝EG时，过点F作FM⊥AD于点N，根据DF＝EG，AG＝AF得DF＝AF，则AM＝AM＝4，证明四边形AMFN是矩形得FN＝AM＝4，则BF＝3，由此可得CF的长，综上所述即可得出答案．
【解答】解：连接DF，过点E作EH⊥AB于点H，过点A作AN⊥BE于点N，如图1所示：
∵四边形ABCD是平行四边形，且AD＝BD＝2AB＝8，
∴AB＝CD＝4，AD＝BC＝BD＝8，AD∥BC，
由旋转的性质得：AG＝AF，点C，B，E在同一条直线上，
∵∠FAG＝∠DAE，
∴∠FAE+∠EAG＝∠DAF+∠FAE，
∴∠EAG＝∠DAF，
由平移的性质得：BD＝AE＝8，BE＝BC＝8，
∴AE＝AD＝8，
在△AEG和△ADF中，
，
∴△AEG≌△ADF（SAS），
∴DF＝EG，
∵AE＝BE＝8，AB＝4，EH⊥AB，
∴AH＝BHAB＝2，
在Rt△BEH中，由勾股定理得：EH，
由三角形的面积公式得：S△ABEBE ANAB EH，
∴AN，
在Rt△ABN中，由勾股定理得：BN1，
当△AEG是等腰三角形时，有以下三种情况：
①当AE＝AG＝8时，则AF＝8，如图2所示：
在Rt△AFN中，由勾股定理得：FN7，
∴BF＝FN﹣BN＝7﹣1＝6，
∴CF＝BC﹣BF＝8﹣6＝2；
②当AE＝EG＝8时，则DF＝EG＝8，
∵BD＝8，点F在CB上运动，
∴当点F与点B重合时，DF＝BD＝8，
又∵点F在线段BC上（不含端点），
∴不存在AE＝EG＝8这种情况；
③当AG＝EG时，过点F作FM⊥AD于点N，如图3所示：
∴DF＝EG，AG＝AF，
∴DF＝AF，
∴AM＝DMAD＝4，
∵AD∥BC，
∴FM⊥BC，
又∵AN⊥BE，点C，B，E在同一条直线上，
∴FM∥AN，
∴四边形AMFN是矩形，
∴FN＝AM＝4，
∴BF＝FN﹣BN＝4﹣1＝3，
∴CF＝BC﹣BF＝8﹣3＝5，
综上所述：当△AEG是等腰三角形时，CF的长为2或5．
故答案为：2或5．
【点评】此题主要考查了图形的旋转变换及其性质，图形的平移变换及其性质，平行四边形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识点，理解图形的旋转变换及其性质，图形的平移变换及其性质，熟练掌握平行四边形的性质，等腰三角形的性质，灵活运用勾股定理及三角形的面积公式进行计算是解决问题的关键．
13．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝30°，△ABC绕点C逆时针旋转α（120°＜α＜180°）到△DEC位置，BC，DE的延长线相交于点F．
（1）若AB∥CD，则α＝ 　150　 °；
（2）请用等式表示∠ACE与∠F之间的数量关系：　∠ACE+∠F＝210°　 ．
【答案】（1）150；
（2）∠ACE+∠F＝210°．
【分析】（1）先根据平行线的性质得到∠A+∠ACD＝180°，则∠ACD＝150°，然后根据旋转的性质得到α＝∠ACD＝150°；
（2）先计算出∠ACB＝60°，则∠ACF＝120°，再根据旋转的性质得到∠BCE＝α，∠CED＝∠B＝90°，则∠ECF＝180°﹣α，接着计算出∠ACE＝∠ACF+∠ECF＝300°﹣α，∠F＝90°﹣∠ECF＝α﹣90°，然后计算∠ACE+∠F得到∠ACE+∠F＝210°．
【解答】解：（1）∵AB∥CD，
∴∠A+∠ACD＝180°，
∴∠ACD＝180°﹣30°＝150°，
∵△ABC绕点C逆时针旋转α（120°＜α＜180°）到△DEC位置，
∴α＝∠ACD＝150°；
故答案为：150；
（2）∵∠ABC＝90°，∠A＝30°，
∴∠ACB＝60°，
∴∠ACF＝120°，
∵△ABC绕点C逆时针旋转α（120°＜α＜180°）到△DEC位置，
∴∠BCE＝α，∠CED＝∠B＝90°，
∴∠ECF＝180°﹣α，
∵∠ACE＝∠ACF+∠ECF＝120°+180°﹣α＝300°﹣α，
∠F＝90°﹣∠ECF＝90°﹣（180°﹣α）＝α﹣90°，
∴∠ACE+∠F＝300°﹣α+α﹣90°＝210°．
∴∠ACE与∠F之间的数量关系为∠ACE+∠F＝210°．
故答案为：∠ACE+∠F＝210°．
【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了平行线的性质．
14．如图，线段AB在第二象限，点A（﹣2，5），点B（﹣4，3）．将线段AB绕点O旋转90°得到线段A'B'．那么点A的对应点A'的坐标是 　（5，2）　 ．
【答案】（5，2）．
【分析】过点A作AD⊥x轴于点D，过点A′作A′E⊥x轴于点E，由旋转的性质可得OA＝OA′，∠AOA′＝90°，证明△AOD≌△OA′E，由全等三角形的性质可得OE＝5，A′E＝2，即可获得答案．
【解答】解：如下图，过点A作AD⊥x轴于点D，过点A′作A′E⊥x轴于点E，
则∠ADO＝∠OEA′＝90°，
由条件可知OD＝2，AD＝5，
由旋转的性质可得，OA＝OA′，∠AOA′＝90°，
∴∠AOD+∠A′OE＝180°﹣∠AOA′＝90°，
∴∠OAD＝∠A′OE，
∴在△AOD和△OA′E中，
，
∴△AOD≌△OA′E（AAS），
∴OE＝AD＝5，A′E＝OD＝2，
∵点A′在第一象限，
∴A′（5，2）．
故答案为：（5，2）．
【点评】本题主要考查了坐标与图形、旋转的性质、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握以上知识点是关键．
三．解答题（共7小题）
15．在下图中，把△ABC向右平移5个方格，再绕点B的对应点顺时针方向旋转90度．
（1）画出平移和旋转后的图形，并标明对应字母；
（2）能否把两次变换合成一种变换，如果能，说出变换过程（可适当在图形中标记）；如果不能，说明理由．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）把△ABC的各顶点向右平移5个方格，得到新点顺次连接，得到新三角形．再绕点B的对应点顺时针方向旋转90度．得到又一个新图．
（2）从两图中仔细找规律，找出这两图是如何变换出来的，可以看出是将△ABC绕CB、C″B″延长线的交点顺时针旋转90度得到的．
【解答】解：（1）平移和旋转后的图形如图所示：
（2）能，将△ABC绕CB、C″B″延长线的交点顺时针旋转90度
．
【点评】本题综合考查了三角形平移，旋转变换作图，要明确平移、旋转的性质．
16．如图，已知∠AOB＝60°，在∠AOB的平分线OM上有一点C，∠DCE＝120°，当∠DCE的顶点与点C重合，它的两条边分别与直线OA、OB相交于点D、E．
（1）当∠DCE绕点C旋转到CD与OA垂直时（如图1），请猜想OE+OD与OC的数量关系，并说明理由；
（2）由（图1）的位置将∠DCE绕点C逆时针旋转θ角（0＜θ＜90°），线段OD、OE与OC之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并说明理由．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）先判断出∠OCE＝60°，再利用特殊角的三角函数得出OD＝OEOC，即可得出结论；
（2）分两种情况画图，同（1）的方法得OF+OGOC，再判断出△CFD≌△CGE，得出DF＝EG，最后等量代换即可得出结论．
【解答】解：
（1）OE+ODOC．理由如下：
∵OM是∠AOB的平分线，
∴∠AOC＝∠BOC∠AOB＝30°，
∵CD⊥OA，∴∠ODC＝90°
∴∠OCD＝60°
∴∠OCE＝∠DCE﹣∠OCD＝60°，
在Rt△OCD中，OD＝OC cos30°OC，
同理：OEOC，
∴OD+OEOC；
（2）OD+OEOC或OE﹣ODOC．理由如下：
①如备用图1，过点C作CF⊥OA于点F，CG⊥OB于点G，
∴∠OFC＝∠OGC＝90°
∵∠AOB＝60°，
∴∠FCG＝120°，
同（1）的方法得，OFOC，OGOC，
∴OF+OGOC，
∵CF⊥OA，CG⊥OB，且点C在∠AOB的平分线上，
∴CF＝CG，
∵∠DCE＝∠FCG＝120°，
∴∠DCF＝∠ECG，
∴△CFD≌△CGE（ASA）
∴DF＝EG，
∴OF＝OD+DF＝OD+EG，OG＝OE﹣GE，
∴OF+OG＝OD+OE，
∴OD+OEOC；
②如备用图2，过点C作CF⊥OA于点F，CG⊥OB于点G，
∴∠OFC＝∠OGC＝90°
∵∠AOB＝60°，
∴∠FCG＝120°，
同（1）的方法得，OFOC，OGOC，
∴OF+OGOC，
∵CF⊥OA，CG⊥OB，且点C在∠AOB的平分线上，
∴CF＝CG，
∵∠DCE＝∠FCG＝120°，
∴∠DCF＝∠ECG，
∴△CFD≌△CGE（ASA）
∴DF＝EG，
∴OF＝DF﹣OD＝EG﹣OD，OG＝OE﹣GE，
∴OF+OG＝OE﹣OD，
∴OE﹣ODOC；
综上所述：线段OD、OE与OC之间的数量关系为：OD+OEOC或OE﹣ODOC．
【点评】本题考查了作图﹣旋转变换、全等三角形的判定和性质，解决本题的关键是分类讨论思想的灵活运用．
17．将两块全等的含30°角的直角三角形按图1的方式放置，已知∠BAC＝∠B1A1C1＝30°，则AB＝2BC．
（1）固定三角板A1B1C，然后将三角板ABC绕点C顺时针方向旋转至图2的位置，AB与A1C、A1B1分别交于点D、E，AC与A1B1交于点F．
①填空：当旋转角等于20°时，∠BCB1＝　160　 度；
②当旋转角等于多少度时，AB与A1B1垂直？请说明理由．
（2）将图2中的三角板ABC绕点C顺时针方向旋转至图3的位置，使AB∥CB1，AB与A1C交于点D，试说明A1D＝CD．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）①根据旋转的性质可得∠ACA1＝20°，再根据直角三角形两锐角互余求出∠BCD，然后根据∠BCB1＝∠BCD+∠A1CB1进行计算即可得解；
②根据直角三角形两锐角互余求出∠A1DE，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠ACA1，即为旋转角的度数；
（2）根据两直线平行，同旁内角互补求出∠ADC＝90°，再根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半可得CDAC，根据旋转的性质可得A1C＝AC，然后求出解即可．
【解答】解：（1）①由旋转的性质得，∠ACA1＝20°，
∴∠BCD＝∠ACB﹣∠ACA1＝90°﹣20°＝70°，
∴∠BCB1＝∠BCD+∠A1CB1，
＝70°+90°，
＝160°；
②当AB与A1B1垂直时，∠AED＝90°，
∴∠A1DE＝90°﹣∠A1＝90°﹣30°＝60°，
∴∠BDC＝∠A1DE＝60°，由已知易得∠B＝60°，
∴∠DCB＝180°﹣∠BDC﹣∠B＝60°，
∴∠ACA1＝30°，
即当旋转角等于30°时，AB与A1B1垂直．
（2）∵AB∥CB1，
∴∠ADC＝180°﹣∠A1CB1＝180°﹣90°＝90°，
∵∠BAC＝30°，
∴CDAC，
又∵由旋转的性质得，A1C＝AC，
∴A1D＝CD．
【点评】本题考查了旋转的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，平行线的性质，熟记各性质是解题的关键．
18．在棋盘中建立如图所示的平面直角坐标系，三颗棋子A，O，B的位置如图所示，它们的坐标分别是（﹣1，1），（0，0）和（1，0）
（1）如图，添加棋子C，使A，O，B，C四颗棋子成为一个轴对称图形，请在图中画出该图形的对称轴；
（2）在其他格点位置添加一颗棋子P，使A，O，B，P四颗棋子成为一个轴对称图形，请直接写出棋子P的位置坐标（写出2个即可）．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）A，O，B，C四颗棋子构成等腰梯形，然后画出上下两底的中垂线即可；
（2）根据轴对称图形的定义：沿着一直线折叠后，直线两旁的部分能重合是轴对称图形，然后添加一颗棋子P即可．
【解答】解：（1）如图所示：直线l为对称轴；
；
（2）如图所示：P（2，1），（0，﹣1）．
【点评】此题主要考查了利用轴对称图形设计图案，关键是掌握轴对称图形的定义．
19．在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝100°．将线段CA绕着点C逆时针旋转得到线段CD，旋转角为α，且0°＜α＜360°，连接AD、BD．
（1）如图1，当α＝60°时，∠CBD的大小为　30°　 ；
（2）如图2，当α＝20°时，∠CBD的大小为　30°　 ；（提示：可以作点D关于直线BC的对称点）
（3）当α为　60或20或140或300　 °时，可使得∠CBD的大小与（1）中∠CBD的结果相等．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）想办法求出∠ABD，∠ABC即可解决问题；
（2）如图2所示；作点D关于BC的对称点M，连接AM、BM、CM、AM．想办法证明△ACM是等边三角形，△DAB≌△DAM，△DBM是等边三角形即可解决问题；
（3）分三种情形分别讨论求解即可解决问题；
【解答】解：（1）∵∠BAC＝100°，AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝40°，当α＝60°时，
由旋转的性质得AC＝CD，
∴△ACD是等边三角形，
∴∠DAC＝60°，
∴∠BAD＝∠BAC﹣∠DAC＝100°﹣60°＝40°，
∵AB＝AC，AD＝AC，
∴∠ABD＝∠ADB70°，
∴∠CBD＝∠ABD﹣∠ABC＝70°﹣40°＝30°，
故答案为：30°；
（2）如图2所示；作点D关于BC的对称点M，连接AM、BM、CM、AM．
则△CBD≌△CBM，
∴∠BCM＝∠BCD＝∠ACD＝20°，CD＝CA＝CM，
∴∠ACM＝60°，
∴△ACM是等边三角形，
∴AM＝AC＝AB，∠MAC＝60°，
∴∠BAM＝40°，
∵∠CAD＝∠CDA（180°﹣20°）＝80°，
∴∠BAD＝∠MAD＝20°，
∵AD＝AD，
∴△DAB≌△DAM，
∴BD＝DM，
∵BD＝BM，
∴BD＝DM＝BM，
∴∠DBM＝60°，
∴∠DBC＝∠CBM＝30°，
故答案为30°
（3）①由（1）可知，∠α＝60°时可得∠BAD＝100°﹣60°＝40°，∠ABC＝∠ACB＝90°40°，
∠ABD＝90°∠BAD＝120°70°，
∠CBD＝∠ABD﹣∠ABC＝30°．
②如图3，翻折△BDC到△BD1C，
则此时∠CBD1＝30°，
∠BCD＝60°﹣∠ACB30°＝20°，
∠α＝∠ACB﹣∠BCD1＝∠ACB﹣∠BCD20°＝20°；
③以C为圆心CD为半径画圆弧交BD1的延长线于点D2，连接CD2，
∠CDD2＝∠CBD+∠BCD＝30°30°＝50°，
∠DCD2＝180°﹣2∠CDD2＝180°﹣100°＝80°，
∠α＝60°+∠DCD2＝140°．
④当点D旋转到BD的延长线上时，也满足条件，同法可得α＝300°
综上所述，α为60°或20°或140°或300°时，∠CBD＝30°．
故答案为60或20或140或300．
【点评】本题是一道几何结论探究题，解答这类题目的关键是要善于从探究特殊结论中归纳出一般性解题方法，并灵活运用这种方法解答一般性的问题，真正达到举一反三的目的．
20．如图，点O为平面直角坐标系的原点，点A在x轴上，△AOC是边长为2的等边三角形．
（1）写出△AOC的顶点C的坐标：　（﹣1，）　 ．
（2）将△AOC沿x轴向右平移得到△OBD，则平移的距离是　2　
（3）将△AOC绕原点O顺时针旋转得到△DOB，则旋转角可以是　120　 度
（4）连接AD，交OC于点E，求∠AEO的度数．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）过C作CH⊥AO于H，利用勾股定理即可得到点C的坐标为（﹣1，）；
（2）依据对应点的位置，即可得到平移的距离；
（3）依据旋转的方向以及对应点的位置，即可得到旋转角的度数；
（4）判定△ACE≌△DOE，即可得到CE＝OE，依据三线合一可得AD⊥CO．
【解答】解：（1）如图，过C作CH⊥AO于H，则HOAO＝1，
∴Rt△COH中，CH，
∴点C的坐标为（﹣1，），
故答案为：（﹣1，）；
（2）由平移可得，平移的距离＝AO＝2，
故答案为：2；
（3）由旋转可得，旋转角＝∠AOD＝120°，
故答案为：120；
（4）如图，∵AC∥OD，
∴∠CAE＝∠ODE，∠ACE＝∠DOE，
又∵AC＝DO，
∴△ACE≌△DOE，
∴CE＝OE，
∴AD⊥CO，即∠AEO＝90°．
【点评】本题主要考查了坐标与图形变化以及等边三角形的性质，解题时注意：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°．等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线是对称轴．
21．如图1，在平面直角坐标系中，点A（a，b），连接OA，将OA绕点O逆时针方向旋转90°到OB．
（1）求点B的坐标；（用字母a，b表示）
（2）如图2，延长AB交x轴于点C，过点B作BD⊥AC交y轴于点D，求证：OC＝OD．
【答案】（1）B（﹣b，a）；
（2）见解答．
【分析】（1）作AC⊥x轴于C，作BD⊥x轴于D，可证得△AOC≌△OBD，进一步得出结果；
（2）可推出∠AOC＝∠BOD，∠ACO＝∠BDO，进而得出△AOC≌△BOD，从而得出结论．
【解答】（1）解：如图1，
作AC⊥x轴于C，作BD⊥x轴于D，
∴∠ACO＝∠BDO＝90°，
∴∠AOC+∠A＝90°，
∵∠AOB＝90°，
∴∠AOC+∠BOD＝90°，
∴∠A＝∠BOD，
在△AOC和△OBD中，
，
∴△AOC≌△OBD（AAS），
∴OD＝AC＝|b|，BD＝OC＝|a|，
∴B（﹣b，a）；
（2）证明：如图2，
设OC，BD交于点E，
∵BD⊥AC，
∴∠BCD＝∠COD＝90°，
∵∠BEC＝∠DEO，
∴∠ACO＝∠BDO，
∵∠AOB＝∠COD＝90°，
∴∠AOB+∠BOC＝∠COD+∠BOC，
即：∠AOC＝∠BOD，
∵OA＝OB，
∴△AOC≌△BOD（ASA），
∴OC＝OD．
【点评】本题考查了等腰直角三角形性质，全等三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造全等三角形．
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